Underfined element

Definisi aksioma/postulat

Teorema 1 Teorema 2 Dst …

g A B

BAB I

PENDAHULUAN

A. Aksioma Definisi dan Prinsip Awal

Di dalam Geometri beberapa relasi antar elemen harus diterima tanpa bukti. Relasi ini disebut Aksioma atau Postulat.Sedangkan relasi yang dapat dibuktikan disebut teorema atau dalil. Beda antara aksioma dengan postulat adalah aksioma berlaku untuk semua science, sedangkan postulat berlaku untuk suatu science tertentu dan dapat dipandang sebagai aturan permainan.

Suatu definisi harus reversible yaitu harus dapat dinyatakan dalam bentuk “iff”. Sebagai contoh : Suatu segitiga sama sisi adalah suatu segitiga yang ketiga sisinya sama. Atau : Segitiga disebut sma sisi iff ketiga sisinya sama.

Definisi memungkinkan kita menghubungkan elemen-elemen dan relasi –relasi yang dapat dinyatakan dalam underfined elemen, postulat, elemen yang didefinisikan sebelumnya, dan relasi yang telah dibuktikan sebelumnya.

Ikhtisarnya sbb:

B. Garis dan Sudut1. Garis

Garis lurus panjang tak terbatas. Jika pada garis lurus terletak titik A dan B maka garis itu disebut garis AB.Garis lurus bisa juga dinyatakan dengan huruf kecil g,h j, k, l …Bagian garis diantara A dan B disebutRuas (segmen) garis AB. Ruas garis panjangnya terbatas.

A C P S T

B D R Q

Aksioma1.1. Suatu garis lurus ditentukan oleh dua buah titik

2. Suduta. Notasi untuk sudut h 4 g

Jika dua garis lurus berpotongan di sebuah 1 3titik maka terdapat empat buah sudut. 2

Pada gambar di samping, titik A disebut Ctitik sudut. AB dan AC disebut kaki-kaki sudut. Sudut ini dinyatakan dengan ∠A atau ∠ BAC atau ∠CAB, titik sudut ditulis di tengah

A Bb. Jenis Jenis Sudut

Ada empat jenis sudut :i. Sudut lancip , adalah sudut yang kurang dari 90o

ii. Sudut siku-siku, adalah sudut 90o

iii. Sudut tumpul ialah sudut yang lebih besar dari 90o dan kurang dari 180o

iv. Sudut Lurus, ialah sudut 180o

c. Pelurus, Penyiku , Sudut bersisian , sudut bertolak belakang.

Definisi :

1.1. Pelurus suatu sudut ialah tambahan sudut untuk menjadi 180o

1.2. Penyiku suatu sudut ialah tambahan sudut untuk menjadi 90o

1.3. Dua sudut yang satu kakinya bersekutu dan mempunyai titik sudut yang sama disebut dua sudut bersisian

1.4. Dua sudut yang kedua kakinya bersambungan disebut dua sudut bertolak belakang.

∠ABC dan ∠CBD saling bersisian, ∠PTR dan ∠QTS dua sudut bertolak belakang

Teorema 1.1.

A

324

1

Selisih pelurus dan penyuku sudut yang sama , sama dengan 90o Diketahui : ∠ABuktikan : Pelurus ∠A – penyiku ∠ A = 90o

Bukti : Pelurus ∠A = 180o- ∠A Penyiku ∠A = 90o - ∠A Pelurus ∠A - penyiku∠A = (180o -∠A) –(90o-∠A)

= 1800-∠A - 90o + ∠A = 90o …………….(terbukti)

Teorema 1.2. Dua sudut yang pelurusnya sama , akan sama besarnyaDiketahui : Pelurus ∠A = pelurus ∠BBuktikan : ∠A = ∠BBukti : Pelurus ∠A = pelurus ∠B

180o - ∠A = 180o - ∠B ∠A = ∠B ………..(terbukti)

Teorema 1.3. Dua sudut yang penyikunya sama , akan sama besarnyaDiketahui : Penyiku ∠A = penyiku ∠BBuktikan : ∠A = ∠BBukti : Penyiku ∠A = penyiku ∠B

90o - ∠A = 90o - ∠B ∠A = ∠B ………..(terbukti)

Teorema 1.4. Sudut yang bertolak belakang sama besar.Diketahui : ∠A 1 dan ∠B3 saling bertolak belakangBuktikan : ∠A 1 = ∠B3

Bukti : ∠A 1 + ∠B2 = 180 (saling berpelurus)

∠A 3 + ∠B4 = 180 (saling berpelurus)

∠A 1 – ∠B3 = 0

∠A 1 = ∠B3 ....................... (terbukti)

C. Lukisan Dasar Lukisan 1.Membagi suatu ruas garis menjadi dua bagian yang sama

C

A E B

D

1. Buat busur lingkaran dengan jari-jari sama (lebih dari setengah AB) dengan pusat A dan B. Busur lingkaran ini berpotongan di C dan D

