1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Manusia tidak lepas dari berbagai macam permasalahan dalam kehidupan di

dunia. Permasalahan permasalahan tersebut menyangkut berbagai aspek, dimana

dalam penyelesaiannya diperlukan sebuah pemahaman melalui suatu metode dan

ilmu bantu tertentu. Salah satu ilmu bantu yang dapat digunakan adalah

matematika.

Matematika merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian dan

pemahaman masalah. Matematika mempunyai bahasa dan aturan yang jelas,

sistematis dan keterkaitan antar konsep yang kuat. Oleh karena itu, banyak

permasalahan di luar bidang matematika yang bisa diselesaikan dengan mudah

menggunakan matematika. Salah satu cabang dari ilmu matematika adalah

pemodelan matematika. Model matematika adalah himpunan dari rumus dan atau

persamaan berdasarkan fenomena nyata dan dibuat dengan harapan bisa

merepresentasikan dengan baik fenomena nyata tersebut menurut ilmu yang

melatarbelakanginya. Melalui model matematika, matematika berusaha

merepresentasikan berbagai fenomena yang terjadi di alam ini. Dalam

perkembangannya, model matematika telah digunakan dalam ilmu fisika, biologi,

kesehatan dan bahkan ilmu-ilmu sosial.

Salah satu persoalan paling penting di dunia adalah proyeksi populasi.

Ukuran dan pertumbuhan populasi dalam suatu negara secara langsung

mempengaruhi keadaan ekonomi, politik, budaya, pendidikan dan lingkungan dari

negara tersebut dan menentukan eksplorasi dan kebutuhan sumber daya alam.

Tidak ada yang ingin menunggu sampai sumber daya ini habis karena ledakan

populasi.

Dengan dibentuknya sebuah model matematika, proyeksi populasi tiap

tahun dapat dilakukan berdasar data sensus penduduk yang sudah ada, sehingga

tidak perlu melaksanakan sensus penduduk tiap tahun. Pemerintah dan sektor

perusahaan selalu membutuhkan gambaran akurat tentang ukuran yang akan

2

datang dari bermacam entitas seperti populasi, sumber daya, kebutuhan dan

konsumsi untuk perencanaan kegiatan.

Salah satu model matematika untuk pertumbuhan populasi adalah model

logistik pertumbuhan populasi (model Verhults). Model ini memasukkan batas

untuk populasinya sehingga jumlah populasi dengan model ini tidak akan tumbuh

secara tak terhingga. Laju pertumbuhan penduduk akan terbatas akan ketersediaan

makanan, tempat tinggal, dan sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut,

jumlah populasi dengan model ini akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu.

Pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan

(equilibrium), pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama. Laju

pertumbuhan, yaitu nilai yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi

diasumsikan positif, karena mengingat setiap populasi memiliki potensi untuk

berkembang biak.

Indonesia adalah Negara besar dengan jumlah penduduk yang banyak. Agar

tidak terjadi ledakan populasi yang dapat menimbulkan bencana, maka diperlukan

perencanaan untuk pengendalian jumlah populasi, salah satunya bisa dimulai

dengan memprediksi pertumbuhan populasi penduduk Indonesia.

Berdasarkan uraian diatas, maka penulis mengambil judul Penerapan

Model Verhults pada Populasi Penduduk Indonesia.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang diuraikan diatas, permasalahan yang akan

dibahas dalam penelitian ini adalah :

Bagaimana memprediksi jumlah populasi menggunakan model logistik

pertumbuhan populasi?

Bagaimana menentukan daya tampung dan laju pertumbuhan intrinsik

berdasarkan model logistik pertumbuhan populasi ?

1.3 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah :

Model pertumbuhan populasi yang dibahas adalah model logistik

pertumbuhan populasi Verhulst.

3

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah diatas maka tujuan dari penelitian ini adalah :

Mengetahui hasil prediksi populasi berdasarkan perhitungan model logistik

pertumbuhan populasi (Verhulst).

Menentukan daya tampung dan laju pertumbuhan intrinsik dari suatu populasi

menggunakan model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults).

1.5 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan pendekatan teoritis, dimana penulis

menganalisa jurnal, mengeksplor apa yang ada didalam jurnal dan kemudian

menarik kesimpulan dari penelitian ini.

1.6 Sistematika Penulisan

Adapun sistematika yang dipakai dalam penyusunan studi literatur ini,

adalah sebagai berikut :

BAB I PENDAHULUAN

Bab ini meliputi Latar Belakang Masalah, Rumusan masalah, Batasan

Masalah, Tujuan Penelitian, Metode Penelitian, Sistematika Penulisan dan

Kerangka Berfikir dari studi literatur.

BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini akan menguraikan dasar teori yang akan digunakan dalam

penyusunan studi literatur, yang meliputi Persamaan Diferensial dan Model

Pertumbuhan Populasi (model eksponensial pertumbuhan populasi (model

Malthus) dan model logistik pertumbuhan populasi (Verhulst)).

BAB III

Bab ini merupakan bab pembahasan yang merupakan aplikasi teori yaitu

model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults) menggunakan studi kasus

pertumbuhan populasi Indonesia.

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

Dalam bab ini, berisi kesimpulan dan saran yang merupakan hasil yang

telah didapatkan.

4

DAFTAR PUSTAKA

1.7 Kerangka Berfikir

Ledakan pertumbuhan populasi manusia dan penggunaan sumberdaya

secara besar-besaran merupakan penyebab utama kerusakan lingkungan. Kedua

kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu angka kelahiran

dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk memprediksi bagaimana

ukuran populasi akan berubah menurut waktu.

Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu pertumbuhan

populasi ideal dalam lingkungan yang tidak terbatas. Model ini memprediksi

bahwa semakin besar suatu populasi akan semakin cepat populasi tersebut

tumbuh. Namun, pertumbuhan eksponensial tidak dapat dipertahankan tanpa batas

dalam populasi apapun. Model logistik, merupakan model yang lebih realistis

membatasi pertumbuhan dengan menyertakan daya tampung, ukuran populasi

yang dapat didukung oleh sumberdaya yang tersedia.

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial

Banyak hukum-hukum alam yang mendasari perubahan-perubahan di alam

ini dinyatakan dalam bentuk persamaan yang memuat laju perubahan dari suatu

kuantitas, yang tak lain adalah berupa persamaan diferensial.

Persaman diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi, dengan satu atau lebih peubah yang tak

diketahui. Jika fungsi yang tidak diketahui itu hanya bergantung pada satu peubah

saja, maka persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa.

Sedangkan jika fungsinya bergantung pada dua atau lebih peubah, maka

persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial parsial.

Orde dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai orde turunan

tertinggi yang terkandung pada persamaan tersebut. Persamaan diferensial orde

5

pertama hanya mengandung . bentuk umum dari persamaan diferensial pertama

dapat dituliskan sebagai ,, = 0, atau biasa di tulis = (,). Arti

fisis diferensial adalah, laju perubahan sebuah peubah terhadap peubah lain.

Banyak kegunaan praktis persamaan diferensial biasa dapat diturunkan

kedalam bentuk

= () ...(2.1)

dengan manipulasi aljabar murni. Maka dapat diintegralkan kedua sisi terhadap ,

diperoleh

= + (2.2)

Dikiri dapat dapat diubah kepada sebagai variabel dari pengintegralan. Dengan

kalkulus, = , maka

= + (2.3)

Jika dan adalah fungsi kontinu, integral di (2.3) ada, dan dengan

mengevaluasinya diperoleh solusi umum dari (2.1). Metode penyelesaian

persamaan direfensial biasa ini disebut metode variabel terpisah , dan (2.1)

disebut persamaan terpisah , karena di (2.3) variabel sekarang terpisah : hanya

muncul dikanan dan hanya dikiri. [6]

2.2 Model Pertumbuhan Populasi

Kedua kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu

angka kelahiran dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk

memprediksi bagaimana ukuran populasi akan berubah menurut waktu. [8]

2.2.1 Model Eksponensial

Model eksponensial merupakan model pertumbuhan yang sangat sederhana.

Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu populasi ideal

dalam lingkungan yang tidak terbatas. Pada model ini individu berkembang tidak

dibatasi oleh lingkungan seperti kompetisi dan keterbatasan akan suplai makanan.

Laju perubahan populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran, kematian dan

migrasi diketahui.

Prediksi bahwa jumlah populasi akan tumbuh secara eksponensial pertama

kali dicetuskan oleh Malthus (1798) [1]. Populasi yang tumbuh secara

6

eksponensial pertama kali diamati terjadi di alam bebas. Dinamika populasi dapat

di aproksimasi dengan model ini hanya untuk periode waktu yang pendek saja.

Mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan populasi terhadap waktu

berbanding lurus dengan jumlah populasi yang ada. [2]

Misalkan () menyatakan jumlah populas