1

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

BAB I

PERSAMAAN GERAK

1. Seseorang mengendarai mobil menuju sebuah kota A yang berjarak 160 km dengan arah

300 timur laut. Nyatakan vektor perpindahan �r dalam notasi vektor satuan dengan

menggunakan sistem koordinat x ke timur, dan y ke utara.

Penyelesaian:

Perhatikan gambar!

km 80)160(

30sin

km 3803)160(

330 cos

2

1

2

10

2

1

2

10

==

==

==

==

rrA

rrA

y

x

Dengan mengingat Persamaan (1.3), maka

km j)80i380(�r

jA iA �r

r0rr - r �r AA12

+=

+=

=−==

yx

2. Sebuah partikel bergerak dari titik P(2,4,2) ke titik Q (4,6,8). Tuliskan vektor posisi

partikel itu ketika berada di P dan di Q. Hitunglah vektor perpindahan dari P ke Q serta

besar perpindahan tersebut!

Penyelesaian:

Vektor posisi titik P, rP dan vektor posisi titik Q, rQ adalah

44622�r

adalah�r or Besar vekt

6k2j2i�r

2k)4j(2i8k)6j(4irr �r

222

PQ

=++=

++=

++−++=−=

3. Sebuah pesawat memulai perjalanannya dari sebuah

airport dan menempuh rute seperti ditunjukkan pada

gambar berikut. Pertama, pesawat tersebut bergerak

menuju kota A yang berada sejauh 175 km dalam arah 300

ke utara dari arah timur. Selanjutnya, pesawat terbang ke

kota B yang berada 150 km dalam arah 200 ke barat dari

arah utara. Akhirnya, pesawat tersebut menuju kota C

yang jaraknya 190 km ke arah barat. Tentukan posisi kota

C relatif terhadap airport awal.

Penyelesaian:

Kita sebuat ketiga vektor perpindahan pesawat tersebut sebagai vektor a, b,dan c. Vektor

perpindahan a memiliki besar 175 km dan komponen-komponen

2

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

ax = a cos (300) = (175 km) (0,866) = 152 km

ay = a sin (300) = (175 km) (0,5) = 87,5 km

Vektor perpindahan b memiliki besar 150 km dan komponen-komponen

bx = b cos (1100) = (150 km) (-0,342) = -51,3 km

by = b sin (1100) = (150 km) (0,94) = 141 km

Vektor perpindahan c memiliki besar 190 km dan komponen-komponen

cx = c cos (1800) = (190 km) (-1) = -190 km

cy = c sin (1800) = (190 km) (0) = 0 km

Posisi titik C akhirnya dapat dituliskan sebagai

km 228

km 0km 141km 87,5

km 89,7

km 190km 51,3km 152

=

++=

++=

−=

−−=

++=

yyyy

xxxx

cbaR

cbaR

Dalam rotasi vektor, posisi titik C dituliskan sebagai

R = (-89,7i + 228j) km

Artinya, kota C dapat dicapai dari titik awal dengan terbang 89,7 km ke barat kemudian

228 km ke utara.

4. Sebuah pesawat terbang bergerak dengan kelajuan 720 km/jam dengan arah 530 ke utara

dari timur. Dengan mengambil sumbu x arah ke timur dan sumbu y arah ke utara,

tentukanlah komponen-komponen kecepatan pesawat dan tuliskan vektor kecepatannya

dalam vektor-vektor satuan!

Penyelesaian:

Arah kecepatan pesawat dapat dilukiskan pada bidang xy

seperti gambar di bawah. Komponen kecepatan pada sumbu-x

vx = v cos 530 = 720 x 0,6 = 432 km/jam

Komponen kecepatan pada sumbu-y

Vy = v sin 530 = 720 x 0,8 = 576 km/jam

Vektor kecepatan dapat dituliskan dalam vektor satuan sebagai

berikut

v = vxi + vyj = (432 I + 576 j) km/jam.

5.

Gambar di atas adalah grafik perpindahan sebuah benda terhadap waktu. Tentukanlah

besar kecepatan benda pada saat (a) t = 2 sekon, (b) t = 6 sekon, (c) t = 12 sekon, dan (d) t

=18 sekon!

