1USAHA DAN ENERGI

USAHA DAN ENERGI Usaha dalam pengertian di Fisika sebanding dengan gaya

dan perpindahan9 Usaha yang dilakukan makin besar jika gaya yang bekerja

pada benda juga besar9 Jika gaya yang bekerja pada benda besar namun benda

belum bergerak maka tidak ada usaha

Energi didefinisikan sebagai kemampuan untuk melakukanusahaBeberapa contoh energi9 Energi yang dimiliki oleh benda yang bergerak dinamakan

energi kinetik

9 Energi yang ada karena letak atau konfigurasi sistem dinamakanenergi potensial

Contoh mobil yang bergerak akan memiliki energi kinetik

Usaha Usaha disimbolkan dengan lambang W memiliki satuan Interna-

sional Joule [J] Jika gaya (F) konstan dan berimpit

dengan perpindahan (r) benda makaWAB=F(r)

Jika gaya (F) konstan dan tidak berimpit dengan perpindahan (r) benda maka

cos)(. rFrFW == rr

Secara umum jika gaya tidak konstan dan/atau lintasan tidak membentukgaris lurus maka

..= BA

AB rdFWrr

FA B

F

A B

F

AB

2ContohGaya bekerja pada sebuah partikel. Dengan gayatersebut partikel berpindah dari titik A(0,0) ke titik B(2,4). Hitungusaha yang dilakukan gaya tersebut jika lintasan partikel adalah

( )NjxiyF 2 +=r

a. Garis patah ACBb. Garis patah ADBc. Garis lurus ABd. Garis parabola

x(m)

y(m)

A

B

C

D

Usaha yang dilakukan gaya tsbdari A ke B adalah

( )( )dyjdxijxiyW BA

AB.2 ++=

( )xdyydxW BA

AB 2+=

a. Melalui lintasan ACB

( ) ( )xdyydxxdyydxWWW BC

C

ACBACAB 22 +++=+=

( ) ( )xdyydxxdyydxWAB 22)4,2(

)0,2(

)0,2(

)0,0(

+++= Untuk lintasan AC hanya koordinat x yang berubah sementaray tetap, yaitu y=0 (dy=0), Sedangkan untuk lintasan CB koordinat x tetap, yaitu x=2 (dx=0) dan koordinat y berubah.

JdyxdyWAB 16424

0

)4,2(

)0,2(

===

b. Melalui lintasan ADB

( ) ( )xdyydxxdyydxWWW BD

D

ADBADAB 22 +++=+=

( ) ( )xdyydxxdyydxWAB 22)4,2(

)4,0(

)4,0(

)0,0(

+++= Untuk lintasan AD hanya koordinat y yang berubah sementarax tetap, yaitu x=0 (dx=0), Sedangkan untuk lintasan DB koordinat y tetap, yaitu y=4 (dy=0) dan koordinat x berubah.

JdyydxWAB 842

0

)4,2(

)4,0(

===

3c. Melalui lintasan garis lurus ABPersamaan garis lurus AB adalah

dxdyxy 22 ==

( ) ( )xdyydxxdyydxW BA

AB 22)4,2(

)0,0(

+=+=

( ) =+=2

0

2

0

642 xdxxdxxdxWAB

Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah

Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis ABsehingga

JWAB 12=

c. Melalui lintasan garis parabola ABPersamaan garis parabola AB adalah

xdxdyxy 22 ==Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah

( ) ( )xdyydxxdyydxW BA

AB 22)4,2(

)0,0(

+=+= Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis para-bola AB sehingga

=+= 20

22

0

22 54 dxxdxxxWAB

JWAB 3/40=

Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif Gaya Konservatif (Fk) adalah gaya yang usahanya tidak ber-

gantung pada lintasan tempuh Gaya Non Konservatif (Fnk) adalah gaya yang usahanya ber-

gantung pada lintasan tempuhGaya pada contoh di atas termasuk gaya nonkonservatif karena usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B melalui tiap lintasan berbeda-beda nilainya

( )NjxiyF 2 +=r

Untuk Gaya Non Konservatif (Fnk), usaha yang dilakukan gayaini pada suatu lintasan tertutup tidak nol,

0.....

