Dr. Ir. Hidayat Bambang Setyawan, MM

Varians (2) adalah pangkat dua dari standard penyimpangan (). ANOVA

merupakan analisis yang menggunakan varians sampel untuk menguji hipotesis ekualitas rata-

rata populasi melalui varians rata-rata sampel.1

ANOVA dilakukan dengan sampel random sederhana yang dipilih secara

random satu partisipan dari beberapa populasi; dengan asumsi bahwa populasi berdistribusi

normal dan memiliki varians yang sama.

4.1 Completely Randomized Design (CRD)

Rancangan ANOVA yang paling sederhana adalah completely randomized

design (CRD) atau disebut Rancangan Acak Lengkap (RAL) yang melibatkan partisipan untuk

diberi sebuah pengaturan perlakuan (atau lebih). Rancangan ini mengadopsi banyak fitur dari

rancangan sampel independen dengan uji-t.

Kembali pada eksperimen perokok, seandainya peneliti mengembangkan tiga

pengaturan perlakuan, yaitu: plester tempel dengan kandungan obat, plester tempel placebo

dan terapi perilaku kognitif. Hipotesis yang diuji adalah:

H0 : μ1 = μ2 = μ3

. . . . . .(13)

Ha : μj μj untuk j dan j’ . . . . . .(14)

Sampel perokok = 30 orang yang mau berpartisipasi dalam eksperimen. Setiap

pengaturan perlakuan secara random diberikan kepada tiga kelompok dengan 10 orang

partisipan. Layout rancangan eksperimen dapat dilihat pada Gambar 4.1.

Uji dengan F-statistik adalah:

SSTOTAL = SST + SSRESIDUAL . . . . . .(15)

np – 1 = (p – 1) + p(n – 1) . . . . . .(16)

SST/(p – 1)

F =

. . . . . .(17)

1 Bowen and Starr;2003

BAB 4 RANCANGAN ANOVA - FAKTOR TUNGGAL

SSRESIDUAL/[p(n – 1)]

SST = sum of square between group atau disebut SSBG.

SSRESIDUAL disebut juga sebagai SSWG = sum of square within group.

Pengaturan

perlakuan

Variabel

Dependen

Kelompok

Pengaturan

perlakuan1

Partisipan1 a1 Y11

Partisipan2 a1 Y21

Partisipan3 a1 Y31

... ... ...

Partisipann1 a1 Yn1

Ȳ.1

Kelompok

Pengaturan

perlakuan2

Partisipan1 a2 Y12

Partisipan2 a2 Y22

Partisipan3 a2 Y32

... ... ...

Partisipann2 a2 Yn2

Ȳ.2

Kelompok

Pengaturan

perlakuan3

Partisipan1 a3 Y13

Partisipan2 a3 Y23

Partisipan3 a3 Y33

... ... ...

Partisipann3 a3 Yn3

Ȳ.3

Gambar 4.2 Layout Completely Randomized Design

(Anderson, 2001; Dean and Voss, 1999; Giesbrecht and Gumpertz, 2004; Kirk, 1995; Maxwell

and Delaney, 2004; Ryan, 2007).

Contoh-4.1: Completely Randomized Design untuk Efek Pengetikan Manual

Sebuah produsen laptop ingin menguji tiga jenis cara mengetik pada keyboard.

Target mengetik yang baik adalah mengetik 80 kata tanpa salah per menit. Ada tiga manual

yang akan diterapkan produsen yaitu Manual 1, 2 dan 3. Rata-rata waktu belajar cara mengetik

manual (dalam menit) untuk mencapai target mengetik yang baik adalah ẍ1, ẍ2 dan ẍ3. Sampel

partisipan pengetik dipilih secara random sederhana masing-masing manual sebanyak 5 orang.

H0 : μ1 = μ2 = μ3

Ha : μj μj’ untuk j dan j’ (j’ adalah selain j).

Tampak bahwa waktu belajar pada pengaturan perlakuan manual tertentu

bervariasi antar partisipan (ini yang disebut within group). Mana lebih besar jika perbedaan

waktu belajar dalam kelompok dibanding antar kelompok pengaturan perlakuan (between

group)? ANOVA sebenarnya merupakan pengujian perbedaan melalui ratio varians within

group dengan varians between group.