3

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

Penyelesaian:

(a) Sepanjang garis lurus AB, kecepatan sama besar. Pada t = 2 sekon, benda berada

pada garis AB, dan besar kecepatan dapat ditentukan dengan menerapkan Persamaan

(1.14), yaitu

m/s 104

40

04

040tan =

−

−== ABv α

(b) Saat t = 6 sekon, benda berada pada garis lurus BC. Besar kecepatan benda

ditentukan oleh gradien (kemiringan) garis BC, yaitu

m/s 5,24

10

48

4050tan =

−

−== ABv α

(c) Saat t = 12 sekon, benda berada pada garis horizontal CD. Besar kecepatan benda

adalah

0816

5050tan

−

−== BCv α

(d) Saat t = 18 sekon, benda berada pada garis DE sehingga kecepatan mobil adalah

kemiringan garis DE yaitu

m/s 5,121620

500tan

−

−== DEv α

6. Vektor posisi suatu partikel adalah r (t) = x (t)i + y(t)j, dengan x (t) = at + b dan y(t) = ct2

+ d, di mana a = 1 m/s, b = 1 m, c = 8

1 m/s2, d = 1 m.

(a) Hitunglah kecepatan rata-rata selama selang waktu t = 2 detik hingga t = 4 detik dan

tentukan besar kecepatan rata-rata tersebut.

(b) Tentukanlah kecepatan sesaat partikel tersebut pada t = 2 detik dan juga besar

kecepatan tersebut.

Penyelesaian:

(a) Vektor posisi partikel tersebut dapat ditulis menjadi

r(t) = (at + b)i + (ct2 + d)j = (t + 1)i + (

8

1 t2 + 1)j.

Pada saat t = 4 detik: r(4) = (4 + 1)i + (8

1 (42) + 1)j = 5i + 3j

Pada saat t = 2 detik: r(2) = (2 + 1)i + (8

1 (22) + 1)j = 3i + 1,5j

�r = r(4) – r(2) = (5 – 3)i + (3 – 1,5)j = 2i + 1,5j

Kecepatan rata-rata partikel sesuai dengan Persamaan (1.8) adalah

m/s. 0,75j)(i24

1,5j2i

�

�rv +=

−

+==

t

Besar kecepatan rata-rata ini adalah

m/s 25,1)75,0()1( 2222=+=+= yx vvv

(b) Kecepatan sesaat partikel sebagai fungsi wktu dapat ditentukan dengan menerapkan

Persamaan (1.11):

ji)v(

j)(i)1(r

)(v

4

1

2

8

1

tt

ttdt

d

dt

dt

+=

+++==

Kecepatan pada saat t = 2 detik adalah

4

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

v(2) = i + 4

1 (2)j = (i + 0,5j) m/s

Besar kecepatan sesat tersebut sesuai dengan Persamaan (1.15) adalah

m/s. 12,1)5,0()1( 2222=+=+= yx vvv

7. Sebuah benda bergerak pada bidang xy. Pada saat awal benda berada pada koordinat (2,4)

m. Komponen-komponen kecepatan benda memenuhi persamaan vx = 5t dan vy = 4 + 3t2

dengan vx dan vy dalam m/s, t dalam sekon, dan konstanta dalam satuan yang sesuai.

(a) Tuliskanlah persamaan umum vektor posisi benda!

(b) Tentukan posisi benda pada saat t = 3 sekon

Penyelesaian

(a) Posisi awal benda (2,4)m, berarti x0 = 2 m dan y0 = 4 m. Dengan menggunakan

Persamaan (1.17) diperoleh

.)44(

)(3 4 )34(4

,m )5,22(

)(52 52

3

3

3

1

0

2

0

0

2

2

2

1

00

0

mtty

ttdtdtvyy

tx

tdttdtvxx

t

t

t

y

tt

x

++=

+=++=+=

+=

+=+=+=

��

��

(b) Posisi benda pada saat t = 3 sekon adalah

x = 2 +2,5t2 = 2 + 2,5 (3)2 = 24,5 m,

y = 4 + 4t + t3 = 4 + 4(3) + (3)3 = 43 m

Jadi pada saat t = 3 sekon vektor posisi benda dapat dituliskan sebagai r = (24,5i +

43j) m.

8. Sebuah partikel yang semula berada di titik asal, bergerak sesuai dengan persamaan

kecepatan v = v0 + at dengan v dan v0 dalam m/s dan t dalam detik. Jika diketahui bahwa

konstanta v0 = 4 m/s dan a = 2 m/s2, tentukanlah secara grafik perpindahan partikel

setelah setelah 10 detik!

