BAB II DASAR TEORI II.1. Model Biaya Garansi · Fungsi , ) dapat diturunkan hingga diperoleh fungsi...

4

BAB II

DASAR TEORI

Pada bab ini akan dijabarkan dasar teori sebagai pendukung penelitian.

Materi yang dijabarkan adalah mengenai model kegagalan dua dimensi,

persamaan integral pembaruan dua dimensi, dan hal-hal yang berkaitan dengan

distribusi bivariat.

II.1. Model Biaya Garansi

Biaya garansi dinyatakan oleh peubah acak kerugian aggregat A yaitu

𝐴 = ∑ 𝐿𝑖 =

𝑁

𝑖=1

𝐿1 + 𝐿2 + ⋯ + 𝐿𝑁 (2.1)

dimana 𝑁 adalah peubah acak yang menyatakan banyak kegagalan yang terjadi

dan 𝐿𝑖 adalah peubah acak yang menyatakan besar biaya yang dikeluarkan untuk

melakukan pembetulan ke-i. Untuk kasus dimana komponen yang gagal adalah

non-repairable, disini diasumsikan harga per unit komponen (ℓ) tersebut tidak

berubah sepanjang waktu, ekspektasi biaya garansi didefinisikan oleh

𝐸[𝐴] = ℓ𝐸[𝑁] (2.2)

Peubah 𝑁 melibatkan proses stokastik dimana pada kasus garansi dua dimensi

maka proses stokastik berada di bidang dua dimensi. Hal di atas berarti bahwa

biaya garansi bergantung pada model kegagalan di dua dimensi. Selanjutnya, hal-

hal berkaitan dengan model kegagalan dua dimensi dijelaskan.

II.2. Notasi

Pada bagian ini akan diuraikan notasi-notasi yang digunakan dalam

penulisan penelitian ini, antara lain:

𝑋𝑛 : peubah acak kontinu tak negatif menyatakan umur saat kegagalan ke- 𝑛.

𝑌𝑛 : peubah acak kontinu tak negatif menyatakan penggunaan saat kegagalan

ke- 𝑛.

5

𝑇𝑛 : peubah acak kontinu tak negatif menyatakan antar umur kegagalan ke 𝑛 −

1 sampai ke-𝑛. 𝑇𝑛 = 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1, 𝑛 = 1,2,3, …, dan 𝑋0 = 0.

𝑆𝑛 : peubah acak kontinu tak negatif menyatakan antar penggunaan kegagalan

ke 𝑛 − 1 sampai ke-𝑛. 𝑆𝑛 = 𝑌𝑛 − 𝑌𝑛−1, 𝑛 = 1,2,3, …, dan 𝑌0 = 0.

𝑁1(𝑥) : proses hitung satu dimensi di interval umur [0, 𝑥).

𝑁1(𝑦) : proses hitung satu dimensi di interval penggunaan [0, 𝑦).

𝑁2(𝑥, 𝑦) : proses hitung dua dimensi di daerah persegi panjang [0, 𝑥) × [0, 𝑦).

II.3. Model Kegagalan Pertama Dua Dimensi

Model kegagalan dua dimensi diketahui memiliki dua pendekatan. Dalam

pendekatan pertama, masalah dua dimensi secara efektif dikurangi menjadi satu

dimensi dengan memisalkan penggunaan (usage) sebagai fungsi dalam umur.

Dalam pendekatan kedua, pemodelan kegagalan dua dimensi melibatkan distribusi

bivariat. Model kegagalan nantinya bergantung pada pembetulan yang dilakukan

terhadap kegagalan komponen produk seperti perbaikan minimum, perbaikan

imperfect, dan penggantian yang masing-masing memiliki laju kegagalan (fungsi

hazard) yang khas. Untuk komponen non-repairable, pembetulan atau pemulihan

melibatkan penggantian komponen gagal dengan komponen baru yang nantinya

dimodelkan oleh proses pembaruan. Model kegagalan dua dimensi dengan strategi

penggantian dimodelkan melalui kegagalan pertama komponen.

Misalkan (𝑋1, 𝑌1) merupakan peubah acak bivariat yang memiliki fungsi

distribusi bivariat

𝐻(𝑥, 𝑦) = Pr[𝑋1 ≤ 𝑥, 𝑌1 ≤ 𝑦] (2.3)

dan fungsi survival bivariat yaitu

�̅�(𝑥, 𝑦) = Pr[𝑋1 ≤ 𝑥, 𝑌1 ≤ 𝑦]

= 1 − Pr[𝑋1 ≤ 𝑥] − 𝑃𝑟[𝑌1 ≤ 𝑦] + Pr[𝑋1 ≤ 𝑥, 𝑌1 ≤ 𝑦]

= 1 − 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑦) + 𝐻(𝑥, 𝑦) (2.4)

dengan 𝐹(𝑥) = Pr[𝑋1 ≤ 𝑥] dan 𝐺(𝑦) = Pr [𝑌1 ≤ 𝑦] masing-masing fungsi

distribusi marginal 𝑋1 dan 𝑌1. Fungsi 𝐻(𝑥, 𝑦) dapat diturunkan hingga diperoleh

fungsi kepadatan peluang bivariat (𝑋1, 𝑌1) yaitu

6

ℎ(𝑥, 𝑦) = lim∆𝑥→0∆𝑦→0

Pr [𝑥 ≤ 𝑋1 < 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 ≤ 𝑌1 < 𝑦 + ∆𝑦]

∆𝑥∆𝑦=

𝜕2𝐻(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥𝜕𝑦 (2.5)

