BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pemodelan Matematika

Istilah pemodelan matematika (mathematical modeling) tidak memiliki satu

definisi yang diterima oleh semua matematikawan (Ledder, 2005, p1). Pandangan umum

mengatakan bahwa pemodelan matematika adalah usaha menggunakan matematika

untuk menggali dan menelaah topik-topik di luar matematika (Ledder, 2005, p31).

Dengan kata lain, pemodelan matematika adalah proses membangun suatu model

matematika untuk menggambarkan dinamika suatu sistem. Oleh karena itu, pemodelan

matematika selalu terkait dengan bidang-bidang ilmu yang lain. Model-model

matematika tidak hanya digunakan dalam ilmu-ilmu alam atau teknik rekayasa (seperti

fisika, biologi, meteorologi, dan ilmu-ilmu teknik rekayasa), melainkan juga dalam

ilmu-ilmu sosial (seperti ekonomi, psikologi, sosiologi, dan ilmu politik, bahkan

sejarah). Eykhoff mendefinisikan suatu model matematika sebagai ‘representasi unsur-

unsur pokok dari suatu sistem yang ada (atau suatu sistem yang sedang dibangun) yang

menyajikan sistem tersebut dalam bentuk yang dapat dipakai untuk menjelaskan

keadaan sistem tersebut.’ (http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_model). Model-

model matematika dapat mengambil berbagai macam bentuk, termasuk di antaranya,

namun tidak terbatas pada, sistem-sistem dinamis, model-model statistikal, persamaan

differensial, atau model-model teori permainan (game theory models).

Sebagai suatu proses, pemodelan matematika mencakup beberapa tahap yang

saling berhubungan, yang dapat digambarkan pada bagan berikut ini.

10

 

 

 

Gambar 2.1 Bagan Proses Pemodelan Matematika (Sumber: Vries, tanpa tahun, slide6)

Dari bagan di atas, dapat disimpulkan bahwa proses membangun model

matematika tidak pernah berhenti, terus bergerak antar tahap-tahap itu, untuk

menghasilkan model yang lebih baik. Gerda de Vries menegaskan bahwa tidak ada

model yang paling baik, hanya ada model yang lebih baik (Vries, tanpa tahun, slide6).

Akhirnya, model matematika sendiri dapat didefinisikan sebagai representasi matematis

dari suatu proses, alat, atau konsep, dalam bentuk sejumlah peubah yang didefinisikan

sebagai pengganti dari masukan, keluaran, dan proses-proses internal dari proses atau

alat yang direpresentasikan, dan serangkaian persamaan dan pertidaksamaan yang

menggambarkan interaksi antar peubah tersebut.

2.2 Persamaan Differensial

Dibandingkan dengan pemodelan matematika, pengertian persamaan differensial

sudah lebih pasti (Ledder, 2005, p1). Persamaan differensial adalah persamaan

matematika untuk suatu fungsi tak diketahui dari satu atau beberapa peubah yang

menghubungkan nilai dari fungsi tersebut dengan turunannya sendiri pada berbagai

Data Dunia-nyata

Model Matematika

Kesimpulan Matematika

Prediksi/ Penafsiran

perumusan

analisis

penafsiran

pengujian

11

 

 

 

derajat turunan (Ledder, 2005, p16). Persamaan differensial muncul dalam berbagai

bidang sains dan teknologi: apabila suatu relasi deterministik melibatkan beberapa

besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan dengan fungsi) dan laju perubahan

besaran itu dalam ruang atau dalam waktu (dimodelkan dengan turunannya) diketahui

atau diandaikan. Dalam mekanika klasik, persamaan differensial dipakai dalam

penggambaran gerak tubuh dalam kaitannya dengan posisi dan kecepatannya

berdasarkan perubahan waktu. Hukum Newton memungkinkan orang menghubungkan

posisi, kecepatan, percepatan, dan berbagai gaya lain yang bekerja pada tubuh dan

menyatakan relasi atau hubungan ini sebagai suatu persamaan differensial dari posisi

tubuh yang tak diketahui sebagai fungsi dari waktu. Dalam beberapa kasus, persamaan

differensial semacam ini (yang disebut persamaan gerak tubuh) dapat diselesaikan

secara eksplisit.

Suatu persamaan differensial disebut persamaan differensial biasa, jika semua

turunannya berkaitan dengan satu peubah saja, dan disebut persamaan differensial

parsial, jika turunannya berkaitan dengan dua atau lebih peubah. Orde dari persamaan

differensial adalah derajat tertinggi dari turunan dalam persamaan yang bersangkutan.