Penyelesaian:

Persamaan kecepatan partikel dapat dituliskan menjadi v = 4 + 2t. Kurva v sebagai fungsi

waktu t merupakan garis lurus. Untuk menggambarkannya, perhatikanlah tabel berikut.

t 0 5 10 15

v = 4 + 2t 4 14 24 34

Perpindahan partikel selama 10 detik sama dengan

luas daerah yang di arsir.

m. 140

4) - (24 x 10 x ( 10) x 4(

luas luas

2

1

=

+=

+=

s

DCEABCDs

Ujilah dengan rumus GLBB.

s = v0t +2

1 at2 = 4 (10) +

2

1 (2) (10)2

s = 140 m (hasilnya sama)

5

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

9. Kecepatan sebuah partikel yang bergerak lurus memenuhi persamaan v = 3t2 – 6t – 9

dengan v dalam m/s dan t dalam sekon. Berapa besar perpindahan dan jarak yang

ditempuh partikel untuk selang waktu t = 2 dan t = 5 sekon?

Penyelesaian:

Untuk menggambarkan grafik dari kecepatan v = 3t2 – 6t – 9 diperlukan perhitungan

berikut.

• Titik potong dengan sumbu t diperoleh dari v = 0

v = 3t2 – 6t – 9 = 0

t2 – 2t – 3 = 0

(t – 3) (t + 1) = 0

t = 3 atau t = -1

• Titik puncak grafik

1)3(2

6

2

)(==→

−= t

a

bx

Sehingga v = 3(1)2 – 6(1) – 9 = – 12

Sketsa grafik dari fungsi v = 3t2 – 6t – 9 = 0 adalah sebagai berikut

• Perpindahan = �� −−=−−=

5

2

5

2

232

5

2

)93( )963( tttdtttdtv

= (53 – 3 (5

2) – 9 (5)) – (2

3 – 3(2

2) – 9(2))

= 27 m

• Jarak = dtvdtv

5

3

3

2

�� +−

[ ] [ ]

m 35−=

−−−−−+

−−−−−−=

−−+−−−=

−−+−−−= ��

)]3(9)3(33())5(9)5(353[(

)]2(9)2(32())3(9)3(33[(

)93()93(

)963( )963(

232

2323

5

3

233

2

23

5

3

2

3

2

2

tttttt

dtttdttt

Tanda negatif menunjukkan posisi benda berada di sumbu x negatif

10. Sebuah partikel bergerak dengan fungsi kecepatan v(t) = at3 + bt

2 + c dengan v dalam m/s

dan t dalam sekon. Jika konstanta a = 2 m/s4, b = -3 m/s3, dan c = 10 m/s, tentukanlah

a. Percepatan rata-rata partikel untuk selang waktu t=2 sekon sampai t = 6 sekon

b. Percepatan awal partikel

6

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

c. Percepatan partikel pada saat t = 6 sekon

Penyelesaian:

(a) Berdasarkan persamaan (1.22) untuk menghitung percepatan rata-rata harus

ditentukan lebih dahulu �v dan �t . menurut soal persamaan umum kecepatan

adalah v(t) =2t3 – 3 3t2 + 10 sehingga

untuk t2 = 6 sekon, v2 = 2(6)3 – 3(6)2 + 10 = 334 m/s

untuk t1 = 2 sekon, v1 = 2(2)3 – 3(2)2 + 10 = 14 m/s

2

12

12

m/s 8026

14334=

−

−=

−

−=

∆

∆=

tt

vv

t

va

(b) Persamaan umum percepatan diperoleh dengan menerapkan Persamaan (1.26), yaitu

.66

)1032(

2

33

tt

ttdt

da

−=

+−=

Percepatan awal partikel adalah percepatan pada t = 0 sehingga

0

)0(6)0(6 2

=

−=a

(c) Percepatan partikel pada saat t = 6 sekon adalah

2

2

m/s 180

)6(6)6(6

=

−=a

11. Persamaan kecepatan sebuah partikel adalah v = (vxi + vyj) m/s dengan vx = 4t m/s dan vy

= (5 + 6t2) m/s.

(a) Tentukan percepatan rata-rata dalam selang waktu t = 0 sampai t = 2 sekon!

(b) Tentukan persamaan umum vektor percepatan sebagai fungsi waktu.

(c) Pada saat t = 2 sekon, tentukanlah koordinat posisi partikel (posisi awal benda

adalah pusat koordinat), persamaan vektor percepatan serta besar dan arahnya.

