Bab 3 Landasan Teori - Offshore

8/19/2019 Bab 3 Landasan Teori - Offshore

1/26

Bab 3 Landasan Teori

Analisis Struktur Lepas Pantai Tipe Jacket 4 Kaki 3 - 1

Landasan Teori

3.1 Pembebanan Struktur

Beban yang diterima struktur berdasarkan API RP2A dapat berupa beban-beban

seperti dibawah ini:

1. Beban mati

Beban mati struktur adalah berat struktur itu sendiri, semua perlengkapan yang

permanen dan perlengkapan struktur yang tidak berubah selama beroperasinya

struktur.

Beban mati terdiri dari:

a. Berat platform di udara

b. Berat perlengkapan yang permanen

c. Gaya hidrostatik dibawah permukaan garis air termasuk tekanan dan gaya

angkat.

2. Beban hidup

Beban hidup antara lain adalah beban yang mengenai struktur dan berubah selama

operasi platform berlangsung. Beban hidup terdiri dari:

a. Beban perlengkapan pengeboran dan perlengkapan produksi yang bisa dipasang

dan dipindahkan dari platform.

b. Berat dari tempat tinggal (living quarters), heliport dan perlengkapan penunjang

lainnya yang bisa dipasang dan dipindahkan dari platform.

c. Berat dari suplai kebutuhan dan benda cair lainnya yang mengisi tangki

penyimpanan.

ab

3


2/26


3/26



Gambar 3.1 Sketsa profil gelombang.

Keterangan:

L = Panjang gelombang

H = Tinggi gelombang

A = Amplitudo gelombang (=1/2H)

u = Kecepatan horisontal partikel air

w = Kecepatan vertikal partikel air

MWL = Mean Water Level

),( t xη = Elevasi muka air di lokasi x pada saat t

h = Kedalaman perairan

Dalam membangun suatu teori gelombang diperlukan suatu persamaan pengatur

yang dapat mewakili kondisi fisik gelombang yang sebenarnya. Persamaan

pengatur dalam teori gelombang adalah persamaan Laplace. Persamaan pengatur

bersifat umum, untuk mendapatkan persamaan (solusi) yang bersifat khusus

(unique solution) diperlukan syarat-syarat batas, yaitu syarat batas kinematis,

dinamis, dan syarat batas periodic . Perbedaan cara dan pengambilan asumsi yang

berbeda dalam penyelesaian persamaan gelombang akan menghasilkan teori

Z

w

u

L

η (x,t)H

h

seabed

MWL X


4/26



gelombang yang berbeda pula. Namun tiap teori gelombang memiliki keunggulan

dan keterbatasan masing-masing.

A. Persaman Pengatur

Teori gelombang dibangun dari asumsi bahwa fluida (air) merupakan fluida yang

incompressible (tak mampu mampat) dan irrotasional motion (tidak terjadi gerak

berputar fluida). Dengan asumsi ini maka potensial kecepatan Φ akan memenuhi

persamaan kontinuitas.

.∇ U = 0.............................................(3.1)

atau

0. =∇∇ φ .............................................(3.2)

Persamaan (3.2) dapat ditulis dalam bentuk persamaan Laplace sbb:

02

2

2

2

2

22 =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

z y x

φ φ φ φ .........................(3.3)

Dalam tinjauan dua dimensi x dan z, persamaan Laplace menjadi:

02

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

=∇ y x

φ φ φ .................................(3.4)

Persamaan Laplace dapat dituliskan dalam bentuk fungsi stream function:

02

2

2

22 =

∂∂+

∂∂=∇

z x

ψ ψ ψ ................................(3.5)

B. Syarat Batas

Penyelesaian persamaan (3.4) dan (3.5) memerlukan nilai syarat batas tertentu

untuk memperoleh solusi yang bersifat khusus (unique solution).

1. Syarat batas permukaan, meliputi:

a. Syarat batas kinematis (kinematic free surface boundary condition, KFSBC)

x xt z ∂∂

∂∂

−∂∂

=∂∂

− η φ η φ

pada ),( t x z η = .........................................(3.6)


5/26



b. Syarat batas dinamis (dynamic free surface boundary condition, DFSBC)

)(2

1 22

t C g z xt

=+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

+∂∂

− η φ φ φ

pada ),( t x z η = ...............(3.7)

2. Syarat batas dasar perairan (the bottom boundary condition, BBC)

Untuk dasar perairan yang datar, syarat batas menjadi:

0=∂∂

−= z

w φ

pada z = -h.......................................................(3.8)

Kondisi ini menggambarkan bahwa kecepatan partikel fluida tegak lurus dasar

perairan impermeabel dan diam, adalah nol.