Fungsi hazard bivariat dapat diperoleh dari

𝑟2(𝑥, 𝑦) = lim∆𝑥→0∆𝑦→0

Pr [𝑥 ≤ 𝑋1 < 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 ≤ 𝑌1 < 𝑦 + ∆𝑦]

Pr [𝑋1 > 𝑥, 𝑌1 > 𝑦]∆𝑥∆𝑦=

ℎ(𝑥, 𝑦)

𝐻(𝑥, 𝑦) (2.6)

Fungsi hazard bivariat, 𝑟2(𝑥, 𝑦), pada persamaan (2.6) mengartikan laju kegagalan

(failure rate) hingga kegagalan pertama di bidang dua dimensi. Laju kegagalan

setelah pembetulan dapat didefinisikan melalui fungsi 𝑟2(𝑥, 𝑦) bergantung pada

strategi yang digunakan untuk pembetulan komponen produk yang gagal.

Misalkan 𝜆𝑛(𝑥, 𝑦) adalah laju kegagalan setelah pembetulan komponen

produk yang gagal ke- 𝑛 kali di bidang dua dimensi. Fungsi 𝜆𝑛(𝑥, 𝑦) secara umum

untuk strategi perbaikan minimum (𝜀 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝜏 = 0), perbaikan imperfect

(0 < 𝜀 < 1 𝑑𝑎𝑛 0 < 𝜏 < 1 ), dan penggantian (𝜀 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝜏 = 1) dapat

dituliskan

𝜆𝑛(𝑥, 𝑦) = 𝑟2(𝑥 − 𝜀𝑋𝑛, 𝑦 − 𝜏𝑌𝑛), 𝑋𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑋𝑛+1 dan 𝑌𝑛 ≤ 𝑦 < 𝑌𝑛+1 (2.7)

𝜆𝑛(𝑥, 𝑦) = {

𝑟2(𝑥, 𝑦) , perbaikan minimum

𝑟2(𝑥 − 𝜀𝑋𝑛, 𝑦 − 𝜏𝑌𝑛) , perbaikan imperfect

𝑟2(𝑥 − 𝑋𝑛, 𝑦 − 𝑌𝑛) , pengantian

(2.8)

(Sasongko, 2016). Laju kegagalan merupakan kurva permukaan di ruang tiga

dimensi. Gambar II.1 adalah domain laju kegagalan strategi penggantian di bidang

dua dimensi.

II.4. Strategi Penggantian pada Model Kegagalan Dua Dimensi

Pada strategi penggantian dua dimensi ini kinerja produk yang gagal dapat

dipulihkan melalui penggantian komponen yang gagal dengan komponen baru

agar kembali ke keadaan operasionalnya, yang berarti laju kegagalan dapat

kembali beroperasi seperti saat pertama kali digunakan (kembali ke umur dan

penggunaan nol). Komponen pengganti yang digunakan merupakan komponen

yang baru dan identik serta memiliki distribusi kegagalan yang i.i.d (independent

and identically distributed) dengan komponen sebelumnya. Laju kegagalan dari

strategi penggantian untuk 𝑋𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑋𝑛+1 dan 𝑌 ≤ 𝑦 < 𝑌𝑛+1 yaitu

7

𝜆𝑛(𝑥, 𝑦) = 𝑟2(𝑥 − 𝑋𝑛, 𝑦 − 𝑌𝑛) (2.9)

Ilustrasi strategi penggantian di bidang dua dimensi tertampil pada Gambar II.1.

Gambar II.1. Domain Laju Kegagalan Strategi Penggantian di Dua Dimensi

Untuk 𝑋𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑋𝑛+1,𝑌 ≤ 𝑦 < 𝑌𝑛+1 atau (𝑥, 𝑦) ∈ (𝑇𝑖+1, 𝑆𝑖+1), 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 − 1,

menyebabkan (𝑇1, 𝑆1), (𝑇2, 𝑆2), (𝑇3, 𝑆3), … , (𝑇𝑛, 𝑆𝑛) memiliki distribusi kegagalan

yang i.i.d dengan peubah (𝑇1, 𝑆1) = (𝑋1, 𝑌1) dengan fungsi distribusi bivariat

𝐻(𝑥, 𝑦). Sehingga proses titik (point process) dua dimensi yang sesuai untuk

strategi penggantian adalah proses pembaruan (renewal process) dua dimensi

(Hunter, 1974; Yang, 1999; Baik, 2004; Blischke, 2011).

II.5. Proses Pembaruan Dua Dimensi

Pada kasus pembaruan dua dimensi ini, peubah acak bivariat (𝑋𝑛, 𝑌𝑛) =

(∑ 𝑇𝑖𝑖=1𝑛 , ∑ 𝑆𝑖𝑖=1

𝑛 ) dan proses perhitungan (counting process) dua dimensi

𝑁2(𝑥, 𝑦) dapat diartikan sebagai suatu kesamaan kejadian (same events). Pada

himpunan titik umur dan penggunaan terdapat kesamaan kejadian peubah-peubah

acak {(𝑥, 𝑦)} yang ekivalen. Pertama yang harus dilakukan adalah terlebih dahulu

mendefinisikan 𝑁2(𝑥, 𝑦) yaitu

𝑁2(𝑥, 𝑦) = 𝑚𝑖𝑛 {𝑁1(𝑥)𝑁1(𝑦)} (2.10)

dengan 𝑁1(𝑥) adalah proses hitung marginal di interval umur [0, 𝑥) dan 𝑁1(𝑦)

merupakan proses hitung marginal di interval penggunaan [0, 𝑦). Jadi proses

hitung 𝑁2(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑛 di himpunan titik (𝑥, 𝑦) diberikan