Penyelesaian:

(a) Vektor kecepatan sesaat partikel tersebut adalah:

v = (4ti + (5 + 6t2)j) m/s, sehingga

untuk t2 = 2 sekon, v2 = 4(2)i + (5 + 6(2)2)j = 8i + 29j

untuk t1 = 0, v1 = 4(0)i + (5 + 6(0)2)j = 5j

2

22

12

m/s )j12i4(a

2

j24i8

0-2

j5)j29i8(vva

+=

+=

−+=

−

−=

tt

(b) Percepatan sesaat adalah turunan pertama dari persamaan kecepatan,

2

2

m/s j) 12i4(a

)j)65(i4(v

a

t

ttdt

d

dt

d

+=

++==

7

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

(c) Persamaan posisi partikel diperoleh sebagai berikut.

3

0

3

3

1

0

20

22

00

0

25)(65 )65(0

2)2

1(4 40

ttttdttdtvyy

ttdttdtvxx

t t

y

tt

x

+=+=++=+=

==+=+=

� �

��

Vektor posisi partikel dapat dituliskan menjadi

r = 2t2i + (5t + 2t

3)j

Pada saat t = 2 sekon, x = 2t2 = 2(2)2 = 8 m dan y = 5t + 2t

3 = 5(2) + 2(2)3 = 26 m

sehingga koordinat partikel adalah (8,26) m.

Pada butir (b) telah ditentukan vektor percepatan sebagai a = (4i + 12tj) m/s2,

sehingga pada saat t = 2 sekon diperoleh

a = 4i + 12(2)j = (4i + 24j) m/s2

Besar percepatannya adalah

22222 m/s 33,24592244 ==+=+= yx aaa

Arah percepatan ditentukan sebagai berikut

xa

a

x

y-sumbu terhadap80,53 atau 6

4

24tan 0

==== θθ

12. Sebuah roket mainan bergerak pada bidang xy. Sumbu koordinat y adalah arah vertikal,

sedangkan sumbu-x, adalah arah horizontal. Percepatan roket memiliki komponen ax = 3t2

m/s2 dan ay = (10 – 4t) m/s2 dengan t dalam sekon. Pada saat t = 0 roket berada di titik

pusat koordinat (0,0) dengan komponen kecepatan awal v0x = 3 m/s, sehingga secara

vektor dituliskan v0 = (3i + 4j) m/s.

(a) Nyatakanlah vektor kecepatan dan posisi sebagai fungsi waktu!

(b) Berapa ketinggian maksimum yang dicapai roket?

(c) Tentukanlah perpindahan horizontal roket ketika roket kembali ke y = 0!

Penyelesaian:

(a) Vektor kecepatan sesuai dengan Persamaan (1.30) ditentukan sebagai berikut.

m/s ] j )210(4i )3[(ji

m/s. )2104(

104 )410(4

m/s )3()(3333

23

2

2

2

4

00

0

0

33

3

13

0

0

tttv vv

tt

ttdttdtavv

ttdttdtavv

yx

tt

yyy

tt

xxx

−+++=+=

−+=

−+=−+=+=

+=+=+===

��

��

Vektor posisi dapat ditentukan berdasarkan Persamaan (1.17) sebagai berikut.

meter ] j )5(4ti )3[(j i

m )54(

)(2)(104 )2104(0

m )3( )3(0

3

3

224

4

13

2

3

22

3

3

12

2

1

0

2

0

0

0

4

4

13

0

0

tttty xr

ttty

tttdtttdtvyy

ttdttdtvxx

tt

y

tt

x

−+++=+=

−+=

−+=−−+=+=

+=−+=+=

��

��

8

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

(b) Ketinggian maksimum terjadi pada saat vy = 0, sehingga

4 + 10t – 2t2 = 0 atau 2 + 5t – t2 = 0

Dengan perhitungan matematis akan diperoleh 2 nilai t yaitu t1 = 0,44 sekon dan t2 =

4,56 sekon. Dengan metode substitusi akan diperoleh bahwa

Untuk t1 = 0,44 sekon, y1 = 4 (0,44) + 5 (0,44)2 – (0,44)3

y1 = 1,76 + 0,968 – 0,057 = 2,671 m

untuk t2 = 4,56 sekon, y2 = 4 (4,56) + 5 (4,56)2 – 3

2 (4,56)3

y2 = 18,24 + 103,968 – 63,212 = 59 m.

Karena y2 > y1, maka tinggi maksimum yang dicapai roket adalah 59 meter.