Himpunan dari n persamaan differensial orde-satu dengan n menyatakan banyaknya

persamaan yang tidak diketahui disebut sistem persamaan differensial orde-satu; n

adalah dimensi dari sistem yang bersangkutan. Satu pengertian lain yang perlu diketahui

adalah persamaan differensial otonom. Suatu persamaan differensial biasa atau suatu

sistem persamaan differensial biasa disebut otonom jika peubah bebasnya tidak tampak

secara eksplisit dalam persamaannya (Ledder, 2005, p16).

12

 

 

 

Secara matematis, persamaan differensial dipelajari dari beberapa sudut pandang

yang berbeda, sebagian besar dari sudut pandang yang beragam itu berminat dengan

hasil dari persamaan differensial yang dipelajari, yaitu serangkaian fungsi yang

memenuhi persamaan differensial yang diberikan. Hanya persamaan differensial yang

paling sederhana memungkinkan penyelesaian berdasarkan rumus eksplisit; akan tetapi,

beberapa sifat penyelesaian dari suatu persamaan differensial yang diberikan dapat

ditentukan tanpa menemukan bentuknya yang tepat atau eksak. Jika suatu rumus yang

dapat ditentukan penyelesaiannya tidak tersedia, hampiran terhadap penyelesaiannya

dapat ditentukan secara numerik dengan bantuan komputer. Berikut ini salah satu

metode penghitungan secara numerik penyelesaian persamaan differensial, yang akan

dipakai dalam program aplikasi yang dirancang.

2.3 Metode Runge-Kutta Orde 4

Untuk menyelesaikan suatu persamaan differensial biasa berbentuk

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

−

1

1

2

2

,...,,,, n

n

n

n

dxyd

dxyd

dxdyyxf

dtyd

diperlukan serangkaian syarat atau kondisi. Jika semua kondisi diberikan pada satu nilai

x dan penyelesaiannya dicari berdasarkan nilai x yang diberikan itu, keadaan ini disebut

dengan masalah nilai awal (initial-value problem). Jika kondisi-kondisinya diberikan

pada beberapa nilai x yang berbeda, keadaannya disebut dengan masalah nilai batas

(boundary-value problem). Sebarang persamaan differensial dapat diganti dengan

serangkaian persamaan differensial orde-satu (Akai, 1994, p229). Karena itu,

penyelesaian secara numerik ini menyangkut persamaan differensial orde-satu.

13

 

 

 

Metode penyelesaian persamaan differensial secara numerik yang dipakai di sini

adalah metode Runge-Kutta. Istilah Metode Runge-Kutta sendiri sebenarnya mengacu

pada salah satu dari sekelompok metode, tidak dipakai sebagai sebutan untuk satu

metode tertentu saja (Akai, 1994, p238). Beberapa anggota metode Runge-Kutta adalah

metode Euler termodifikasi, metode titik tengah, dan metode Runge-Kutta orde 2, orde

3, sampai Runge-Kutta orde-n. Mereka semua merupakan metode satu-langkah (one-

step methods), yaitu metode yang menggunakan informasi penyelesaian pada satu lokasi

xn untuk mendapatkan solusi pada lokasi berikutnya xn+1. Dipilih metode Runge-Kutta

orde 4, karena orde yang lebih tinggi melibatkan penghitungan yang makin rumit dan

tidak efisien (Akai, 1994, p239).

Metode Runge-Kutta Orde 4 adalah metode numerik yang dipakai untuk

menyelesaikan persamaan differensial dengan problem nilai-awal dalam bentuk

0)0(),,( yyytfdtdy

== .

Penghitungan dengan metode Runge-Kutta Orde 4 diberikan dalam rumus

hKKKKyy nn )( 432161

1 ++++=+         (2-1)

htt nn +=+1 .

dengan ),(1 nn ytfK = ,

),( 121

21

2 KyhtfK nn ++= ,

),( 221

21

3 KyhtfK nn ++= , dan

),( 34 KyhtfK nn ++= .

14

 

 

 

Dari rumus di atas, terlihat bahwa nilai y yang berikutnya (yn+1) ditentukan oleh nilai y

sekarang (yn) ditambah hasil kali dari ukuran selang (h, galat pemotongan) dengan suatu

perkiraan kemiringan atau gradien. Kemiringan ini merupakan rataan terbobot dari

beberapa kemiringan:

a. K1 adalah kemiringan pada awal selang, 

b. K2 adalah kemiringan pada titik tengah dari selang, menggunakan kemiringan K1

untuk menentukan nilai y pada titik t + ½h, 

c. K3 juga merupakan kemiringan pada titik tengah selang, namun kali ini

menggunakan K2 untuk menentukan nilai y, dan 

d. K4 adalah kemiringan pada akhir selang. 

Dalam menentukan rataan dari keempat kemiringan ini, bobot yang lebih besar

diberikan pada kemiringan di titik tengah selang, memberikan rumus (2-1) di atas.

