Statistik Non Parametrik Bab 7 : Analisis Koefisien Korelasi

halaman 64

Bab 7

Analisis Koefisien Korelasi

Pada Statistika Parametrik, koefisien korelasi sampel merupakan ukuran yang menyatakan

keeratan hubungan di antara hasil-hasil pengamatan dari populasi-populasi yang mempunyai dua

varian (bivarian). Statistik ini, yang terkenal sebagai koefisien korelasi momen-hasil kali Pearson, biasanya diberi notasi r , dan didefinisikan sebagai

∑∑

∑

==

=

−−

−−=

n

1i

2i

n

1i

2i

n

1iii

)YY()XX(

)YY)(XX(r 14

dengan X dan Y adalah variabel-variabel yang diminati. Ini digunakan untuk menduga p, koefisien korelasi populasi. Namun koefisien korelasi momen-hasil kali Pearson ini

mempersyaratkan pengandaian bahwa populasi asal sampel bivariate dan berdistribusi normal.

Koefisien korelasi momen-hasil kali Pearson memiliki karakteristik-karakteristik yang dianggap

memenuhi syarat sebagau suatu ukuran korelasi antara dua variabel X dan Y. Karakteristik-

karakteristik itu adalah

1. Jika nilai-nilai X yang besar cenderung berpasangan dengan nilai-nilai Y yang besar,

demikian pula sebaliknya, ukuran korelasi di sini harus positif dan harus mendekati 1 dengan

semakin nyatanya kecenderungan tersebut. Dalam situasi begini, hubungan antara X dan Y

disebut pertalian langsung.

2. Jika nilai-nilai X yang kecil cenderung berpasangan dengan nilai-nilai Y yang besar, demikian

pula sebaliknya, ukuran korelasi di sini harus negatif dan harus mendekati -1 dengan

semakin nyatanya kecenderungan tersebut. Dalam situasi begini, hubungan antara X dan Y

disebut pertalian invers.

3. Jika nilai-nilai X yang besar memiliki kecenderungan yang sama untuk berpasangan baik

dengan nilai-nilai Y yang kecil maupun dengan nilai-nilai Y yang besar, maka ukuran korelasi

harus mendekati 0. Bila X dan Y bebas, maka ukuran korelasi harus sama dengan nol. Dalam

hal ini, X dan Y tidak berkaitan. Jika X dan Y bebas, maka korelasi antara keduanya pasti

nol, tetapi korelasi yang bernilai nol tidak selalu menyatakan ketidakterkaitan.

Apabila pengandaian untuk koefisien korelasi momen-hasil kali Pearson yang memper-syaratkan

bahwa populasi asal sampel bivariate dan berdistribusi normal ini tidak terpenuhi, maka

diperlukan analisis koefisien korelasi dari statistik nonparametrik. Berikut ini analisis koefisien

korelasi dari statistik nonparametrik :

Statistik Non Parametrik Bab 7 : Analisis Koefisien Korelasi

halaman 65

1. Analisis Koefisien Korelasi Peringkat Spearman

Asumsi-asumsi A. Data untuk analisis merupakan sebuah sampel acak yang terdiri atas n pasangan hasil

pengamatan numerik atau nonnumerik. Setiap pasangan hasil pengamatan, yang berasal dari

dua pengukuran terhadap objek atau individu yang sama, disebut unit asosiasi. B. Jika data terdiri atas hasil-hasil pengamatan dari suatu populasi yang bivariate maka

ditetapkan ke-n hasil pengamatan dengan (X1 , Y1), (X2 , Y2), ... , (Xn , Yn).

C. Setiap X ditetapkan peringkatnya relatif terhadap semua nilai X lain yang teramati, dari

yang terkecil hingga yang terbesar. Peringkat nilai X ke-i diberi notasi R(Xi), dan R(Xi) = 1

bila Xi adalah nilai X teramati yang paling kecil.