{(𝑥, 𝑦)|𝑁2(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑛} ≡ {(𝑥, 𝑦)|𝑚𝑖𝑛 {𝑁1(𝑥), 𝑁1(𝑦)} ≥ 𝑛}

≡ {(𝑥, 𝑦)|𝑁1(𝑥) ≥ 𝑛, 𝑁1(𝑦) ≥ 𝑛} (2.11)

8

Persamaan (2.11) ekuivalen dengan

{(𝑥, 𝑦)|𝑁2(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑛} ≡ {(𝑥, 𝑦)|𝑋𝑛 ≤ 𝑥, 𝑌𝑛 ≤ 𝑦}

≡ {(𝑥, 𝑦)| ∑ 𝑇𝑖 ≤ 𝑥𝑛𝑖=1 , ∑ 𝑆𝑖 ≤ 𝑦𝑛

𝑖=1 } (2.12)

Ilustrasi mengenai hubungan persamaan diatas diperlihatkan pada Gambar II.2.

Gambar II.2. Peubah-Peubah pada Proses Titik Dua Dimensi

Berdasarkan persamaan diatas, peluang proses hitung 𝑁2(𝑥, 𝑦) = 𝑛 diperoleh dari

Pr [𝑁2(𝑥, 𝑦) = 𝑛] = Pr[𝑁2(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑛] − Pr[𝑁2(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑛 + 1]

= Pr [∑ 𝑇𝑖 ≤ 𝑥, ∑ 𝑆𝑖 ≤ 𝑦

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

] − Pr [∑ 𝑇𝑖 ≤ 𝑥, ∑ 𝑆𝑖 ≤ 𝑦

𝑛+1

𝑖=1

𝑛+1

𝑖=1

] (2.13)

Peubah acak bivariat antar umur dan penggunaan kegagalan

(𝑇1, 𝑆1), (𝑇2, 𝑆2), (𝑇3, 𝑆3), . . . , (𝑇𝑛, 𝑆𝑛) memiliki distribusi kegagalan yang i.i.d

dengan peubah bivariat (𝑇, 𝑆). Peubah bivariat (𝑇, 𝑆) dapat dilihat sebagai peubah

(𝑇1, 𝑆1) = (𝑋1, 𝑌1) yang memiliki fungsi distribusi bivariat 𝐻(𝑥, 𝑦). Karena

(𝑇1, 𝑆1), (𝑇2, 𝑆2), (𝑇3, 𝑆3), . . . , (𝑇𝑛, 𝑆𝑛) i.i.d dengan fungsi distribusi bivariat

𝐻(𝑥, 𝑦), maka peubah (𝑋𝑛, 𝑌𝑛) = (∑ 𝑇𝑖𝑛𝑖=1 , ∑ 𝑆𝑖

𝑛𝑖=1 ) memiliki konvolusi bivariat

(bivariate convolution) yaitu (∑ 𝑇𝑖𝑛𝑖=1 , ∑ 𝑆𝑖

𝑛𝑖=1 )~𝐻(𝑛)(𝑥, 𝑦) dimana adalah n-fold

bivariate convolution dari dan dengan 𝐻(𝑥, 𝑦) sendiri. Persamaan (2.13) menjadi

Pr[𝑁2(𝑥, 𝑦) = 𝑛] = 𝐻(𝑛)(𝑥, 𝑦) − 𝐻𝑛+1(𝑥, 𝑦) (2.14)

(Hunter, 1974; Yang, 1999; Baik, 2004; Blischke, 2011).

Ekspektasi banyak kegagalan pada daerah persegi panjang [0, 𝑥) × [0, 𝑦) adalah

9

𝐸[𝑁2(𝑥, 𝑦) = 𝑛] = ∑ 𝑛Pr[𝑁2(𝑥, 𝑦) = 𝑛]

∞

𝑛=1

= ∑ 𝐻𝑛(𝑥, 𝑦)

∞

𝑛=1

(2.15)

Persamaan (2.15) disederhanakan dengan bantuan persamaan integral pembaruan

dua dimensi (two-dimensional renewal integral equation), 𝑀(𝑥, 𝑦), yaitu

𝐸[𝑁2(𝑥, 𝑦)] = 𝑀(𝑥, 𝑦) (2.16)

dimana,

𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝐻(𝑥, 𝑦) + ∫ ∫ 𝑀(𝑥 − 𝑡, 𝑦 − 𝑠)𝑑2𝐻(𝑡, 𝑠)

𝑦

0

𝑥

0

(2.16a)

𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝐻(𝑥, 𝑦) + ∫ ∫ 𝐻(𝑥 − 𝑡, 𝑦 − 𝑠)𝑑2𝑀(𝑡, 𝑠)

𝑦

0

𝑥

0

(2.16b)

Ekspresi analitik 𝑀(𝑥, 𝑦) sangat sulit untuk diperoleh. Iskandar (Baik,

2004) menggunakan metode Riemann-Stieljies di dua dimensi untuk menghitung

𝑀(𝑥, 𝑦) pada persamaan (2.16b) dari perluasan metode Riemann-Stieljies untuk

𝑀(𝑥) oleh Min Xie (Baik, 2004). Pada penelitian ini, 𝑀(𝑥, 𝑦) pada persamaan

(2.16a) dihitung dengan menggunakan metode Mean Value Theorem for Integrals

yang diusulkan oleh Sasongko (2016).