3. Syarat batas periodik

( ) ( )( ) ( )T t xt x

t L xt x

+=+=,,

,,

φ φ

φ φ .................................................................(3.9)

3.2.1 Teori Gelombang Airy/ Linier

Teori gelombang airy menitikberatkan pada asumsi bahwa tinggi gelombang jauh

lebih kecil jika dibandingkan panjang gelombang L dan kedalaman h, jadi H


6/26



• Kecepatan (u) dan percepatan partikel air pada arah horisontal:

( )( )t kx

kh

zhk H

xu ϖ ϖ

φ −

+=

∂∂

−= cossinh

cosh

2...................................(3.13)

( ) ( )t kxkh

zhk H t u ϖ ϖ −+=∂∂ sin

sinhcosh

22 .........................................(3.14)

• Kecepatan (w) dan percepatan partikel air arah vertikal:

( )( )t kx

kh

zhk H

zw ϖ ϖ

φ −

+=

∂∂

−= sinsinh

sinh

2....................................(3.15)

( )( )t kx

kh

zhk H

t

wϖ ϖ −

+−=

∂∂

cossinh

sinh

2

2.......................................(3.16)

dimana:

H = tinggi gelombang

k = bilangan gelombang = L

π 2

L = panjang gelombang

ω = frekuensi gelombang =T

π 2

T = periode gelombang

3.2.2 Teori Gelombang Stokes

Pengembangan teori gelombang airy dilakukan oleh Skjelbreia dan Hendrickson

(1961) sampai orde ke-5 dan sampai saat ini banyak digunakan dalam perhitungan

teknik kelautan untuk gelombang dengan amplitudo kecil. Karena masalah

konvergensi yang lebih sulit untuk kondisi laut dangkal, teori gelombang stokes

orde ke-5 dianggap valid untuk kondisi perairan dimana rasio kedalaman h/L lebih

besar dari. Kondisi ini umumnya sesuai dengan gelombang badai (storm wave)

yang biasanya diperhitungkan dalam perancangan bangunan lepas pantai.

Untuk tinggi gelombang H , bilangan gelombang k , dan frekuensi ϖ , yang bergerak

dalam arah sumbu x , permukaan gelombang Stokes dituliskan :

( )∑=

−=5

1

cos1

n

n t kxnF k

ϖ η .................................................(3.17)


7/26



dimana :

55

5

5

44

4

4

35

5

33

3

3

24

4

22

2

2

1

F aF

F aF F aF aF

F aF aF

aF

=

= +=

+=

=

..........................................................(3.18)

,, 2422 F F dan seterusnya, merupakan parameter profil (bentuk) gelombang yang

tergantung pada kh dan a merupakan tinggi gelombang di dalam persamaan

berikut:

( )55355

33

32 F F aF aakH +++= .......................................(3.19)

Kecepatan horisontal (u) dan kecepatan vertikal (w) partikel air gelombang Stokes(pada posisi x , waktu t , dan sejauh z dari dasar perairan) adalah :

( )∑=

−=5

1

cossinh

cosh

n

n t kxn

nkh

nkzG

k u ϖ

ϖ ......................................(3.20)

( )∑=

−=5

1

sinsinh

sinh

n

n t kxn

nkh

nkzG

k w ϖ

ϖ ......................................(3.21)

dimana ,, 21 GG dan seterusnya dituliskan sbb :

( )( )

55

5

5

44

4

4

35

5

33

3

3

24

4

22

2

2

155133111

5

4

3

2

GaG

GaG

GaGaG

GaGaG

GaGaaGG

=

=

+=

+=++=

..................................................(3.22)

,, 1311 GG dst adalah parameter kecepatan gelombang yang bergantung pada kh.

Persamaan parameter ,,, 112422 GF F dst diberikan oleh Skjebreia dan Hendrickson

( ,, 24242222 BF BF == dst, dan kh AGkh AG 2sinh,sinh 24241111 == , dst).

Hubungan antara frekuensi gelombang dengan bilangan gelombang dalam teori

Stokes:

( ) khC aC agk tanh21 4122 ++=ϖ .........................................(3.23)


8/26



dimana 1C dan 2C adalah parameter frekuensi gelombang, tabel 3.3 memberikan

ilustrasi harga parameter frekuensi gelombang untuk berbagai harga h/L.