D. Setiap Y ditetapkan peringkatnya relatif terhadap semua nilai Y lain yang teramati, dari

yang terkecil hingga yang terbesar. Peringkat nilai Y ke-i diberi notasi R(Yi), dan R(Yi) = 1

bila Yi adalah nilai Y teramati yang paling kecil.

E. Jika di antara nilai-nilai X atau di antara nilai-nilai Y terdapat angka sama masing-masing

nilai yang sama diberi peringkat rata-rata dari posisi-posisi yang seharusnya.

F. Jika data terdiri atas hasil-hasil pengamatan nonnumerik bukan angka, data tersebut harus

dapat diperingkat seperti yang telah dijelaskan.

Hipotesis-hipotesis A (Dua Sisi)

H0 : X dan Y saling bebas.

H1 : X dan Y entah bertalian langsung atau invers.

B (Satu Sisi)

H0 : X dan Y saling bebas.

H1 : Ada suatu bertalian langsung antara X dan Y.

C (Satu Sisi)

H0 : X dan Y saling bebas.

H1 : Ada suatu bertalian invers antara X dan Y.

Taraf Nyata (αααα)

Statistik Uji 1. Beri Peringkat untuk sampel X, yaitu R(Xi)

2. Beri Peringkat untuk sampel Y, yaitu R(Yi)

3. Hitung di = R(Xi) - R(Yi), sebagai selisih antara R(Xi) dan R(Yi)

4. Hitung Kuadrat dari di

5. Hitung statistik uji untuk Koefisien Korelasi Peringkat Spearman dengan rumus :

)1n(n

d61r

2

2i

hitungs −−= ∑

15

dengan

[ ]∑∑=

−=n

1i

2

ii2i )Y(R)X(Rd 16

Statistik Non Parametrik Bab 7 : Analisis Koefisien Korelasi

halaman 66

Kaidah Pengambilan Keputusan

Jika sampel-sampel berukuran 4 hingga 30, digunakan Tabel 10. Harga-harga kritis statistik

uji Spearman yang menyediakan nilai-nilai kritis rs tabel.

Untuk A (Dua Sisi) : Tolaklah H0 pada taraf nyata α, jika nilai rs hitung lebih besar daripada

positif nilai rs tabel, atau nilai rs hitung lebih kecil daripada negatif nilai

rs tabel pada taraf nyata 1 - α/2.

Untuk B (Satu Sisi) : Tolaklah H0 pada taraf nyata α, jika nilai rs hitung lebih besar daripada

nilai rs tabel pada taraf nyata 1 - α. Untuk C (Satu Sisi) : Tolaklah H0 pada taraf nyata α, jika nilai rs hitung lebih kecil daripada

negatif nilai rs tabel pada taraf nyata 1 - α

Contoh 7.1. :

Pincherle dan Robinson menaruh perhatian pada variasi antar pengamat yang mncolok dalam

pembacaan tekanan darah. Merka menjumpai bahwa dokter-dokter yang mendapatkan angka

tinggi pada pembacaan tekanan sistolik cenderung mendapatkan angka yang tinggi pula pada

pembacaan tekanan diastolik. Tabel 7.1. menampilkan rata-rata pembacaan tekanan darah

sistolik dan diastolik oleh 14 orang dokter. Kita ingin menghitung ukuran yang menyatakan

kekuatan pertalian antara kedua variabel itu. Dengan pengandaian bahwa ke-14 dokter ini

merupakan sebuah sampel acak dari suatu populasi dokter, kita ingin tahu apakah kita boleh

menyimpulkan adanya pertalian yang langsung/lurus antara pembacaan sistolik dan diastolik.

Tabel 7.1. Bacaan tekanan darah rata-rata oleh dokter, milimeter Hg.

