caku

lfi

50

80

by

kh

basa

r;se

m1

20

10

-20

11

Bab 2

Matriks

Dalam BAB ini akan dibahas mengenai matriks, sifat-sifatnya serta penggu-naannya dalam penyelesaian persamaan linier.

Matriks merupakan representasi dari kumpulan besaran. Vektor yangtelah dibahas pada BAB terdahulu merupakan contoh matriks karena vek-tor dapat direpresentasikan sebagai kumpulan bilangan (yaitu komponen-komponennya). Secara umum dapatlah diartikan bahwa matriks adalah kum-pulan besaran-besaran yang disusun dalam bentuk persegi (rectangular).

2.1 Notasi

Matriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dankolom:

A =

(

1 5 −2−3 0 6

)

(2.1)

Pada contoh tersebut di atas, matriks A mempunyai 2 baris dan 3 kolom. Ma-triks tersebut mempunyai 2× 3 = 6 buah komponen. Komponen-komponentersebut diacu berdasarkan posisinya pada matriks. Misalnya, komponen ba-ris pertama kolom pertama dari matriks A (dituliskan sebagai A11 atau a11)adalah 1. Sedangkan komponen baris kedua kolom ketiga dari matriks A(dituliskan sebagai A23 atau a23) adalah 6. Untuk lebih lengkapnya:

a11 = 1; a12 = 5; a13 = −2

a21 = −3; a22 = 0; a23 = 6

Jadi komponen baris ke-i kolom ke-j dari matriks A dinyatakan dengan Aij

atau aij.

17

18 BAB 2. MATRIKS

2.2 Transpose

Transpose suatu matriks A (ditulis sebagai AT) diperoleh dengan menuliskanbaris matriks A menjadi kolom, sedangkan kolom matriks A menjadi baris.Misalkan untuk matriks A sebagaimana persamaan 2.1, maka transposenyaadalah

AT =

1 −35 0−2 6

(2.2)

Dengan demikian dapat dinyatakan

(AT)ij = Aji (2.3)

2.3 Determinan Matriks

Matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya dinamakanmatriks bujursangkar (square matrix ). Untuk suatu matriks bujursangkarterdapat suatu bilangan yang penting yang merupakan properti matriks ter-sebut yaitu yang dinamakan determinan. Misalkan suatu matriks bujursang-kar 2× 2 berikut

A =

(

a b

c d

)

maka determinannya adalah

detA =

∣

∣

∣

∣

a b

c d

∣

∣

∣

∣

= ad− bc (2.4)

Persamaan 2.4 adalah ungkapan untuk memperoleh determinan matriks 2×2.Berikut ini akan diuraikan cara mencari determinan matriks dengan orde

yang lebih tinggi. Untuk itu perlu diperkenalkan lebih dulu tentang minor

dan cofactor dari suatu komponen (elemen) matriks.

Minor dari suatu komponen

Misalkan untuk matriks bujursangkar 3× 3 sebagai berikut

A =

a b c

d e f

g h i

(2.5)

Bila baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A tersebut dibuang maka matriksA menjadi matriks 2 × 2 yang determinannya disebut minor dari aij dan

caku

lfi

50

80

by

kh

basa

r;se

m1

20

10

-20

11

2.3. DETERMINAN MATRIKS 19

dinyatakan dengan Mij. Jadi misalnya untuk matriks A seperti pada 2.5,maka minor dari a11 adalah

M11 =

∣

∣

∣

∣

e f

h i

∣

∣

∣

∣

= ei− hf (2.6)

demikian pula halnya minor dari a32 adalah

M32 =

∣

∣

∣

∣

a c

d f

∣

∣

∣

∣

= af − cd (2.7)

Cofactor dari suatu komponen

Cofactor dari suatu komponen aij diperoleh dengan cara

cofactor dari aij = Cij = (−1)i+jMij (2.8)

dengan Mij adalah minor sebagaimana yang telah dibahas sebelumnya.

Determinan matriks menggunakan cofactor

Determinan matriks (terutama yang mempunyai orde lebih dari 2) dapatdiperoleh dengan menggunakan cofactor. Caranya adalah dengan mengalikansetiap elemen pada salah satu baris atau kolom dengan cofactornya kemudianhasilnya dijumlahkan. Untuk lebih jelasnya kembali pada matriks A padapersamaan 2.5. Dengan menggunakan elemen pada baris pertama, makadapat dinyatakan

detA = a (C11) + b (C12) + c (C13)

= a(−1)1+1M11 + b(−1)1+2M12 + c(−1)1+3M13

= a

∣

∣

∣

∣

e f

h i

∣

∣

∣

∣

− b

∣

∣

∣

∣

d f

g i

∣

∣

∣

∣

+ c

∣

∣

∣

∣

d e

g h

∣

∣

∣

∣

= a(ei− fh)− b(di− fg) + c(dh− eg)

(2.9)

Beberapa sifat penting terkait determinan

Beberapa sifat penting yang terkait determinan matriks di antaranya adalah:

• Jika semua elemen pada satu baris (atau pada satu kolom) dari suatumatriks dikalikan dengan bilangan k, maka determinannya juga dika-likan dengan k.

