Standar kompetensi : Melakukan operasi hitung bilangan bulat dan pecahan.

Kompetensi dasar:

1. Menyelesaikan operasi bilangan bulat dan mengenal sifat operasi bilangan bulat.

BAB I

BILANGAN BULAT

I. Bilangan Dan Lambangnya

Sewaktu masih sekolah dasar siswa sudah mengenal berbagai bilangan, seperti halnya : Bilangan Asli yang biasanya di lambangkan dengan A dimana anggotanya adalah 1, 2, 3, 4,

5, dan seterusnya. Bilangan Cacah yang biasanya dilambangkan dengan C dimana anggotanya adalah 0, 1, 2, 3,

4, 5, dan seterusnya. Bilangan Prima yang biasanya dilambangkan dengan P dimana anggotanya adalah 2, 3, 5, 7,

11, dan seterusnya. Bilangan Bulat, merupakan bilangan yang masih utuh yang terdiri dari bilangan nol, bilangan

positif dan bilangan negatif. Bilangan bulat biasanya dilambangkan dengan B.

Coba kita amati mengenai bilangan asli, bilangan cacah dan bilangan prima ternyata bilangan-bilangan tersebut tidak dapat digunakan untuk suhu-suhu, contohnya suhu yang menunjukkan dibawah 00 C. Untuk mengukur bilangan tersebut maka kita butuh bilangan tersebut yang disebut dengan Bilangan Negatif.

1) Bilangan NegatifPernahkah kalian melihat thermometer, bila air mendidih maka akan menunjukkan angka ke 1000C, tapi bila air membeku maka akan menunjukkan 00C. Coba kalian lihat gambar thermometer disamping titik bekunya menunjukkan angka dibawah 0.Misalkan :

Suhu 10C dibawah 00C, maka dapat ditulis -10C Suhu 20C dibawah 00C, maka dapat ditulis -20C

Bilangan negatif adalah suatu himpunan yang memiliki anggota negatif, sedangkan ciri bilangan negatif adalah bilangan yang nilai paling besar terletak pada nilai -1. Bisa ditulis dengan B = {-1,-5,-7,-9} terlihat nilai paling besar adalah -1.

2) Bilangan PositifBilangan Positif adalah suatu himpunan yang memiliki anggota positif dan bilangan asli. Bilangan ini memiliki ciri nilai paling besar adalah tak hingga. Bisa ditulis dengan B = {1,2,3,4,5,….10}.

3) Bilangan NolBilangan nol adalah suatu himpunan yang memiliki anggota hanya bilangan nol saja. Bisa ditulis dengan B = {0}

Contoh :

1) Suhu manakah yang lebih tinggi antara -80 C dengan -50C ?Jawab:Pada garis bilangan maka nilai -8 disebelah kiri -5, jadi -8 kurang dari -5.

2) 4……. -5Jawab 4 > -5

Jadi bilangan bulat negative berada disebelah kiri 0, sedangkan bilangan bulat positif berada disebelah kanan 0.Dan didalam garis bilangan diatas suatu bilangan yang letaknya disebelah kanan bilangan lain maka nilaianya adalah lebih dari, Sedangkan bilangan yang telaknya disebelah kiri maka nilai kurang dari bilangan lain.Contoh :

3>−1 ( 3 nilainya adalah lebih dari -1, dimana letak 3 disebelah kanan dari -1 ). −5←3 (-5 nilainya adalah kurang dari -3, dimana letak dari -5 disebelah kiri -3)

Semua bilangan negative terletak disebelah kiri 0, jadi, jika a<0 berarti a adalah bilangan negative. Sebaliknya bilangan positif terletak di sebelah kanan 0. Jadi, jika b>0 berarti b adalah bilangan positif.

Latihan 1.

1. Gunakan bilangan positif atau bilangan negative untuk menunjukkan sebagai berikut !a. 8 m dibawah permukaan laut.b. Kenaikan harga sayuran sebesar Rp 500 per kgc. Suhu kutub utara 230 C dibawah 00 C

2. Apa artiya dari :a. -100 Cb. 80 Cc. 60 Cd. -50 C

3. Pada suatu suhu ruangan laboratorium adalah 40C. Berapa derajat suhu ruangan jika :a. Suhu naik 60 C ?b. Suhu turun 80 C ?

4. Susunlah bilangan bulat dibawah ini dengan urutan naik:a. 5, -15, -11, 8, -1b. -6, 4, -2, 3, -8

5. Sisipkan tanda < dan > sehingga benara. 45 …… -28 c. -22 ….. -11b. -29 ….. -55 d. -88 ….. 4

II. Operasi Pada Bilangan Bulata. Penjumlahan dan sifat-sifatnya

1. Penjumlahan dengan Garis BilanganContoh :

1. – 2 + 5Dari titik 0 bergerak kekiri dengan 2 satuan dan dilanjutkan 5 satuan ke kanan sehingga diperoleh titik akhir 3.

