8

BAB 2 DISTRIBUSI FREKUENSI

Kompetensi Mampu membuat penyajian data dalam distribusi frekuensi Indikator 1. Menjelaskan distribusi frekuensi

2. Membuat distribusi frekuensi

3. Menjelaskan macam-macam distribusi frekuensi

4. Membuat distribusi frekuensi dalam bentuk grafik

A. Definisi dan Bentuk Distribusi Frekuensi Distribusi frekuensi adalah tabel tentang kelompok data yang terdiri

dari kolom kelas dan kolom frekuensi. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam

pembuatan distribusi frekuensi:

1. Untuk dapat menyusun suatu tabel distribusi frekuensi harus tersedia

data. Data yang baru saja dikumpulkan dari lapangan disebut data kasar.

Contoh:

Data masa kerja karyawan UMY adalah sbb:

10 8 5 10 10 8 9 11 13 4 9 9 6 10 2 6 7 10 6 4 8 12 8 11 11 9 12 5 11 9 7 8 6 9 7 9 5 3 10 8

9

2. Data yang telah disusun ke dalam urutan dari nilai terbesar hingga data

terkecil atau sebaliknya disebut array data.

Contoh:

Data masa kerja 40 karyawan UMY adalah sbb:

2 6 9 10 3 7 9 10 4 7 9 10 4 7 9 11 5 8 9 11 5 8 9 11 5 8 9 11 6 8 10 12 6 8 10 12 6 8 10 13 3. Beda atau selisih antara angka terbesar dengan angka terkecil disebut

dengan jarak atau range.

4. Jika array data itu dibagi atas kelompok-kelompok tertentu maka

kelompok-kelompok itu disebut dengan kelas.

5. Bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya data yang terdapat dalam

setiap kelas disebut frekuensi.

6. Jarak antara kelas yang satu dengan kelas yang lain disebut interval

kelas.

Bentuk umum distribusi frekuensi yaitu:

Tabel 2.1 Bentuk Umum Distribusi Frekuensi

Kelas Frekuensi ................................ ....................... ................................ ....................... ................................ ....................... ................................ ....................... ................................ .......................

10

Pada tiap-tiap kelas dalam distribusi frekuensi mempunyai 2 batas kelas,

yaitu:

1. Batas bawah kelas

Batas bawah kelas adalah angka pada kolom kelas yang letaknya

disebelah kiri.

2. Batas atas kelas

Batas atas kelas adalah angka pada kolom kelas yang letaknya disebelah

kanan.

Pada tiap-tiap kelas dalam distribusi frekuensi juga mempunyai tepi

kelas. Tepi kelas merupakan titik tengah antara batas atas suatu kelas

dengan batas bawah kelasnya. Tepi kelas ada 2 yaitu:

1. Tepi bawah kelas

2

1 iii

BBKBAKTBK += −

Keterangan:

TBKi = Tepi bawah kelas ke i

BAKi-1 = Batas atas kelas sebelum kelas ke i

BBKi = Batas bawah kelas ke i

2. Tepi atas kelas

21++

= iii

BBKBAKTAK

Keterangan:

TAKi = Tepi atas kelas ke i

BAKi = Batas atas kelas ke i

BBKi+1 = Batas bawah kelas setelah kelas ke i

Selain memiliki batas kelas dan tepi kelas, suatu distribusi frekuensi

juga memiliki titik tengah kelas. Titik tengah kelas merupakan rata-rata kelas

yang bersangkutan. Titik tengah kelas dapat dicari dengan cara:

11

2ii

iBAKBBK

TTK+

=

Keterangan:

TTK = Titik Tengah Kelas

BBKi = Batas bawah kelas ke i

BAKi = Batas atas kelas ke i

B. Macam-macam Distribusi Frekuensi

Terdapat dua jenis distribusi frekuensi yaitu:

1. Distribusi frekuensi numerikal (Numerical frequency distribution)

Distribusi frekuensi numerikal yaitu distribusi frekuensi yang pembagian

kelas-kelasnya berupa angka-angka atau secara kuantitatif. Contoh

distribusi frekuensi numerikal yaitu:

Tabel 2.2 Distribusi Frekuensi

Umur Karyawan PT Basmallah

Umur (Tahun)

Jumlah Karyawan

20 – 29 10 30 – 39 15 40 – 49 8 50 – 59 9 60 – 69 3 Jumlah 45

12

Distribusi Frekuensi Numerikal, dibagi menjadi:

a. Distribusi Frekuensi Relatif

Distribusi frekuensi relatif yaitu distribusi frekuensi yang angka-angka

frekuensinya tidak dinyatakan dalam angka-angka absolut tetapi

angka-angka relatif atau persentase. Contohnya yaitu:

Tabel 2.3 Distribusi Frekuensi Relatif

Umur Karyawan PT Basmallah Umur

(Tahun) Jumlah

Karyawan (%)

20 – 29 22,22 30 – 39 33,33 40 – 49 17,78 50 – 59 20 60 – 69 6,67 Jumlah 100

b. Distribusi Frekuensi Komulatif

Distribusi frekuensi komulatif terdiri dari dua jenis yaitu :

1) Distribusi frekuensi “kurang dari”

Distribusi frekuensi “kurang dari” yaitu distribusi frekuensi yang

memasukkan frekuensi kelas-kelas sebelumnya. Contohnya yaitu:

Tabel 2.4 Distribusi Frekuensi Kumulatif “Kurang Dari”

Umur Karyawan PT Basmallah

Umur (Tahun)

Jumlah Karyawan

Kurang dari 20 0 Kurang dari 30 15 Kurang dari 40 25 Kurang dari 50 33 Kurang dari 60 42 Kurang dari 70 45

13

2) Distribusi frekuensi “atau lebih”

Distribusi frekuensi “atau lebih” yaitu distribusi frekuensi yang

memasukkan frekuensi kelas-kelas sesudahnya. Contohnya yaitu:

Tabel 2.5 Distribusi Frekuensi Kumulatif “Kurang Dari”

Umur Karyawan PT Basmallah

Umur (Tahun)

Jumlah Karyawan

20 Atau lebih 45 30 Atau lebih 35 40 Atau lebih 20 50 Atau lebih 12 60 Atau lebih 3 70 Atau lebih 0

2. Distribusi frekuensi kategoris (Categorical frequency distribution)

Distribusi frekuensi kategoris yaitu distribusi yang pembagian kelasnya

berdasarkan kategori-kategori atau secara kualitatif. Contoh Distribusi

frekuensi kategoris yaitu:

Tabel 2.6 Distribusi Frekuensi Usia

Responden yang Menyukai Film Kartoon

Usia Jumlah Anak-anak 30

Remaja 15 Dewasa 5 Jumlah 50

C. Teknik Pembentukan Distribusi Frekuensi Ada 2 teknik pembentukan distribusi frekuensi, yaitu:

1. Trial and error.

14

2. Melalui tahap-tahap sebagai berikut:

a. Menentukan banyaknya kelas

Menentukan banyaknya kelas dapat menggunakan kriterium Sturges:

K = 1 + 3,322 log n

K = banyaknya kelas yang sedang dicari

n = banyaknya data

b. Menentukan besarnya interval kelas (i)

Jarak atau range i = ----------------------- Banyak kelas

Range = angka terbesar – angka terkecil

c. Menghitung frekuensi data

Contoh:

Data berikut ini merupakan nilai ujian Matakuliah Statistik I dari 25

mahasiswa:

27 79 69 40 51

88 94 60 71 82

65 62 75 42 68

89 60 51 74 77

80 67 40 69 66

Berdasarkan data tersebut:

1. Buatlah tabel distribusi frekuensi.

2. Tentukan batas kelas, tepi kelas, dan titik tengah.

3. Buatlah distribusi frekuensi relative.

4. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari.

5. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif atau lebih.