(c) Roket kembali ke y = 0 ditunjukkan oleh persamaan

y = 4ti + 5t2 -

3

2 t3 = 0

t (4 + 5t – 3

2 t2 = 0

Untuk mencari nilai t penyebab y = 0 (selain t = 0), persamaan tersebut

disederhanakan menjadi

12 + 15t – 2t2 = 0

Dengan perhitungan matematis diperoleh bahwa t1 = 8,23 sekon dan t2 = -0,73

sekon. Secara fisik, waktu yang memenuhi adalah yang bernilai positif sehingga y =

0 pada saat t = 8,23 sekon. Nilai x pada saat tersebut adalah

x = pada saat tersebut adalah

x= 3t +4

1t4 = 3 (8,23) +

4

1(8,23)4 = 1171,6 meter

Jadi, ketika roket kembali ke y = 0, perpindahan horizontalnya 1172,6 m.

13. Seorang siswa mengendarai sepeda motor dan bergerak 3 km ke arah timu, kemudian 4

km ke utara. Berapakah resultan perpindahannya?

Penyelesaian:

Perpindahan dan resultan perpindahan dapat dilukiskan pada

gambar di samping. Karena ketiga vektor ini membentuk

segitiga siku-siku, maka dengan rumus Pythagoras dapat kita

hitung:

km 5

km 25

km) 4(km) 3(

2

22

222

=

=

+=

+=

C

C

BAC

Arah perpindahan C dihitung dengan

053

33,1km 3

km 4tan

=

===

θ

θA

B

14. Seorang siswa mengendarai sepeda motor yang bergerak 3 km ke timur dan kemudian 4

km ke arah 600 ke utara terhadap arah timur. Berapakah resultan perpindahannya?

Penyelesaian:

Pertama kita lukiskan perpindahannya.

Kita nytakan perpindahan A dan B dalam komponen-komponen vektor.

Ax = 3 km Ay = 0

9

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

Bx = (4 km) cos 600 By = (4 km) sin 600

Bx = (4 km) (0,5) By = (4 km) (0,866)

Bx = (4 km) 2 km By = 3,46 km

Jadi, komponen resultan perpindahannya adalah

Cx = Ax + Bx

= 3 km + 2 km = 5 km

dan

Cy = Ay + By

= 0 + 3,46 km = 3,46 km

Besar resultan perpintahan C dihitung dengan dalil

Pythagoras:

km 1,6

km 37,0

km) 46,3(km) 5(

22

22222

=

=

+=+=

C

C

CCC yx

Sudut antara C dan sumbu x dihitung dari

07,34

692,0km 5

km 46,3tan

=

===

θ

θx

y

C

C

15. Sebuah perahu akan digunakan untuk menyeberangi sebuah sungai yang lebarnya 48 m.

Perahu tersebut dapat melaju dengan kelajuan sebesar 8 m/s. Arus air sungai pada saat itu

sebesar 4 m/s. Jika perahu bergerak ke arah yang tegak lurus sungai (tegak lurus arus air

sungai), (a) berapakah kelajuan perahu terhadap seorang pengamat yang diam di pinggir

sungai di tempat perahu mulai bergerak? (b) Berapa lama waktu yang diperlukan perahu

itu untuk menyeberangi sungai? (c) Berapakah jarak yang telah ditempuh perahu setelah

berhasil menyeberangi tersebut?

Penyelesaian:

Perhatikan skema dari soal di atas berikut ini.

(a) Dari gambar kita dapatkan bahwa

m/s 94,880

)4()8( 22

==

+=

v

v

Arah v adalah �, di mana

04,63

24

8tan

=

==

θ

θ

(b) Waktu yang diperlukan perahu tersebut untuk

sampai di seberang sungai dapat langsung dihitung berdasarkan kelajuan perahu

yang tegak lurus terhadap arus sungai.

s 6m/s 8

m 48===

⊥t

st

Perlu dicatat bahwa jika kita menggunakan kelajuan realtif perahu terhadap

pengamat yang diam di tepi sungai, maka jarak yang kita gunakan adalah jarak yang

sebenarnya ditempuh perahu, seperti yang akan kita hitung di (c) berikut.

10

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

(c) Jarak yang ditempuh perahu kita hitung dari persamaan

meter 53,6

)6( )94,8(

=

=

=

x

vtx

Jadi, jarak yang telah ditempuh perahu adalah 53,6 meter, sekitar 5,6 meter lebih panjang

dari jarak yang ditempuh perahu seandainya air sungai tidak mengalir.

16. Sebuah bola bilyar sedang menggelinding ke suatu arah tertentu dengan kecepatan 3 m/s.

Tiba-tiba, dari arah yang tegak lurus dengan arah gerak bola bilyar tersebut, seorang

pemain menyodokkan tongkat bilyarnya pada bola bilyar tersebut dengan kecepata 2 m/s.

Ke manakah arah gerak bola bilyar itu sekarang, dan berapa kecepatannya?