Varians sampel antar kelompok

numerator

Varians sampel dalam kelompok

denominator

Jika ratio ini > 1, maka waktu belajar antar kelompok lebih bervariasi daripada

waktu belajar dalam kelompok yang sama. Jika ratio tersebut signifikan besar, maka dapat

dnyatakan bahwa bahwa populasi cara mengetik manual yang berbeda memiliki rata-rata waktu

belajar yang berbeda; atau dengan kata singkat : setiap cara mengetik manual membutuhkan

waktu belajar yang berbeda.

Data hasil eksperimen adalah:

Tabel 4.1 Waktu Belajar Mengetik Manual

Manual 1 Manual 2 Manual3

21 17 31

27 25 28

29 20 22

23 15 30

25 23 24

Rata-rata 25 20 27

Numerator ratio di atas (varians sampel antar kelompok) itu mudah dihitung,

yaitu var = s; namun untuk denominator, varians dihitung sebagai : s/n, atau dikuadratkan:

s2/n.

Tabel 4.2 Worksheet Varians Sampel

Manual1 Manual 2 Manual 3

X1 (X1j – X1)

2 X2 (X2j – X2)2 X3 (X3j – X3)

2

21 16 17 9 31 16

27 4 25 25 28 1

29 16 20 0 22 25

23 4 15 25 30 9

25 0 23 9 24 9

Rata-rata 25 - 20 - 27 -

Jumlah - 40 - 68 - 60

Varians sampel = si2 = (Xij – Xi)

2/(n – 1)

s12 = 40/4 = 10 s2

2 = 68/4 = 17 s32 = 60/4 = 15

Rata-rata varians sampel = (10 + 17 + 15)/3 = 14

Rata-rata total = X = Xi/k = (25 + 20 + 27)/3 = 24

Varians total = sx = (Xi – X)2/(k – 1) di mana k = banyaknya kelompok

= 3

= [(25 – 24)2 + (20 – 24)2 + (27 –

24)2]/(3 – 1) = 13

n(varians total) (5)(13)

F-statistik = = = 4,64

Rata-rata varians sampel 14

Pada tingkat signfikansi = 0,05 atau 5%, periksa Tabel F, dengan numerator = k – 1 dan

denominator = k(n – 1) = (3)(5 – 1) = 12 :

Tabel 4.3 Nilai F – area Sisi Kanan ( = 5%)

Degree of freedom for numerator

Degree of

freedom for

denominator

2 3 4 5

10 4.10 3.71 3.48 3.33

11 3.98 3.59 3.36 3.20

12 3.89 3.49 3.26 3.11

13 3.81 3.41 3.18 3.03

14 3.74 3.34 3.11 2.96

15 3.68 3.29 3.06 2.90

Sumber: Bowen and Starr; 2003.

3.89

Daerah terima H0 Daerah tolak H0

F-statistik

0 1 2 3 4 4.64 5

Gambar 4.1 Daerah Penerimaan/Penolakan H0

F-statistik sebesar = 4,64 berada di daerah penolakan H0, artinya Ha yang diterima.

Dengan demikian, terbukti bahwa ada perbedaan waktu belajar untuk mencapai target

mengetik yang baik dari ketiga cara manual yang berbeda. Bahkan dapat juga dinyatakan

bahwa manual 2 merupakan metode manual mengetik yang cepat mencapai target mengetik

yang baik (80 kata per menit).

Pada contoh ini, ANOVA – Single Factor, banyaknya unit eksperimen pada setiap

pengaturan perlakuan adalah sama, yaitu = 5. Bagaimana jika ukuran sampel pada setiap

pengaturan perlakuan itu berbeda? Rancangan ANOVA tetap dapat digunakan, namun statistik

yang diaplikasikan adalah rata-rata kuadrat (mean square).

Contoh-4.2: Completely Randomized Design untuk Diet

Uji efktivitas tiga program diet yang berbeda terhadap penurunan berat tubuh

(pon) menggunakan eksperimen dengan melibatkan masing-masing 5, 6, dan 7 partisipan.

