BAB II

KEADAAN FERMI DIRAC

A. Keadaan Makro dan Mikro

Masalah utama yang dihadapi dalam mekanika statistic adalah

menentukan sebaran yang mungkin dari partikel-partikel kedalam tingkat-

tingkat energi dan keadaan-keadaan atau status energi. Rincian sebaran

partikel ini sangat tergantung pada apakah partikel-partikel itu terbedakan

atau tidak terbedakan spesifikasi jumlah partikel kedalam tingkat-tingkat

energi dengan tidak menghiraukan apakah partikel-partikel itu terbedakan

atau tidak disebut keadaan makro dari suatu sistem. Setiap keadaan makro

dapat dirinci lagi menjadi keadaan-keadaan mikro tergantugn kepada apakah

partikel-partikel tersebut terbedakan atau tidak, dan apakah masing-masing

tingkat energi terbegenarasi atau tidak. Jumlah keadaan mikro untuk setiap

keadaan makro k, disebut “peluang termodinamik” yang disimbolkan dengan

Wk, sedangkan peluang termodinamik sistem adalah jumlah semua peluang

termodinamik tiap-tiap keadaan makro, yang biasa dirumuskan sebagai

berikut:

Dalam statistik Maxwell-Boltmann, ada dua cirri yanga digunakan

yakni:

1. Partikel-partikel dalam sistem terbedakan

2. Seiap keadaan energi dapat di isi oleh lebih dari satu partikel

Agar diperoleh gambaran yang jelas tentang keadaan makro dan keadaan

mikro dari sistem berdasarkan kedua ciri di atas kita ambil contoh sebagai

berikut:

Contoh :

Suatu sistem terdiri dari 3 partikel terbedakan, misalnya a, b, dan c

yang tersebar kedalam dua tingkat energi, έ1 dan έ2. Jika sistem tidak

tergenerasi, atau jumlah keadaan untuk tiap tingkat energi adalah satu maka :

a. Tunjukkan keadaan makro yang mungkin

b. Tunjukkan keadaan mikro untuk setiap keadaan makro

c. Tentukan peluang termodinamik untuk setiap kedaan makro

d. Tentukan peluang termodinamik sistem

Solusi:

Dengan memisahkan N1 dan N2 adalah jumlah partikel untuk masing-

masing tingkat energi maka masalah ini dapat diselesaikan dengan cara

berikut:

a. Keadaan-keadaan makro yang mungkin:

N1 3 2 1 0

N2 0 1 2 3

Terlihat bahwa terdapat 4 keadaan makro

b. Keadaan-keadaan mikro untuk setiap keadaan makro

Keadaan makro keadaan-keadaan mikro

c. Peluang termodinamik dapat kita lihat untuk setiap keadaan sehingga

diperoleh : W1 =1, W 2 = 3, W3 =3, dan W4 = 1

d. Peluang termodinamik sistem adalah :

Ω = W1 + W2 + W3 + W4

= 1 + 3 + 3 + 1

= 8

N2 3 abc

N1 0

N2

N1

2

1

N2

N1

1

2

N2

N1

0

3

abc

bc

a

a

bc

ac

b

ab

c

b

ac

c

ab

B. Partikel Fermi

Dalam azas larangan Pauli “ untuk atom yang memiliki lebih dari satu

ellektron, misalnya Natrium, elekton-elektron tidak berkumpul ditingkat

energi rendah, karen amsing- masing status hanya boleh ditempati tidak lebih

dari satu elektron. Tingkat paling rendah ( n =1) hanya boleh ditempati oleh

dua elektron, yang satu spin nya keatas dan yang lainnya spinnya kebawah.

Sedangkan tingkat energi berikutnya, ( n = 2), akan ditempati oleh 8 elektron,

dan seterusnya, tingkat energi ke - n akan diisi oleh 2n2 elektorn dengan

konfigurasi yang didasarkan kepada azas larangan Pauli.