2. – 4 + (- 3)Dari titik 0 bergerak ke kiri dengan 4 satuan dan dilanjutkan 3 lagi satuan ke kiri sehingga diperoleh titik akhir -7.

3. 8 + (-3)Dari 0 bergerak ke kanan dengan 8 satuan dan dilanjutkan 3 satuan ke kiri sehingga diperoleh titik akhir 5.

Maka dapat diperoleh :

2. Sifat-sifat Penjumlahan

a. Sifat komutatif ( pertukaran)Contoh :

a) 5 + 3 = 3 + 5 = 8b) -2 + 5 = 5 + ( - 2) = 3

Jadi

b. Sifat Identitas Contoh :

a) 0 + 5 = 5b) -2 + 0 = -2c) 0 + (-3) = -3

Jadi

c. Sifat AsosiatifContoh :

( -5 + 4 ) + 3 = 2-5 + ( 4 + 3 ) = 2Berarti ( -5 + 4 ) + 3 = -5 + ( 4 + 3 ) = 2 Jadi

d. Sifat tertutupContoh

- a + (-b) = - ( a + b ) - a + b = - ( a – b ) , jika a lebih dari b - a + b = b – a , jika b lebih dari a

-

a + b = b + a

a + 0 = a

( a + b ) + c = a + ( b + c)

a) 2 + 3 = 5 ( 2 dan 3 Merupakan bilangan bulat menghasilkan 5 juga bilangan bulat)

b) -14 + ( -5) = -15 ( -14 dan -5 Merupakan Bilangan Bulat menghasilkan -15 yang merupakan bilangan Bulat )

Jadi

b. Pengurangan dan sifat-sifatnya1. Pengurangan dengan garis bilangan

Contoh :1. 6 – 2 = 4

Dari titik 0 kearah kanan 6 satuan dilanjutin kearah kiri 2 satuan maka akan menghasilakan nilai akhir 4.

Jika suatu bilangan bulat dijumlahkan maka akan menghasilkan bilangan bulat juga.

a + b = c ( Dimana a, b, dan c merupakan bilangan bulat )

2. 2 – ( - 3 ) = 5Dari titik 0 kearah kanan 2 satuan kemudian karena dikurangi dengan negative yang harusnya kekriri maka menjadi kearah kanan 3 satuan yang akahirnya menjadi nilai akhir 5.

Latiahan 2

1.) Hitunglah penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangana. 4 + 3 c. -5 + 8b. 7 + (-2) d. -6 + ( - 4)

2.) Ayu masuk ke sebuah lift pada lantai 7 pada suatu gedung. Kemudian lif tersebut turun 6 lantai kamudian naik lagi 4 lantai. Pada lantai berapa Ayu sekarang ?

3.) Carilah n nyaa. n + ( -57 ) = - 32 c. -43 + n = 38b. n + ( -28 ) = 36 d. –25 + n = - 41

4.) Hitunglah hasil operasi ?a. – 65 + 26 + 65 c. 25 + (-70) + 15 + 70b. 67 + 45 + (-67) + 55 d. (-35) + ( -60) + 35 + 75 + 60

Untuk bilangan bulat a dan b maka :

a - b = a + ( - b )

Tugas Rumah 1.)

2.)

2. Sifat-sifat pengurangana. Invers ( lawan)

Contoh:a. 3 merupakan invers ( lawan ) dari -3b. 2 merupakan invers ( lawan ) dari -2c. 1 merupakan invers ( lawan ) dari -1

b. Komutatif Contoh :

6 - 4 = (-4) + 6 = 2 - 4 - 2 = -2 - 4 = -6

Jadi

c. Asosiatif

a - b = - b + a

Contoh ( 4 – 6 ) – 3 = - 5 4 + (-6 – 3) = - 5

Jadi

d. Sifat TertutupContoh :

8 – 13 = - 5 ( 8 dan -13 merupakan bilangan bulat menghasilkan -5 yang merupakan bilangan bulat )

-6 – 10 = - 16 ( -6 dan 10 merupakan bilangan bulan menghasilkan -16 yangMerupakan bilangan bulat )

c. Perkalian dan sifat-sifatnya1. Perkalian bilangan positif dan negative

( a - b ) - c = a - ( b - c)

Jika suatu bilangan bulat dikurangkan maka akan menghasilkan bilangan bulat juga.

a - b = c ( Dimana a, b, dan c merupakan bilangan bulat )

Tabel 1.1

Contoh:1. 2×3=3+3=62. 4×5=5+5+5+5=20

Sekarang kalo menggunakan perkalian dengan bilangan positif dengan negative

1. 2 x ( -3 ) = -3 + (-3) = -62. 3 x (- 3 ) = -3 + ( - 3 ) +(-3) = -9

Maka bila hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negative hasilnya adalah bilangan bulat negative.

a x ( - b) = - ab

Dan sebaliknya

Bila hasil perkalian dari bilangan bulat negative dengan bilangan bulat positif hasilnya adalah bulat bulat negative.