• Nilai determinan suatu matriks sama dengan nol jika

20 BAB 2. MATRIKS

1. semua elemen dalam satu baris (atau dalam satu kolom) samadengan nol, atau

2. dua baris (atau dua kolom) elemen-elemennya identik, atau

3. dua baris (atau dua kolom) elemen-elemennya proporsional (se-banding)

• Jika dua baris (atau dua kolom) dari suatu matriks dipertukarkan,maka nilai determinannya berubah tanda

• Determinan suatu matriks tidak berubah jika

1. baris dituliskan menjadi kolom dan kolom dituliskan menjadi ba-ris, atau

2. setiap elemen dalam satu baris (atau dalam satu kolom) ditam-bahkan dengan k kali elemen pada baris (atau kolom) yang lain.

Aturan Cramer

Penyelesaian sistem persamaan linier dapat dilakukan juga dengan meng-gunakan determinan. Cara ini disebut Aturan Cramer (Cramer’s Rule).Misalkan dua buah persamaan yang dinyatakan dengan

a1x+ b1y = c1

a2x+ b2y = c2

dengan a1, a2, b1, b2, c1 dan c2 adalah bilangan. Jika persamaan pertama di-kalikan dengan b2 sementara persamaan kedua dikalikan dengan b1 kemudiankeduanya dikurangkan, maka dapat diperoleh nilai x, yaitu

x =c1b2 − c2b1

a1b2 − a2b1

cara yang serupa juga dapat dilakukan untuk memperoleh nilai y, yaitu

y =a1c2 − a2c1

a1b2 − a2b1

artinya solusi untuk x dan y dapat dituliskan dalam bentuk determinan ma-triks:

x =

∣

∣

∣

∣

c1 b1c2 b2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

, y =

∣

∣

∣

∣

a1 c1a2 c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

(2.10)

Secara umum dapat dituliskan langkahnya sebagai berikut:

caku

lfi

50

80

by

kh

basa

r;se

m1

20

10

-20

11

2.4. MATRIKS IDENTITAS 21

• Tuliskan persamaan linier dalam bentuk standar dengan urutan varia-bel yang sama

• Tuliskan koefisien-koefisien variabelnya dalam bentuk matriks dan hi-tung determinan matriksnya. Determinan matriks koefisien (sebut se-bagai D) ini akan menjadi penyebut dalam penghitungan nilai variabel-variabel yang dicari

• Pembilang untuk nilai x diperoleh dengan mengganti elemen koefisienvariabel x pada matriks koefisien dengan konstanta ruas kanan persa-maan yang sesuai. Pembilang untuk nilai x diperoleh dengan menggan-ti elemen koefisien variabel x pada matriks koefisien dengan konstantaruas kanan persamaan yang sesuai

Jadi untuk persamaan yang melibatkan tiga variabel sebagai berikut

a1x+ b1y + c1z = d1

a2x+ b2y + c2z = d2

a3x+ b3y + c3z = d3

maka diperoleh

x =1

D

∣

∣

∣

∣

∣

∣

d1 b1 c1d2 b2 c2d3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, y =1

D

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 d1 c1a2 d2 c2a3 d3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, z =1

D

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 d1a2 b2 d2a3 b3 d3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(2.11)

dengan D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

2.4 Matriks Identitas

Matriks identitas atau matriks satuan adalah matriks bujursangkar dengansemua elemen sama dengan nol kecuali elemen pada diagonal utama samadengan 1. Matriks identitas atau matriks satuan umumnya dilambangkandengan I. Contohnya adalah sebagai berikut

I =

1 0 00 1 00 0 1

(2.12)

22 BAB 2. MATRIKS

2.5 Reduksi Baris

Perhatikan kumpulan persamaan linier berikut ini

2x −z = 26x +5y +3z = 72x −y = 4

(2.13)

Kumpulan persamaan tersebut dapat disusun menjadi bentuk matriks yangterdiri dari koefisien masing-masing variabelnya. Kolom pertama berisi ko-efisien dari variabel x, kolom kedua berisi koefisien variabel y, kolom ke-tiga berisi koefisien dari variabel z dan kolom keempat berisi ruas kananpersamaan-persamaan tersebut. Matriks yang dimaksud adalah

2 0 −1 26 5 3 72 −1 0 4

Hal ini berarti terdapat kesetaraan antara kumpulan persamaan linier denganmatriks koefisien-koefisien variabelnya. Apa yang dilakukan pada kumpulanpersamaan linier tersebut dapat juga diterapkan pada matriks yang berkait-an.