Dengan metode Runge-Kutta orde 4 ini, dapat dilakukan penghitungan terhadap

penyelesaian suatu sistem persamaan differensial orde-satu, yang merupakan análisis

kuantitatif terhadap model matematika yang berbentuk demikian. 

2.4 Sistem Dinamis

Sistem dinamis dalam konsep matematika adalah formalisasi matematis dari

sebarang aturan baku yang menggambarkan ketergantungan waktu dari posisi suatu titik

dalam ruangnya yang berubah (ambient). Konsep ini menyatukan berbagai macam tipe

aturan dalam matematika yang dapat digunakan dalam formalisasi tersebut: pilihan yang

berbeda dapat diambil mengenai bagaimana waktu akan diukur dan sifat-sifat khusus

15

 

 

 

dari ruangnya yang berubah dapat memberikan gambaran akan luasnya kelas objek yang

dapat digambarkan dengan konsep ini. Teori sistem-sistem dinamis menekankan analisis

kualitatif dari sistem yang digambarkan dengan persamaan differensial. Sistem epidemis

yang menjadi fokus penelitian skripsi sederhana ini merupakan salah satu contoh dari

sistem dinamis.

Secara umum ada dua jenis sistem dinamis: yang pertama digerakkan oleh

persamaan differensial dan lebih bersifat geometris, sedang yang kedua lebih digerakkan

oleh teori ergodik, yaitu cabang dari matematika yang mempelajari sistem dinamis

dengan ukuran invarian beserta masalah-masalah yang berkaitan dengannya

(http://en.wikipedia.org/wiki/Ergodic_theory), dan lebih bersifat pengukuran teoretis.

Sistem epidemis yang menjadi fokus penelitian skripsi sederhana ini lebih condong pada

jenis yang pertama dengan penekanan pada analisis bidang-fase (phase-plane analysis)

dari aspek geometris persamaan differensialnya. Jika analisis kuantitatif dari sistem

dinamis bermodelkan persamaan differensial akan dilakukan dengan penghitungan

penyelesaian persamaan differensialnya menggunakan metode Runge-Kutta orde 4,

analisis kuantitatif terhadap modelnya dilakukan berdasarkan representasi visual dari

perhitungan penyelesaian persamaan differensial itu dalam bentuk diagram berdasarkan

waktu (time-plot diagram) dan analisis bidang-fase.

2.5 Sistem Epidemis

Penyakit menular adalah kenyataan hidup, terutama sejak manusia mulai hidup

dalam kelompok yang besar. Suatu penyakit bersifat epidemis jika jumlah orang yang

16

 

 

 

terjangkit dalam suatu populasi bertambah besar seiring dengan bertambahnya waktu.

Namun, definisi sederhana ini belum menyatakan semua aspek yang ada (Robeva et.al.,

2008, p56). Model untuk sistem epidemis dalam skripsi sedehana ini bersifat kontinu,

dan perilakunya akan digambarkan dengan beberapa persamaan differensial. Masing-

masing persamaan menggambarkan perilaku salah satu bagian (compartment) dari

populasi, bentuk yang biasa disebut dengan model kompartmen. Multi-compartment

model adalah jenis model matematika yang digunakan untuk menggambarkan

bagaimana materi atau energi dipindahkan di antara bagian-bagian (compartment) dari

suatu sistem (Capasso, 2008, p7; Roberts dan Heesterbeek, 2003, p19;

http://en.wikipedia.com/wiki/Multi-compartment_model). Dalam model epidemis, dua

kelompok besar yang menjadi bagian dari satu populasi adalah Susceptibles (S) atau

kelompok yang rentan terinfeksi dan Infectives (I) atau kelompok yang terinfeksi.

Hipotesisnya adalah bahwa laju infeksi adalah sebanding dengan jumlah kontak yang

dibuat antara S dengan I, dan bahwa perpindahan dari S menjadi I terjadi dengan angka

αSI, di mana α > 0 berupa suatu konstanta; angka perpindahan ini sebanding dengan

hasil kali ukuran kedua kelompok tersebut.

Selain hipotesis dasar di atas, sebelum menganalisa apa yang terjadi bila terdapat

sekelompok orang yang terinfeksi dalam populasi, perlu diketahui beberapa hal

mengenai penyakitnya dan lingkungannya. Sebagai contoh, apakah mereka yang telah

sembuh (R – Recovered) menjadi kebal, atau mereka kembali rentan terhadap

penyakitnya? Apakah penyakitnya memiliki masa inkubasi (sehingga terdapat

penundaan untuk sementara waktu, D – delay)? Apakah mereka yang terinfeksi

17

 

 

 

disendirikan, dikarantina, atau tersebar bebas dalam populasi? Semua faktor ini

mempengaruhi model matematika yang dibangun. Skripsi sederhana ini hanya akan

membahas dua model pokok, model SIS (Susceptibles – Infectives – Susceptibles) dan

model SIR (Susceptibles – Infectives – Recovered).

