Bab 8A

Bab 8A

Estimasi 1

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

Bab 8A

ESTIMASI 1

A. Pendahuluan

1. Hakikat Estimasi

• Estimasi adalah taksiran dan yang diestimasi adalah parameter populasi

• Data yang digunakan untuk melakukan estimasi parameter populasi adalah statistik sampel sebagai estimator

• Terdapat prosedur tertentu untuk melaksanakan estimasi

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

2. Parameter yang Diestimasi

Parameter yang diestimasi adalah parameter yang digunakan di dalam pengujian hipotesis

Sebagai gambaran estimasi parameter yang dibicarakan di sini mencakup

• Satu rerata

• Satu porporsi

• Satu koefisien korelasi

• Satu koefisien regresi

• Perbandingan dua variansi

• Selisih dua rerata

• Selisih dua proporsi

• Selisih dua koefisien korelasi

• Selisih dua koefisien regresi

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

3. Jenis Estimasi

Ada beberapa jenis estimasi, di antaranya adalah estimasi titik, estimasi interval, dan estimasi kebolehjadian maksimum

• Pada estimasi titik, hasil estimasi adalah satu nilai parameter (sama dengan nilai statistik)

• Pada estimasi interval, hasil estimasi adalah suatu interval nilai parameter

Statistik sampel

Parameter populasi

Statistik sampel

Parameter populasi

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

• Pada estimasi kebolehjadian maksimum hasil estimasi adalah satu nilai parameter yang diperoleh dari menghitung nilai maksimum dari semua kebolehjadian (likelihood)

Kebolehjadian : L()

Parameter : Kebolehjadian maksimum

Di sini pembahasan dibatasi pada estimasi interval serta sedikit pembahasan tentang estimasi melalui kebolehjadian maksimum

Catatan: Masih ada sejumlah estimasi lainnya seperti estimasi Bayes namun mereka tidak dibahas di sini

•

0)(

d

dL

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

3. Estimasi Interval

Hasil estimasi adalah suatu interval pada parameter populasi, biasanya, suatu nilai di sekitar estimasi titik

Jika estimasi titik adalah , maka estimasi interval adalah

sehingga interval estimasi menjadi

≤ ≤ +

+

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

4. Sifat Estimasi

• Diketahui statistik sampel (sebagian) dan berbicara tentang parameter (seluruh), estimasi parameter mengandung probabilitas keliru

• Makin lebar interval estimasi makin kecil probabilitas keliru

• Namun makin lebar interval estimasi makin kecil ketepatannya sehingga makin rendah kadar informasinya

• Sebaliknya, makin sempit interval estimasi makin besar probabilitas keliru, namun makin tinggi kadar informasinya

• Interval estimasi berusaha mencari imbangan terbaik di antara probabilitas keliru dan kadar informasi

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

Probabilitas keliru dan kadar informasi

• Probabilitas keliru relatif kecil

• Kadar informasi relatif rendah

• Probabilitas keliru relatif besar

• Kadar informasi relatif tinggi

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

5. Interval Keyakinan

Interval keyakinan adalah komplemen dari probabilitas keliru

Jika probabilitas keliru adalah , maka interval keyakinan adalah 1

Beberapa contoh rumusan estimasi

(a) Pada interval keyakinan 0,95, rerata populasi X adalah

6,25 ≤ X ≤ 7,75

(b) Pada interval keyakinan 0,99 perbandingan variansi populasi X dan Y yang independen adalah

84,166,02

2

Y

X

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

(c) Pada interval keyakinan 0,95, selisih dua rerata populasi X dan Y yang independen adalah

2,15 ≤ X Y ≤ 3,85

(d) Pada interval keyakinan 0,98 proporsi populasi X adalah

0,45 ≤ X ≤ 0,55

(e) Pada interval keyakinan 0,90 selisih dua proporsi populasi X dan Y yang independen adalah

0,035 ≤ X Y ≤ 0,065

(f) Pada interval keyakinan 0,95 koefisien korelasi linier di antara populasi X dan Y adalah

0,5564 ≤ XY ≤ 0,8298

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

(g) Pada interval keyakinan 0,98 selisih di antara koefisien korelasi populasi X dan Y dan koefisien korelasi populasi U dan V yang independen adalah

0,010 ≤ XY UV ≤ 0,030

(h) Pada interval keyakinan 0,99 koefisien regresi populasi X dan Y adalah

1,24 ≤ B ≤ 1,76

(i) Pada interval keyakinan 0,95 selisih di antara koefisien regresi B1 dan koefisien regresi B2 adalah