Dengan sifat kesetaraan tersebut dapat dilakukan metode reduksi barisuntuk menyelesaikan persamaan linier tersebut. Berikut adalah contohnya

• Karena persamaan linier dapat dieliminasi dengan persamaan lain, ma-ka bila persamaan kedua dikurangi tiga kali persamaan pertama:

2x −z = 25y +6z = 1

2x −y = 4⇐⇒

2 0 −1 20 5 6 12 −1 0 4

• Kurangi persamaan ketiga dengan persamaan pertama:

2x −z = 25y +6z = 1−y +z = 2

⇐⇒

2 0 −1 20 5 6 10 −1 1 2

• Susunan persamaan-persamaan tersebut dapat dipertukarkan satu sa-ma lain. Bila persamaan kedua dan ketiga dipertukarkan akan dipero-leh

2x −z = 2−y +z = 25y +6z = 1

⇐⇒

2 0 −1 20 −1 1 20 5 6 1

caku

lfi

50

80

by

kh

basa

r;se

m1

20

10

-20

11

2.6. OPERASI MATRIKS 23

• Tambahkan persamaan ketiga dengan lima kali persamaan kedua:

2x −z = 2−y +z = 2

11z = 11⇐⇒

2 0 −1 20 −1 1 20 0 11 11

• Bagi persamaan ketiga dengan 11:

2x −z = 2−y +z = 2

z = 1⇐⇒

2 0 −1 20 −1 1 20 0 1 1

• Kurangi persamaan kedua dengan ketiga, kemudian hasilnya dikalikandengan −1:

2x −z = 2y = −1

z = 1⇐⇒

2 0 −1 20 1 0 −10 0 1 1

• Tambahkan persamaan satu dengan persamaan tiga, kemudian hasilnyadibagi dengan dua:

x = 3

2

y = −1z = 1

⇐⇒

1 0 0 3

2

0 1 0 −10 0 1 1

Dari tahapan tersebut akhirnya diperoleh nilai x, y dan z yang memenuhipersamaan linier di atas, yaitu x = 3

2, y = −1 dan z = 1.

Cara penyelesaian persamaan linier dengan mengaitkannya dalam ben-tuk matriks tersebut disebut metode reduksi baris atau dikenal juga sebagaieliminasi Gauss (Gaussian elimination).

2.6 Operasi Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama jika elemen-elemen pada posisi yang samanilainya sama. Jadi jika matriks A = B, hal ini berarti bahwa aij = bij.Misalnya persamaan matriks berikut ini

(

x r u

y s v

)

=

(

2 1 −53 −7 0

)

maka berarti diperoleh persamaan-persamaan sebagai berikut

x = 2; r = 1; u = −5; y = 3; s = −7; v = 0

24 BAB 2. MATRIKS

2.6.1 Penjumlahan dan Pengurangan

Matriks yang dapat dijumlahkan atau dikurangi adalah matriks-matriks de-ngan ukuran yang sama. Penjumlahan atau pengurangan matriks secarasederhana adalah penjumlahan atau pengurangan elemen-elemen pada posi-si yang sama. Artinya dapat dinyatakan

Cij = (A + B)ij = aij + bij (2.14)

Misalkan A =

(

1 5 −2−3 0 6

)

dan B =

(

−1 3 02 1 2

)

maka hasil penjum-

lahan keduanya adalah A+B =

(

0 8 −2−1 1 8

)

sedangkan pengurangannya

adalah A− B =

(

2 2 −2−5 −1 4

)

.

2.6.2 Perkalian dengan bilangan

Bila suatu matriks dikalikan dengan bilangan, maka diperoleh matriks de-ngan ukuran yang sama. Komponen-komponen matriks asal dikalikan de-ngan bilangan skalar pengali tersebut

(cA)ij = caij (2.15)

Misalkan A =

(

1 5 −2−3 0 6

)

maka 2A =

(

2 10 −4−6 0 12

)

2.6.3 Perkalian Matriks

Ada dua macam perkalian matriks. Yang pertama yang lebih sering dijum-pai disebut sebagai inner product dan yang kedua adalah direct product.