Azaz larangan Pauli ini, diperoleh sebagi konsekuensi dari sifat

elektron sebagai gelombang, seperti yang sudah disinggung diatas. pada

mekanika kuantum untuk partikel identik, akan ditemuakan bahwa fungsi

gelombang totalnya, hanya boleh simetrik atau anti simetrik terhadap

pertukaran dua partikel. Azas larangan Pauli, akan muncul dengan sendirinya,

apabila kita memilih fungsi gelombang total yang anti simetrik. Partikel-

partikel yang memiliki sifat seperti ini, misalnya elektron, proton dinamakan

“partikel fermi” atau “Fermiun”. Dalam pokok bahasan ini akan dibahas

tentang partikel- partikel fermi tersebut, melalui statistik yang disebut

“statistik fermi-Dirac” yang dikembang oleh Enrico Fermi dari Italia dan P.

Dirac dari Inggris.

C. Fungsi Distribusi Fermi Dirac

Distribusi Fermi Dirac ini memiliki 2 ciri khas yaitu:

a. Partikel-partikel dalam sistem tidak dapat dibedakan antara yang satu

dengan yang lain.

b. Satu status atau keadaan enerrgi, hanya boleh diisi oleh satu partikel

artinya tidak boleh diisi lebih dari satu partikel.

Bila dilihat dengan contoh sebuah partikel bebas bemassa m, dalam

ruangan yang volume V, status energi partikel itu ditentukan oleh 3 bilangan

kuantum yaitu (nx, ny, dan nz yang merupakan bilangan bulat dari 0,1,2,3....

dan seterusnya. Tingkat energi partikel itu, ditentukan jumalah kuadrat dari

nx, ny, dan nz menurut persaman :

𝜀 𝑛𝑥 ,𝑛𝑦 , 𝑛𝑧 = ℎ2

2𝑚𝑉23

( 𝑛𝑥2 + 𝑛𝑦

2 + 𝑛𝑧2)

Diperoleh dari :

Energy momentum : ℷ =ℎ

𝑝

P=ℎ

ℷ

ℷ =𝑙

𝑛

Sehingga

𝜀𝑛 = 𝑝2

2𝑚

= ℎ

𝑛

𝑙 ²

2𝑚

= ℎ²

𝑛 ²

𝑙²

2𝑚

= [ℎ²

2𝑚𝑙²] n² , L= 𝑣3

=[ℎ2

2𝑚( 𝑣)²3 ] n²

= [ℎ²

2𝑚𝑣2

3

]n²

Jadi,

𝜀 𝑛𝑥 ,𝑛𝑦 , 𝑛𝑧 = ℎ2

2𝑚𝑉23

( 𝑛𝑥2 + 𝑛𝑦

2 + 𝑛𝑧2)

Sudah kita ketahui bahwa tingkat eneergi paling bawah hanya

memiliki satu status energi, tingkat berikutnya memiliki 6 status energi dan

seterusnya.

Kalau dalam elekrton dalam logam adalah gelombang- gelombang

yang berjubel dalam ruangan yang relatif sempit sehingga identitas masing-

masing menjadi tidak bermakna maka kita tidak lagi bisa menggunakan

perngertian makro seperti pada statistik Maxwell- Bolzman.

Kita akan menggunakan lambang 𝑁1,𝑁2, 𝑁3.... dan seterusnya untuk

menunjukkan jumalah partikel- partikel atau “ bilangan populasi” pada

tingkatan energi ke 1, 2, 3... dan seterusnya. Dengan cara ini maka energi

total dalam kumpulan N elektron adalah :

𝑈 = 𝜀1

𝑛

𝑖=1

𝑁𝑖

𝑑𝑎𝑛 𝑁 = 𝑁𝑖𝑛𝑖=1

Untuk memberikan gambaran yang jelas tentang jumlah keadaan

mikro dan suatu keadaan makro, dapat dilihat contoh berikut ini.

Contoh:

Suatu sistem, terdiri dari 2 tingkatan energi, tingkatan 𝜀1, dengan 4

keadaan energi , dan ditempati oleh 3 partikel sedangkan pada tingkatan 𝜀2 ,

dengan 3 keadaan energi, terdapat 2 partikel. Jika partikel memenuhi statistik

fermi dirac gambarkan keadaan mikro yang mungkin.