0,25 ≤ B1 B2 ≤ 1,45

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

6. Kaitan dan Persyaratan Estimasi

Estimasi berkaitan dengan statistik sampel dan parameter populasi

Seperti halnya pengujian hipotesis parametrik, estimasi ini berkaitan pula dengan

• Distribusi probabilitas pensampelan

• Kekeliruan baku

• Taraf signifikansi ()

• Nilai kritis pada taraf signifikansi

Persyaratan estimasi adalah seperti persyaratan pada pengujian hipotesis parametrik, meliputi

• Data minimal berskala interval

• Kondisi populasi dan cara penarikan sampel tertentu perlu dipenuhi

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

B. Estimasi Interval

1. Parameter dan Statistik

• Populasi dengan parameter tertentu dapat menghasilkan beramcam-macam statistik sampel (ada kekeliruan pensampelan)

• Sebaliknya, sampel dengan statistik tertentu dapat berasal dari populasi dengan bermacam-macam parameter

• Sebagai contoh, statistik sampel rerata X = 6 dapat berasal dari populasi dengan

X = 6

X = 4

X = 8

dan seterusnya

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

Sampel nX = 2 dari beberapa populasi NX = 5

sampel rerata 4 5 4,5 4 6 5 4 7 5,5 4 8 6 5 6 5,5 5 7 6 5 8 6,5 6 7 6,5 6 8 7 7 8 7,5

rerata frek prob 4,5 1 0,1 5 1 0,1 5,5 2 0,2 6 2 0,2 6,5 2 0,2 7 1 0,1 7,5 1 0,1

4 5 6 7 8X = 6

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------


sampel rerata 3 4 3,5 3 5 4 3 6 4,5 3 7 5 4 5 4,5 4 6 5 4 7 5,5 5 6 5,5 5 7 6 6 7 6,5

rerata frek prob 3,5 1 0,1 4 1 0,1 4,5 2 0,2 5 2 0,2 5,5 2 0,2 6 1 0,1 6,5 1 0,1

3 4 5 6 7X = 5

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------


sampel rerata 5 6 5,5 5 7 6 5 8 6,5 5 9 7 6 7 6,5 6 8 7 6 9 7,5 7 8 7,5 7 9 8 8 9 8,5

rerata frek prob 5,5 1 0,1 6 1 0,1 6,5 2 0,2 7 2 0,2 7,5 2 0,2 8 1 0,1 8,5 1 0,1

5 6 7 8 9X = 7

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

Parameter X Probabilitas untuk X = 6

6 0,2

5 0,1

7 0,1

Makin jauh rerata populasi dari 6 (estiamsi titik), makin kecil probabilitasnya menghasilkan rerata sampel = 6

Sampai probabilitas kita menerima bahwa rerata sampel = 6 masih berasal dari populasi dengan rerata = 6 X

X = 6

65 7X

Probabilitas 0,1 0,2 0,1

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

2. Batas Estimasi

• Ada dua batas estimasi, batas bawah ( – ) dan batas atas ( + )

• Kalau batas estimasi itu ditentukan oleh probabilitas sebesar , maka masing-masing batas bawah dan batas atas memperoleh ½

• Pada contoh kita, batas bawah adalah X dengan probabilitas ½ untuk menghasilkan sampel X

• Batas atas juga adalah X dengan probabilitas ½ untuk menghasilkan sampel X

Batas bawah Batas atas

½½

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

-----------------------------------------------------------------------------

• Nilai ditentukan oleh bebarapa besaran meliputi

Distribusi probabilitas pensampelan

Kekeliruan baku

Taraf keyakinan

Nilai kritis

dengan

= (kekeliruan baku)(nilai kritis

sehingga interval estimasi menjadi

– +

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

3. Contoh Prosedur Estimasi

Kita gunakan satu contoh untuk melihat prosedur estimasi secara interval dengan interval keyakinan (1 – ) = 0,95

Suatu rerata sampel kecil berasal dari populasi berdistribusi probabilitas normal melalui penarikan sampel acak

nX = 49 X = 70 sX = 14


DPP : DP t-Student

Kekeliruan baku

481

00249

14

XX

X

XX

n

n

s

,

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

• Estimasi titik

X = 70

• Probabilitas untuk batas bawah dan batas atas adalah

½ = 0,025

• Pada batas bawah

t(0,975)(48) = 2,011

97865

01120020070

480250

489750

,

),)(,(,

))(,(

))(,(

tX

Xt

XbawahX

X

X

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

• Pada batas atas

t(0,025)(48) = – 2,011

• Batas estimasi

65,978 X 74,022

pada = 0,05 atau

pada Interval keyakinan

1 – = 0,95

02274

01120020070

480250

480250

,

),)(,(,

))(,(

))(,(

tX

Xt

XatasX

X

X

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

Batas estimasi

Untuk batas bawah, 0,025 di ujung atas sehingga

= 0,975

Untuk batas atas, 0,025 di ujung bawah sehingga

= 0,025

70,0065,978 74,022

0,0250,025

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

-----------------------------------------------------------------------------

4. Bentuk Umum Estimasl Interval

Pada contoh tampak bahwa

• Interval keyakinan 1 – • Estimasi titik X

• Batas bawah X – X t(½)(x)