Inner Product

Dua buah matriks dapat dikalikan (inner product) jika banyaknya kolom ma-triks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Matriks hasilnyamempunyai jumlah baris yang sama dengan jumlah baris matriks pertamadan mempunyai jumlah kolom yang sama dengan jumlah kolom matriks ke-

dua. Misalnya matriks A =

(

a b

c d

)

dan matriks B =

(

e f

g h

)

maka

hasil kali keduanya adalah

AB =

(

a b

c d

)(

e f

g h

)

=

(

ae+ bg af + bh

ce+ dg cf + dh

) (2.16)

caku

lfi

50

80

by

kh

basa

r;se

m1

20

10

-20

11

2.6. OPERASI MATRIKS 25

Secara umum AB tidak sama dengan BA, yang berarti perkalian matriks(inner product) tidak bersifat komutatif.

Direct Product

Direct product dikenal juga sebagai direct tensor atau Kronecker product. Ji-ka A adalah matriks m×m dan B adalah matriks n×n, maka direct product

antara keduanya dilambangkan dengan C = A⊗B dengan C adalah matriksyang berukuran mn×mn.

Misalkan A dan B masing-masing adalah matriks 2 × 2 dengan A =(

a b

c d

)

dan B =

(

e f

g h

)

, maka direct product antar keduanya adalah

A⊗ B =

(

a b

c d

)

⊗(

e f

g h

)

=

ae af be bf

ag ah bg bh

ce cf de df

cg ch dg dh

(2.17)

Direct product akan banyak dijumpai dalam persoalan mekanika kuantum.

2.6.4 Invers Matriks

Invers dari suatu matriks A dinyatakan dengan A−1, sedemikian sehinggabila matriks A dikalikan (inner product) dengan inersnya atau sebaliknyamaka hasilnya adalah matriks satuan atau matriks identitas

AA−1 = A−1A = 1 = I (2.18)

Hanya matriks bujursangkar saja yang mempunyai invers, namun tidak se-mua matriks bujursangkar memiliki invers. Matriks yang memiliki inversdinamakan invertible, sedangkan yang tidak memiliki invers dinamakan si-

ngular. Invers dari suatu matriks dapat diperoleh dengan cara:

A−1 =1

detACT (2.19)

dengan Cij adalah cofactor dari aij.

Misalkan suatu matriks A =

1 0 −1−2 3 01 −3 2

dengan menggunakan persa-

maan 2.9 dapat diperoleh bahwa det A = 3. Kemudian cofactor dari setiap

26 BAB 2. MATRIKS

elemen matriks A dapat diperoleh sebagai berikut:

C11 =

∣

∣

∣

∣

3 0−3 2

∣

∣

∣

∣

= 6; C12 = −∣

∣

∣

∣

−2 01 2

∣

∣

∣

∣

= 4; C13 =

∣

∣

∣

∣

−2 31 −3

∣

∣

∣

∣

= 3;

C21 = −∣

∣

∣

∣

0 −11 2

∣

∣

∣

∣

= 3; C22 =

∣

∣

∣

∣

1 −11 2

∣

∣

∣

∣

= 3; C23 = −∣

∣

∣

∣

1 01 −3

∣

∣

∣

∣

= 3;

C31 =

∣

∣

∣

∣

0 −13 0

∣

∣

∣

∣

= 3; C32 = −∣

∣

∣

∣

1 −1−2 0

∣

∣

∣

∣

= 2; C33 =

∣

∣

∣

∣

1 0−2 3

∣

∣

∣

∣

= 3

maka diperoleh matriks C berbentuk C =

6 4 33 3 33 2 3

, kemudian CT =

6 3 34 3 23 3 3

. Jadi invers dari matriks A adalah

A−1 =1

detACT

=1

3

6 3 34 3 23 3 3

(2.20)

Dapat ditunjukkan bahwa AA−1 = A−1A = I.

Cara lainnya yang dapat digunakan adalah metode inversi Gauss-Jordan

yang prinsipnya mirip dengan cara reduksi baris. Berikut akan diberikancontohnya.

• Tuliskan matriks A (sebelah kiri) dan pasangannya (sebelah kanan)yang berupa matriks identitas, pada akhir proses matriks sebelah kiriakan menjadi matriks identitas sementara matriks sebelah kanan men-jadi A−1:

1 0 −1−2 3 01 −3 2

1 0 00 1 00 0 1

• Kalikan tiap baris dengan bilangan tertentu agar didapat kolom perta-ma matriks sebelah kiri sama dengan 1:

1 0 −11 −3

20

1 −3 2

1 0 00 −1

20

0 0 1

caku

lfi

50

80

by

kh

basa

r;se

m1

20

10

-20

11

2.7. MATRIKS TRANSFORMASI 27

• baris kedua dan baris ketiga masing-masing dikurangi baris pertama:

1 0 −10 −3

21

0 −3 3

1 0 0−1 −1

20

−1 0 1

• Kalikan baris kedua dengan −2

3:

1 0 −10 1 −2

3

0 −3 3

1 0 02

3

1

30

−1 0 1

• Tambahkan baris ketiga dengan tiga kali baris kedua:

1 0 −10 1 −2

3

0 0 1

1 0 02

3

1

30

1 1 1

• Tambahkan baris kedua dengan 2

3kali baris ketiga:

1 0 −10 1 00 0 1

1 0 04

31 2

3

1 1 1

• Tambahkan baris pertama dengan baris ketiga:

1 0 00 1 00 0 1

2 1 14

31 2

3

1 1 1

Sehingga diperoleh bahwa A−1 =

2 1 14

31 2

3

1 1 1

sebagaimana yang telah

diperoleh sebelumnya.