Solusi : ada 4 cara utnuk menempatkan 3 partikel pada tingkatan 𝜀1

dengan 4 keadaan, dan ada 2 cara untuk menempatkan 2 partikel yang

terdapat pada tingkatan 𝜀2, seperti yang dilihatkan pada gambar berikut ini:

Tingkatan 𝜀1

Secara umum, peluang termodinamika W untuk setiap tingkat energi

dapat dirumuskan sebagai berikut:

𝑊𝑖 = 𝑔

𝑖 !

𝑁𝑖! 𝑔𝑖− 𝑁𝑖 !

Dari contoh diatas berarti:

𝑊1 = 4 !

3! 4 − 3 != 4,𝑑𝑎𝑛 𝑊2 =

3 !

2! 3 − 2 != 3

Jika kedua tingkatan energi ini dikombinasikan, akan diperoleh

peluang termodinamik total sebanyak:

𝑊 = 𝑊1 𝑥 𝑊2= 4 x 3 = 12

Jadi ada 12 cara yang mungkin untuk menggambar konfigurasi

partikel pada kedua tingkatan energi itu. Dengan demikian secara umum

untuk seluruh sistem peluang termodinamik total paa distribusi fermi – dirac

ini adalah;

𝑊 = 𝑔𝑖 !

𝑁𝑖 ! 𝑔𝑖 − 𝑁𝑖 !

𝑛

𝑖=1

Konfigurasi dengan peluang terbesar dapat ditentukan dengan mencari

W yang terbesar dengan kendala N dan U bergharga tetap, seperti yang

dilakukan waktu menurun rumus distribusi Maxwell- Boltzman. Sesuai

dengan persamaan yang memperlihatkan hubungan antara Entropi S dan

peluang termodinamika yaitu S = k ln W, maa entropi terbesar adalah ketika

ln W maksimun, maka

ln𝑊 = 𝑙𝑛 𝑔

𝑖 !

𝑁𝑖! 𝑔𝑖− 𝑁𝑖 !

𝑛

𝑖=1

= ln 𝑔𝑖 ! − [ln 𝑁 𝑖 ! + ln( 𝑔𝑖 − 𝑁𝑖 !]

𝑛

𝑖=1

Dengan mengugunakan dalil Striling yaikni:

ln𝑁! = 𝑁 𝐿𝑛− 𝑁2

Maka persamaan (4-7) dapat ditulis :

ln 𝑊 = [𝑔𝑖ln 𝑔

𝑖−

𝑛

𝑖=1

𝑁𝑖 ln 𝑁𝑖 − ( 𝑔𝑖− 𝑁𝑖) ln(𝑔

𝑖− 𝑁𝑖)]

Bila didiferensial terhadap Ni maka :

∂ln 𝑊 = [− ln 𝑁𝑖 𝜕

𝑛

𝑖=1

𝑁𝑖 +ln ( 𝑔𝑖− 𝑁𝑖)𝜕𝑁𝑖]

∂ ln 𝑊 = ln 𝑔

𝑖− 𝑁𝑖

𝑁𝑖 𝜕𝑁𝑖

𝑛

𝑖=1

Karena sistem terisolasai, maka perubahan yang terjadi hanyalah

jumlah pertikel pada masing-masing tingkat energi, sedangkan jumlah

partikel total dalam sistem tidaklah berubah. Begitu juga dengan energi dalam

(U) pada sistem, sehingga persamaan (4-2) dan (4-3) dapat ditulis sebagai

berikut :