II.6. Solusi Numerik Persamaan Integral Pembaruan Dua Dimensi

Ekspektasi banyak kegagalan komponen bergaransi dua dimensi dengan

strategi penggantian diperoleh melalui persamaan integral pembaruan dua dimensi

seperti pada (2.16a) atau (2.16b). Sangat rumit dan sulit untuk memperoleh

solusi atau ekspresi analitik fungsi 𝑀(𝑥, 𝑦) pada (2.16b) atau (2.16b). Dalam

penelitian ini 𝑀(𝑥, 𝑦) pada (2.16b) akan dihitung secara numerik melalui metode

Mean Value Theorem for Integrals yang dijabarkan sebagai berikut:

Metode Mean Value Theorem for Integrals untuk Menghitung 𝑀(𝑥, 𝑦)

Dilakukan perubahan peubah pada persamaan (2.16a). Misalkan 𝑎 = 𝑥 − 𝑡

dan 𝑏 = 𝑦 − 𝑠, suku pertama dan kedua pada persamaan (2.16a) menjadi

𝐻(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)

𝑏=𝑦

𝑏=0

𝑎=𝑥

𝑎=0

(2.17)

10

∫ ∫ 𝑀(𝑥 − 𝑡, 𝑦 − 𝑠)𝑑2𝐻(𝑡, 𝑠)

𝑦

0

𝑥

0

= ∫ ∫ 𝑀(𝑎, 𝑏)𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)

𝑏=𝑦

𝑏=0

𝑎=𝑥

𝑎=0

(2.18)

Dapat diperoleh persamaan baru untuk 𝑀(𝑥, 𝑦) dengan perubahan peubah yaitu

𝑀(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)

𝑦

0

𝑥

0

+ ∫ ∫ 𝑀(𝑎, 𝑏)𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)

𝑦

0

𝑥

0

= ∫ ∫(1 + 𝑀(𝑎, 𝑏))𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)

𝑦

0

𝑥

0

(2.19)

Interval [0, 𝑥) dan [0, 𝑦) masing-masing dibagi sebanyak n dan m bagian sama

panjang, ∆𝑥 =𝑥

𝑛 dan ∆𝑦 =

𝑦

𝑚 , sehingga diperoleh 𝑛 × 𝑚 persegi panjang

[𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖) × [𝑦𝑗−1, 𝑦𝑗) , 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑥 , 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 , 𝑦𝑗 = 𝑗∆𝑦 , 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑚.

Selanjutnya dilakukan diskritisasi pada persamaan (2.19) menjadi

𝑀(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ [ ∫ ∫ (1 + 𝑀(𝑎, 𝑏))𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)

𝑦𝑗

𝑦𝑗−1

𝑥𝑖

𝑥𝑖−1

]

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

(2.20)

Metode Mean Value Theorem for Integrals diterapkan dititik kiri bawah

(𝑥𝑖−1, 𝑦𝑗−1) pada persegi panjang [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖) × [𝑦𝑗−1, 𝑦𝑗) estimasi 𝑀(𝑥, 𝑦) adalah

�̂�(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ [(1 + �̂�(𝑥𝑖−1, 𝑦𝑗−1)) ∫ ∫ 𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)

𝑦𝑗

𝑦𝑗−1

𝑥𝑖

𝑥𝑖−1

]

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

= ∑ ∑ [(1 + �̂�(𝑥𝑖−1, 𝑦𝑗−1)) ∆𝑥𝑖−1

𝑥𝑖 ∆𝑦𝑖−1

𝑦𝑖 𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)]

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

(2.21)

�̂�(𝑥, 𝑦) diperoleh secara rekursif dengan memperoleh dahulu

�̂�(𝑥𝑝, 𝑦𝑞) = ∑ ∑ [(1 + �̂�(𝑥𝑖−1, 𝑦𝑗−1)) ∆𝑥𝑖−1

𝑥𝑖 ∆𝑦𝑖−1

𝑦𝑖 𝑑2𝐻(𝑥𝑝 − 𝑎, 𝑦𝑞 − 𝑏)]

𝑞

𝑗=1

𝑝

𝑖=1

(2.22)

dengan syarat awal �̂�(0,0) = 𝑀(0,0) = 0 dan �̂�(0, 𝑦𝑞) = �̂�(𝑥𝑝, 0) = 0

untuk 𝑝 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1 dan 𝑞 = 0,1,2, … , 𝑚 − 1.

II.7. Distribusi Bivariat

11

Beberapa keluarga distribusi bivariat yang sering digunakan dalam analisis

garansi seperti dijelaskan oleh Blischke (2011). Dua keluarga distribusi bivariat

tersebut adalah

a. Distribusi Eksponensial bivariat

Salah satu distribusi eksponensial bivariat yang diusulkan oleh

Marshall dan Olkin yang mana distribusi eksponensial bivariat dinyatakan

oleh fungsi survival bivariat adalah

�̅�(𝑥, 𝑦) = exp{−[𝜆1 + 𝜆2𝑦 + 𝜆12𝑚𝑎𝑥(𝑥, 𝑦)]} (2.23)

Distribusi marginal-marginal dari (2.23) diberikan oleh

𝐹(𝑥) = 1 − exp{−(𝜆1 + 𝜆12)𝑥} (2.24)

𝐺(𝑦) = 1 − exp{−(𝜆1 + 𝜆12)𝑦} (2.25)

b. Distribusi Weibull bivariat

Salah satu distribusi Weibull bivariat yang diusulkan oleh Lu dan

Bhattacharyya (1990) yang mana distribusi Weibull bivariat dinyatakan oleh

fungsi survival bivariat adalah

�̅�𝐿𝐵,𝛿(𝑥, 𝑦) = exp {− [(𝑥

𝛽1)

𝛼1𝛿

− (𝑦

𝛽2)

𝛼2𝛿

]

𝛿

} (2.26)

Fungsi distribusi marginal Weibull disajikan di Lampiran 1.