2121

=+== BCA

nk

B

CA

nk

A

CB

nk

B

CA

nknk rdFrdFrdFrdFrdFWrrrrrrrrrr

A B

C1

C2

4Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif (2)Gaya gesekan juga termasuk gaya non konservatif karena gaya gesekanadalah gaya disipasif yang usahanya selalu negatif (gaya gesekan arahnyaselalu melawan perpindahan) sehingga usahayang dilakukan gaya gesekanpada suatu lintasan tertutup tidak akan pernah nolContoh gaya konservatif adalah gaya gravitasi, gaya pegas, dan gayaListrik. Ketiga gaya ini usahanya tidak bergantung lintasan.Gaya adalah contoh lain gaya konservatif, karena gaya initidak bergantung pada lintasan tempuh. Coba kita masukkan gaya ini padacontoh sebelumnya.

( )NjxiyF +=r

( )( ) +=++= BA

B

AAB xdyydxdyjdxijxiyW .2

==+=)4,2(

)0,0(

)4,2(

)0,0(

8)( JxydxdyydxWAB

Daya Daya menyatakan seberapa cepat usaha berubah terhadap

waktu atau didefinisikan sebagai laju usaha yang dilakukanper detik

Contoh :

Daya disimbolkan dengan P memiliki satuan Joule/detik atauWatt

vFdtrdF

dtdWP r

rrr.. ===

dengan F adalah gaya yang bekerja dan v adalah kecepatan benda

Sebuah pompa air tertulis 100 Watt artinya dalam satu detik pompatersebut memiliki usaha 100 J. Jika dibutuhkan usaha10 KJoule untukmemompa 100 liter air dari kedalaman 10 m maka pompa tersebutdapat memompa 100 liter dalam waktu100 detik.

Energi Kinetik Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh setiap benda

yang bergerak Energi kinetik sebanding dengan massa benda dan sebanding

juga dengan kuadrat laju benda

Jika suatu gaya F bekerja pada benda bermassa m maka usahayang dilakukan gaya tsb dari A ke B adalah

= BA

AB rdFWrr. dr

dtvdm

B

A

.=r

Ingat Hk. Newton F=ma

ABAB

B

A

EkEkmvmvvvmd === 221221.rrdengan EkB adalah energi kinetik di B dan EkA energi kinetik di A

Dari persamaan terakhir disimpulkan :Usaha = Perubahan Energi Kinetik

5ContohSebuah benda bermassa 2 kg dilepaskan dari ketinggian 5 m. Berapausaha yang dilakukan gaya gravitasi dan berapa laju benda setelahsampai di tanah?

B

A

mgh

Usaha gaya gravitasi

==== BA

gravAB JmghmgdyWW 100

Mencari kecepatan di tanah (B)

smv

mvmgh

mvmvW

B

B

BBAB

/10

221

2212

21

==

=

Pembahasan Usaha dari Grafik Jika gaya yang bekerja pada benda adalah satu dimensi, dan

gaya tersebut dinyatakan dalam bentuk kurva atau grafik makausaha adalah luas daerah di bawah kurva

x

F(x)

A B

=B

AAB dxxFW )(

= luas daerah arsir

ContohGaya yang bekerja pada benda 2kgdigambarkan dalam grafik di samping. Jika kecepatan awal benda 2 m/s, berapa kecepatannya setelah 6 detik?

F(N)

X(m)2 4 6

8

Usaha = luas daerah di bawah kurvamWAB 328168 =++=

Usaha = perubahan energi kinetiksmvvmvmvWAB /6)2)(2()2(32

2212

212

0212

21 ===

Contoh 2 Balok 2 kg meluncur ke kanan denganlaju 10 m/s pada lantai kasar dengank seperti grafik di samping

x(m)

k

4 10

0,5

Tentukan : Usaha yang dilakukan oleh gaya

gesekan dari x=0 sampai x=10 m

Kecepatan balok saat sampai pada titik x=10 m

6 Besar gaya gesekan adalahkkkk mgNf 20===

Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah

Jkurvadaerahluasx

dxdxfWx

xk

x

xkges

80)31(20)(20

2010

0

10

0

=+==== =

=

=

=

Usaha=perubahan energi kinetik

2212

21

202

1221

)10)(2()2(80 ==

v

mvmvWges

smv /20=

(tanda minus pada usaha yang dilakukan gaya gesekan disebabkanKarena gaya gesekan berlawanan arah dengan perpindahan balok)