2.7 Matriks Transformasi

Perhatikan persamaan linier berikut ini

x′ = ax+ by

y′ = cx+ dy(2.21)

28 BAB 2. MATRIKS

(x,y)

(x′,y′)

r′′′′

r

Gambar 2.1: Transformasi vektor r menjadi r′ seperti yang dinyatakandengan persamaan 2.22.

dengan a, b, c dan d adalah bilangan. Persamaan tersebut menyatakan bahwauntuk setiap nilai x dan y, dapat diperoleh nilai pasangannya yaitu x′ dany′. Persamaan 2.21 tersebut dapat dituliskan dalam bentuk operasi matriksyaitu

(

x′

y′

)

=

(

a b

c d

)(

x

y

)

r′ = Mr

(2.22)

dengan M =

(

a b

c d

)

menyatakan matriks yang mengubah titik (atau vek-

tor) (x, y) menjadi titik (atau vektor) (x′, y′). Karenanya matriks M tersebutdinamakan matriks transformasi.

2.7.1 Transformasi vektor

Persamaan 2.22 dapat diilustrasikan sebagaimana Gambar 2.1. Artinya per-samaan 2.22 menggambarkan transformasi suatu vektor (dengan sistem ko-ordinat yang tetap). Jika transformasi ini hanya merotasi vektor (panjangvektor tidak berubah) dengan sudut rotasi sebesar θ, maka dapat dituliskan

(

x′

y′

)

=

(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)(

x

y

)

(2.23)

caku

lfi

50

80

by

kh

basa

r;se

m1

20

10

-20

11

2.7. MATRIKS TRANSFORMASI 29

r = r′′′′

X

Y

X′

Y′

x′

A

x

y′

y

Gambar 2.2: Transformasi sumbu koordinat (rotasi) seperti yang dinyatakandengan persamaan 2.22.

2.7.2 Rotasi sumbu koordinat 2 D

Transformasi yang dinyatakan dengan persamaan 2.22 juga dapat dipandangsebagai transformasi sumbu koordinat (dengan vektor yang tetap) sebagai-mana ditunjukkan dalam Gambar 2.2.

Pada Gambar 2.2, sumbu koordinat XY dirotasi sehingga menjadi sumbukoordinat baru X ′Y ′. Suatu titik A yang koordinatnya (x, y) dalam sistemkoordinat XY bila dinyatakan dalam sistem koordinat X ′Y ′ koordinatnyamenjadi (x′, y′). Posisi titik A dinyatakan dengan vektor r dalam sistemkoordinatXY dan dinyatakan dengan vektor r′ dalam sistem koordinatX ′Y ′.Dapat dinyatakan bahwa r = xi+ yj dan r′ = x′i′ + y′j′.

Jika vektor-vektor satuan dalam arah sumbu X,Y ,X ′ dan Y ′ berturut-turut adalah i, j, i′ dan j′ serta sudut rotasi sumbu koordinat adalah θ, makadapat dinyatakan

x′ = r · i′ = x cos θ + y sin θ

y′ = r · j′ = −x sin θ + y cos θ

sehingga dapat dituliskan dalam bentuk

(

x′

y′

)

=

(

cos θ sin θ− sin θ cos θ

)(

x

y

)

(2.24)

30 BAB 2. MATRIKS

Dua contoh transformasi di atas yaitu yang dinyatakan dengan persamaan2.23 dan persamaan 2.24 merupakan contoh yang disebut transformasi orto-gonal karena kedua transformasi tersebut tidak mengubah panjang vektor.

2.8 Diagonalisasi Matriks

Matriks diagonal adalah matriks bujursangkar yang elemen selaian pada dia-gonal utamanya sama dengan nol. Diagonalisasi matriks adalah proses mem-buat suatu matriks bujursangkar menjadi matriks diagonal.