𝜕𝑁𝑖 = 𝑑𝑁 = 0

𝑛

𝑖=1

𝜀𝑖 𝜕𝑁𝑖 = 𝑑𝑈 = 0

𝑛

𝑖=1

Solusi dari persamaan (4-8), (4-9) dan (4-10), dapat diperoleh dengan

menggunakan “ metoda pengali Lagrange”, seperti yang dilakukan ketika

menurunkan persamaan distribusi Maxwell-Bolzmann, yaitu :

ln 𝑔𝑖 − 𝑁𝑖

𝑁楜 + 𝛼 + 𝛽 𝜀𝑖 = 0

ln 𝑔𝑖 − 𝑁𝑖

𝑁𝑖 = − 𝛼 + 𝛽 𝜀𝑖 ,

Ln 𝑔𝑖−𝑁𝑖

𝑁𝑖 =- 𝛼 + 𝛽 𝜀𝑖

𝑔𝑖

𝑁𝑖 –

𝑁𝑖

𝑁𝑖 = 𝑒−𝛼+𝛽𝜀𝑖

𝑔𝑖

𝑁𝑖-1 = 𝑒−𝛼+𝛽𝜀𝑖

Ni = 𝑔𝑖

𝑒− 𝛼+ 𝛽 𝜀𝑖 +1

Dari persaman (4-10) dapat dilihat bahwa jumlah elektron yang

menempati tingkatan energi ke i, sebanding dengan jumlah status atau

keadaan energi, artinya Ni sebanding dengan gi. Juga terlihat bahwa jumlah

partikel yang menghuni status ke s misalnya adalah :

Ni = 𝑔𝑖

𝑒− 𝛼+ 𝛽 𝜀𝑖 +1

Bila kita cermati pers (4-10) dapat pula kita lihat, bahwa bila suku

pertama pada penyebut jauh lebih besar dari satu, maka ungkapan untuk Ni

mirip dengan distribusi Maxwell-Bolzmann, yakni :

Ns = 1

𝑒− 𝛼+ 𝛽 𝜀𝑖 + 1

Ni = 𝑔𝑖𝑒 − 𝛼+ 𝛽 𝜀𝑖

Dimana telah diperoleh hargaβ = -1/kT .

Untuk menentukan harga a, diperlukan fungsi-sungsi yang agak

rumit sehingga sulit untuk mengungkapkannya disini. Tetapi satu hal

yang penting adalah bahwa α tergantung pada suhu mutlak T.

α = εo / kT

dimana Eo merupakan besaran yang mempunyai dimensi energy. Oleh

sebab itu, Fermi dirac biasa di tulis dalam bentuk :

f (ε) = 1

exp 屨− εo +1

dan disini fungsi didtribusi ferrmi dirac

Fungsi ini memiliki sifat yang khas, seperti diperlihatkan pada gambar (4

-1). Untuk nilai ε yang lebih kecil dari εo suku pertama dari penyebut dapat di

abaikan besarnya, sehingga f (ε) bernilai 1. Untuk nilai ε yang jauh lebih besar

dari εo, suku pertama dari penyebut menjadi begitu besar, sehingga nilai f (ε)

bernilai 0. Sedangkan tepat ketika ε= εo maka f(ε) bernilai ½.

F 0

1

f

0

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Masalah utama yang dihadapi dalam mekanika statistic adalah

menentukan sebaran yang mungkin dari partikel-partikel kedalam tingkat-

tingkat energi dan keadaan-keadaan atau status energi. Rincian sebaran

partikel ini sangat tergantung pada apakah partikel-partikel itu terbedakan

atau tidak terbedakan spesifikasi jumlah partikel kedalam tingkat-tingkat

energi dengan tidak menghiraukan apakah partikel-partikel itu terbedakan

atau tidak disebut keadaan makro dari suatu sistem.

B. Saran

Demikianlah makalah statistic Fermi dirac ini pemakalah buat agar

dapat dijadikan bahan untuk perkuliahan pada mata kuliah fisika statistik.

Kami sebagai pemakalah menyadari masih banyak terdapat kekurangan

pada makalah ini, untuk itu kami mengharapkan kritikan dan saran yang

membangun demi kesempurnaan makalah ini.

DAFTAR PUSTAKA

http://www.slideshare.net/putuhermanwiantara/fisika-statistik-16446578

Jamal.Julia,ddk.2003.Fisika Statistik.Padang:UNP Press