Kecepatan gelombang c ditentukan seperti pada gelombang Airy,k

c σ = , dimana

kecepatan gelombang Stokes orde-5 dituliskan sebagai berikut:

( ) 2

1

2

4

1

2 tanh1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++= khC aC ak

gc .......................................(3.24)

3.2.3 Pemilihan Teori Gelombang

Dalam perencanaan desain gelombang suatu struktur anjungan lepas pantai perlu

ditentukan teori gelombang yang sesuai, Baltrop et al (1990) menawarkan suatu

diagram yang diperoleh dari hasil membandingkan kecepatan partikel air, tinggi

gelombang dan panjang gelombang yang dihitung dari teori gelombang yang sering

digunakan. Gambar 3.2 adalah diagram daerah aplikasi dari Stream Function,

Stokes dan Teori Geombang Linier yang telah dimodifikasi API RP2A untuk

keperluan desain.

Gambar 3.2 Daerah aplikasi dari Stream Function, Stokes dan Airy.

0.00005

0.00010

0.00020

0.00050

0.00100

0.00200

0.00500

0.01000

0.02000

0.05000

0.001 0.002 0.005 0.010 0.020 0.050 0.100 0.200

>11

11

97

5 3

Stream Function

Shallow Water Waves Intermediate Depth Waves

Deep Water

Waves

Shallow Water Breaking Limit

H/d = 0.78

Deep Water Breaking Limit

H/d = 0.14

Hb

Stokes 5

or Stream Function 3

Linear/Airy

or Stream Function 3

gT app²H

gT app²d


9/26



3.2.4 Perhitungan Gaya Gelombang

Gaya hidrodinamika akibat gelombang pada tiang silinder bergantung pada pola

aliran di sekitar tiang yang dipengaruhi oleh derajat ketergantungan aliran oleh

adanya tiang. Derajat ketergantungan aliran ditentukan oleh perbandingan

diameter tiang silinder terhadap panjang gelombang (D/L). Apabila D/L ≤ 0.2, maka

pola aliran fluida tidak terganggu dan gaya gelombang dapat dihitung dengan

menggunakan persamaan Morison. Sebaliknya bila D/L > 0.2, maka pola aliran

mengalami difraksi dan gaya gelombang dihitung menggunakan persamaan

difraksi.

A. Persamaan Morrison

Persamaan Morison (O’Brien and Morison, 1952) menyatakan bahwa gaya

gelombang dapat diekspresikan sebagai penjumlahan dari gaya seret (drag force,

FD), yang muncul akibat kecepatan partikel air saat melewati struktur, dan gaya

inersia (inertia force, FM) akibat percepatan partikel air.

Persamaan Morison:

M D dF dF dF += ..........................................(3.25)

dzU AC UdzU DC dF M D ρ ρ +=2

1...................(3.26)

Keterangan:

dF = gaya per unit panjang

ρ = massa jenis air

Cd = koefisien drag

Cm = koefisien inersia

D = diameter atau lebar proyeksi bidang muka yang menghadap arah gelombang

U = percepatan partikel air, tegak lurus terhadap sumbu struktur

A = luas penampang elemen struktur

U = percepatan partikel air tegak lurus terhadap elemen struktur


10/26



1. Gaya Gelombang pada Tiang Silinder Tegak

Gaya total F diperoleh dengan cara mengintegrasikan persamaan Morison

sepanjang elemen struktur yang diinginkan. Gaya total pada tiang silinder tegak

dapat dituliskan sebagia berikut:

∫∫−−

+=η η

π ρ ρ h

M

h

D Udz

DC UdzU DC F

42

1 2.............................(3.27)

Koefisien CD dan CM ditentukan berdasarkan hasil percobaan dan nilainya

tergantung pada bilangan Reynold dan bilangan Keulegan–Carpenter. Bilangan-

bilangan tersebut tergantung pada harga parameter kecepatan partikel maksimum

dan diameter tiang seperti bentuk berikut:

D

U K

DU

T max

maxRe

=

=υ ................................................................(3.28)

Keterangan:

Re = Bilangan reynold

K = Bilangan Keulegan-Carpenter

Umax = Kecepatan maksimum

D = Diameter

υ = Viskositas kinematik = 1.2363x10-5 ft2 /s

T = Perioda

Pada Gambar 3.3 dan Gambar 3.4 dapat dilihat besaran Cd dan Cm untuk

berbagai macam nilai bilangan Reynolds dan Keulegan-Carpenter.

Gambar 3.3 Diagram hubungan koefisien drag (Cd) dengan bilangan Reynolds.