2. Tarik garis CD yang memotong AB di E 3. Maka AE = EB

Catatan : CD disebut garis sumbu ABCD membagi AB menjadi dua sama dan tegak lurus

Lukisan 2. Melukis sebuah garis melalui sebuah titik di luar sebuah garis dan tegak lurus garis tersebut

P

h

g A

B

Q

Akan dilukis grs h melalui P dan tegak lurus g1. Buat busur lingkaran berpusat di P dan

memotong grs g di A danB2. Dengan jari jari yang sama, buatlah busur

lingkaran dengan pusat A dan B yang berpotongan di Q

3. Buat garis h melalui P dan Q4. Maka garis h melalui P dan tegaklurus g

Lukisan 3. Melukis garis tegak lurus di sebuah titik yang terletak pada sebuah garis

h C

g A

P B

D

Akan dilukis grs h melalui P dan tegak lurus g1. Buat busur lingkaran berpusat di P dan

memotong grs g di A danB2. Buatlah busur lingkaran dengan pusat A dan

B dengan jari jari yang sama( lebih dari setengah AB),yang berpotongan di C dan D

3. Buat garis h melalui C dan D4. Maka garis h melalui P dan tegaklurus g

Lukisan 4. Membagi sudut menjadi dua bagian sama.

C

Buat busur lingkaran yang berpusat di A , busur itu memotong kaki ∠A di B dan C

Dengan jari-jari yang sama, buatlah busur lingkaran dengan pusat di B dan C, busur

D

A B

busur itu berpotongan di D Buat garis melalui A dan D AD membagi ∠A menjadi dua bagian

yang sama

Lukisan 5. Memindah sudut

C R

g

A B Q P

Akan dipindah ∠A ke P pada garis g1. Buatlah busur lingkaran dengan pusat A dan memotong kaki-kaki ∠A di B dan C2. Buat busur lingkaran dengan pusat P dan jari-jari AB , busur ini memotong garis

g di Q3. Ukurkan jarak BC menggunakan jangka4. Buat busur lingkaran dengan pusat Q dan jari-jari BC, busur ini memotong busur

tadi (no 2) di R5. Tarik garis PR, maka ∠QPR = ∠BAC

Lukisan 6. Membuat ruas garis sepanjang √n , n∈B

1

0 1 √2 √3 2 3 √15 4

D. Segitiga1. Unsur-unsur segitiga

C

γ

b c

α β A c B

∠A, ∠B, ∠C disebut titik sudut ΔABC. AB,

BC dan AC disebut sisi ΔABCSisi BC dihadapan ∠A disebut aSisi AC dihadapan ∠B disebut bSisi AB dihadapan ∠C disebut c

∠A disebut pula α (alpha)∠B disebut pula β (betha)∠C disebut pula γ (gamma)

1. Klasifikasi segitiga ditinjau dari Sisi dan Suduta. Ditinjau dari sisinya Segitiga sama kaki. Segitiga dengan dua sisi sama disebut segitiga sama kaki. Kedua

sisi yang sama disebut kedua kaki segitiga sama kaki.sisi ketiga disebut alas. Sudut dihadapan alas disebut sudut puncak. Kedua sudut yang lain disebut sudut alas.

Segitiga Sama Sisi. Segitiga dengan sisi sama disebut segitiga sama sisi. Segitiga sebarang. Segi tiga dengan tiga sisi tidak ada yang sama disebut segiga

sebarang.b. Ditinjau dari sudutnya. Segitiga Lancip, jika ketiga sudutnya lancip Segitiga siku siku, jika satu sudutnya siku-siku Segitiga tumpul, Jika satu sudutnya tumpul.2. Jumlah Sudut Dalam Segitiga, Sudut Luar Segitiga.

Teorema 1.5.Jumlah sudut dalam segitiga sama dengan 180o

Definisi 1.5. Sudut Luar segitiga ialah sudut bersisian dengan salah satu sudut segitiga itu

Teorema 1.6.

Sudut luar sebuah segitiga sama dengan jumlah kedua sudut yang lain

C

1 2 A B

Diketahui : Δ ABCBuktikan : ∠ B2 =∠ A + ∠CBukti : ∠A + ∠B1 + ∠C = 180o

∠B1 + ∠B2 = 180o

∠A + ∠C – ∠B2 = 0o

∠B2 = ∠A + ∠C

AB

C

1

1

1

2

2

2

Teorema 1.7.

Jumlah sudut luar segitiga sama dengan 360o

Diketahui : ∆ ABCBuktikan : ∠A2 + ∠B2 + ∠C2 = 360Bukti : ∠A2 = ∠B1 + ∠C1

∠B2 = ∠A1 + ∠C1 ∠C2 = ∠A1 + ∠B1 +

∠A2 + ∠B2 + ∠C2 = 2(∠A1 + ∠B1 +∠C1)

∠A2 + ∠B2 + ∠C2 = 2(180)

∠A2 + ∠B2 + ∠C2 = 360

3. Garis Garis Istimewa dalam Segitigaa. Garis Berat

Definisi 1.6. Garis berat ialah gari dari titik sudut ke pertengahan sisi di hadapannya

Ketiga garis berat melalui satu titik yang disebut titik berat.