Penyelesaian:

Persoalan ini dapat kita gambarkan dengan skema vektor

kecepatan seperti di samping.

Kita pilih arah bola bilyar mula-mula dalam sumbu-x,

sehingga arah kecepatan yang dihasilkan dari sodokan bola

adalah dalam sumbu-y positif. Kita anggap bahwa

kecepatan yang dihasilkan oleh sodokan tongkat bilyar

pada bola bilyar menghasilkan kecepatan yang sama

dengan kecepatan sodokan, yaitu 2 m/s. Dari gambar ini

dapat kita hitung besarnya sudut �, yaitu arah bola bilyar setelah disodok.

07,33

67,0m/s 3

m/s 2tan

=

===

α

αB

P

v

v

Kecepatan bola dapat kita hitung sebagai vektor resultan dari vP dan vB, yaitu

m/s 13

)3()2( 22

22

=

+=

+= BP vvv

17. Sebuah bola yang berada id tanah ditendang oleh

seorang pemain sepakbola dengan sudut sebesar 300

dari permukaan tanah. Kecepatan awal gerakan bola

hasil tendangan pemain tersebut adalah v0 = 20 m/s.

Hitung jangkauan tendangan bola dan tinggi

maksimum yang dicapai bola. (g = 10 m/s2)

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita langsung saja menggunakan persamaan-persamaan

yang telah kita peroleh sebelumnya, yaitu Persamaan (1.44) dan Persamaan (1.38).

meter 6,34

10

60sin400

10

)30(2sin)20(

2sin

0

02

20

=

=

=

=

R

g

vR

θ

11

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

Jadi, tendangan pemain tersebut kembali berhasil mencapai jarak 34,6 meter.

meter 5

20

))(400(

)10(2

)30(sin)20(

2

sin

maks

2

2

1

202

220

maks

=

=

=

=

y

g

vy

θ

Jadi, ketinggian maksimum bola adalah 5 meter.

18. Dari sebuah bukit yang memiliki ketinggian 100 m,

sebuah batu di lempar secara horizontal. Ternyata, batu

tersebut jatuh di tanah pada jarak 80 m dari tempat

pelemparan seperti terlihat pad gambar. Pada kecepatan

berapakah batu tersebut dilemparkan?

Penyelesaian:

Karena batu tersebut dilemparkan secar ahorizontal, maka

berarti � = 0. Dengan demikian, dapat dituliskan

v0x = v0

v0y = 0

Pada sumbu-y berlaku (ambil arah ke atas positif):

2

2

1

2

2

1

0

gty

gttvy y

−=

−=

Karena h berarah ke bawah, maka nilai h adalah h = -100m.

s 5,4

)8,9( m 100 2

2

1

2

2

1

=

−=−

−=

t

t

gth

Ini adalah waktu yang diperlukan batu untuk sampai ke tanah. Waktu ini sama dengan

waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak jangkauan R, yaitu sebesar 80 m. Dengan

demikian,

8,17

)5,4(m 80

0

0

0

0

=

=

=

=

v

v

tv

tvx x

19. Dari atap sebuah gedung yang tingginya 16 meter, sebuah bola dilempar pada sudut 300

di atas horizontal dengan kecepatan 21 m/s seperti tampak pada gambar. Hitunglah (a)

total waktu bola itu berada di udara, (b) jarak jangkauan R, (c) ketinggian maksimum bola

diukur dari permukaan tanah, (d) sudut yang dibentuk oleh kecepatan bola ketika bola

menumbuk tanah (g = 9,8 m/s2), (e) kecepatan bola pada saat menyentuh tanah.

12

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

Penyelesaian:

Dari soal diketahui

m/s 5,10

30sin

m/s 2,18

30cos

0

00

0

000

=

=

=

=

y

oy

x

x

v

vv

v

vv

Kita pilih titik asal, yaitu titik (0,0) berada di

permukaan tanah, tepat di dinding bangunan,

sehingga ketinggian awal bola adalah y0 = 16 m.

Pada sumbu-x berlaku persamaan

tvx ox=

x = 18,2 t ………… (i)

Pada sumbu-y berlaku persamaan

2

2

1

00 gttvyy y −+=

29,45,1016 tty −+= ………… (ii)

(a) Total waktu bola berada di udara sama dengan total waktu yang ditempuh bola

untuk mencapai ketinggian y = 0 (bola kembali ke tanah).

y = 16 + 10,5 t – 4,9 t2

0 = 16 + 10,5 t – 4,9 t2

Ini merupakan persamaan kuadrat, yang jika kita selesaikan atau kita cari akar-

akarnya, akan diperoleh hasil t = 3,17 s dan t = -1,03 s. Karena waktu tidak mungkin

bernilai negatif, maka nilai t yang kita gunakan adalah t = 3,17 s. Jadi, bola berada di

udara selam 3,17 sekon.