11/26



Gambar 3.4 Diagram hubungan Cd dan Cm dengan bilangan Keulegan-Carpenter.

2. Gaya Gelombang pada Tiang Silinder Miring

Chakrabarti dkk, (1975) mengembangkan metode persamaan Morison untuk

menentukan gaya gelombang pada tiang dengan menguraikan kecepatan dan

percepatan partikel ke dalam komponen tegak lurus dan sejajar/tangensial sumbu

tiang silinder.

Arah gaya yang bekerja adalah tegak lurus terhadap sumbu tiang dan sesuai

dengan arah komponen kecepatan dan percepatan partikel tegak lurus sumbu tiang

silinder miring. Untuk keperluan analisa struktur, gaya tersebut bisa disesuaikan

lagi ke dalam komponen gaya vertikal dan gaya horisontal, seperti dapat dilihat

pada Gambar 3.5.

Gambar 3.5 Profil tiang silinder miring.

Dengan menggunakan sistem koordinat polar dan sudut θ dan β untuk

mendefinisikan orientasi dari sumbu tiang, maka besar kecepatan partikel arah

tegak lurus/ normal sumbu miring adalah:


12/26



[ ] 2122 /)( v c uc v uV y x n +−+= ................................(3.29)

Komponen kecepatan pada arah x, y dan z adalah sebagai berikut:

)(

)(

)(

v c uc c w

v c uc c uv

v c uc c uu

y x z n

y x y n

y x x n

+−=

+−=

+−=

..........................................(3.30)

Hal yang sama dapat dilakukan pula pada percepatan. Percepatan partikel arah

normal sumbu tiang silinder dapat diuraikan kedalam komponen dalam arah x, y

dan z yaitu:

)(

)(

)(

y y x x z nz

y y x x y y ny

y y x x x x nx

ac ac c a

ac ac c aa

ac ac c aa

+−=

+−=

+−=

...................................(3.31)

Maka komponen gaya per satuan panjang dalam arah x, y dan z adalah:

nz I nnD z

ny I nnDy

nx I nnD x

aD

C uDV C f

aD

C uDV C f

aD

C uDV C f

42

1

42

1

42

1

2

2

2

π ρ ρ

π ρ ρ

π ρ ρ

+=

+=

+=

..........................(3.32)

sehingga, gaya per satuan panajng dalam arah tegak lurus sumbu tiang adalah:

( ) 21222 / z y x f f f f ++±= ...........................................(3.33)

Komponen total gaya yang bekerja pada tiang silinder miring harus dihitung

dengan cara integrasi numerik berdasarkan persamaan berikut:

∫

∫

∫

=

=

=

S

z z

S

y y

S

x X

dsf F

dsf F

dsf F

.........................................................(3.34)


13/26



B. Persamaan Difraksi

Struktur dengan diameter yang besar mempengaruhi bentuk gelombang karena

adanya pemantulan gelombang oleh struktur. Metode tekanan luas seperti dibawah

ini:

∫=∂

∂−=

A

PdAF

t P

φ ρ

.........................................................(3.35)

dengan:

P = Tekanan akibat gelombang

A = Luas penampang

F = Gaya

φ = Potensial kecepatan gelombang

3.3 Angin

Gaya angin yang mengenai struktur adalah fungsi dari kecepatan angin, orientasi

struktur dan karakteristik aerodinamika dari struktur dan setiap elemennya adalah

sebagai berikut:

AC V F sW 2

2

1 ρ = ..........................................(3.36)

dimana:

F = Gaya angin

ρ = massa jenis udara pada kondisi STP = 0.00238 lb.sec2 /ft

Cs = koefisien bentuk

Vw = kecepatan angin pada ketinggian 33 ft diatas permukaan air

A = luas tegak lurus angin

Menurut API RP2A, koefisien bentuk adalah seperti pada Tabel 3.1 berikut.


14/26



Tabel 3.1 Koefien Bentuk

Bentuk Cs

Beams 1.5

Sides of Building 1.5

Overall Platform Projected Area 1.0

Cylindrical Section 0.5

Koreksi kecepatan angin apabila tidak sama dengan ketinggian referensi dalam

meter

x

Z

yV V ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=10

10 .............................................(3.37)

Dimana:

V10 = kecepatan angin pada ketinggian 10 meter

y = ketinggian yang diinginkan (m)

10 = ketinggian refernsi (m)

X = eksponensial biasanya 1/7 atau 1/13 tergantung durasi hembusan angin

Rekomendasi dari API RP 2A

x = 1/13 untuk angin yang berhembus keras

x = 1/8 untuk angin yang berhembus terus-menerus

3.4 Arus

Arus di laut biasanya terjadi akibat adanya pasang surut dan gesekan angin pada

permukaan air (wind-drift current ). Kecepatan arus dianggap pada arah horizontal

dan bervariasi menurut kedalaman.

