MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS

Model matematis suatu sistem :

Persamaan matematis yang menunjukan hubungan input dan output dari suatu sistem

yang bersangkutan.

Dengan mengteahui model matematis ini, maka kita dapat menganalisa tingkah laku sistem.

Sistem

INPUT OUPUT

R(s) C(s)

Diagram diatas menunjukan diagram model matematis suatu sistem.

R(s) = transformasi Laplace dari input

C(s) = transformasi Laplace dari output

G(s) = transformasi Laplace dari hubungan input dan output dari sistem.

C(s) = G(s).R(s)

Transfer function : )()(

)(sG

sR

sC

model matematis sistem ekuivalen dengan transfer function.

Transfer function / fungsi alih :

Perbandingan antara transformasi laplace dari output dengan transformasi laplace dari

inputnya, dengan anggapan semua kondisi awal = 0.

1. F = input (gaya) ; x = output (pergeseran)

k = konstanta pegas

m = massa f

= koefisien gesekan (piston)

carilah transfer function sistem mekanis diatas !

Solusi :

F = m.a

F – k.x – f.

.x = m.

..x

F(s) – kX(s) – fsX(s) = ms2X(s)

F(s) = (ms2 + fs + k) X(s)

kfs2ms

1

F(s)

X(s)

1.

G(s)

J = momen inersia

f = koefisien gesek

= kecepatan sudut (output)

T = torsi (input)

= percepatan sudut

= pergeseran sudut

J = T

J

.ω = T-f.

Js(s) = T(s) – f(s)

T(s) = (Js +f) (s)

fJs

1

T(s)

Ω(s)

eI = i.dtc

1R.i

dt

diL. ……………… (1)

e0 = i.dtc

1 ………………(2)

Transformasi Laplace :

1 EI(s) = Ls I(s) + R I(s) + I(s)Cs

1

2 E0(s) = I(s)Cs

1 I(s) = C s E0(s)

21:

EI(s) = L C s2 E0(s) + R C E0(s) + E0(s)

EI(s) = C L C s2 + R (s +1) E0(s)

1RCs2LCs

1

(s)i

E

(s)0

E

1RCs

1

(s)i

E

(s)0

E

(Buktikan !!!)

Bila kedua rangkaian RC

disamping tidak dianggap

terpisah.

EI = R1.i1 + )dt2

i1

(i ………………… (1)

0 = .dt2

i

2C

1

2.i

2R)dt

1i

2(i

1C

1 ………..(2)

e0 = .dt2

i

2C

1 ………………….(3)

Transformasi Laplace :

1 (s))2

I(s)1

(I(s)

1C

1

1.i

1R(s)

iE

2 (s)2

Is

2C

1(s)

2.I

2R(s))

1I(s)

2(I

s1

C

10

3 (s)2

Is

2C

1(s)

0E

Eliminasi I1(s) dan I2(s) dari ketiga persamaan diatas menghasilkan :

1)s2

C1

R2

C2

R1

C1

(R2s2

C2

R1

C1

R

1

(s)1

E

(s)0

E

Bila Kedua rangkaian RC diatas dianggap terpisah.

1s

1C

1R

1

(s)i

E

(s)m

E

1s

2C

2R

1

(s)i

E

(s)m

E

Transfer Function :

1s

1C

1R

1.

1s2

C2

R

1

(s)i

E

(s)m

E.

(s)m

E

(s)0

E

(s)i

E

(s)0

E

1)s2

C2

R1

C1

(R2s2

C2

R1

C1

R

1

X1(s) X2(s) X3(s) X

X1(s) X3(s)

(s)

2X

(s)3

X(s)

2G,

(s)1

X

(s)2

X(s)

1G

(s)2

(s).G1

G(s)

2X

(s)3

X.

(s)1

X

(s)2

X

(s)1

X

(s)3

XG(s)

)1s

2C

2R

1)(K)(

1s1

C1

R

1(

(s)i

E

(s)0

E

1)s

2C

21)(Rs

1C

1(R

K

BLOK DIAGRAM (DIAGRAM KOTAK)

Blok diagram : Suatu pernyataan grafis untuk menggambarkan sistem pengaturan.