II.8. Copula

Menentukan fungsi distribusi bivariat yang cocok untuk suatu data (bivariat)

bukanlah persoalan mudah. Umumnya, fungsi distribusi bivariat standar yang

tersedia memiliki marginal-marginal dari keluarga distribusi yang sama. Saat

bekerja dengan data, sangat mungkin dijumpai marginal-marginal data berbeda

keluarga distribusi, padahal keinginan untuk mempertahankan distribusi marginal-

marginal data menjadi kebutuhan utama. Selain itu, sangat mungkin dijumpai

struktur kebergantungan data berbeda dengan struktur kebergantungan dari fungsi

distribusi bivariat standar yang tersedia sehingga berakibat tidak dijumpainya

fungsi distribusi bivariat yang cocok untuk data yang dimiliki. Copula hadir

memberikan solusi terhadap persoalan dalam menentukan fungsi distribusi

12

bivariat yang cocok terhadap data yang dimiliki. Melalui copula, struktur

kebergantungan data bivariat dapat dipelajari (Tse, 2009). Pada bagian ini

dijabarkan bagaimana Copula merupakan suatu fungsi distribusi bivariat.

Copula (bivariat) adalah suatu fungsi distribusi bivariat dengan marginal-

marginalnya berdistribusi seragam [0,1]. Copula C dapat dinyatakan sebagai

𝐶(𝑢, 𝑣) = 𝑃𝑟[𝑈 ≤ 𝑢, 𝑉 ≤ 𝑣] (2.27)

(Nelsen, 2006). Misalkan dua peubah acak kontinu 𝑋 dan 𝑌 masing-masing

memiliki fungsi distribusi berurutan 𝐹dan 𝐺. Kita dapat membentuk peubah-

peubah acak baru yaitu 𝑈 = 𝐹(𝑋) dan 𝑉 = 𝐺(𝑌). Menurut teorema Sklar, fungsi

distribusi bivariat 𝑋 dan 𝑌 dapat didefinisikan oleh

𝐻(𝑥, 𝑦) = Pr[𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦] = Pr[𝐹(𝑋) ≤ 𝐹(𝑥) , 𝐺(𝑌) ≤ 𝐺(𝑦)]

= Pr[𝑈 ≤ 𝑢 , 𝑉 ≤ 𝑣] = 𝐶(𝑢, 𝑣) (2.28)

untuk suatu copula 𝐶 (Nelsen, 2006). Oleh karena itu, jika 𝐻 fungsi distribusi

bivariat dengan fungsi-fungsi distribusi marginal 𝐹 dan 𝐺, maka terdapat suatu

copula untuk semua (𝑥, 𝑦) sedemikian hingga

𝐻(𝑥, 𝑦) = 𝐶(𝐹(𝑥), 𝐺(𝑦)) (2.29)

Berdasarkan Nelsen (2006), fungsi densitas copula 𝑐(𝑢, 𝑣) dari suatu copula

𝐶 yang kontinu diperoleh dari 𝑐(𝑢, 𝑣) = lim∆𝑢→0∆𝑣→0

𝑃𝑟[𝑢≤𝑈<𝑢+∆𝑢,𝑢≤𝑉<𝑣+∆𝑣]

∆𝑢∆𝑣 atau

𝑐(𝑢, 𝑣) =𝜕2𝐶(𝑢, 𝑣)

𝜕𝑢𝜕𝑣 (2.30)

Sehingga fungsi kepadatan peluang bivariat ℎ(𝑥, 𝑦) dapat dinyatakan oleh

ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦)𝑐(𝐹(𝑥), 𝐺(𝑦)) (2.31)

Kendall’s Tau

Menurut Nelsen (2006), ukuran keterhubungan Kendal’s tau didefinisikan

sebagai probabilitas concordant dikurangi probabilitas discordant yaitu

𝜏 = 𝑃[(𝑋1 − 𝑋2)(𝑌1 − 𝑌2) > 0] − 𝑃[(𝑋1 − 𝑋2)(𝑌1 − 𝑌2) < 0] (2.32)

Kaitan dengan copula, Kendal’s tau dapat dinyatakan oleh

𝜏 = 4 ∬ 𝐶(𝑢, 𝑣)𝑑𝐶(𝑢, 𝑣)𝐼2

− 1 (2.33)

II.9. Copula Archimedean

13

Keluarga copula Archimedean adalah fungsi-fungsi copula yang memiliki

kekhasan yaitu memiliki satu parameter kebergantungan (𝜃) dan dapat dibentuk

dari suatu fungsi pembangkit copula 𝜑 (Nelsen, 2006). Copula Archimedean

untuk peubah acak bivariat dapat ditulisan sebagai berikut

𝜑(𝐶𝜃(𝑢, 𝑣)) = 𝜑(𝑢) + 𝜑(𝑣) (2.34)

Estimasi parameter copula Archimedean (𝜃) dapat dihitung melalui

keterkaitannya dengan Kendall’s tau pada (2.33) yaitu mencari solusi persamaan

𝜏 = 1 + 4 ∫𝜑𝜃(𝑡)

𝜑𝜃′ (𝑡)

𝑑𝑡

1

0

(2.35)

Terdapat berbagai macam keluarga copula Archimedean, empat copula

Archimedean yang dikenal dan dirujuk dari Nelsen (2006) adalah copula Clayton,

copula Frank, copula Gumbel, dan copula Ali-Mikhail-Haq.

Copula Clayton

Copula Clayton pertama kali diperkenalkan oleh Clayton pada tahun 1978.