Ada gesekan menyebabkankecepatan balok menjadi ber-kurang (perlambatan)

Energi Potensial Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif

maka usaha yang dilakukan gaya ini tidak bergantung padalintasan tempuh, usahanya hanya bergantung pada titik awaldan titik akhir saja (usahanya hanya bergantung pada posisi)

Oleh karena itu dapat didefinisikan besaran U yang merupakanfungsi dari posisi

( ))()(. AUBUrdFW BA

kAB == rrdengan U(B) adalah energi potensial di titik B dan

U(A) adalah energi potensial di titik A

Biasanya dalam pendefinisian energi potensial digunakan titikacuan, yaitu suatu titik yang diketahui energi potensialnya.

Energi Potensial (2) Misalnya dalam kasus di atas diambil titik A sebagai acuan, di

mana U(A)=0 maka

( ) )()()(. BUAUBUrdFW BAcuan

kAB === rr Dengan kata lain, untuk sembarang posisi r, energi potensial

di posisi r tersebut adalah

= rAcuan

k rdFrUrr .)(

Jadi energi potensial di titik r adalah usaha untuk melawan gayaKonservatif yang bekerja pada benda agar benda berpindah dari

Titik acuan ke titik r tersebut

7Contoh Energi potensial benda bermassa m yang terletak pada keting-

gian h :

mghdyjjmghUh

== 0

).()(

Titik acuan diambil di permukaan h=0 dengan energi potensialsama dengan nol

Energi potensial benda bermassa m yang terletak pada sistempegas yang teregang sejauh x :

221

0

)( kxkxdxxUx

== Titik acuan diambil di x=0, yaitu saat pegas dalam keadaanKendur, dengan energi potensial sama dengan nol

Hukum Kekal Energi Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif

maka usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B adalah

( ))()(. AUBUrdFW BA

kAB == rr Di sisi lain semua usaha yang dilakukan suatu gaya dari A ke B

sama dengan perubahan energi kinetik

AB

B

AkAB EkEkrdFW == rr .

Dari dua pernyataan di atas dapatdisimpulkan jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif maka

( ))()( AUBUEkEk AB =)()( BUEkBUEk AB +=+

atau

Hukum Kekal Energi (2) Pernyataan di atas dikenal dengan Hukum Kekal Energi (HKE),

yang arti fisisnya adalah bahwa energi total di titik B sama de-ngan energi total di titik A (energi di semua titik adalah sama)

)()( BUEkBUEk AB +=+ Energi total di suatu titik adalah jumlah semua energi potensial

pada benda tersebut ditambah energi kinetiknya

)(rUEkE += Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya gravitasi maka

hukum kekal energi menjadi

AABB mghmvmghmv +=+ 221221dengan vB dan vA adalah kecepatan di titik B dan A, serta

hB dan hA adalah ketinggian titik B dan A

8Contoh 1Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepa-tan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37o licin dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :

Usaha yang dilakukan gayagravitasi dari A ke B

Kecepatan balok di BA

B37o

mg

N

mgsin37

x

hA

Usaha yang dilakukan gaya gravitasi adalah

===== BA

B

Agravgrav JABmgdxmgrdFW 60)5)(6,0)(10)(2()(37sin37sin.

rr

Pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang termasuk gayaKonservatif sehingga untuk persoalan di atas berlaku HukumKekal Energi

AABB mghmvmghmv +=+ 221221,)10(200)2( 221 AB hv +=+ mABhA 337sin)( ==

smvB /60=Menentukan kecepatan balok di titik B dapat pula dicari dengancara dinamika (Bab II), dengan meninjau semua gaya yang bekerja, kemudian masukkan dalam hukum Newton untuk mencari percepatan, setelah itu cari kecepatan di B.