(b) Dengan menggunakan Persamaan (i) untuk t = 3,17 s, maka akan kita peroleh nilai

R.

m 57,7

(3,17) ,218

2,18

=

=

=

R

R

tx

Jadi, bola menumbuk tanah pada jarak 57,7 meter dari dinding bangunan

(c) Ketinggian maksimum dihitung dari atap bangunan dapat dihitung dengan

menggunakan Persamaan (1.44) yaitu

meter 6,5

)8,9(2

30sin)21(

2

sin

022

220

=

=

=

h

g

vh

θ

Dengan demikian, ketinggian maksimum yang dicapai bola dihitung dari tanah

adalah 5,6 m + 16 m = 21,6 meter.

(d) Ketika menumbuk tanah, komponen kecepatan dalam sumbu-x sama dengan vx = v0

cos � = 18,2 m/s; sedangkan komponen kecepatan dalam sumbu-y sama dengan vy,

di mana

vy = v0y – gt

13

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

Nilai t yang kita masukkan adalah t pada saat bola mencapai tanah, yiatu t = 3,17 s.

Dengan demikian,

vy = 10,5 – (9,8) (3,17)

vy = -20,6 m/s

Tanda minus menunjukkan bahwa kecepatan bola dalam sumbu-y berarah ke bawah.

Besar sudut � kita hitung berdasarkan

-x

v

v

x

y

sumbubawah di 5,48

13,1tan

2,18

6,20

tan

0=

=

−=

=

α

α

α

Jadi, sudut yang dibentuk oleh kecepatan bola ketika menumbuk tanah adalah 48,50

di bawah sumbu-x.

(e) Kecepatan bola pada saat menyentuh tanah dapat dihitung sebagai berikut

m/s 49,27

)6,20()2,18( 22

22

=

−+=

+= yx vvv

Jadi, kecepatan bola pada saat mencapai tanah adalah 27,49 m/s.

20. Sebuah roda gila berputar sedemikian sehingga suatu titik pada roda gila tersebut

mempunyai posisi sudut yang berubah terhadap waktu sesuai dengan persamaan � (t) = 4t

+ 2t2 dengan � dalam radian dan t dalam sekon. Tentukan posisi sudut titik tersebut untuk

(a) t = 0, (b) t = 1 s, dan (c) t = 2 s!

Penyelesaian:

(a) t = 0 � � (0) = 4 (0) + 2 (0)2 = 0

(b) t = 1 s � � (1) = 4 (1) + 2 (1)2 = 6 rad.

(c) t = 2 s � � (2) = 4 (2) + 2 (2)2 = 16 rad.

21. Posisi sudut suatu titik pada roda dinyatakan oleh � =(3t2 – 8t + 10) rad dengan t dalam

sekon. Tentukanlah (a) posisi sudut titik tersebut pada saat t = 2 sekon, (b) kecepatan

sudut rata-rata selama 10 sekon pertama, dan (c) kecepatan sudut titik pada saat t = 10

sekon!

Penyelesaian:

(a) Posisi sudut titik pada saat t = 2 sekon adalah

rad. 610)2(8)2(31083 22=+−=+−= ttθ

(b) Kita tentukan lebih dahulu posisi sudut titik pada saat t = 0 dan t = 10 s.

t = 10 s � � = 3(10)2 – 8(2) + 10 = 6 rad.

t = 0 � � = 3(0)2 – 8(0) + 10 = 10 rad.

�� = 230 – 10 = 220 rad.

Untuk selang waktu �t = 10 sekon, kecepatan sudut rata-rata adalah

rad/s. 2210

220==

∆

∆=

t

θω

14

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

(c) Kecepatan sudut sebagai fungsi waktu ditentukan berdasarkan Persamaan (1.50)

.86)1083( 2−=+−== ttt

dt

d

dt

dθω

Kecepatan sudut sesaat titik pada t = 10 s adalah

� = 6t – 8 = 6(10) – 8 = 52 m/s.

22. Sebuah roda berputar terhadap sumbunya dengan kecepatan sudut yang berubah terhadap

waktu sesuai dengan persamaan � = (4 + 3t2) rad/s, dengan t dalam sekon. (a) Tulis

persamaan posisi sudut � jika �0 = 4 rad! (b) Hitunglah posisi pada saat t = 3 sekon!