Fungsi copula Clayton didefinisikan oleh

𝐶𝐶,𝜃(𝑢, 𝑣) = (𝑢−𝜃 + 𝑣−𝜃 − 1)−

1

𝜃 (2.36)

dengan 𝜃 ∈ (0, ∞). Fungsi pembangkit copula Clayton didefinisikan oleh

𝜑𝜃(𝑡) =1

𝜃(𝑡−𝜃 − 1) (2.37)

Dengan mencari solusi persamaan (2.35) berdasarkan (2.37), diperoleh

parameter 𝜃 untuk copula Clayton adalah

𝜃 =2𝜏

1 − 𝜏 (2.38)

Sampel acak bivariat copula Clayton dapat diperoleh melalui langkah-langkah:

• Bangkitkan dua bilangan acak saling bebas 𝑢 dan 𝑡, seragam di [0,1],

• Dapatkan 𝑣 = 𝑢 [𝑡−(𝜃

𝜃+1) − 1 + 𝑢𝜃]

−1

𝜃

sehingga diperoleh (𝑢, 𝑣),

• Dapatkan sampel acak bivariat (𝑥, 𝑦) = (𝐹−1(𝑢), 𝐺−1(𝑣)).

Copula Gumbel

14

Copula Gumbel juga sering disebut copula Gumbel-Hougaard. Copula

Gumbel dinyatakan oleh

𝐶𝐺,𝜃(𝑢, 𝑣) = 𝑒𝑥𝑝 (−[(− ln 𝑢)𝜃 + (− ln 𝑣)𝜃]1

𝜃) (2.39)

dengan 𝜃 ∈ [1, ∞). Fungsi pembangkit copula Gumbel adalah

𝜑𝜃(𝑡) = (−𝑙𝑛(𝑡))𝜃

(2.40)


parameter 𝜃 untuk copula Gumbel adalah

𝜃 =1

1 − 𝜏 (2.41)

Sampel acak bivariat copula Gumbel dapat diperoleh melalui langkah-langkah:

• Bangkitkan dua bilangan acak saling bebas (𝑣1, 𝑣2), seragam di [0,1],

• Dapatkan 𝑤 dari persamaan 𝐾𝑐(𝑤) = 𝑤 (1 −ln(𝑤)

𝜃) = 𝑣2 di mana

0 < 𝑤 < 1, untuk mendapatkan solusi bisa diselesaikan secara numeric,

• Dapatkan 𝑢 = 𝑒𝑥𝑝[𝑣11/𝜃

ln(𝑤)] dan 𝑣 = 𝑒𝑥𝑝[(1 − 𝑣1)1/𝜃 ln(𝑤)],


Copula Frank

Ekspresi fungsi copula Frank adalah

𝐶𝐹,𝜃(𝑢, 𝑣) = −1

𝜃ln (1 +

(𝑒−𝜃𝑢 − 1)(𝑒−𝜃𝑣 − 1)

𝑒−𝜃 − 1) (2.42)

dengan 𝜃 ∈ 𝑅\{0}. Fungsi pembangkit copula Frank adalah

𝜑𝜃(𝑡) = −𝑙𝑛 (𝑒−𝜃𝑡 − 1

𝑒−𝜃 − 1) (2.43)


parameter 𝜃 untuk copula Frank adalah

𝜏 = 1 −4(1−𝐷1(𝜃))

𝜃 (2.44)

dengan 𝐷1(𝜃) adalah fungsi Debye yang disajikan pada Lampiran 1. Sampel acak

bivariat copula Frank dapat diperoleh melalui langkah-langkah:

15

• Bangkitkan dua bilangan acak saling bebas (𝑢, 𝑣2), seragam di [0,1]

• Dapatkan 𝑣 = −1

𝜃𝑙𝑛 (1 +

𝑣2(1−𝑒−𝜃)

𝑣2(1−𝑒−𝜃)−𝑒−𝜃𝑢) sehingga diperoleh (𝑢, 𝑣),

• Dapatkan sampel acak bivariat (𝑥, 𝑦) = (𝐹−1(𝑢), 𝐺−1(𝑣));

Copula Ali-Mikhail-Haq

Copula Ali-Mikhail-Haq didefinisikan oleh

𝐶𝐴,𝜃 =𝑢𝑣

1 − 𝜃(1 − 𝑢)(1 − 𝑣) (2.45)

dengan 𝜃𝜖[−1, 1). Dengan fungsi pembangkit copula Ali-Mikhail-Haq adalah

𝜑𝜃(𝑡) = 𝑙𝑛 [1 − 𝜃(1 − 𝑡)

𝑡] (2.46)

Dengan berdasarkan (2.35) dan (2.46), parameter 𝜃 untuk copula Frank

diperoleh dengan mencari solusi persamaan

𝜏 =3𝜃 − 2

3𝜃−

2(1 − 𝜃)2𝑙𝑛(1 − 𝜃)

3𝜃2 (2.47)

Sampel acak bivariat copula Ali-Mikhail-Haq dapat diperoleh melalui langkah-

langkah:

• Bangkitkan dua bilangan acak saling bebas 𝑢 dan 𝑡, seragam di [0,1],

• Dapatkan 𝑎 = 1 − 𝑢, 𝑏 = −𝜃(2𝑎𝑡 + 1) + 2𝜃2𝑎2𝑡 + 1, dan

𝑐 = 𝜃2(4𝑎2𝑡 − 4𝑎𝑡 + 1) − 𝜃(4𝑎𝑡 − 4𝑡 + 2) + 1,

• Peroleh 𝑣 = 2𝑡(𝑎𝜃 − 1)2 (𝑏 + √𝑐)⁄ , sehingga diperoleh (𝑢, 𝑣),


a. Fungsi Distribusi b. Scatterplot Sampel Bivariat c. Fungsi Densitas

16

Gambar II.3. Copula Clayton dengan 𝜃 = 6


Gambar II.4. Copula Gumbel dengan 𝜃 = 6


Gambar II.5. Copula Frank dengan 𝜃 = 6


Gambar II.6. Copula Ali-Mikhail-Haq dengan 𝜃 = 0.6

II.10. Goodness of Fit Test untuk Distribusi Bivariat atau Copula

Setelah parameter suatu distribusi bivariat atau copula diperoleh,

selanjutnya uji kecocokan data terhadap suatu distribusi bivariat atau copula dapat

dilakukan. Uji kecocokan diperlukan untuk mengetahui seberapa cocok distribusi

bivariat atau copula mencerminkan perilaku data. terlebih dahulu dikenalkan

proses empiris data terhada distribusi bivariat atau copula untuk suatu parameter 𝜃

yang dinyatakan oleh

17

𝑒(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) = √𝑛[𝐻𝑒(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) − 𝐻𝜃(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)]

= √𝑛[𝐶𝑒(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖)) − 𝐶𝜃(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖))] (2.48)

dengan 𝐻𝑒(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) = 𝐶𝑒(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖)) =#(𝑥≤𝑥𝑖,𝑦≤𝑦𝑖)

𝑛+1 adalah fungsi distribusi

bivariat empiris atau Copula empiris untuk data, {(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)}, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Fungsi

#(𝑥 ≤ 𝑥𝑖 , 𝑦 ≤ 𝑦𝑖) menyatakan banyaknya data bivariat {(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)} dengan 𝑥 ≤ 𝑥𝑖

dan 𝑦 ≤ 𝑦𝑖.

Kecocokan data terhadap suatu fungsi distribusi bivariat atau Copula

bergantung pada nilai statistik terkecil Cramér-von Mises (𝑆𝑛) dari beberapa

fungsi distribusi bivariat atau Copula yang dicocokkan dengan dibantu simulasi

parametric bootstrap. Nilai 𝑆𝑛 tersebut diperoleh dari

𝑆𝑛 =1

𝑛∑[℮(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)]2 =

𝑛

𝑖=1

∑[𝐻𝑒(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) − 𝐻𝜃(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)]2

𝑛

𝑖=1

= ∑[𝐶𝑒(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖)) − 𝐻𝜃(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖))]2

𝑛

𝑖=1

(2.49)

Parametric Bootstrap untuk Ukuran Statistik Cramer-von Mises

Ukuran statistik dan p-value Cramér-von Mises (𝑆𝑛) dapat diperoleh

melalui metode simulasi parametric bootstrap. Algoritma simulasi Parametric

Bootstrap tersebut dijabarkan sebagai berikut:

Diketahui data bivariat sebanyak n pasang yaitu {(𝑥𝑎, 𝑦𝑎)}, 𝑎 = 0,1,2,3, … , 𝑛.

Untuk N bilangan bulat positif sangat besar,

1. Bangkitkan n sampel acak bivariat {(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)}, 𝑖 = 0,1,2,3, … , 𝑛, dari

suatu distribusi bivariat 𝐻𝜃(𝑥, 𝑦)atau Copula 𝐶𝜃(𝐹(𝑥), 𝐺(𝑦)),

2. Hitung 𝐻𝑒(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) = 𝐶𝑒(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖)) =#(𝑥𝑎≤𝑥𝑖,𝑦𝑎≤𝑦𝑖)

𝑛+1 yang mana

#(𝑥𝑎 ≤ 𝑥𝑖, 𝑦𝑎 ≤ 𝑦𝑖) menyatakan banyak data bivariat {(𝑥𝑎, 𝑦𝑎)} dengan

𝑥𝑎 ≤ 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑎 ≤ 𝑦𝑖,

3. Untuk 𝑗 = 1, hitung

𝑠𝑛,𝑗∗ = ∑ [𝐻𝑒(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) − 𝐻𝜃(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)]2

𝑛

𝑖=1

= ∑ [𝐶𝑒(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖)) − 𝐶𝜃(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖))]2𝑛

𝑖=1

18

4. Untuk 𝑗 = 𝑗 + 1 , ulangi poin 1 sampai poin 3, ke poin 5 jika 𝑗 = 𝑁 + 1,

5. Hitung p-value yaitu #(𝑠𝑛,𝑗

∗ >𝑠𝑛)

𝑁 atau ∑ (

𝐼(𝑠𝑛,𝑗∗ >𝑠𝑛)

𝑁)𝑁

𝑗=1 , yang mana

𝐼(𝑠𝑛,𝑗∗ > 𝑠𝑛) adalah fungsi bernilai 1 untuk nilai 𝑠𝑛,𝑗

∗ > 𝑠𝑛.

II.11. Goodness of Fit Test untuk Distribusi Marginal

Goodness of fit test untuk distribusi marginal perlu dilakukan sebelum

memperoleh model copula, jelas bahwa copula adalah suatu fungsi yang

memodelkan marginal-marginal. Langkah-langkah dalam Uji Goodness of fit

adalah dengan melakukan estimasi parameter distribusi marginal lalu melakukan

uji kecocokan distribusi marginal melalui metode teoritis tertentu. Estimasi

parameter distribusi dapat dilakukan dengan metode Maximum Likelihood

Estimation (MLE), sedangkan untuk uji kecocokan distribusi dapat dilakukan

dengan metode Kolmogorov-Smirnov.