15

Penyelesaian:

1. Tabel distribusi frekuensi

Langkah-langkah pembentukan distribusi frekuensi:

a. Menentukan banyaknya kelas

Menentukan banyaknya kelas dapat menggunakan kriterium Sturges:

K = 1 + 3,322 log n

K = 1+ 3,322 log 25

K = 1+ 3,322 (1,398)

K = 5,644

K = 6 (dibulatkan)

b. Menentukan besarnya interval kelas (i)

Jarak atau range

i = -----------------------

Banyak kelas

Range = angka terbesar – angka terkecil

Angka terkecil = 27

Angka terbesar = 94

Range = 94 – 27 = 67

Banyaknya kelas = 6

17,116

67==i

= 12 (dibulatkan)

16

c. Membuat tabel distribusi frekuensi

Tabel 2.7

Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Statistik I

Nilai Perincian Frekuensi 27 - 38 ll 1 39 - 50 ll 3 51 - 62 lllll 5 63 - 74 llllllll 8 75 - 86 lllll 5 87 - 98 lll 3 Jumlah 25

Penyajian distribusi frekuensi

Tabel 2.8 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Statistik I

Nilai Frekuensi 27 - 38 1 39 - 50 3 51 - 62 5 63 - 74 8 75 - 86 5 87 - 98 3 Jumlah 25

17

2. Tentukan batas kelas, tepi kelas, dan titik tengah

Tabel 2.9 Batas Kelas, Tepi Kelas, dan Titik Tengah

Nilai Frekuensi Batas Kelas Tepi Kelas Titik Tengah BBK BAK TBK TAK

27 - 38 1 22 38 26,5 38,5 32,5 39 - 50 3 39 50 38,5 50,5 44,5 51 - 62 5 51 62 50,5 62,5 56,5 63 - 74 8 63 74 62,5 74,5 68,5 75 - 86 5 75 86 74,5 86,5 80,5 87 - 98 3 87 98 86,5 98,5 92,5

Keterangan:

BBK = batas bawah kelas

BAK = batas atas kelas

TBK = tepi bawah kelas

TAK = tepi atas kelas

Tepi bawah kelas

2

1 iii

BBKBAKTBK += −

Keterangan:

TBKi = Tepi bawah kelas ke i

BAKi-1 = Batas atas kelas sebelum kelas ke i

BBKi = Batas bawah kelas ke i

5,262

27262

101 =

+=

+=

BBKBAKTBK

18

5,382

39382

212 =

+=

+=

BBKBAKTBK

Tepi atas kelas

21++

= iii

BBKBAKTAK

5,382

39382

211 =

+=

+=

BBKBAKTAK

Titik tengah kelas

2ii

iBAKBBK

TTK+

=

5,322

38272

111 =

+=

+=

BAKBBKTTK

3. Distribusi frekuensi relatif

Tabel 2.10 Distribusi Frekuensi Relatif

Nilai Frekuensi

(%) 27 - 38 4 39 - 50 12 51 - 62 20 63 - 74 32 75 - 86 20 87 - 98 12 Jumlah 100

19

Frekuensi kelas 1 = 1/25 x 100 = 0,08 = 4 %

Frekuensi kelas 2 = 3/25 x 100 = 0,08 = 12 %

Frekuensi kelas 3 = 5/25 x 100 = 0,20 = 20 %

Frekuensi kelas 4 = 8/25 x 100 = 0,32 = 32 %

Frekuensi kelas 5 = 5/25 x 100 = 0,20 = 20 %

Frekuensi kelas 6 = 3/25 x 100 = 0,12 = 12 %

4. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

Tabel 2.11 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Nilai Frekuensi

Kurang dari 27 0 Kurang dari 39 1 Kurang dari 51 4 Kurang dari 63 9 Kurang dari 75 17 Kurang dari 87 22 Kurang dari 99 25

5. Distribusi frekuensi kumulatif atau lebih

Tabel 2.12 Distribusi Frekuensi Kumulatif Atau Lebih

Nilai Frekuensi

27 Atau lebih 25 39 Atau lebih 24 51 Atau lebih 21 63 Atau lebih 16 75 Atau lebih 8 87 Atau lebih 3 99 Atau lebih 0

20

D. Penyajian Data Dalam Bentuk Grafik

Data selain disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, juga

dapat disajikan dalam bentuk grafik. Berikut ini distribusi frekuensi yang akan

disajikan dalam bentuk grafik, yaitu:

Tabel 2.13 Distribusi Frekuensi

Masa Kerja 40 Karyawan UMY

Kelas Frekuensi

2 - 3,9 2

4 - 5,9 5

6 - 7,9 7

8 - 9,9 13

10 - 11,9 10

12 - 13,9 3

Jumlah 40

1. Histogram

Histogram yaitu penggambaran distribusi frekuensi dalam bentuk balok-

balok segi empat yang terdiri dari 2 sumbu, sumbu vertikal sebagai skala

frekuensi sedangkan sumbu horisontal untuk skala kelas. Histogram

dapat digambarkan dalam tiga jenis menurut skala kelas yang digunakan,

yaitu:

a. Histogram dengan menggunakan skala kelas angka bulat yang relatif

mendekati

b. Histogram dengan menggunakan skala kelas angka-angka tepi kelas

c. Histogram dengan menggunakan skala kelas angka-angka batas

kelas.

21

f

14 - 13

12 -

10 - 10

8 - 7

6 - 5

4 - 3

2 - 2

2 4 6 8 10 12 14 kelas

Gambar 2.1 Histogram dengan menggunakan angka bulat yang relatif mendekati.

f

14 - 13

12 -

10 - 10 Kurva frekuensi

8 - 7

6 - 5

4 - 3

2 - 2

1,95 3,95 5,95 7,95 9,95 11,95 13,95 kelas

Histogram dengan menggunakan angka-angka tepi kelas

22

f 14 - 13 12 - 10 - 10 8 - 7 6 - 5 4 - 3 2 - 2 2 3,9 4 5,9 6 7,9 8 9,9 10 11,9 12 13,9 kelas

Gambar 2.3 Histogram dengan menggunakan angka-angka batas kelas

2. Poligon Frekuensi

Poligon Frekuensi yaitu penggambaran distribusi frekuensi dalam bentuk

garis yang menghubungkan titik-titik tengah kelasnya sebagai skala

kelas. Jenis lain dari poligon frekuensi adalah kurva frekuensi, yaitu

penggambaran distribusi frekuensi dalam bentuk garis, dimana luas

daerah di bawah kurva kurang lebih sama dengan luas histogram

frekuensinya.

23

Tabel 2.14 Distribusi Frekuensi

tentang masa kerja 40 karyawan UMY

Kelas Frekuensi Titik tengah

2 - 3,9 2 2,95

4 - 5,9 5 4,95

6 - 7,9 7 6,95

8 - 9,9 13 8,95

10 - 11,9 10 10,95

12 - 13,9 3 12,95

Jumlah 40

f

14 - 13

12 -

10 - 10

8 - 7

6 - 5

4 - 3

2 - 2

0,95 2,95 4,95 6,95 8,95 10,95 12,95 14,95 kelas

Gambar 2.4 Poligon Frekuensi

24

Jenis lain dari poligon frekuensi adalah kurva frekuensi, yaitu

penggambaran distribusi frekuensi dalam bentuk garis, dimana luas

daerah di bawah kurva kurang lebih sama dengan luas histogram

frekuensinya. Kurva frekuensi dapat digambarkan dengan

memanfaatkan histogram frekuensi dengan menggunakan angka-angka

tepi kelas sebagai skala kelas, dengan menghubungkan titik-titik tengah

masing-masing balok.

3. Ogive Curve atau Kurva Ogive

Kurva ogive yaitu penggambaran distribusi frekuensi komulatif “kurang

dari” dan distribusi frekuensi komulatif “atau lebih” dalam satu grafik.

f

40 - B A

35 -

30 -

25 -

20 -

15 -

10 -

5 -

. . . . . . .