Penyelesaian:

(a) Dengan menggunakan Persamaan (1.52) diperoleh

�� ++=++=+=

tt

ttdttdt

0

32

0

0 44 )34(4 ωθθ

(b) Posisi sudut titik pada saat t = 3 sekon adalah

� = 4 + 4t + t3 = 4 + 4(3) + (3)3 = 43 rad

23. Sebuah piringan hitam berputar dengan percepatan sudut � = (10 -4t) rad/s2 dengan t

dalam sekon. Pada saat t = 0 sebuah titik berada pada sudut �0 = 00 dengan kecepatan

sudut awal �0 = 4 rad/s. Nyatakan (a) kecepatan sudut dan (b) posisi sudut fungsi waktu!

Penyelesaian:

(a) Kecepatan sudut dihitung dengan Persamaan (1.57).

rad/s, )2104( )410(4 2

00

0 rtdttdt

tt

−+=−+=+= ��αωω

(b) Posisi sudut dapat ditentukan dengan menggunakan Persamaan (1.52)

rad. )54( )2104(0 2

3

22

0

2

0

0 tttdtttdt

tt

−+=−++=+= ��ωθθ

24. Sebuah turbin pada suatu pusat pembangkit listrik berotasi 300 rpm (rotasi per menit).

Pada saat listrik mati, turbin tersebut berputar perlahan sampai akhirnya berhenti berputar

dalam waktu 590 sekon. Jika percepatan sudut konstan, berapa kali turbin berputar

sebelum berhenti?

Penyelesaian:

Karena kecepatan sudut semakin kecil, maka percepatan sudut � bertand negatif. Dengan

menggunakan �t = 590 s = 60

590menit = 9,8 menit, maka

.menitper rotasi 6,308,9

3000 212 −=−

=∆

−=

t

ωωα

Jumlah putaran dihitung dengan Persamaan (1.59).

putaran. 6,1470

(9,8) (-30,6) (9,8) 300

0

2

2

12

2

1

00

=−

+=+=−

θθ

αωθθ tt

25. Sebuah roda yang berotasi menglaami perlambatan 0,21 rad/s2. Berapakah kecepatan

sudut awalnya apabila roda berhenti tepat setelah berotasi satu putaran?

15

Tugas Fisika Tahun Pelajaran 2006/2007, CONTOH SOAL

Penyelesaian:

Di sini � akhir = 0 dan �0 = 0. Dari Persamaan (1.60) diperoleh

αθωω 220

2+=

Untuk 1 Putaran, � = 2�.

rad/s 1,6 x 84,0

84,0)2( )21,0(20

0

20

20

==

=→−+=

πω

πωπω

Jadi, kecepatan sudut awal roda adalah 1,6 rad/s.

26. Sebuah piringan hitam semula berotasi 33 putaran/menit dan berhenti 20 sekon

kemudian. (a) Berapakah percepatan sudutnya? (b) Berapa kali piringan berputar penuh

sebelum berhenti? (c) Jika radius piringan 14 cm, berapakah besar percepatan tangensial

dan percepatan sentripetal sebuah titik di tepi piringan pada saat t = 0? (d) Berapa

percepatan totalnya?

Penyelesaian:

(a) Kecepatan sudut awal adalah

rad/s 46,3s 60

rad 2 x 33

menit

putaran330 ===

πω

Dari hubungan � = �0 + �t dan data bahwa � = 0 pada t =- 20 s, maka

0 = 3,46 + � (20) atau .rad/s 173,020

46,3 2−=

−=α

Tanda negatif menunjukkan bahwa putara piringan hitam diperlambat.

(b) Perpindahan sudut � selama waktu t = 20 s dihitung dengan menerapkan Persamaan

(1.59), yaitu

putaran) (5putaran 5,50

putaran 1x 2

3,46atau rad 6,34

)20)(173,(

2

1

2

2

1

00

=

=∆

−==−=∆

πθ

ωθθθ t

(c) Percepatan tangensial at sebuah titik yang terletak pada jarak r = 14 cm dari pusat

rotasi dihitung dengan Persamaan (1.63)

at = r � = 14 (-0,173) = 2,24 cm/s2 (diperlambat).

Percepatan sentripetal as dihitung dengan menggunakan Persamaan (1.64)

2220 cm/s 168)46,3)(14( === ωras

(d) Percepatan total dihitung dengan persamaan (1.65)

.cm/s 168,02 )168()42,2( 22222=+=+= st aaa