Maximum Likelihood Estimation (MLE)

Dalam penelitian ini penaksiran parameter akan dilakukan menggunakan

metode penaksiran Maximum Likelihood Estimation (MLE). Penaksir maksimum

likelihood diperoleh dengan memaksimalkan fungsi likelihood, yang didefinisikan

sebagai distribusi gabungan seluruh sampel acak (Blishcke,2011). Fungsi

likelihood untuk 𝑛 sampel acak 𝒙 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛} didefinisikan oleh

𝐿(𝒙; Ω) = ∏ 𝑓(𝑥𝑖; Ω)

𝑛

𝑖=1

(2.50)

dengan Ω adalah vektor parameter yang dimiliki distribusi marginal. Estimasi

parameter dapat dilakukan dengan memaksimumkan logaritma natural dari fungsi

likelihood, 𝑙𝑛(𝐿). Untuk memaksimumkan 𝑙𝑛(𝐿), dengan asumsi differentiability,

dilakukan dengan menyamakan turunan fungsi 𝑙𝑛(𝐿) ke nol hingga diperoleh

solusi persamaannya. Dalam membantu menyelesaikan persamaan tersebut solusi

dapat diperoleh dengan menggunakan metode numerik.

Uji Kecocokan Distribusi Kolmogorov-Smirnov Satu Sampel

19

Uji Kolmogorov-Smirnov dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan

hipotesis

𝐻0 : data mengikuti distribusi parametric �̂�(𝑥; Ω),

𝐻1 : data tidak mengikuti distribusi parametrik �̂�(𝑥; Ω),

dengan Ω telah terlebih dahulu diestimasi. Statistik uji Kolmogorov-Smirnov

dinotasikan 𝐷𝑛 yang menyatakan perbedaan terbesar antara fungsi distribusi

empirik dan distribusi teoritis yang ingin diuji, didefinisikan oleh

𝐷𝑛 = 𝑚𝑎𝑥{𝐷𝑛−, 𝐷𝑛

+} (2.51)

dengan

𝐷𝑛− = max

𝑖=1,…,𝑛[

𝑖

𝑛− �̂�(𝑥𝑖; Ω)] ; 𝐷𝑛

+ = max𝑖=1,…,𝑛

[�̂�(𝑥𝑖; Ω) −𝑖 − 1

𝑛] (2.52)

dengan 𝑥𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (ordered statistic) adalah data yang telah diurutkan dari

yang terkecil hingga yang terbesar (Blishcke,2011). Selanjutnya dilakukan

penarikan kesimpulan yaitu 𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 pada (2.51) melebihi batas kritis

𝑑𝛼(𝑛−1/2 + 0.11𝑛−1/2 + 0.12)−1

, dengan 𝑑𝛼 = 1.224, 1.358, 1.628 untuk

tingkat signifikansi 𝛼 berurutan 𝛼 = 0.10, 0.05, 0.01 atau jika p-value kurang dari

tingkat signifikansi 𝛼, 𝑃𝑟[𝐷 > 𝐷𝑛] < 𝛼, dari distribusi Kolmogorov-Smirnov.

II.12. Metode Bagi Dua

Metode bagi dua digunakan untuk mencari akar persamaan dari suatu

fungsi. Diasumsikan fungsi 𝑓(𝜃) kontinu di interval [𝑎1, 𝑏1] dan 𝑓(𝑎1)𝑓(𝑏1) < 0

sehingga terdapat minimal satu akar pada interval tersebut. Ilustrasi dapat dilihat

pada Gambar II.7.

20

Gambar II.7. Ilustrasi Grafis untuk Akar Hampiran dalam Metode Bagi Dua

Merujuk pada Nugroho (2009), algoritma untuk metode bagi dua dijabarkan

sebagai berikut:

1. Hitung 𝜃𝑛 =𝑎𝑛+𝑏𝑛

2.

2. Tentukan subinterval mana yang akan mengurung akar:

a. Jika 𝑓(𝑎𝑛) ∙ 𝑓(𝑏𝑛) < 0, maka 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛, 𝑏𝑛+1 = 𝜃𝑛,

b. Jika 𝑓(𝑎𝑛) ∙ 𝑓(𝑏𝑛) > 0, maka 𝑎𝑛+1 = 𝜃𝑛, 𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛,

c. Jika 𝑓(𝑎𝑛) ∙ 𝑓(𝑏𝑛) = 0, maka diperoleh solusi adalah 𝜃𝑛.

3. Hitung 𝜀𝑛 =𝜃𝑛−𝜃𝑛−1

𝜃𝑛× 100% dimana 𝑛 ≥ 1,

4. Ulangi langkah 1 hingga langkah 3 sedemikian sehingga 𝑓(𝜃𝑛) ≈ 0,

5. Peroleh akar persamaan yaitu 𝜃𝑛.

Dalam penelitian ini, metode bagi dua digunakan untuk mencari parameter

𝜃 pada copula Frank seperti pada (2.44) dan copula AMH seperti pada (2.47).

yang mana fungsi 𝑓 didefinisikan oleh 𝑓(𝜃) = 𝜏(𝜃) − 𝜏. Fungsi 𝜏(𝜃) adalah

seperti pada (2.44) & (2.47) dan 𝜏 adalah ukuran keterhubungan kendall’s tau

dari data.

BAB II DASAR TEORI II.1. Model Biaya Garansi · Fungsi , ) dapat diturunkan hingga diperoleh fungsi...

Documents

Transcript of BAB II DASAR TEORI II.1. Model Biaya Garansi · Fungsi , ) dapat diturunkan hingga diperoleh fungsi...