Contoh 2

Balok m=2 kg bergerak ke kanandengan laju 4 m/s kemudian me-nabrak pegas dengan konstantapegas k.

m

A B CJika jarak AB=2m, BC=0,5m dan titik C adalah titik pegas tertekanmaksimum, tentukan kecepatan balok saat manabrak pegas di B konstanta pegas k

Penyelesaian : Gunakan hukum kekal energi untuk titik A sampai B

)()( 2212

21 AUmvBUmv AB +=+

karena energi potensial di A dan di B tidak ada U(A)=U(B)=0maka kecepatan di B sama dengan kecepatan balok di A, yaitu4 m/s

9 Kecepatan balok di C adalah nol karena di titik C pegas tertekanmaksimum sehingga balok berhenti sesaat sebelum bergerakkembali ke tempat semula

Gunakan hukum kekal energi untuk titik B sampai C

2212

212

212

21

BBCC kxmvkxmv +=+

mNkk

BCk

/128

)4)(2()(

0)4)(2()(02

212

21

21

2212

21

==

+=+

Contoh 3Benda bermassa m diputar dengan tali sehinggamembentuk lintasan lingkaran vertikal berjejari R berapa kecepatan awal minimum di titik A

agar m dapat mencapai lingkaran (titik B) berapa kecepatan awal minimum di titik A

agar m dapat mencapai satu putaran penuh

Tinjau benda m di titik B, gaya yang bekerja pada m adalah mg dan TUsaha yang dilakukan T adalah nol karena tegak lurus perpindahan

PenyelesaianA

B

C

R

mg

T

Gunakan hukum kekal energi di titik A dan B

AABB mghmvmghmv +=+ 22122100 221 +=+ AmvmgR gRvA 2=

A

B

C

RmgT

Agar m dapat mencapai satu putaran penuhmaka saat m mencapai titik C semua komponengaya pada m yang berarah ke pusat lingkaranharus bertindak sebagai gaya sentripetal, shg

gRmTRv

Rv

mFmgT

C

Csp

+=

==+2

2

Gunakan Hukum kekal energi di titik A dan C

CCAA mghmvmghmv +=+ 221221RmggRmmv mTRA 2)(0 21

221 ++=+

gRv mTRA 52 += gRvA 5min = (ambil T=0)

10

Hukum Kekal Energi dalam gaya non konservatif Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif dan gaya

non konservatif maka gaya total

nkk FFFrrr +=

Usaha yang dilakukan gaya total ini dari A ke B adalah

( ) nkAB

B

Ank

B

AkAB

WAUBUW

rdFrdFW

+=+=

)()(

.. rrrr

dengan adalah usaha yang dilakukan gaya non konservatif=B

Anknk rdFW

rr .

Ruas kiri WAB adalah sama dengan perubahan energi kinetik, sehinggankAB WAUEkBUEk ++=+ )()(

Persamaan terakhir ini yang disebut dengan Hukum Kekal Energidalam gaya konservatif dan non konservatif

Contoh 1Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepa-tan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37o kasar dengan k=1/2 dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :

Usaha yang dilakukan gayagesekan dari A ke B

Kecepatan balok di BA

B37o

mg

N

mgsin37

x

hA

fk

Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah

====B

Ak

B

Agesges JdxmgmrdFW 30)5)(6,0)(10)(2)(2/1(37cos.

rr

Tanda minus diatas karena gesekan berlawanan arah dengan perpindahan

Gaya gesekan adalah gaya non konservatif sehingga dalam per-soalan di atas terdapat Wnk

Selain gesekan, pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang termasuk gaya Konservatif sehingga untuk persoalan di atas berlakuHukum Kekal Energi dalam gaya konservatif dan non konservatif

JWW gesnk 30==

nkAABB Wmghmvmghmv ++=+ 221221,30)10(200)2( 221 +=+ AB hv mABhA 337sin)( ==

smvB /30=

11

Contoh 2

B

A37o

F

Balok 0,1 kg didorong pada bidangmiring dengan gaya horisontal F=1 N di titik A tanpa kecepatan awal. Jikabidang miring 37o kasar dengan k=1/2 dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :

Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB Kecepatan balok di titik BPenyelesaian Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB

===== BA

B

Agravgrav JABmgdxmgrdFW 3)5)(6,0)(10)(1,0()(37sin37sin.

rr

Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB

JW

dxFmgrdFW

ges

B

Ak

B

Agesges

3)5)}(6,0)(1()6,0)(10)(1,0){(2/1(

)37sin37cos(.