2.8.1 Eigen Value Problem : Nilai Eigen dan Vektor

Eigen

Seringkali dijumpai persoalan fisis yang dinyatakan dengan persamaan beri-kut

Mr = λr (2.25)

dengan M adalah matriks bujursangkar dan r adalah suatu vektor sedang-kan λ adalah bilangan. Persamaan 2.25 menggambarkan suatu vektor r yangditransformasikan dengan matriks M dan hasilnya adalah suatu vektor baruyang dapat dinyatakan dengan suatu bilangan tertentu dikalikan dengan vek-tor asalnya. Artinya transformasi seperti ini membuat vektor r menjadi lebihpanjang atau lebih pendek namun dengan arah yang tetap ataupun berla-wanan. Dengan kata lain vektor baru sejajar dengan vektor asal. Persoalanyang dirumuskan dengan persamaan 2.25 tersebut dikenal sebagai PersoalanNilai Eigen (Eigen Value Problem).

Bilangan λ dikenal sebagai nilai eigen (eigen value) sedangkan vektor rdinamakan vektor eigen (eigen vector) dari matriks transformasi M.

Berikut ini akan diuraikan cara untuk mencari nilai eigen dan vektoreigen dari suatu transformasi. Misalkan suatu transformasi yang dinyatakan

dengan matriks transformasi M =

(

5 −2−2 2

)

. Dengan transformasi ini

suatu vektor yang dinyatakan dengan

(

x

y

)

menjadi suatu vektor lain yaitu

λ

(

x

y

)

. Dengan notasi matriks, tranformasi tersebut dapat dinyatakan

sebagai berikut(

5 −2−2 2

)(

x

y

)

= λ

(

x

y

)

(2.26)

caku

lfi

50

80

by

kh

basa

r;se

m1

20

10

-20

11

2.8. DIAGONALISASI MATRIKS 31

Persamaan matriks tersebut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan liniermenjadi

5x− 2y = λx

−2x+ 2y = λy(2.27)

atau

(5− λ)x− 2y = 0

−2x+ (2− λ)y = 0(2.28)

dan bila disusun kembali dalam bentuk matriks(

5− λ −2−2 2− λ

)(

x

y

)

= 0 (2.29)

Persamaan tersebut adalah persamaan homogen yang solusinya dapat dipe-roleh (untuk x dan y selain 0) jika determinan matriksnya sama dengan 0.Dengan demikian berarti

∣

∣

∣

∣

5− λ −2−2 2− λ

∣

∣

∣

∣

= 0 (2.30)

Persamaan tersebut disebut persamaan karakteristik matriks M. Dengan de-mikian diperoleh persamaan kuadrat dalam λ

(5− λ)(2− λ)− 4 = 0

λ2 − 7λ+ 6 = 0(2.31)

yang memberikanλ = 1 atau λ = 6 (2.32)

Kedua nilai λ yang diperoleh pada persamaan 2.32 adalah nilai eigen darimatriks M.

Bila nilai eigen yang diperoleh tersebut disubstitusi ke persamaan 2.28maka diperoleh

untuk λ = 1 → 2x− y = 0

untuk λ = 6 → x+ 2y = 0(2.33)

Kembali ke ungkapan operasi matriks seperti yang dinyatakan denganpersamaan 2.25, vektor eigen yang berkaitan dengan matriks M adalah vek-tor r sedemikian sehingga hasil transformasinya menmberikan vektor yangsejajar dengan r. Untuk nilai eigen λ = 1 kondisi tersebut dipenuhi oleh

32 BAB 2. MATRIKS

x

y 2x−y=0

x+2y=0

r

6rr

Gambar 2.3: Vektor-vektor eigen untuk matriks M.

vektor yang dinyatakan dengan persamaan garis 2x − y = 0 atau y = 2x.Vektor-vektor yang memenuhi syarat ini tak hingga banyaknya (misalnyaadalah vektor i + 2j, vektor 2i + 4j, vektor −i − 2j dan sebagainya) na-mun kesemuanya mempunyai vektor satuan yang dapat dinyatakan denganr̂1 = 1√

5(i+2j). Untuk nilai eigen λ = 6 kondisi tersebut dipenuhi oleh vektor

yang dinyatakan dengan persamaan garis x+ 2y = 0 atau y = −1

2x, artinya

vektor satuannya adalah r̂2 = 1√5(−2i + j). Kedua vektor eigen tersebut

ditunjukkan dalam Gambar 2.3.