Dokter 1 2 3 4 5 6 7

Sistolik 141.8 140.2 131.8 132.5 135.7 141.2 143.9

Diastolik 89.7 74.4 83.5 77.8 85.8 86.5 89.4

Dokter 8 9 10 11 12 13 14

Sistolik 140.2 140.8 131.7 130.8 135.6 143.6 133.2

Diastolik 89.3 88.0 82.2 84.6 84.4 86.3 85.9

Sumber : G. Pincherle and D. Robinson,”Mean Blood Pressure and Its Realtion to Other Factors Determined at a

Routine Executive Health Examination”, J. Chronic Dis., 27 (1974), 245-260

Penyelesaian :

Hipotesis : H0 : Pembacaan-pembacaan tekanan darah sistolik dan diastolik oleh para dokter bebas.

H1 : Ada pertalian lurus antara pembacaan-pembacaan tekanan darah sistolik dan diastolik oleh

para dokter.

Taraf Nyata α = 0.05

Statistik Uji : Perhitungan-perhitungan yang diperlukan guna menghitung rs disajikan dalam Tabel 7.2.

Statistik Non Parametrik Bab 7 : Analisis Koefisien Korelasi

halaman 67

Tabel 7.2 Perhitungan-perhitungan antara untuk menghitung rs dalam Contoh 7.1.

Sistolik Diatolik

(Xi) (Yi) R(Xi) R(Yi) di = R(Xi) - R(Yi) (di)2

141.8 89.7 12 14 -2 4

140.2 74.4 8.5 1 7.5 56.25

131.8 83.5 3 4 -1 1

132.5 77.8 4 2 2 4

135.7 85.8 7 7 0 0

141.2 86.5 11 10 1 1

143.9 89.4 14 13 1 1

140.2 89.3 8.5 12 -3.5 12.25

131.7 82.2 2 3 -1 1

130.8 84.6 1 6 -5 25

135.6 84.4 6 5 1 1

143.6 86.3 13 9 4 16

133.2 85.9 5 8 -3 9

140.8 88.0 10 11 -1 1

_______

jumlah 132.50

Sehingga diperoleh statistik uji untuk Koefisien Korelasi Peringkat Spearman :

719.0271.01)114(14

)50.132(61r

2hitungs =−=−

−=

Keputusan Berdasarkan Tabel 10. Harga-harga kritis statistik uji Spearman, diperoleh untuk n = 14

dengan α = 0.05, bahwa rs tabel = 0.4593.

Karena rs hitung (= 0.719) > rs tabel (= 0.4593), maka H0 ditolak.

Kesimpulan Ada pertalian lurus antara pembacaan-pembacaan tekanan darah sistolik dan diastolik oleh para

dokter., pada taraf nyata α = 0.05. Atau dokter-dokter yang mendapatkan angka tinggi pada

pembacaan tekanan darah sistolik cenderung mendapatkan angka yang tinggi pula pada

pembacaan tekanan diastolik.

Aproksimasi sampel besar. Jika sampel berukuran lebih besar dari 30, maka diterapkan

aproksimasi sampel besar dengan menganggap bahwa distribusi sampel mendekati distribusi

normal (z) Tabel 2 Distribusi Normal Standar, dengan menghitung terlebih dahulu z hitung

dengan rumus :

1nrz shitung −= 17

Maka Kaidah Pengambilan Keputusan untuk Analisis Koefisien Korelasi Peringkat Spearman

sebagai berikut :

Untuk A (Dua Sisi) : Tolaklah H0 pada taraf nyata α, jika nilai z hitung lebih besar daripada

positif nilai ztabel, atau nilai zhitung lebih kecil daripada negatif nilai ztabel

pada taraf nyata 0.5 - α/2.

Untuk B (Satu Sisi) : Tolaklah H0 pada taraf nyata α, jika nilai zhitung lebih besar daripada

nilai ztabel pada taraf nyata 0.5 - α

Statistik Non Parametrik Bab 7 : Analisis Koefisien Korelasi

halaman 68

Untuk C (Satu Sisi) : Tolaklah H0 pada taraf nyata α, jika nilai zhitung lebih kecil daripada

negatif nilai ztabel pada taraf nyata 0.5 - α