=+=+== rr

Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB

==== BA

B

AF JdxFrdFW 3)5)(6,0)(1(37cos.

rr

Kecepatan di titik B dapat dicari dengan menggunakan konsepusaha total = perubahan energi kinetik

ABFgesgravAB EkEkWWWW =++=0)1,0(333 221 =+= BAB vW

smvB /60=

1. Balok dengan massa 20 kg didorong sepanjang permukaanmendatar tanpa gesekan dengan gaya F yang membentuk sudut dengan permukaan. Selama gerakannya gaya bertambah mengi-kuti hubungan F=6x, dengan F dalam Newton dan x dalam meter. Sudut pun berubah menurut cos = 0,7 0,02x. Berapa kerjayang dilakukan oleh gaya bila balok bergerak dari x = 10 m sampaix = 20 m.

2. Benda seberat 20 N didorong ke atas bidang miring yang panjang-nya 30 cm (kemiringan 30o), tanpa gesekan dengan gaya horizontal F. Bila laju di dasar adalah 6 cm/s dan di puncak adalah 30 cm/s, a. berapa usaha yang dilakukan F

b. Berapa besar gaya Fc. Bila bidang adalah kasar dengan k=0,15, berapa jarak mak-

simum yang dapat ditempuh benda.

Soal

12

Sebuah benda diputar dengan tali sehingga membentuk lintasan lingkaran vertikal dengan jarijari R.a. Tentukan kecepatan minimum di titik A agar

dapat menempuh lingkaran (titik B)b.Tentukan kecepatan minimum di titik A agar

benda dapat mencapai satu lingkaran penuh.

A

B

C

3.

A

B

F

Sebuah benda 0,1 kg ada di atas bidang miring dengan sudut kemiringan 37o. Pada benda ini bekerja gaya F=1 N mendatar. Mulamula benda diam di A kemudian bergerak ke B, panjang AB=5 m. Jika koefisien gesekan kinetis bidang adalah 0,5 tentukanlah kecepatan bendaketika sampai di Bdengan cara energi

4

MOMENTUM LINIER

IMPULS DAN MOMENTUM LINIER

Secara matematis impuls didefinisikan sebagai integral darigaya yang bekerja pada benda terhadap waktu

Momentum linier atau ditulis momentum saja adalah kuantitasgerak yang bergantung pada massa dan kecepatan benda (v)

Momentum adalah vektor dan besarnya disimbolkan dengan Pmemiliki satuan kg m/s

vmp rr =

Definisi Momentum

Definisi Impuls

Impuls juga besaran vektor, disimbolkan dengan I memilikisatuan Ns

= tt

dtFI0

rr

13

Hukum Newton dalam Impuls Hukum Newton dapat ditulis kembali

dalam bentuk ( )rmdtd

dtpdF rrr ==

000 0

vmvmpppddtFp

p

t rrrrrrr

r===

Jika gaya F tersebut diintegralkan untuk seluruh waktu makapersamaan di atas menjadi

dengan p adalah momentum akhir, p0 momentum awal, v kecepatanakhir dan v0 kecepatan awal

Dengan definisi impuls dan momentum maka diperolehpppI rrr

r == 0 Atau dengan kata lain :

Impuls = perubahan momentum

ContohBenda bermassa 2 kg bergerak dengankecepatan awal 2 m/s dalam arah sb x, dan 4 m/s dalam arah sb y. Kemudianpada benda bekerja gaya dalam arahsb y Fy=2t N, dan gaya dalam arah sb xseperti gambar di samping.