Terlihat bahwa dengan nilai eigen dan vektor eigen yang telah diperolehmaka persoalan nilai eigen untuk kasus ini dapat dinyatakan kembali yaitu(misalnya dengan mengambil vektor i+ 2j dan −2i+ j):

(

5 −2−2 2

)(

12

)

=

(

12

)

= 1

(

12

)

dan(

5 −2−2 2

)(

−21

)

=

(

−126

)

= 6

(

−21

)

2.8.2 Proses diagonalisasi matriks

Bila persamaan 2.28 dituliskan kembali dengan menggunakan kedua nilaieigen, masing-masing dihubungkan dengan variabel (x1, y1) dan (x2, y2) maka

caku

lfi

50

80

by

kh

basa

r;se

m1

20

10

-20

11

2.8. DIAGONALISASI MATRIKS 33

diperoleh empat buah persamaan-persamaan berikut:

5x1 − 2y1 = x1, 5x2 − 2y2 = 6x2

−2x1 + 2y1 = y1, −2x2 + 2y2 = 6y2(2.34)

Keempat persamaan-persamaan tersebut dapat disusun dalam bentuk suatuperkalian matriks sebagai berikut

(

5 −2−2 2

)(

x1 x2

y1 y2

)

=

(

x1 x2

y1 y2

)(

1 00 6

)

(2.35)

(x1, y1) memenuhi persamaan 2x1−y1 = 0 dan (x2, y2) memenuhi persamaanx2 + 2y2 = 0 sehingga dapat dinyatakan

x1 =1√5, y1 =

2√5, x2 = −

2√5, y2 =

1√5

(2.36)

sehingga dapat dituliskan

(

5 −2−2 2

)

(

1√5

− 2√5

2√5

1√5

)

=

(

1√5

− 2√5

2√5

1√5

)

(

1 00 6

)

M C = C D

(2.37)

terlihat bahwa matriks C adalah matriks yang dibentuk oleh vektor-vektoreigen dari matriks M sedangkan matriks D adalah matriks yang dibentukoleh nilai-nilai eigen dari matriks M. Bila matriks C adalah invertible, makadapat diperoleh inversnya sebagaimana yang telah diuraikan sebelumnya,sehingga diperoleh

C−1 =

(

1

5

√5 2

5

√5

−2

5

√5 1

5

√5

)

kemudian bila persamaan 2.37 dikalikan dengan C−1 maka diperoleh

C−1 M C = C−1 C D

= D(2.38)

Persamaan 2.38 menunjukkan bahwa suatu transformasi tertentu mengubahmatriks M menjadi suatu matriks diagonal. Transformasi tersebut direpre-sentasikan dengan matriks C yang ternyata berkaitan dengan vektor-vektoreigen dari matriks M. Proses tersebut dinamakan diagonalisasi matriks

karena mentransformasikan suatu matriks menjadi berbentuk matriks dia-gonal.

Dengan demikian proses diagonalisasi suatu matriks M dapat dirangkum-kan sebagai berikut:

34 BAB 2. MATRIKS

..

θX

Y

X′

Y′

R=R′′′′

r=r′′′′

Gambar 2.4: Interpretasi matriks diagonal.

• Cari nilai-nilai eigen dan fungsi eigen matriks M

• Bentuk matriks C dari vektor-vektor eigen, ingat bahwa vektor-vektortersebut perlu dinyatakan dalam bentuk vektor normal

• Cari invers dari matriks C

• Lakukan transformasi C−1 M C untuk memperoleh matriks diagonalyang diinginkan.

Untuk memahami makna matriks D, perhatikan Gambar 2.4. Pada gam-bar tersebut sumbu koordinat XY dirotasi dengan sudut θ sehingga menjadisumbu koordinat X ′Y ′. Vektor R dan r adalah dua vektor dalam sistem ko-ordinat XY . Kedua vektor tersebut adalah R′ dan r′ bila dinyatakan dalamsistem koordinat X ′Y ′. Telah dijelaskan sebelumnya bahwa rotasi sumbukoordinat dapat dinyatakan menggunakan matriks transformasi. Dalam halini, suatu titik (x′, y′) dalam sistem koordinat X ′Y ′ bila dinyatakan dalamsistem koordinat XY adalah

x = x′ cos θ − y′ sin θ

y = x′ sin θ + y′ cos θ(2.39)

atau dapat dinyatakan

r = Cr′, dengan C =

(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

(2.40)

caku

lfi

50

80

by

kh

basa

r;se

m1

20

10

-20

11

2.8. DIAGONALISASI MATRIKS 35

Karena ungkapan tersebut berlaku untuk sembarang vektor lainnya, makauntuk R dapat pula dinyatakan dalam bentuk yang sama

R = CR′ (2.41)

Kemudian misalkan matriks M adalah menyatakan transformasi yang meng-ubah vektor r menjadi vektor R (ini merupakan transformasi dalam sistemkoordinat XY ), hal ini berarti

R = Mr (2.42)

Dengan membandingkan kedua persamaan tersebut diperoleh

CR′ = Mr =⇒ R′ = C−1Mr =⇒ R′ = C−1MCr′ (2.43)

Hal ini berarti matriks C−1 M C mentransformasikan vektor r′ menjadi vek-tor R′ (dalam sistem koordinat X ′Y ′).

Jika matriks D ≡ C−1 M C berbentuk matriks diagonal, hal ini berartimatriks C dibentuk dari vektor-vektor eigen matriks M sebagaimana yangtelah ditunjukkan sebelumnya.