Titik berat membagi masing-masing garis berat dengan perbandingan 2 : 1, dua bagian ke arah sudut dan satu bagian ke arah sisi

b. Garis BagiDefinisi 1.7. Garis bagi ialah garis yang membagi sudut menjadi dua bagian sama

x x

0 @

0 @

Ketiga garis bagi melalui satu titik yang disebut titik bagi.

Titik bagi merupakan pusat lingkaran dalam segitiga

c. Garis Tinggi.Definisi 1.8. Garis tinggi adalah garis dari titik sudut tegak-lurus sisi di hadapannya

Ketiga garis tinggi melalui satu titik yang disebut titik tinggi.

d. Garis SumbuDefinisi 1.9. Sumbu suatu garis /sisi ialah garis yang tegak-lurus pada pertengahan

garis /sisi itu

Pada segitiga sering juga disebut garis sumbu

Ketiga garis sunbu melalui satu titik yang disebut titik sumbu.

Titik sumbu merupakan titik pusat lingkarang luar segitiga

Teorema 1.8.

Garis bagi dalam dan garis bagi luar suatu sudut yang sama , tegak-lurus sesamanya

C E

D

3 2 4 1 A B

Diketahui : ΔABC DB grs bagi dalam BE garis bagi luarBuktikan : BD ¿ BEBukti :

4. Dua Segitiga Sama dan SebangunDefinisi 1.10. Dua segitiga yang ketiga sisinya sama adalah sama dan sebangun

Ketiga sisi sama disingkat : S, S, SSama dan sebangun disimbolkan : ¿

Teorema 1.9.

Dua segitiga sama dan sebangun , jika dua buah sisinya sama dan sudut apit sisi itu sama (S,Sd,S)

Teorema 1.10.

Dua segitiga sama dan sebangun , jika sebuah sisinya sama dan sudut-sudut pada kedua ujung sisi itu sama (Sd, S, Sd)

C R

0 x 0 x A B P QDiketahui :Buktikan :Bukti :

Teorema 1.11.

Dua segitiga sama dan sebangun , jika satu sisinya sama, sudut pada sisi itu dan sudut dihadapan sisi itu sama juga (S,Sd,Sd)

Teorema 1.12.

Dua segitiga sama dan sebangun , jika segitiga itu siku-siku dan sebuah sisi siku-siku dan sisi miringnya sama (S,Sm)

Teorema 1.13.

Dalam segitiga sama kaki sudut alasnya sama besar

Teorema 1.14.

Dalam segitiga sama kaki, ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas berimpit

Teorema 1.15.

Jika dalam suatu segitiga , ketiga garis istimewa dari suatu titik sudut dan sumbu sisi dihadapan sudut itu berimpit maka segitiga itu sama kaki

Teorema 1.16.

Dalam segitiga siku-siku garis berat ke sisi miring sama dengan setengah sisi miring

Teorema 1.17.

Dalam segitiga siku-siku dengan sudut 30o , sisi di hadapan sudut itu sama dengan setengah sisi miring

Soal-soal :

1. Diketahui segitiga sama kaki ABC (C puncak). Pada alas AB ditentukan titik D dan E sehingga AD = BE. Buktikan CD = CE.

2. Dalam segitiga ABC yang sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan garis bagi BE, Buktikan AD = BE

3. Tariklah garis AB dan lukislah sumbu AB. Pada sumbu AB terletak titik P. Buktikan titik P sama jauh dari titi A dan titik B

4. Segitiga ABC sama kaki,alasnya AB. Garis bagi AD dan BE berpotongan di titik T.

Buktikan : a). Segitiga ABT sama kaki

b). TD =TE

5. Buktikan bahwa dalam segitiga sama kaki kedua garis tinggi dari titik sudut alas sama

Melukis segitigaContohLukislah segitiga, jika diketahui satu sisi dan kedua sudut pada sisi itu (T 1.10)Penyelesaian :

Lukisan:1) Tarik garis sebarang dan ukurkan alas c (AB)2) Pada pangkal dan ujungnya , lukiskan sudut A dan sudut B3) Kaki sudut diperpanjang hingga berpotongan di C

Tugas

1) Lukiskan sebuah segitiga , jika diketahui dua sisinya dan sudut apit sisi itu (T 1.9)2) Lukiskan sebuah segitiga , jika diketahui satu sisi , satu sudut pada sisi itu dan sudut di

hadapan sisi itu (T 1.11)3) Lukiskan sebuah segitiga , jika diketahui ketiga sisinya (Def)4) Lukiskan sebuah segitiga , jika diketahui dua sisinya dan satu sudut di hadapan sisi itu.