( - a ) x b = -ab

2. Perkalian Dua bilangan NegatifContoh :

5.) - 8 x ( - 12 ) = 966.) ( - 7 x 2 ) x (- 9 ) = 126

3. Pekalian bilangan Bulat dengan 0 dan 1

1.) Perkalian dengan 0Lihatlah table 1.1 ! Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai suatu bilangan bulat yang dikalikan dengan bilangan 0?Contoh :

- 3 x 0 = 0 1 x 0 = 0 0 x 0 = 0 2 x 0 = 0

2.) Pekalian dengan 1Pada tabel 1.1 , Bagaimana hasilnya bilangan bulat yang dikalikan dengan 1 ? Contoh :

-2 x 1 = -2 0 x 1 = 0 2 x 1 = 2 3 x 1 = 3

Jadi

Hasil perkalian dari bilangan bulat negative dengan bilangan bulat negative hasilnya adalah bilangan positif.

( - a ) x ( -b ) = ab

Jadi suatu bilangan bulat sembarang a dan b apabila dikalikan dengan bilangan 0 maka hasilnya adalah 0

a x 0 = 0

Suatu bilangan bulat sembarang, dimisalkan a dikalikan dengan 1 maka bilangan itu sendiri.

a x 1 = a

4. Sifat-sifat perkalian bilangan Bulata. Sifat komutatif

Contoh : 5 x 2 = 2 x 5 = 10 2 x (-1) = (-1) x 2 = -2

Jadi

b. Sifat AsosiatifContoh :

( 5 x 6 ) x 2 = 605 x ( 6 x 2) = 60Maka ( 5 x 6 ) x 2 = 5 x ( 6 x 2)Jadi :

c. Sifat DistributifContoh :

2 x ( 5 + 10 ) = ( 2 x 5 ) + ( 2 x 10 ) = 10 + 20 = 30 3 x ( 4 + 6 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 6 ) = 12 + 18 = 30

Jadi

5. Pembagian dan sifat-sifatnyaa. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian

Pembagian merupakan operasi dari kebalikan dari perkalian.Contoh:6 : 3 = 2 ( 6 – 3 – 3 = 0 ).Karena 2 x 3 = 6.

a x b = b x a

(a x b ) x c = a x ( b x c )

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x b )

a :b=c maka↔c×b=a

b. Pembagian bilangan positif dengan bilangan negativeContoh

−6 :2=a⟺a×2=−6

Nilai pengganti a yang benar adalah -3, sebab – 3 x 2 = -6.

Jadi – 6 : 2 = - 3

15 : (−3 )=a⟺a× (−3 )=15 Nilai pengganti a yang benar adalah -5, sebab -5

c. Pembagian Dua bilangan Bulat NegatifContoh :

−12 : (−3 )=a⟺a× (−3 )=12 Nilai pengganti a yang benar adalah 4, sebab 4 x ( - 3 ) = -12.Jadi, - 12 : (-3) = 4.

d. Pembagian dengan Nol Kalian sudah mempelajari perkalian dengan 0, sekarang perhatikan pembagian dengan 0.Contoh :

Maka bila hasil pembagian bilangan bulat positif dibagi dengan bilangan bulat negative hasilnya adalah bilangan bulat negative.

a : ( - b) = - c

Dan sebaliknya

Bila hasil pembagian dari bilangan bulat negative dibagi dengan bilangan bulat positif hasilnya adalah bulat bulat negative.

( - a ) : b = - c

Hasil pembagian dari bilangan bulat negative dibagi dengan bilangan bulat negative hasilnya adalah bilangan positif.

( - a ) : ( -b ) = c

8 : 0 = ….Untuk menjawab harus diperoleh suatu bilangan jika dikalikan dengan 0 hasilnya 8. Ternyata tidak ada satu pun nilai pengganti p yang memenuhi p x 0 = 8 sehingga menjadi kalimat yang benar.

Latihan 2.1.)

III. KPK Dan FPBIV. Taksiran Pada Bilangan BulatV. Pangkat Pada Bilangan Bulat

VI. Akar Kuadarat Dan Akar Pangkat Tiga

Jadi suatu bilangan bulat sembarang a apabila dibagi dengan bilangan 0 maka hasilnya adalah tak terdefinisikan

a : 0 = ( tak terdefinisikan)