Tabel 4.4 Penurunan Berat Tubuh

Diet 1 Diet 2 Diet 3

7 11 4

8 9 6

7 9 5

9 8 8

9 12 5

11 8

6

Jumlah 40 60 42

Rata-rata 8 10 6

H0 : μ1 = μ2 = μ3

Ha : μj μj’ untuk j dan j’ (j’ adalah selain j).

n1 = 5 n2 = 6 n3 = 7 N = n1 + n2 + n3 = 5 + 6 + 7 = 18

k = 3

Langkah berikutnya adalah:

(a) Total sampel, T1 = 40 T2 = 60 T3 = 42

(b) Jumlah total sampel, T = 40 = 60 + 42 = 142

(c) Kuadrat total sampel, ( T)2 = 20.164

(d) Jumlah rata-rata kuadrat, (Ti2/ni):

(Ti2/ni) = 402/5 + 602/6 + 422/7 = 1.172

(e) Jumlah kuadrat, ( x2) = 72 + 82 + 72 + 92 + 92 + . . . . + 82 + 62 = 1.202

Ti2 ( T)2

(f) SST = between sample sum of square, SST = -

ni N

SST = 1.172 – 20.164/18 = 51,778

(g) SSRESIDUAL= within sample sum of square, SSRESIDUAL = ( x2) - (Ti2/ni)

SSRESIDUAL= 1.202- 1.172 = 30

(h) MST = between sample mean of square, MST = SST/(k – 1)

MST = 51,778/(3 – 1) = 25,889

(i) MSRESIDUAL = SSRESIDUAL/(N –k)

MSREIDUAL = 30/(18 – 3) = 2

(j) F-statistik = MST/MSRESIDUAL = 25,889/2 = 12,94.

Periksa Tabel-F (Tabel 4.3 di atas), pada = 5%, dfnumerator = 2, dfdenominator = 15, nilai-

F = 3,68.

3,68

F-statistik

Daerah terima

H0

Daerah tolak H0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Gambar 4.2 Daerah Penerimaan/Penolakan H0

F-statistik = 12,94 berada di daerah penolakan H0.

Dengan demikian, terbukti bahwa ada perbedaan penurunan berat tubuh untuk dari

ketiga program diet yang berbeda. Bahkan dapat juga dinyatakan bahwa program diet 2

merupakan program diet paling efektif terhadap penurunan berat tubuh.

ANOVA – single factor yang telah dijelaskan merupakan metode statistik parametrik.

Alternatif metode adalah non parametrik yang dikembangkan Kruskal-Walis (Bowen and

Starr;2003).

Tabel ANOVA dapat diringkas seperti dijelaskan di bawah ini:

Tabel 4.5 Format Tabel ANOVA

Sumber

Variasi

Derajat Bebas

(DF)

Jumlah

Kuadrat

Kuadrat Rata-rata F-statistik

Perlakuan k -1 SST MST = SST/(k-1)

F =

MST/MSRESIDUAL Residual N - k SSRESIDUAL

MSRESIDUAL =

SSRSIDUAL/(N-k)

Total N - 1 SSTOTAL

Contoh-4.3 : Completely Randomized Design Untuk Kerusakan Minyak Goreng

Kerusakan minyak goreng atau lemak adalah ketengikan dan hidrolisa. Ketengikan

terjadi jika komponen cita rasa dan bau, mudah menguap. Sedang hidrolisa adalah minyak

menghasilkan asam dan lemak bebas. Kerusakan minyak atau lemah diukur dengan Nilai TBA

(thiobminyarbiturat).

Penelitian yang memberlakukan 4 perlakuan kepada minyak goreng, yaitu : kontrol

(tidak diberi asam askorbat), pemberian asam askorbat 1%, 2% dan 3%. Replikasi diterapkan

pada setiap perlakuan. Data pengamatan dirangkum dalam tabel berikut:

Tabel 4.6 Data Kerusakan Minyak Goreng

No. Perlakuan Replikasi Nilai

TBA No. Perlakuan Replikasi

Nilai

TBA

1 1 1 6,0 21 3 1 6,3

2 1 2 5,8 22

3

2 6,1

3 1 3 6,0 23

3

3 6,9

4 1 4 5,8 24

3

4 5,5

5 1 5 5,5 25

3

5 6,3

6 1 6 5,3 26

3

6 6,6

7 1 7 5,0 27

3

7 7,9

8 1 8 4,8 28

3

8 6,0

9 1 9 4,5 29

3

9 5,0

10 1 10 4,3 30

3

10 6,5

11 2 1 6,0 31 4 1 5,0

12 2 2 6,0 32

4

2 5,0

13 2 3 4,8 33

4

3 5,6

14 2 4 4,6 34

4

4 5,5

15 2 5 5,4 35

4

5 5,7

16 2 6 5,2 36

4

6 5,3

17 2 7 5,2 37

4

7 5,3

18 2 8 4,8 38

4

8 5,0

19 2 9 5,8 39

4

9 4,9

20 2 10 5,8 40

4

10 5,2

(a) simpan data ke file SPSS, misal: TBA.sav

(b) Klik ‘Analyze-Compare Mean-One Way ANOVA’

Klik ‘Options’:

Klik ‘Continue’. Kemudian klik ‘Ok’

Printour SPSS adalah:

Oneway

Descriptives

TBA

N Mean

Std.

Deviation

Std.

Error

95% Confidence

Interval for Mean

Minimum Maximum

Lower

Bound

Upper

Bound

Kontrol 10 5.3000 .62361 .19720 4.8539 5.7461 4.30 6.00

Asorbik 1% 10 5.3600 .52324 .16546 4.9857 5.7343 4.60 6.00

Asorbik 2% 10 6.3100 .78238 .24741 5.7503 6.8697 5.00 7.90

Asorbik 3% 10 5.2500 .27988 .08851 5.0498 5.4502 4.90 5.70

Total 40 5.5550 .71323 .11277 5.3269 5.7831 4.30 7.90

Test of Homogeneity of Variances

TBA

Levene Statistic df1 df2 Sig.

1.683 3 36 .188

Levene-statistik menolak Ha, mengingat prob. Signifikansi > 0,05. Ini berarti

bahwa asumsi varians antar kelompok, itu sama; tidak terlanggar.

ANOVA

TBA

Sum of

Squares df Mean Square F Sig.

Between Groups 7.661 3 2.554 7.549 .000

Within Groups 12.178 36 .338 Total 19.839 39

Tabel ANOVA di atas menunjukkan bahwa pengaruh perlakuan terhadap nilai

TBA minyak goreng terbukti signifikan (F-statistik 7,549, dan prob. Signifikansi < 0,05.

Seandainya tujuan penelitian dikembangkan : perlakuan mana yang terbaik

dalam meningkatkan nilai TBA? Bisa dilakukan post hoc test, misalnya metode post hoc yang

digunakan : Least Significant Difference (LSD). Klik ‘Post Hoc Test’.

Klik ‘Continue’, kemudian klik ‘Ok’, printout SPSS adalah:

Multiple Comparisons

Dependent Variable: TBA LSD

(I)

Perlakuan (J) Perlakuan

Mean

Difference (I-J) Std. Error Sig.

95% Confidence Interval

Lower Bound Upper Bound

Kontrol Asorbik 1% -.06000 .26011 .819 -.5875 .4675

Asorbik 2% -1.01000* .26011 .000 -1.5375 -.4825

Asorbik 3% .05000 .26011 .849 -.4775 .5775

Asorbik 1% Kontrol .06000 .26011 .819 -.4675 .5875

Asorbik 2% -.95000* .26011 .001 -1.4775 -.4225

Asorbik 3% .11000 .26011 .675 -.4175 .6375

Asorbik 2% Kontrol 1.01000* .26011 .000 .4825 1.5375

Asorbik 1% .95000* .26011 .001 .4225 1.4775

Asorbik 3% 1.06000* .26011 .000 .5325 1.5875

Asorbik 3% Kontrol -.05000 .26011 .849 -.5775 .4775

Asorbik 1% -.11000 .26011 .675 -.6375 .4175

Asorbik 2% -1.06000* .26011 .000 -1.5875 -.5325

*. The mean difference is significant at the 0.05 level.