Besar dan arah arus pasang surut di permukaan biasanya ditentukan berdasarkan

pengukuran di lokasi. Wind drift current di permukaan biasanya diasumsikan sekitar

1 % dari kecepatan angin pada ketinggian 30 ft di atas permukaan air. Untuk

kebutuhan rekayasa, variasi arus pasang surut terhadap kedalaman baisanya

diasumsikan mengikuti profil pangkat 1/7 (‘one seventh power law’ ) dan variasi

arus akibat gesekan angin diasumsikan linier terhadap kedalaman. Gambar 3.6

menyajikan ilustrasi distribusi vertikal Tidal Current dan Wind Drift Current .


15/26



Gambar 3.6 Asumsi distribusi vertikal arus pasang surut dan wind drift current

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ =

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

h

zU U

h

zU U

WindDrift

Tidal

WindDrift

oTidal

0

7

1

..................................(3.38)

Untuk kebutuhan desain, sesuai rekomendasi API, perhitungan gaya akibat arus

dan gelombang yang bekerja pada struktur dilakukan dengan menambahkan

kecepatan arus dengan kecepatan partikel gelombang arah horizontal.

Dalam kondisi badai, arus terjadi bersamaan dengan gerakan air akibat gelombang.

Arah arus pasang surut bisa tidak sama dengan arah rambat gelombang, tetapi

wind-drift current biasanya diasumsikan searah dengan gelombang.

Kombinasi arus laut dan kecepatan partikel gelombang dapat menghasilkan

peningkatan yang sangat besar terhadap gelombang. Gaya drag:

2)(2

1vuC f

D D += ρ .................................... (3.39)

dengan:

u = kecepatan orbit horizontal

v = arus langgeng (steady current)

Resultan kecepatan merupakan vektor tambahan. Untuk perairan dalam

menggunakan teori gelombang linier.

θ π

coskzeT

H u = ..........................................(3.40)

Pada elevasi muka air rata-rata pada posisi puncak z = 0 dan θ = 0, diperoleh:


16/26



T

H u

π =0 ....................................................(3.41)

Kondisi ekstrim terjadi ketika arus langgeng memiliki arah yang sama dengan

gelombang propagasi, maka pada posisi puncak θ = 0 gaya drag maksimum pada

pile vertikal di perairan adalah:

2

)(2

1⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ += zveT

H C f kz D D

π ρ ...........................(3.42)

dimana v(z) merupakan kecepatan arus sebagai fungsi dari kedalaman. Pada

permukaan air rata-rata z = 0 dan v(z) = 0, maka

2

0max2

1⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ += vT

H C f

D D

π ρ .............................(3.43)

3.5 Modifikasi Koefisien Drag dan Inersia

Modifikasi nilai koefisien Drag dan Inersia diperlukan apabila pada batang tubular

tersebut terdapat tambahan struktur atau komponen lain, misalnya anode.

Modifikasi koefisien drag dan inersia tersebut ditentukan dengan rumusan sebagai

berikut:

1

2211

1

2211

V C nV C V C

A

C nAC AC

mmm

d d d

+=

+=

'

'

.................................(3.44)

dengan:

A1 = luas drag batang tubular

Cd1 = koefisien drag batang tubular

A2 = luas drag komponen/anode

Cd2 = koefisien drag komponen/anode

V1 = volume batang tubular

Cm1 = koefisien massa batang tubular

V2 = volume komponen/anode

Cm2 = koefisien massa komponen/anode

n = jumlah komponen/anode


17/26



3.6 M a r i n e Gr o w t h

Struktur yang terbenam di dalam air akan mengalami penambahan luas area

melintang akibat adanya marine growth. Marine growth ditimbulkan oleh organisme

laut yang menempel pada struktur.

Gambar 3.7 Marine Growth

Maka diameter struktur dimodifikasi menjadi :

D = DC + 2t................................................(3.45)

Pertambahan luas melintang ini mengakibatkan gaya gelombang yang diterima oleh

struktur menjadi lebih besar.