2.6 Model SIS

Model ini cukup sederhana. Asumsi dasarnya adalah bahwa populasi dibagi

menjadi dua kelompok yang saling asing – kelompok yang terjangkit penyakit dan dapat

menularkan penyakit (I), dan kelompok yang tidak terjangkit penyakit namun dapat

terjangkiti penyakit yang bersangkutan (S). Model matematika yang dibangun bertujuan

menggambarkan perubahan ukuran S dan I dalam waktu. Maka, dibuat asumsi-asumsi

sebagai berikut.

a. Besar populasi tetap dan terdiri dari N individu. Tidak ada kelahiran atau

kematian, dan tidak ada perpindahan baik masuk maupun keluar populasi.

b. Tidak ada masa inkubasi untuk penyakit yang bersangkutan.

c. Kedua kelompok – S dan I – tersebar merata dalam populasi.

d. Begitu sembuh dari penyakitnya, individu yang bersangkutan menjadi rentan

kembali – menjadi anggota S lagi -, dengan kata lain, tidak terjadi kekebalan.

Kendati asumsi-asumsi di atas tampaknya sewenang-wenang, namun model yang

paling sederhana ini bukannya tidak ada dalam kenyataan sehari-hari. Seandainya

ditengarai terjadi wabah sindrom pernafasan akut berat dalam populasi penghuni satu

unit rumah susun, dan seketika rumah susun yang bersangkutan dikarantina dalam

18

 

 

 

jangka waktu, katakanlah, tiga bulan, asumsi-asumsi model SIS di atas terpenuhi

sehingga ia dapat dipakai sebagai sebuah model yang representatif.

Andaikan pada suatu populasi yang besarnya tetap, N, sejumlah kecil terjangkit

penyakit menular I(0), wabah akan menular dalam populasi itu, dan perubahannya dalam

waktu dapat dinotasikan sebagai:

S(t) = jumlah orang yang rentan pada waktu t,

I(t) = jumlah orang yang terjangkiti pada waktu t.

Berdasarkan asumsi bahwa besar populasi N adalah tetap, yang berarti S(t) + I(t) = N,

maka: 0=+dtdI

dtdS .

Sebelumnya, sudah diandaikan bahwa besarnya perubahan orang yang rentan

menjadi terjangkiti sebesar αSI. Bilangan α > 0 ini disebut angka/kecepatan infeksi

(infection rate), yang dapat didefinisikan sebagai peluang seorang rentan ditulari oleh

seorang yang terjangkiti dalam setiap satuan waktu. Individu yang sembuh dari penyakit

langsung bergabung kembali dengan kelompok rentan. Jika diandaikan bahwa peluang

orang yang disembuhkan dari penyakit adalah β, maka angka/kecepatan kesembuhan

(recovery rate) adalah βI. Artinya, aliran kembali dari I ke S terjadi dengan kelajuan βI.

Memperhitungkan kelajuan baik yang keluar dari dan yang masuk kembali ke dalam

kelompok S, laju perubahan ukuran S adalah:

ISIdtdS βα +−= . (2-2)

Karena 0=+dtdI

dtdS , laju perubahan ukuran I adalah:

19

 

 

 

ISIdtdI βα −= . (2-3)

Dua persamaan (2-2) dan (2-3) membentuk satu model matematika yang biasa disebut

dengan model SIS. Berikut ini diagram yang merepresentasikan model ini.

Gambar 2.2 Diagram model SIS (sumber: Robeva, 2008, p61)

Laju kesembuhan per orang β pada model SIS ini berhubungan dengan lama rata-

rata seorang terjangkit penyakit ini, dilambangkan dengan d . Hubungannya dinyatakan

dengan: β1

=d . Jadi, makin kecil nilai β, makin lama jangka waktu rata-rata penyakit

ini menjangkiti seseorang.

Dengan berjalannya waktu, perilaku jangka panjang penyakit menular ini dapat

dimodelkan sebagai berikut.

Berdasarkan kondisi S(t) + I(t) = N, persamaan (2-3) dapat ditulis dengan:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

αβα

αβα INISI

dtdI .

Berikutnya, jika 0>−αβN , sisi kanan persamaan di atas dapat ditulis sebagai:

IKIrI

NINIBNIINI ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 11

αβα

ββα

ααβα ,

S IαSI 

βI 

20

 

 

 

di manaαβ

−= NK , dan 0>−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= βα

αβα NNr . Jadi, persamaan (2-2) mengambil

bentuk: IKIr

dtdI

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 1 , yang merupakan persamaan logistik, yaitu persamaan yang

menyatakan bahwa laju pertumbuhan tidaklah tak-terbatas, tergantung pada daya

tampung (carrying capacity) ekosistem dari populasi yang bersangkutan (Robeva, et.al.,

2008, p12-16).