Fx (N)

t(s)24

5

-5

Tentukan : a. Impuls antara t=0 sampai t=4 sb. Kecepatan saat t=4 s

Penyelesaiana. Impuls pada benda yang gayanya dua dimensi ditulis dalam

bentukjIiII yx +=

rdengan Ix dan Iy adalah komponen impuls dalam arah sumbu xdan sumbu y

Komponen impuls dalam arah sumbu x dapat diperolah dengancara mencari luas daerah dari grafik, yaitu

0)5)(2()5)(2( 2121 =+=xI Komponen impuls dalam arah sumbu y adalah

NsttdtI y 1624

0

24

0

=== Jadi : NsjI 16=rb. Impuls = perubahan momentum

( )jipjppI 422160 +== rrrrskgmjip /124 =r

Sehingga kecepatan saat t=4 s adalahsmji

mpv /62 +==rr

14

Sistem Banyak Partikel Tinjau suatu sistem yang terdiri atas banyak partikel, katakan-

sejumlah N partikel Momentum total sistem adalah resultan dari momentum setiap

partikel

NppppprLrrrr ++++= 321

Jika pada partikel 1 dalam sistem tersebut bekerja gaya ekster-nal Fe1 maka dinamika partikel 1 adalah

Ne FFFF

dtpd

1131211

rL

rrrr ++++=dengan F12, F13,, F1N adalah gaya internal/interaksi antaraPartikel ke-1 dengan ke-2, dengan ke-3, .., dengan ke-N

Sistem Banyak Partikel (2) Hal yang sama akan terjadi pada partikel ke-2, ke-3, , ke-N,

jika pada setiap partikel tsb bekerja gaya eksternal

Ne FFFF

dtpd

2232122

rL

rrrr ++++=

Ne FFFF

dtpd

3323133

rL

rrrr ++++=

)1(21 ++++= NNNNeNN FFFFdtpd rL

rrrr

Dinamika sistem banyak partikel ini akan ditentukan oleh resultandari dinamika masing-masing partikel, yaitu

112112321

321 )...(

NNeN

eee

N

FFFFFFFF

ppppdtd

rrL

rrrrrr

rrrr

++++++++=++++

Sistem Banyak Partikel (3) Pasangan gaya interaksi antar partikel saling meniadakan karena

masing-masing gaya interaksi besarnya sama dan berlawananarah.

Jadi dinamika sistem hanya dipengaruhi gaya eksternal sajaeN

eee FFFFdtpd rrrrr ++++= ....321

Jika dihubungkan dengan Impuls dan momentum maka persama-an di atas menjadi

( ) pdtFFFFI eNeeeN

rrrrrr =++++= ....321Impuls total yang bekerja pada sistem sama dengan perubahanMomentum sistem

15

Pusat Massa Dalam sistem banyak partikel, momentum total sistem adalah

resultan dari momentum setiap partikel penyusunnya

NppppprLrrrr ++++= 321

NN vmvmvmvmprLrrrr ++++= 332211

dtrdm

dtrdm

dtrdm

dtrdmp NN

rL

rrrr ++++= 332211 Jika massa total sistem adalah M=m1+m2+m3+.+mN maka

momentum total sistem dapat ditulis

+++=M

rmrmrmrmdtd

Mp 111111111

rLrrrr

pmVMprr =

Pusat Massa (2)dengan

pmpm RdtdV

rr =disebut dengan kecepatan pusat massa sistem banyak partikel, dan

++++=M

rmrmrmrmdtdR NNpm

Lr 332211

adalah posisi pusat massa

ContohTentukan letak pusat massa sistem yang tersusun atas empatbuah partikel yang bermassa m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, danm4=4kg. Keempat partikel terletak pada titik sudut bujur sangkaryang memiliki panjang sisi 1 m

Dengan sumbu koordinat seperti gambarmaka posisi pusat massa terbagi 2 kom-ponen

mxpm 5,043210.41.31.20.1 =+++

+++=

m1 m2

m3m4

x

y

mypm 7,043211.41.30.20.1 =+++

+++=

16

Pusat massa untuk benda kontinuPada prinsipnya sama dengan benda yang tersusun atas banyakTitik, hanya notasi sigma diganti dengan integral

dmrM

rpm = rr 1Massa total sistem

= dmM

ContohBatang yang panjangnya 10 m dibentangkan pada sumbu x dariX=0 sampai dengan x=10 m. Jika batang tidak homogen, rapatmassanya fungsi dari posisi =12x kg/m, tentukanlah pusat massaBatang! elemen kecil batang pada posisi x yang panjangnya dx akan

memiliki elemen kecil massa dm= dx Massa total batang

kgxdxdxdmM 6001210

0

10

0

==== Pusat massa batang

mdxxM

xpm 3201 ==

Hukum Kekal MomentumJika resultan gaya eksternal pada benda atau sistem sama dengannol maka

0=dtPdr

atau tankonsP =rMomentum total sistem tetap (tidak berubah terhadap waktu)Momentum tiap bagian boleh berubah, tetapi momentum totalsistem adalah tetap.