3.7 Gaya Apung (B o u y a n t Fo r c e )

Tekanan hidrostatik yang terjadi akibat berat air di atasnya, yaitu :

( ) zh p f −= γ ...............................................(3.46)

dimana :

γf = berat jenis air

h = kedalaman perairan

z = jarak vertikal dari dasar perairan

Tekanan tersebut menimbulkan gaya apung yang akan tetap ada meskipun kondisi

tidak ada gelombang di permukaan. Besar gaya apung yang bekerja pada struktur

terendam dalam fluida, baik itu sebagian atau seluruhnya adalah :

V F f b γ = ....................................................(3.47)

dimana :

γf = berat jenis air

V = volume benda/struktur yang terendam

Dc

Dc + 2t


18/26



Perhitungan gaya apung pada struktur lepas pantai biasanya dikombinasikan

dengan berat struktur tersebut, sehingga didapat berat efektif dari struktur sebagai

berikut:

V W W f

γ −=' .............................................(3.48)

dimana :

W’ = berat efektif struktur

W = berat struktur di udara

Dalam menerapkan gaya apung pada komponen struktur, maka perlu diperhatikan

beberapa hal yang berkaitan dengan analisa tegangan yang terjadi seperti pada

Gambar 3.8 berikut.

Gambar 3.8 Gaya apung dan berat pada tiang pancang

Pada gambar diatas, tiang pancang vertikal dibagi menjadi elemen 1-2 dan elemen

2-3. Berat elemen 2-3 di udara adalah w1 dan elemen 1-2 adalah w2. Dasar

perairan biasanya dianggap tembus air ( porous), sehingga akan terjadi tegangan

hidrostatik.

Gaya apung yang bekerja pada dasar tiang pancang adalah :

)( d h AF f h += γ ..............................................(3.49)


19/26



dimana :

A = luas ujung tiang pancang

h = kedalaman perairan

d = kedalaman penetrasi tiang pancang

Besar gaya apung sama dengan berat air yang dipindahkan, sehingga berat efektif

tiang adalah berat tiang di udara dikurangi berat air yang dipindahkan. Karena

gaya apung bekerja pada ujung dasar tiang pancang, maka berat efektif elemen 2-

3 akan terlihat sama dengan berat di udara.

3.8 Dasar-dasar Elemen Hingga

Metode elemen hingga (finite element method ) adalah salah satu cara yang

digunakan dalam melakukan analisa terhadap struktur. Dalam melakukan analisastruktur menggunakan metode elemen hingga ini digunakan persamaan metriks

untuk menyederhanakan formulasi dari elemen matriks kekakuan.

3.8.1 Rangka Batang

A. Penentuan Matriks Kekakuan

Batang tarik dan batang tekan pada hakekatnya adalah pegas linier, dengan

konstanta pegas, k,yang dapat diperoleh dari Hukum Hooke.

Gambar 3.9. Elemen batang dengan gaya aksial nodal F1,F2 dan perpindahan

nodalnya u1 dan u2

Hubungan-hubungan yang digunakan untuk mencari perpindahan dituliskan pada

persamaan regangan dan tegangan berikut ini:

dxdu=ε ..............................................................(3.50)

dan

ε σ E = .............................................................(3.51)


20/26



Dengan menggunakan persamaan (3.50) dan (3.51) perpindahan u1 akibat gaya

F1 yang bekerja pada nodal 1 pada kondisi dimana nodal 2 dipertahankan tetap (u2

= 0) diturunkan sebagai berikut :

L L

uu Δ=

−=

12ε .................................................(3.52)

L

E E

Δ== ε σ ...................................................(3.53)

Tegangan dapat dituliskan sebagai berikut :

A

F =σ ...........................................................(3.54)

dengan mensubstitusikan persamaan (3.53) ke persamaan (3.54) menghasilkan :

Δ=Δ= k L

EAF ..................................................(3.55)

di mana L

EAk = adalah koefisien kekakuan, maka perpindahan pada nodal 1

adalah :

EA

FLu =1 ...........................................................(3.56)

koefisien kekakuan k11 (gaya pada nodal 1 yang mengakibatkan satu satuan

perpindahan u1 = 1 ) adalah :

L

EAk =11 .........................................................(3.57)

Keseimbangan segmen batang yang dibebani oleh gaya k11 memerlukan sebuah

gaya k21 pada ujung lainnya yaitu :

k21 = - L

EAk −=11 ...........................................(3.58)

dengan cara yang sama, koefisien kekakuan pada ujung yang lain dapat diperoleh.