Akhirnya, diberikan di bawah ini beberapa simpulan mengenai model SIS.

a. Waktu-hidup rata-rata suatu infeksi adalahβ1 .

b. Bila 0>−αβN , penyakit yang bersangkutan masih menyebar (endemic) dalam

populasi yang bersangkutan.

c. Bila 0≤−αβN , tidak terjadi epidemi dalam populasi yang bersangkutan.

2.7 Model SIR

Salah satu asumsi dari model SIS adalah bahwa orang yang sembuh dari penyakit

tetap rentan terhadap penyakit menular yang bersangkutan. Model SIS cocok untuk

beberapa penyakit, khususnya PMS (Penyakit Menular Seksual), seperti syphilis dan

gonorrhea. Namun, model SIS tidak cocok untuk penyakit-penyakit yang memberikan

kekebalan pada mereka yang disembuhkan, seperti cacar air dan campak. Oleh karena

itu, dikembangkan model lain, yang mengakomodasikan sifat terakhir ini, yaitu bahwa

setelah sembuh, orang yang bersangkutan menjadi kebal terhadap penyakit yang

21

 

 

 

bersangkutan. Model ini disebut model SIR, dengan R (Recovered) adalah kelompok

ketiga dari populasi, yang terdiri dari orang yang sudah sembuh dari penyakit menular

dan tidak rentan lagi terhadap penyakit yang bersangkutan. Maka, model SIR dibangun

atas dasar asumsi-asumsi sebagai berikut.

a. Besar populasi tetap dan terdiri dari N individu. Tidak ada kelahiran atau

kematian, dan tidak ada perpindahan baik masuk maupun keluar populasi.

b. Tidak ada masa inkubasi untuk penyakit yang bersangkutan.

c. Sebagaimana dalam model SIS, kedua kelompok pertama – S dan I – tersebar

merata dalam populasi.

d. Begitu sembuh dari penyakitnya, individu yang bersangkutan menjadi kebal

secara permanen.

Sekali lagi, asumsi-asumsi di atas menggambarkan situasi yang ideal. Sekarang,

sebagaimana model SIS, proses dimulai dengan adanya sejumlah kecil terjangkit

penyakit menular I(0), wabah akan menular dalam populasi itu, dan perubahannya dalam

waktu dapat dinotasikan sebagai:

S(t) = jumlah orang yang rentan pada waktu t,

I(t) = jumlah orang yang terjangkiti pada waktu t.

R(t) = jumlah orang yang sembuh pada waktu t.

Dengan asumsi bahwa ukuran populasinya adalah konstan, maka:

S(t) + I(t) + R(t) = N,

yang mengakibatkan 0=++dtdR

dtdI

dtdS , untuk semua nilai t.

22

 

 

 

Selanjutnya diperlukan persamaan-persamaan yang menggambarkan perubahan

pada masing-masing kelompok. Sebagaimana model SIS, diandaikan bahwa laju infeksi

adalah αSI, namun pada model SIR tidak ada arus kembali ke dalam kelompok S, karena

mereka yang telah sembuh menjadi kebal. Oleh karena itu, persamaan differensial yang

pertama akan berbentuk:

SIdtdS α−= .

Individu yang sembuh dari penyakit akan bergabung pada kelompok R. Jika diandaikan

bahwa angka kesembuhan perorang adalah β, laju perubahan pada kelompok R adalah:

IdtdR β= .

Kelompok I, menerima perpindahan dari kelompok S sebesar αSI dan melepaskan

menuju kelompok R sebesar βI. Menggabungkan laju perubahan dari ketiga kelompok

penyusun model SIR ini, didapatkan sistem persamaan differensial berikut ini.

SIdtdS α−= (2-4a)

ISIdtdI βα −= (2-4b)

IdtdR β= . (2-4c)

Berikut ini diagram yang merepresentasikan model ini.

Gambar 2.3 Diagram model SIR

(sumber: Robeva, 2008, halaman 66)

αSI S I RβI 

23

 

 

 

Catatan yang perlu diberikan di sini adalah bahwa parameter α dan β memiliki

arti yang sama dengan yang terdapat pada model SIS.

Untuk mengetahui apakah terjadi epidemi atau tidak, titik tolaknya adalah

kriterium bahwa epidemi terjadi bila jumlah mereka yang terjangkit dalam populasi

makin bertambah besar. Maka, dari persamaan (2-4)

)( βαβα −=−= SIISIdtdI ,

jumlah mereka yang terjangkit akan bertambah bila αS(t) – β > 0; dengan kata lain, bila

αS(t) > β. Sebaliknya, bila αS(t) < β, maka jumlah mereka yang terjangkit akan menurun.

Karena ukuran S(t) paling besar terjadi saat t = 0, epidemi tidak terjadi bila

αS(0) – β < 0, yang setara dengan S(0) < αβ .