Sebagai contoh berlakunya hukum kekal momentum adalah padaperistiwa tumbukan, misalnya dua buah benda bertumbukan maka2 benda tsb dipandang sebagai satu sistem, sehingga momentumtotal sistem sebelum tumbukan sama dengan momentum sistemsesudah tumbukan

17

TumbukanDalam setiap tmbukan berlaku hukum kekal momentum, meski-pun dalam tumbukan antara 2 benda bekerja gaya yang sangatsingkat (gaya impulsif) namun jika 2 benda dipandang sebagaisatu sistem masing-masing gaya impulsif dapat dipandang se-bagai pasangan gaya aksi-reaksi.

Ada 3 jenis tumbukan : Tumbukan lenting sempurna

(pada tumbukan lenting sempurna berlaku hukum kekalenergi kinetik)

Tumbukan tidak lenting sama sekali Tumbukan lenting sebagian

Contoh

Benda m1=2 kg bergerak dengan kecepatan 13 m/s ke kanan me-numbuk benda lain m2=4 kg yang sedang bergerak ke kiri denganlaju 2 m/s. Setelah tumbukan kedua benda bersatu. Tentukan :

Kecepatan kedua benda setelah tumbukan Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah peristiwa

tumbukan terjadi

Penyelesaian :Berlaku hukum kekal momentumMomentum awal sistem = momentum akhir sistem

smvvvmvmvmvm

/3'')42()2(4)13(2'' 22112211

=+=++=+

Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan

Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan

Energi kinetik kedua benda setelah tumbukan

JvmEk 16921121

1 ==

JvmEk 8222212 ==

JvmmEk 27')( 221211 =+=Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah tumbukantidak sama

18

1. Sebuah pesawat angkasa 1000 kg bergerak dengan kecepatan2000 i m/s. Sebuah meteor menumbuk pesawat tsb sehinggakecepatannya menjadi 2000 i +2000 j m/s. Berapa Impulstumbukkan ?

Soal

2. Sebuah bola 0,5 kg bertumbukan lenting sempurna dengan bolakedua yang sedang diam. Bola kedua tersebut menjauh dengan laju setengah laju awal bola. Berapa persen energi kinetik yang dipindahkan ke bola kedua

3. Sebuah bola bilyar bergerak dengan kecepatan 4 m/s menum-buk bola lain yang identik dalam keadaan diam. Setelah tumbu-kan bola pertama membentuk sudut 30o terhadap arah semula. Bila tumbukkan lenting sempurna, tentukan kecepatan masingmasing bola setelah tumbukan.

R

Sebuah peluru bermassa m dan kecepatan v menembus balok bermassa M, dan keluar dgnkecepatan v/2. Balok ini ada pada ujung talidengan panjang R. Berapa kecepatan minimum peluru agar balok berayun satu lingkaran penuh ?

5.

6. Rakit bujur sangkar 18 m kali 18 m, dengan massa 6200 kg digunakan sebagai perahu feri. Jika tiga mobil masingmasing dengan massa 1200 kg diletakkan di sudut timur laut, tenggara,dan barat daya, tentukan pusat massa dari feri.

7. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 80i +60j m/s. Pada ketinggian tertentu peluru meledak menjadi dua bagian. Ba-gian pertama bermassa 1/3 dari massa semula jatuh pada jarak200 m dari titik asalnya. Kedua benda tiba di tanah pada waktu bersamaan. Dimana letak jatuhnya bagian kedua.

8. Sebuah roket bergerak dalam ruang bebas tanpa meda gravitasidengan kecepatan awal 500 i m/s. Roket menyemburkan gas dengan laju relatif terhadap roket 1000 m/s dalam arah berlawanandengan gerak roket. a. Tentukan kecepatan akhir roket ketika massanya tinggal sete-

ngah kali massa semula, b. Berapa besar gaya dorong selama perjalanan ini bila laju

penyemburan gas adalah 10 kg/s