Kelompok kontrol (perlakuan pemberian asam asorbik 0%) memiliki rata

berbeda signifikan hanya dengan perlakuan 3 (pemberian asam asorbik 2%).

Kontrol >< Perlakuan-3,signifikan (p=0,000)

Perlakuan-2 >< Perlakuan-3, signifikan (p=0,001). Perlakuan-3 (pemberian

asam asorbik 2%) memiliki rata-rata TBA tertinggi (=6,30); maka perlakuan-3 merupakan

perlakuan terbaik untuk mencegah kerusakan minyak.

Rancana ANOVA yang dijelaskan di atas merupakan metode statistik parametrik,

karena melibatkan parameter statistik sampel, seperti rata-rata dan varians. Alternatif lain yang

dapat digunakan adalah metode non parametrik yang dikembangkan oleh Kurskal-Wallis

(Bowen and Starr;2003).

Contoh-4.4 : Rancangan RAL untuk Pupuk dan Hasil Kedele

Sebuah penelitian bertujuan mengetahui pengaruh pemberian dosis pupuk yang berbeda

terhadap hasil kedele. Tiga puluh plot tanaman kedele yang diberi perlakuan secara acak.

Pengaturan perlakuan adalah: A (kontrol) = dosis 0 Kg/Ha; B = 50 Kg/Ha; C = 100 kg/Ha; D

= 150 Kg/Ha; E = 200 Kg/Ha, dan F = 250 Kg/Ha. Randomisasi perlakuan terhadap 30 plot

tanaman kedele adalah:

1 (D) 2 (C) 3 (E) 4 (A) 5 (F) 6 (C)

7 (E) 8 (A) 9 (E) 10 (B) 11 (A) 12 (B)

13 (D) 14(B) 15 (F) 16 (E) 17 (B) 18 (D)

19 (C) 20 (E) 21 (B) 22 (A) 23 (C) 24 (F)

25 (A) 26 (F) 27 (C) 28 (F) 29 (D) 30 (B)

Data hasil pengamatan pada eksperimen adalah:

Tabel 4.7 Hasil Kedele Pada Berbagai Dosis Pupuk (Kw/Ha)

Dosis

Pupuk

Replikasi

1 2 3 4 5

0 Kg/Ha 31,3 33,4 29,2 32,2 33,9

50 Kg/Ha 38,8 37,5 37,4 35,8 38,4

100 Kg/Ha 40,9 39,2 39,5 38,6 39,8

150 Kg/Ha 40,9 41,7 39,4 40,1 40,0

200 Kg/Ha 39,7 40,6 39,2 38,7 41,9

250 Kg/Ha 40,6 41,0 41,5 41,1 39,8

Simpan data sebagai file SPSS, misal:RALKEDELE.sav.

Klik ‘Analyze-Compare Mean-One way ANOVA’.

Klik ‘Ok’. Printout SPSS adalah:

ANOVA

Hasil Panen Kedele

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

Between Groups 277.686 5 55.537 39.854 .000

Within Groups 33.444 24 1.393

Total 311.130 29

Tabel ANOVA memperlihatkan bahwa pengaruh perlakuan secara simultan

terhadap hasil kedele, signifikan pada = 5% (prob. Signifikansi F-statitik = 0,000 < 5%).

Selanjutnya dapat dilakukan test lanjutan untuk mengetahui apakah ada pengaruh signifikan

antar perlakuan secara parsial? Ini bisa dijawab melalui post hoc test.

Klik ‘Post Hoc Test’. P'ilih ‘Duncan’.

Klik ‘Continue’, selanjutnya klik ‘Ok’. Printout SPSS adalah:

Post Hoc Tests Homogeneous Subsets

Hasil Panen Kedele

Duncana

Dosis Pupuk N

Subset for alpha = 0.05

1 2 3

A 5 32.0000

B 5 37.5800

C 5 39.6000

E 5 40.0200

D 5 40.4200

F 5 40.8000

Sig. 1.000 1.000 .154

Means for groups in homogeneous subsets are displayed.

a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 5.000.