Selanjutnya, ingin diketahui berapa banyak orang yang rentan dapat tertulari oleh

seorang yang terjangkiti. Secara intuitif, dapat diambil kesimpulan bahwa hal ini

tergantung dari banyaknya orang yang rentan dan berapa lama seorang terjangkiti oleh

penyakit yang bersangkutan.

Untuk memperkirakan banyaknya rata-rata penularan sekunder, dapat digunakan

contoh berikut. Andaikan banyaknya rata-rata penularan yang disebabkan oleh satu

individu terjangkiti setiap satuan waktu adalah dua orang per jam, maka, jika seorang

tertulari tetap sakit selama enam jam, secara rata-rata, dia dapat menulari

(6 jam) × (2 orang rentan per jam) = 12 orang rentan.

Dalam model SIR, laju perubahan orang rentan yang terinfeksi adalah

SIdtdS α−= . Mengingat bahwa keluarnya orang dari kelompok S sama dengan masuknya

24

 

 

 

orang itu ke dalam kelompok I, laju perubahan orang terinfeksi baru adalah αSI = (αS)I,

artinya laju infeksi rata-rata perorang pada waktu t adalah αS.

Jika I(0) = 1, akan diperoleh bahwa pada t = 0, )0()0()0( SISdtdS αα −=−= .

Karena S(0) adalah nilai terbesar dari S(t), seorang yang terjangkiti dapat menulari,

secara rata-rata, tidak lebih dari αS(0) orang rentan per satuan waktu. Diingatkan juga

bahwa lamanya rata-rata orang terinfeksi adalah β1 . Jadi, rata-rata penularan sekunder

yang dihasilkan oleh seorang yang tertulari pada kelompok S(0) orang rentan paling

besar adalah Sβα .

Sekarang, ingin diketahui perilaku jangka panjang penyakit dengan model SIR.

Akan ditunjukkan bahwa pada akhirnya jumlah orang yang terjangkiti akan menuju pada

0. Dari persamaan S(t) + I(t) + R(t) = N, diketahui bahwa pada saat t →∞, S(∞) ada dan

mendekati 0, dan R(∞) ada dan mendekati N. Yang sedikit rumit adalah I(∞). Telaah

mengenai hal ini dapat dimulai dengan

I(∞) = )(lim tIt ∞→

= N – S(∞) – R(∞).

Karena S(∞) ada dan R(∞) ada, maka I(∞) juga ada. Ada dua kemungkinan untuk I(∞):

I(∞) > 0 atau I(∞) = 0. Menggunakan pembuktian dengan kontradiksi, akan ditunjukkan

bahwa I(∞) = 0.

Andaikan I(∞) > 0. Karena IdtdR β= , jika I(∞) > 0, maka akan didapatkan

0)(lim >∞=∞→

IdtdR

tβ ,

25

 

 

 

yang berarti bahwa R(t) akan menuju tak-hingga. Hal ini tak mungkin terjadi, karena

R(t) ≤ N, untuk setiap nilai t. Jadi, tak mungkinlah bahwa I(∞) > 0, dan hal ini

mengimplikasikan bahwa I(∞) = 0 berlaku (Johnson, 2009, p2).

Dari uraian di atas, dapat diringkaskan sifat-sifat model SIR sebagai berikut.

a. Epidemi terjadi jika dan hanya jika S(0) < αβ .

b. Waktu-hidup rata-rata suatu infeksi adalahβ1 .

c. Di bahwa kondisi optimal, angka rata-rata penularan sekunder dari tiap orang

yang terjangkit dalam populasi yang sepenuhnya rentan adalah )0(Sβα .

d. Penyakitnya akan menghilang, dan tidak semua yang rentan akan tertulari

penyakit yang bersangkutan.

Pada model SIR, tidak mungkinlah mendapatkan penyelesaian eksplisit untuk

S(t), I(t), dan R(t). Yang lebih penting diketahui adalah bagaimana suatu kelompok

bereaksi terhadap perubahan yang terjadi pada kelompok lain. Jika terdapat dua

kelompok yang terlibat, suatu diagram bidang-fase akan sangat menolong.

2.8 Bidang-fase dan Analisis terhadapnya

Pada penjelasan tentang sistem dinamis di atas telah disebutkan bahwa analisis

kualitatif terhadap model matematika dari sistem epidemis dilakukan pada representasi

visual penyelesaian modelnya dalam bentuk kurva terhadap waktu (time-plot diagram)

dan dalam bentuk diagram bidang-fase. Time-plot diagram adalah diagram yang

26

 

 

 

melukiskan perubahan nilai setiap kompartmen dari modelnya terhadap perubahan

waktu. Semua bagian yang terlibat digambarkan pada satu sistem koordinat sehingga

dapat langsung terlihat perubahan dari masing-masing bagian atau kompartmen seiring

dengan bertambahnya waktu.