2.8.3 Aplikasi diagonalisasi matriks

Sumbu utama suatu objek

Suatu irisan kerucut dinyatakan dengan persamaan

Ax2 + 2Hxy +By2 = K

dengan A, H, B dan K adalah konstanta. Bila disusun dalam bentuk per-kalian matriks, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi

(

x y)

(

A H

H K

)(

x

y

)

= K

(

x y)

M

(

x

y

)

= K

Ingin ditentukan sumbu-sumbu utama irisan kerucut tersebut sedemikiansehingga persamaannya menjadi lebih sederhana. Hal ini dilakukan denganmendiagonalisasi matriks M, dengan kata lain mencari nilai eigen dan vektoreigen dari matriks M. Lebih spesifik, misalkan A, H, B danK masing-masingadalah 5, −2, 2 dan 30, sehingga persamaan irisan kerucut yang ditinjauadalah

5x2 − 4xy + 2y2 = 30

36 BAB 2. MATRIKS

yang berarti M =

(

5 −2−2 2

)

. Pada bagian terdahulu matriks ini telah

dicari nilai eigen dan vektor eigennya. Telah diperoleh bahwa

C−1 M C = C−1 C D

= D =

(

1 00 6

)

Maka persamaan irisan kerucut tersebut bila dinyatakan relatif terhadapsumbu-sumbu utamanya adalah

(

x′ y′)

(

1 00 6

)(

x′

y′

)

= x′2 + 6y′2 = 30 (2.44)

Matriks C yang merupakan matriks vektor eigen yang berkaitan dengan

transformasi ini adalah C =

(

1√5

− 2√5

2√5

1√5

)

. Bila matriks ini dibandingk-

an dengan matriks rotasi sumbu koordinat (persamaan 2.24), maka dapatdiperoleh

θ = arccos

(

1√5

)

Hal ini berarti sumbu utama x′y′ diperoleh dengan merotasi sumbu xy de-ngan sudut rotasi sebesar θ.

Karakteristik vibrasi sistem pegas-massa

Tinjau persoalan dinamika suatu sistem yang terdiri dari dua buah bendatitik bermassa m dan tiga buah pegas identik dengan konstanta pegas k

seperti yang digambarkan dalam Gambar 2.5.Misalkan x dan y menyatakan posisi sesaat dari masing-masing benda

titik relatif terhadap posisi setimbangnya. Energi potensial sistem ini adalahenergi potensial pegas total, yaitu

V =1

2kx2 +

1

2(x− y)2 +

1

2ky2 = k(x2 − xy + y2) (2.45)

Persamaan gerak benda dapat diperoleh dari turunan energi potensial terse-but (yang menyatakan gaya yang bekerja pada benda), yaitu

Fx = max = −∂V

∂x= −2kx+ ky

Fy = may = −∂V

∂y= kx− 2ky

caku

lfi

50

80

by

kh

basa

r;se

m1

20

10

-20

11

2.8. DIAGONALISASI MATRIKS 37

x y

Gambar 2.5: Sistem tiga pegas dengan dua benda titik.

Persamaan differensial tersebut mempunyai bentuk solusi berupa fungsi har-monik (lebih lengkap tentang solusi persamaan differensial akan dibahas padaBAB 8), dapat dituliskan kembali menjadi

−mω2x = −2kx+ ky

−mω2y = kx− 2ky

Dalam notasi matriks, persamaan tersebut dituliskan sebagai

λ

(

x

y

)

=

(

2 −1−1 2

)(

x

y

)

, dengan λ =mω2

k

yang merupakan persoalan nilai eigen (eigen value problem). Nilai eigen darimatriks yang bersangkutan adalah

∣

∣

∣

∣

2− λ −1−1 2− λ

∣

∣

∣

∣

= 0 =⇒ λ = 1 atau λ = 3

Dengan demikian diperoleh frekuensi modus normal sistem yaitu yang ber-

38 BAB 2. MATRIKS

kaitan dengan nilai-nilai eigen tersebut, yaitu

λ = 1 −→ ω1 =

√

k

m

λ = 3 −→ ω2 =

√

3k

m

Vektor eigen yang berkaitan adalah

untuk λ = 1 → y = x

untuk λ = 3 → y = −x

Hal ini berarti pada frekuensi ω1 (di mana diperoleh y = x), kedua bendabergerak osilasi dalam arah yang sama bersamaan (yaitu sama-sama ke kirikemudian sama-sama ke kanan), sedangkan pada frekuensi ω2 (di mana di-peroleh y = −x), simpangan kedua benda saling berlawanan (saat yang satubergerak ke kiri yang lain bergerak ke kanan).