• Batas atas X + X t(½)(x)

Pada bentuk umum

• Interval keyakinan 1 – • Estimasi titik • Batas bawah – • Batas atas +

= (kekeliruan baku)(nilai kritis)

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

5. Sistematika Estimasi Interval

Prosedur estimasi interval ini dapat kita susun ke dalam sistematika enam langkah

Seperti halnya pada pengujian hipotesis parametrik, keenam langkah prosedur estimasi interval adalah sebagai berikut

Langkah

• Pertama : Rumusan estimasi

• Kedua : Sampel

• Ketiga : Distribusi probabilitas pensampelan

• Keempat : Interval keyakinan

• Kelima : Bentangan estimasi

• Keenam : Interval estimasi

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

Kita sistematiskan estimasi interval untuk contoh di atas ke dalam enam langkah berikut

• Langkah pertama

Rumusan estimasi

Pada interval keyakinan 0,95 estimasi parameter rerata

• Langkah kedua

Data sampel

Sampel acak kecil menghasilkan

nX = 49 X = 70 sX = 14

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

• Langkah ketiga

Distribusi probabilitas pensampelan

DPP : DP t-Student

Kekeliruan baku

• Langkah keempat

Interval keyakinan 1 – = 0,95

= 0,05

Untuk batas bawah t(0,975)(48) = 2,011

Untuk batas atas t(0.025)48) = – 2,011

481

00249

14

XX

X

XX

n

n

s

,

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

• Langkah kelima

Bentangan estimasi

Untuk batas bawah

X t(0,975)(48) = (2,00)(2,011) = 4,022

Untuk batas atas

X t(0,025)(48) = (2,00)(– 2,011) = – 4,022

• Langkah keenam

Interval estimasi

Estimasi pada interval keyakinan 0,95

70,00 – 4,022 X 70,00 + 4,022

65,978 X 74,022

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

C. Estimasi Interval pada Satu Rerata

1. Dasar

• Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu rerata

• Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter satu rerata dengan menggunakan beberapa contoh

• Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan 6B

• Estimasi interval akan menghasilkan

X – X X X + X

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

2. Beberapa Contoh Estimasi

Contoh 1

Pada interval keyakinan 0,99 diestimasi rerata populasi X. Telah diketahui bahwa populasi X berdistribusi probabilitas normal serta memiliki simpangan baku sebesar 0,3. Sampel acak dengan pengembalian berukuran 36 menghasilkan rerata sampel sebesar 2,6

• Rumusan estimasi

Pada interval keyakinan 0,99 estimasikan rerata populasi X

• Sampel

Sampel acak dengan pengembalian

nX = 36 X = 2,6

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------


DPP : DP normal

Simpangan baku : X = 0,3

Kekeliruan baku

• Interval keyakinan

Interval keyakinan 0,99

1 – = 0,99

= 0,01

½ = 0,005

Nilai kritis

ujung bawah z(0,005) = 2,576

ujung atas z(0,995) = – 2,576

05036

30,

,

X

XX

n

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

• Bentangan estimasi

X – X = X – z(½) X

= 2,6 – (2,576)(0,05)

= 2,4712

X + X = X + z(½) X

= 2,6 + (2,576)(0,05)

= 2,7288

• Interval estimasi

Pada interval keyakinan 0,99, estimasi rerata adalah

2,4712 X 2,7288

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 2

Pada interval keyakinan 0,90, estimasi rerata populasi X yang berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak kecil berukuran 64 memberikan rerata sampel sebesar 25 dengan simpangan baku 6.


Pada interval keyakinan 0,90 estimasikan rerata populasi X

• Sampel

Sampel acak kecil

nX =

X =

sX =

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------


DPP :

Kekeliruan baku dan derajat kebebasan


Interval keyakinan 1 – =

=

½ =

Nilai kritis

Ujung bawah

Ujung atas

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------


X – X =

X + X =


Pada interval keyakinan 0,90, rerata adalah

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 3

Pada interval keyakinan 0,90, estimasi rerata populasi X yang berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak berukuran kecil sebesar 16 memberikan rerata sampel 23 dengan simpangan baku 12.