Elemen-elemen blok diagram :

G1(s) G2(s)

G1(s) G2(s)

a. PROSES atau TRANSFER FUNCTION

b. ELEMEN PENJUMLAHAN

A C C = A - B

B

c. PERCABANGAN

BLOK DIAGRAM LENGKAP UNTUK SISTEM SEDERHANA :

R(s) = input

C(s) = output

G(s) = transfer function “feedforward”

H(s) = transfer function “feedback”

G(s)H(s) = transfer function “open-loop”

Transfer function “closed-loop” :

E(s) = R(s) – B(s) ……….. (1)

B(s) = C(s) . H(s) ………. (2)

C(s) = E(s) . G(s) ………..(3)

21 : E(s) = R(s) – C(s).H(s) ……..(4)

43 : C(s) = (R(s) – C(s).H(s)) G(s)

C(s) + G(s)H(s)C(s) = G(s)R(s)

G(s)H(s)1

G(s)

R(s)

C(s)

Contoh :

TRANSFER

FUNCTION G(s)

(s)H(s)

2(s)G

1G1

(s)2

(s)G1

G

R(s)

C(s)

SISTEM CLOSED-LOOP (SISTEM TERTUTUP) DENGAN DISTURBANSI :

N(s) = Disturbance

a. N(s) = 0

(s)H(s)

2(s)G

1G1

(s)2

(s)G1

G

R(s)

C(s)

R(s)(s)H(s)

2(s)G

1G1

(s)2

(s)G1

GC(s)

b. R(s) = 0

Atau

(s).H(s)

2(s)G

1G1

(s)2

G

N(s)

C(s)

N(s)(s).H(s)

2(s)G

1G1

(s)2

GC(s)

output total :

N(s)(s)H(s)

2(s)G

1G1

(s)2

GR(s)

(s)H(s)2

(s)G1

G1

(s)2

(s)G1

GC(s)

BLOK DIAGRAM SISTEM FISIS :

EI = R.i + i.dtC

1 .…. (1)

E0 = i.dtC

1 ….. (2)

Transformasi Laplace :

1 EI(s) = RI(s) + I(s)Cs

1

2 E0(s) = I(s)Cs

1

21 : EI(s) = RI(s) + E0(s)

RI(s) = EI(s) – E0(s)

I(s) = R

(s)0

E(s)i

E

BLOK DIAGRAM PERSAMAAN : I(s) = R

(s)0

E(s)i

E

BLOK DIAGRAM PERSAMAAN : E0(s) = I(s)Cs

1 I(s) E0(s)

BLOK DIAGRAM RANGKAIAN RC

Atau :

RCs1

1

1/RCs1

1/RCs

(s)i

E

(s)0

E

ATURAN PENYEDERHANAAN BLOK DIAGRAM

Cs

1

Contoh : Hitung R(s)

C(s)u/ sistem yang mempunyai blok diagram sebagai berikut :

MENDAPATKAN TRANSFER FUNCTION DARI SISTEM FISIS

1 MOTOR DC DENGAN PENGATURAN JANGKAR

Ra = tahanan jangkar

La = induktansi jangkar

ia = arus jangkar

if = arus medan

ea = tegangan jangkar

eb = emf terinduksi

= perpindahan sudut dari poros / batang meter

T = torsi

J = momen inersia total

f = koefisien geseran total

Persamaan Sistem :

(1) ea = Ra.ia + La.b

edt

adi

(2) eb = K . n . = c . n = c .

(3) T = KI . . Ia = cI . ia

(4) J.

.ω + f . = T

......?(s)

aE

Ω(s)

Transformasi Laplace :

(1) Ea(s) = Ia(s) [Ra + La . s] + Eb(s)

(2) Eb(s) = c . (s)

(3) T(s) = CI.Ia(s)

(4) T(s) = (s) [Js +f]

(1) Ia(s) [Ra + Las] = Ea(s) – Eb(s)

(2) Eb(s) = c . (s)

(s) Eb(s)

(3) T(s) = cI . Ia(s)

C

fJs

1

Ia(s) T(s)

(4) (s) = fJs

1 T(s)

(s) T(s)

Blok Diagram Sistem :

)1

ccfa

(RJ)sa

Rfa

(L2Jsa

L

1c

(s)a

E

Ω(s)