Berikan kode ‘a’, ‘b’, ... dan seterusnya dimulai dengan rata-rata tertinggi tabel

homogeneous subsets:

Dosis

Pupuk

Subset for alpha = 0.05

1 2 3

A 32,00 c

B 37,58 b

C 39,60 a

E 40,02 a

D 40,42 a

F 40,80 a

Kode yang sama menunjukkan perbedaan tidak signifikan, dan sebaliknya kode

yang berbeda, perbedaannya signifikan. Perlakuan C, E, D dan F tidak berbeda pengaruhnya

terhadap hasil kedele. Perlakuan A berbeda signifikan dengan perlakuan B. Perhatikan subset-

3, di mana merupakan kelompok rata-rata tertinggi. Pilih perlakuan C, yaitu pemberian pupuk

10 Kg/Ha dengan rata-rata hasil kedele = 39,60 kw/Ha, dibanding perlakuan F (hasil rata-rata

kedele = 4,80 kw/Ha), walaupun rata-rata hasil lebih tinggi, namun perbedaannya tidak

signifikan.

Contoh-4.5 : Uji Beda Rata-rata Populasi Dengan Metode Kruskal-Wallis

Langkah-langkah dalam metode ini adalah:

(a) Hipotesis:

H0: populasi memiliki rata-rata sama

Ha: rata-rata populasi tidak sama.

(b) Kriteria uji:

Tolak H0 jika H-sample > 2, k-1

(c) Hitung H-sample:

12 R12 R2

2 Rk2

H = + + . . . . + - 3(N+1)

N(N+1) n1 n2 nk

Di mana, R1, R2, . . . ., Rk adalah jumlah rank sampel. 1, 2, . . . ., k

n1, n2, . . . ., nk adalah ukuran sampel 1, 2, . . ., k

N = n1 + n2 + . . . + nk

Kembali pada contoh eksperimen manual pengetikan:

Tabel 4.8 Worksheet Rank Sampel

Manual1 Manual 2 Manual 3

X1 Rank X2 Rank X3 Rank

21 4 17 2 31 15

27 11 25 9,5 28 12

29 13 20 3 22 5

23 6,5 15 1 30 14

25 9,5 23 6,5 24 8

Jumlah - 44 - 22 - 54

Rank ascending, yaitu dari kecil ke besar. Untuk data yang sama digunakan rata-rata

rank. R1 = 44 R2 = 22 R3 = 54.

12 442 222 542

H = + + - 3(16) = 5,36

15(15+1) 5 5 5

Periksa Tabel 2, pada = 5% dan degree of freedom k – 1 = 2; nilainya = 5,991. H-

statistik < 20,05;2. Dengan demikian, H0 diterima, Hasil ini berbeda dengan ANOVA single

factor yang dicontohkan di atas. Mengapa? Ini disebabkan karena Kruskal-Wallis

menggunakan data selisih rank bukan selisih sebenarnya. Coba perhatikan, selisih rank 1 dan

2 = 1, demikian pula selisih rank 3 dan 4 = 1. Ini seolah-olah sama. Padahal data aslinya

menunjukkan bahwa selisih rank 1 dan 2 sebenarnya 17 – 15 = 2, sedang selisih rank 3 dan 4

sebenarnya = 21 – 20 = 1.

Namun, pada banyak kasus, hasil analisis kedua metode ini seringkali tidak

bertentangan. Keunggulan metode Kruskal-Wallis memiliki keunggulan karena: (1) tidak

membutuhkan asumsi data berdistribsi normal, (2) dapat digunakan untuk data rank, dan (3)

perhitungannya mudah.

Dengan aplikasi SPSS, langkah-langkahnya:

(a) buat file SPSS untuk data di atas, misal:KRUSKAL.sav

(b) Klik ‘Analyze-Non Parametrics Tests - Independent Samples’:

(c) Pada objective, Pilih ‘Custom analysis’, klik ‘Fields’:

Varabel ‘Penurunan’ dimasukkan ke ’Test Fields’, dan variabel ‘Kelompok’ dimasukkan

ke ‘Groups’. Klik ‘Run’, hasil printoutnya adalah:

Nonparametric Tests

Printout ini memperlihatkan bahwa H0 dipertahankan, ini mengindikasikan

bahwa perlakuan berdasar kelompok program diet tidak memberikan efek berbeda signifikan

pada penurunan berat tubuh.