Contoh 4

Pada interval keyakinan 0,90 estimasi rerata penurunan timbangan badan X setelah subyek menjalankan usaha diet. Sampel acak kecil menghasilkan timbangan badan (dalam kg)

Sebelum 80 92 67 50 115 70 86 98 75 67

Sesudah 75 87 75 42 95 74 75 90 77 60

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 5

Sampel acak 150 sepeda motor menunjukkan bahwa rerata kecepatan adalah 56,3 km/jam dengan simpangan baku 3,1 km/jam. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi rerata kecepatan sepeda motor.

Contoh 6

Ahli kelautan mengukur temperatur air laut di teluk. Sampel acak 20 teluk menunjukkan rerata temperatur 23,60 C dengan simpangan baku 3,30 C. Pada interval keyakinan 0,99 estimasi rerata temperatur air laut di teluk.

Contoh 7

Seorang petani mengukur pH tanah seluas satu ha. Sampel acak 8 tempat menujukkan pH

5,9 6,2 6,7 6,2 6,1 6,6 6,2 6,6

Pada interval keyakinan 0,95 estimasi rerata pH tanah itu

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

D. Estimasi Interval pada Satu Proporsi

1. Dasar

• Hakikat estimasi interval pada parameter satu proporsi berdasarkan data dari sampel mirip dengan estimasi interval pada satu rerata

• Pada kekeliruan baku, kita dapat menggunakan dua macam variansi yakni variansi berdasarkan proporsi dan variansi maksimum (= 0,25)

• Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan 6B

• Estimasi interval akan menghasilkan

pX – pX X pX + pX

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

2. Beberapa Contoh Estimasi

Contoh 8

Sebelum hari pemilihan diadakan jajak pendapat di suatu wilayah. Sampel acak 100 pemilih ditanya dan 60 memilih calon X. Pada interval keyakinan 0,90, estimasi proporsi pemilih yang memilih calon X

• Rumusan Estimasi

Pada interval keyakinan 0,90, estimasi X

dengan X sebagai proporsi pemilih calon X

• Sampel

nX = 100 pX = 60 / 100 = 0,60

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------


DPP : pendekatan ke DP normalKekeliruan baku


Interval keyakinan 1 – = 0,90Ujung atas dan ujung bawah ½ = 0,05

Nilai kritis ujung bawah

z(0,05) = – 1,64

Nilai kritis ujung atas

z(0,95) = 1,64

0490100

60016001,

),)(,()(

X

XXp n

ppX

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------


pX – pX = pX – px z(0,95)

= 0,60 – (0,049)(1,64)

= 0,52

pX + pX = pX + px z(0,05)

= 0,60 + (0,049)(1,64)

= 0,68


Pada interval keyakinan 0,90, proporsi

0,52 X 0,68

• Catatan: apabila estimasi mencakup 0,50 maka timbul masalah, karena membentang dari tidak terpilih ( < 0,50) sampai terpilih ( 0,50)

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 9

Kita ulangi estimasi pada contoh 8 dengan menggunakan variansi maksimum pada kekeliruan baku


DPP : pendekatan ke DP normalKekeliruan baku (dengan variansi maksimum)


pX – pX = 0,60 – (0,050)(1,64) = 0,518pX + pX = 0,60 + (0,050)(1,64) = 0,682

• Inereval estimasi

0,518 X 0,682

050100

1

2

11

2

1,

Xp nX

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 10

Sampel acak 200 orang memesan kaca mata baru. Di antaranya 162 orang memilih lensa plastik (X). Pada interval keyakinan 0,95, estimasi proporsi orang pemesan kaca mata dengan lensa plastik


• Sampel

• Distribusi pensampelan

------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------


DPP :

Kekeliruan baku


• Bentangan interval


------------------------------------------------------------------------------Bab 8A

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 11

Ulangi contoh 10 dengan menggunakan variansi maksimum pada kekeliruan baku

Contoh 12

Sampel acak 300 penerbangan, 74% tepat waktu (X). Pada interval keyakinan 0,99, estimasi proporsi penerbangan yang tepat waktu

Contoh 13

Ulangi contoh 9 dengan menggunakan variansi maksimum pada kekeliruan baku

Contoh 14

Sampel acak 600 alat dari pengiriman 20000 alat menunjukkan 16 cacat. Pada interval keyakinan 0,98, estimasi berapa proporsi alat rusak. Estimasi juga berapa banyak alat rusak.

Bab 8A

Documents

Transcript of Bab 8A