Koefisien kekakuan yang diberikan oleh persamaan (3.56) adalah elemen-elemen

dari matrik kekakuan yang sesuai dengan gaya-gaya aksial dan perpindahan-

perpindahan untuk sebuah segmen batang, yaitu :


21/26



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡11

11

2

1

L

EA

F

F ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡2

1

u

u .......................................(3.58)

atau

{F} = [ k ]{ u }

B. Tranformasi Matriks Kekakuan

Orientasi elemen batang yang membentuk plane truss tidaklah seragam. Susunan

sumbu ortogonal lokal terdiri atas sumbu-x yang berimpit dengan sumbu batang

dan sumbu-y yang tegak lurus sumbu batang.

Disamping susunan sumbu lokal yang didirikan di tiap elemen, dibuat pula satu

susunan sumbu global (X,Y), yang biasanya terdiri atas sumbu horizontal X dan

sumbu vertikal Y. Demikian juga gaya batang yang bekerja pada kedua titik nodal

elemen, yang dalam susunan sumbu lokal adalah F1, F2, F3, dan F4, pada susunan

sumbu global, keempat gaya batang tersebut masing-masing mempunyai

komponen ,1F ,2F 3F , 4F .

Gambar 3.10 memperlihatkan gaya-gaya yang bekerja pada elemen batang dalam

sistem sumbu koordinat lokal dan global.

Gambar 3.10 Gaya-gaya nodal pada sumbu koordinat lokal (x,y) dan pada sumbu

koordinat global (X,Y)

Tujuan dari transformasi koordinat adalah mentransformasikan matrik-matrik

elemen dari sistem sumbu koordinat lokal menjadi matrik-matrik pada sistem


22/26



sumbu koordinat umum. Transformasi ini memerlukan matrik-matrik dari elemen

dengan suatu susunan koordinat yang sama, hingga matrik-matrik tersebut dapat

disusun menjadi matrik-matrik dari struktur. Langkah pertama adalah dimulai

dengan menyatakan gaya-gaya ( F1,F2,F3,F4 ) dalam besaran gaya-gaya

( ,1F ,2F 3F , 4F ).

Karena kedua kumpulan gaya-gaya ini adalah ekivalen, maka dari Gambar 3.10

diperoleh hubungan- hubungan sebagai berikut :

F1 = 1F cos θ + 2F sin θ .............................................(3.59a)

F2 = - 1F sin θ + 2F cos θ ..........................................(3.59b)

Persamaan (5.13a) dan (5.13b) dapat ditulis dalam notasi matrik sebagai:

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡

21

F F = ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡− θ θ

θ θ cossinsincos ...............................................(3.60)

dengan cara yang sama, diperoleh hubungan untuk gaya-gaya dari titik nodal yang

lain;

F3 = 3F cos θ + 4F sin θ ............................................(3.61a)

F4 = - 3F sin θ + 4F cos θ ...........................................(3.61b)

Persamaan (5.13) dan (5.15) dapat disusun secara tepat dalam bentuk matriks

sebagai berikut;

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4

3

2

1

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

4

3

2

1

F

F

F

F

F

F

F

F

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

.....................(3.62)

atau dalam notasi

{FM} = [ T ]

di mana {FM} dan { }FM adalah vektor-vektor gaya nodal elemen dalam koordinatlokal dan koordinat umum, dan [ T ] adalah matrik transformasi yang dinyatakan

oleh matrik bujur sangkar.


23/26



Dengan mengulangi prosedur yang sama, diperoleh hubungan antara perpindahan-

perpindahan nodal ( u1,v 1,u2,v 2, ) pada koordinat lokal dan komponen

perpindahan nodal pada koordinat umum( 1u , 1v , 2u , 2v ), yaitu

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

2

11

cossin00

sincos00

00cossin00sincos

2

2

11

v

u

vu

v

u

vu

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

................(3.63)

atau dengan notasi

{ u }= [ T ]{ u }

Dengan mensubstitusikan {FM} dan {u} ke dalam persamaan kekakuan pada

koordinat lokal {FM} = [K]{u} menghasilkan

[ T ]{ FM }= [ K ][ T ] { u }......................................(3.64)

atau

{FM } = [ T ]-1[ K ][ T ]{ u } ....................................(3.65)

di mana [ T ]-1 adalah invers matrik [ T ] dan matrik transformasi [ T ] adalah

matrik ortoghonal, dimana [ T ]-1 = [ T ]T. Jadi

{FM } = [ T ]T[ K ][ T ]{ u }.....................................(3.66)

atau dengan notasi

{FM } = [ K ]{ u }................................................(3.67)

dimana

[ K ] = [ T ]T[ K ][ T ]..............................................(3.68)

3.8.2 Rangka Balok

Elemen balok adalah merupakan elemen yang lurus dan memiliki luas penampang

yang konstan sepanjang batangnya. Solusi permasalahan rangka balok

memberikan penjelasan bahwa derajat kebebasan rangka balok adalah

perpindahan arah melintang dan rotasi pada nodal elemen balok.