Sementara, yang disebut bidang-fase adalah sistem koordinat Cartesius, di mana

sumbu koordinatnya adalah peubah-peubah yang dipakai, misalkan pada model SIS,

adalah S – I. Bila, pada suatu waktu, biasanya t = 0, dapat diperoleh nilai S dan I untuk

persamaan-persamaan (2-3) di atas, dapat ditentukan pula titik (S(0), I(0)) pada bidang-

fase (S-I). Dapat juga dihitung berapa nilai turunan pertama S dan I pada suatu waktu

tersebut, untuk mengetahui ke arah mana titik itu akan bergerak. Sebagai contoh, jika

diberikan titik awal (S(0), I(0)), dan jika dtdS < 0 dan

dtdI > 0, maka S akan berkurang dan

I akan bertambah, sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Gambar 2.4 Bidang-fase untuk menentukan arah lintasan.

Kurva yang dihasilkan dari perbandingan antara dua peubah terikat yang terlibat

ini disebut lintasan (trajectory). Membandingkan satu persamaan differensial yang

divisualisasikan dalam kedua diagram, time-plot dan bidang-fase, dapat diambil

kesimpulan bahwa keduanya memberikan informasi tentang satu hal dengan cara yang

S 

(S(0), I(0)) 

I 

27

 

 

 

berbeda, dengan kelemahannya masing-masing. Diagram time-plot menunjukkan

perkembangan peubah terikat seturut perubahan waktu, namun tak menunjukkan

kecepatan perubahannya, kecuali didasarkan pada inferensi (=penarikan kesimpulan).

Sedangkan diagram bidang-fase menunjukkan hubungan antara perubahan-perubahan

yang terjadi pada peubah-peubah terikatnya, namun tak menunjukkan waktunya, kecuali

berdasarkan inferensi (Ledder, 2005, p300). Berdasarkan teorema keberadaan dan

keunikan nilai fungsi, dapat disimpulkan dua hal berikut ini berdasarkan analisis

terhadap bidang-fase:

a. Diberikan titik awal pada bidang-fase (S-I), ada lintasan (=penyelesaian) yang

mulai dari titik yang diberikan tersebut; dan

b. Lintasan yang berbeda tak pernah berpotongan.

Analisis bidang-fase sangat membantu dalam menentukan perilaku suatu lintasan di

sekitar titik keseimbangan (Robeva, 2008(1), p71). Jika lintasan dari sistem dua dimensi

yang tergambar pada bidang-fase itu berawal cukup dekat pada titik keseimbangannya

untuk setiap t > 0, maka titik itu disebut titik keseimbangan stabil, perilaku ini tidak

terjadi di sekitar titik keseimbangan yang tidak stabil (Robeva, 2008(1), p.77).

2.9 Perancangan Perangkat Lunak

Perangkat lunak adalah (1) perintah (program komputer) yang bila dieksekusi

memberikan fungsi dan unjuk kerja seperti yang diinginkan, (2) struktur data yang

memungkinkan program memanipulasi informasi secara proporsional, dan (3) dokumen

yang menggambarkan operasi dan kegunaan program. Menurut Ian Sommerville

28

 

 

 

(2007), perancangan perangkat lunak adalah disiplin perancangan yang berhubungan

dengan semua aspek dari produksi perangkat lunak dari tahap awal spesifikasi sistem

sampai dengan pemeliharaan setelah sistem dalam tahap berjalan.

2.9.1 Daur Hidup Perangkat Lunak

Salah satu model perancangan perangkat lunak adalah dengan menggunakan

model air terjun (waterfall model). Tahap-tahap utama dalam model ini, dilukiskan pada

Gambar 2.5, menggambarkan aktivitas dasar pengembangan perangkat lunak berikut.

a) Analisis dan penentuan kebutuhan (Requirement)

Kegiatan ini bertujuan untuk menentukan tugas, kendala, dan tujuan sistem yang

akan dirancang. Ditentukan juga dengan cara yang dapat dipahami mengenai

proses-proses yang seharusnya terjadi dalam sistem sesuai dengan tugas dan

tujuan yang telah dirumuskan.

b) Desain sistem dan perangkat lunak (Design)

Proses desain sistem terbagi dalam kebutuhan perangkat keras dan perangkat

lunak. Hal ini menentukan arsitektur perangkat lunak secara keseluruhan. Desain

perangkat lunak menggambarkan fungsinya dengan suatu bentuk yang dapat

ditransformasikan ke dalam satu atau lebih program yang dapat dijalankan.

c) Implementasi dan pengujian unit (Implementation)

Dalam tahap ini, desain perangkat lunak direalisasikan dalam suatu himpunan

program atau unit-unit program. Pengujian unit mencakup kegiatan verifikasi

terhadap suatu unit sehingga memenuhi syarat spesifikasinya.