2 SISTEM LEVEL CAIRAN

A)

qI = aliran air yg masuk

q0 = aliran air yang keluar

R = tahanan kran

C = kapasitas tangki

h = tinggi air

(1) h = q0 . R H(s) = R Q0(s)

CI

(2) 0

qi

qdt

dhC C.sH(s) = QI(s) – Q0(s)

.....?(s)

iQ

H(s)

H(s) = R [QI(s) – CsH(s)]

[RC.s + 1] H(s) = RQi(s)]

1)R(s

R

(s)i

Q

H(s)

B)

......?(s)

iQ

(s)0

Q

Tangki 2 :

q0 =

2R

2h

Q0(s) =

2R

(s)2

H …. (1)

C2

dt

2dh

= qm – q0 C2sH2(s) = Qm(s) – Q0(s) ….(2)

Tangki 1 :

(s)....(4)m

Q(s)i

Q(s)1

sH1

Cm

q1

qdt

1dh

1C

.....(3)

1R

(s)2

H(s)1

H(s)

mQ

1R

2h

1h

mq

(1) H2(s) Q0(s)

2

R

1

Penggabungan :

s1

C2

Rs1

C1

R2s2

C2

R1

C1

R

1s2

C2

R1

s1

C2

Rs1

C1

R2s2

C2

R1

C1

R

1

(s)i

Q

(s)0

Q

=

1)s1

C2

R2

C2

R1

C1

(R2s2

C2

R1

C1

R

1

SIGNAL FLOW GRAPH (GRAF ALIRAN SINYAL)

HUBUNGAN ANTARA SIGNAL FLOW GRAPH DENGAN BLOK DIAGRAM

BLOK DIAGRAM SIGNAL FLOW GRAPH

R(s) C(s) R(s) G(s) C(s)

SIFAT-SIFAT SIGNAL FLOW GRAPH

(a) x a y y = a . x

(b) x a y b z x a.b z

G(s)

(c)

(d)

DEFINISI

x1, x2, x3, x4 node (simpul)

G1, H2, G2, G3, H1 transmittance / gain

x1 x1 a ac

x3 c x4 x4 b bc x2 x2

x1 input node (source)

x4 output node (sink)

x2, x3 mixed node

G1 G2 G3 = gain lintasan maju / kedepan (forward path gain)

Gain lintasan tertutup :

G1, G2, H2 / G2, H2, G1

G2, G3, H1

Dua atau lebih lintasan tertutup dikatakan tidak bersentuhan bila lintasan-lintasan tersebut

tidak melintasi suatu transmittance yang sama.

Contoh :

Gain lintasan maju : 1) G1 G2 G3 G4 G5

2) G1 G2 G6 G5

gain lintasan tertutup : 1) G1 G2 H1 3) G4 G5 H3

2) G2 G3 H2 4) G2 G6 G5 H3 H2

TEORI MASON

P = fungsi alih / tranfer function total

= ....

kj,i,k

Lj

Li

L

ji,j

Li

L

ii

L1

PI = gain / transmittance lintasan maju ke I

LiLj = gain total dari dua buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan

LiLjLk = gain total dari tiga buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan

I = bila lintasan maju ke i dihilangkan, atau bila lintasan-lintasan tertutup yang

menyentuh lintasan maju ke i dihilangkan

Contoh :

P1 = G1 G2 G3 G4 G5

ii

Δi

PΔ

1P

R(s)

C(s)

P2 = G1 G2 G5 G6

L1 = G1 G2 H1 L3 = G4 G5 H3

L2 = G2 G3 H2 L4 = G2 G5 G6 H2 H3

Dua buah lintasan tertutup yang tidak bersinggungan

L1 L3 = G1 G2 G4 G5 H1 H3

L2 L3 = G2 G3 G4 G5 H2 H3

= 1 – L1 – L2 – L3 – L4 + L1 L3 + L2 L3

1 = 1

2 = 1

32543231542132652354232121

652154321

32314321

2211

HHGGGGHHGGGGHHGGGHGGHGGHGG1

GGGGGGGGG

R(s)

C(s)

LLLLLLLL1

ΔPΔPP

R(s)

C(s)

soal latihan :