Struktur balok adalah suatu struktur yang terdiri dari satu atau beberapa balok

yang bertumpu di atas sejumlah tumpuan yang berupa jepit, sendi atau sendi-roll


24/26



sedemikian rupa sehingga membentuk struktur balok yang stabil. Struktur balok

merupakan sebuah elemen struktur panjang dan ramping, yang secara umum

diberikan gaya melintang (tegak lurus) atau sejajar terhadap sumbu balok, atau

momen yang menghasilkan efek yang signifikan. Deformasi inilah yang diukur

sebagai perpindahan arah melintang dan rotasi.

Gambar 3.11 Elemen balok

Asumsikan perpindahan arah melintang sepanjang elemen batang adalah :

( ) 432

2

3

1 ˆˆˆˆˆ a xa xa xa xv +++= ..................................................... (3.69)

Asumsi ini digunakan karena pada elemen balok terdapat empat derajat kebebasan

yaitu berupa perpindahan arah melintang dan rotasi untuk setiap node batang.

Dapat diperoleh :

( ) 41 0ˆˆ avd y == ..............................................................................(3.70)

( )31

0ˆˆ adx

vd ==φ ..........................................................................(3.71)

( ) 432

2

3

12 ˆˆ

a La La La Lvd y +++== ...............................................(3.72)

( )32

2

12 23ˆˆ a La Ladx

Lvd ++==φ ...................................................(3.73)

Hubungan-hubungan yang digunakan untuk mencari perpindahan dituliskan pada

persamaan regangan dan tegangan berikut ini:

y y d f 11ˆ,ˆ y y d f 22

ˆ,ˆ

x̂

ŷ

22ˆ,ˆ φ m

11ˆ,ˆ φ m


25/26



( ) xd

ud y x x

ˆ

ˆˆ,ˆ =ε ..........................................................................(3.74)

Dimana û adalah fungsi perpindahan arah aksial. Hubungan fungsi perpindahan

arah aksial dengan perpindahan arah melintang adalah sebagai berikut :

xd

vd yu

ˆ

ˆˆ −= ..............................................................................(3.75)

Sehingga diperoleh :

( )2

2

ˆ

ˆˆ,ˆ

xd

vd y y x

x −=ε ...................................................................(3.76)

Hubungan momen dan gaya geser terhadap perpindahan arah melintang dapat

dituliskan sebagai berikut :

( )2

2

ˆ

ˆˆˆ

xd

vd EI xm = .........................................................................(3.77)

3

3

ˆ

ˆˆ xd

vd EI V = ...........................................................................(3.78)

Dapat dituliskan momen dan gaya geser pada masing-masing node :

( )

( )221133

3

1

ˆ6ˆ12ˆ6ˆ12ˆ

0ˆˆˆ φ φ Ld Ld L

EI

xd

vd EI V f

y y y +−+===

.............(3.79)

( ) ( )222121322

1ˆ2ˆ6ˆ4ˆ6

ˆ

0ˆˆˆ φ φ Ld L Ld L

L

EI

xd

vd EI mm y y +−+=−=−= .......(3.80)

Dimana untuk node 2 adalah berlawanan arah dari node 1 :

( ) ( )2211333

2ˆ6ˆ12ˆ6ˆ12

ˆ

ˆˆˆ φ φ Ld Ld L

EI

xd

Lvd EI V f y y y −+−−=−=−= ........(3.81)

( )

( )2

2

21

2

132

2

2 ˆ4ˆ6ˆ2ˆ6ˆ

ˆ

ˆˆ φ φ Ld L Ld L L

EI

xd

Lvd

EI mm y y +−+=== .......(3.82)

Sehingga, dapat dituliskan :


26/26


⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

2

2

1

1

2

22

3

2

2

1

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

4626

612612

2646

612612

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

φ

φ

y

y

y

y

d

d

L L L L

L L

L L L L

L L

L

EI

m

f

m

f

...................................(3.83)

Maka, dapat diketahui matriks kekakuan lokal k ̂ elemen untuk struktur balok

adalah :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

=

L L L L

L L

L L L L

L L

L

EI k

4626

612612

2646

612612

ˆ

2

22

3 .........................................(3.84)

Bab 3 Landasan Teori - Offshore

Documents

Transcript of Bab 3 Landasan Teori - Offshore