2 4 6 8 10 12 14 kelas

Gambar 2.4 Kurva Ogive

25

A: Penggambaran distribusi frekuensi komulatif “kurang dari”

B: Penggambaran distribusi frekuensi komulatif “atau lebih”

C. Rangkuman

Distribusi frekuensi adalah tabel tentang kelompok data yang terdiri

dari kolom kelas dan kolom frekuensi. Distribusi frekuensi meliputi distribusi

frekuensi biasa, relative, kumulatif kurang dari dan kumulatif atau lebih.

Data selain disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, juga

dapat disajikan dalam bentuk grafik. Distribusi frekuensi dapat disajikan

dalam bentuk grafik seperti histogram, poligon, dan kurva ogive.

D. Latihan soal 1. Data tentang besarnya tunggakan kredit dari 50 orang nasabah Bank

Lunas pada tahun 2007 (jutaan rupiah) adalah:

18 20 24 13 27

25 25 19 5 24

22 26 7 20 16

17 29 21 17 15

12 30 14 26 20

16 18 10 18 11

9 19 17 12 22

11 23 33 15 34

15 20 15 10 22

19 11 21 15 12

Berdasarkan data tersebut:

26

a. Buatlah distribusi frekuensi biasa, relatif, kumulatif “kurang dari” dan

kumulatif “atau lebih”.

b. Berapa nilai Batas bawah kelas, Batas atas kelas, titik tengah kelas,

tepi bawah kelas, dan tepi atas kelas?

c. Buatlah histogram, polygon, dan kurva ogive.

2. Nilai ujian Statistika I yang diikuti oleh 50 mahasiswa mempunyai nilai

terendah 10 dan nilai tertinggi 95. Berdasarkan data tersebut :

a. Buatlah distribusi frekuensi (frekuensi per kelas bebas).

b. Carilah nilai batas kelas, tepi kelas, dan titik tengah.

c. Buatlah distribusi frekuensi relatif.

d. Buatlah distribusi frekuensi “kumulatif kurang dari” dan distribusi

kumulatif “atau lebih”.

e. Buatlah poligon dan ogive

3. Berikut ini distribusi frekuensi kumulatif “kurang dari” tentang gaji 100

karyawan PT Aura

Tabel 2.15 Distribusi Frekuensi

Gaji Karyawan PT Aura

Gaji (ratusan ribu) Frekuensi Kurang dari 14 Kurang dari 19 Kurang dari 24 Kurang dari 29 Kurang dari 34 Kurang dari 39 Kurang dari 44 Kurang dari 49

0 15 33 48 57 75 91

100

27

Berdasarkan data tersebut:

a. Ubahlah distribusi frekuensi tersebut menjadi distribusi frekuensi biasa,

distribusi frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi kumulatif “atau

lebih”.

b. Berapa orang karyawan yang memiliki gaji 24 atau lebih

c. Buatlah kurva ogive

4. PT Keisha mempunyai tabel distribusi frekuensi mengenai gaji bulanan

dari 50 karyawan :

Tabel 2.16 Distribusi Frekuensi

Gaji Karyawan PT Keisha

Gaji (Ribuan Rp)

Jumlah Karyawan(Orang)

150 atau lebih 250 atau lebih 350 atau lebih 450 atau lebih 550 atau lebih 650 atau lebih 750 atau lebih

50 48 43 33 13 5 0

Berdasarkan data di atas:

a. Buatlah distribusi frekuensi biasa, relatif, dan kumulatif “kurang dari”

b. Buatlah histogram, poligon, dan kurva ogive

28

5. Data umur karyawan PT Aufa, adalah sebagai berikut:

Tabel 2.17 Distribusi Frekuensi

Umur Karyawan PT Aufa

Umur (Tahun) Jumlah Karyawan

Kurang dari 20

Kurang dari 25

Kurang dari 30

Kurang dari 35

Kurang dari 40

Kurang dari 45

Kurang dari 50

Kurang dari 55

0%

20%

25%

50%

69%

84%

93%

100%

Jika jumlah karyawan tersebut 200 orang, maka buatlah distribusi

frekuensi biasa, distribusi frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi

kumulatif “atau lebih”.