29

 

 

 

d) Integrasi dan pengujian sistem (Verification)

Unit program secara individual diintegrasikan dan diuji sebagai suatu sistem

yang lengkap untuk memastikan bahwa kebutuhan perangkat lunak telah

terpenuhi. Setelah pengujian, sistem perangkat lunak disampaikan kepada

pengguna.

e) Pengoperasian dan pemeliharaan (Maintenance)

Secara normal, walaupun tidak selalu diperlukan, tahap ini merupakan bagian

siklus hidup terpanjang. Sistem telah terpasang dan sedang dalam penggunaan.

Pemeliharan mencakup perbaikan kesalahan yang tidak ditemukan dalam tahap-

tahap sebelumnya, meningkatkan implementasi unit-unit sistem, dan

mempertinggi pelayanan sistem karena ditemukannya kebutuhan baru.

Gambar 2.5 Waterfall Model (sumber : Sommerville, 2001, halaman 45)

30

 

 

 

2.10 Internet

Internet singkatan dari Interconnection Networking atau sering disebut juga

sebagai Cyberspace, adalah sebuah jaringan komputer yang terdiri dari berbagai macam

jaringan komputer di seluruh dunia dengan sistem operasi yang berbeda-beda. Namun

demikian, membayangkan internet sebagai sekedar jaringan komputer adalah tidak tepat,

sebaiknya diperhatikan bahwa internet adalah sebagai sumber daya informasi.

Internet berawal dari jaringan komputer yang dibentuk pada tahun 1969 yang

bernama ARPAnet. Nama jaringan ini diambil dari salah satu agen pada Departemen

Pertahanan Amerika Serikat, yakni Advanced Research Project Agency yang menanda-

tangani kontrak dengan Bolt, Beranek, dan Newman (BBN) untuk membangun suatu

jaringan WAN (Wide Area Network). Jaringan tersebut dimaksudkan untuk

menghubungkan empat universitas, yakni Stamford University, UCLA (University of

California in Los Angeles), UC Santa Barbara, dan University of Utah untuk keperluan

riset penelitian. Dari proyek ARPAnet ini dihasilkan Internet Protocol (IP).

Pada awal tahun 80-an, Departemen Pertahanan Amerika Serikat memisahkan

ARPAnet kedalam dua jaringan komputer, yakni ARPAnet yang ditujukan untuk

penelitian dan MILnet yang digunakan untuk keperluan militer. Kemudian pada era

1980-an juga, National Science Foundation membentuk NSFnet, yang menghubungkan

setengah lusin superkomputer pada kecepatan tinggi pada waktu itu. NSFnet akhirnya

mengambil alih internet dari ARPAnet, dan perkembangannya untuk kebutuhan

masyarakat sipil maju pesat setelah pengambil-alihan ini terjadi (http://en.wikipedia.org/

wiki/Internet).

31

 

 

 

2.10.1 URL (Uniform Resource Locator)

Salah satu subjek Internet yang paling awal harus dikenal adalah URL (Uniform

Resource Locator). URL dapat didefinisikan sebagai sarana untuk menentukan alamat

yang akan dipakai untuk mengakses internet khususnya website. Dapat dianalogikan

sebagai alamat rumah yang tertulis pada amplop yang akan menuntun Pak Pos ke sana,

URL pun bekerja secara demikian. Ia akan mengantarkan browser ke alamat yang akan

dituju. Dengan begitu seluruh website pasti memiliki URL tertentu dan unik, karena jika

tidak, ia tak akan bisa dikunjungi, sama halnya dengan rumah tanpa alamat. Secara garis

besar URL terdiri dari jenis protokol yang akan dipakai, nama web server dan direktori.

2.10.2 HTTP (Hypertext Transfer Protocol)

Salah satu protokol yang sering kita gunakan adalah HTTP (Hypertext Transfer

Protocol). Protokol ini digunakan untuk berkomunikasi antara web browser dan web

server satu sama lain (client-server). HTTP ini akan kita gunakan jika kita hendak

mengakses suatu website tertentu. Dari singkatannya, HTTP memiliki tugas untuk

mentransfer dokumen berupa hypertext yang dalam pelaksanaannya lebih dikenal

dengan sebutan HTML. Dengan demikian HTTP akan mentransfer HTML ke browser

dari server tempat HTML tersebut disimpan.

2.10.3 WWW (World Wide Web)

WWW adalah sistem hypermedia pada internet. Dokumen-dokumen informasi

pada WWW disertai dengan grafik berwarna dan mendukung sistem multimedia dan

32

 

 

 

memiliki link ke sumber informasi lainnya. Untuk memperoleh dokumen WWW,

digunakan aplikasi browser seperti Internet Explorer.

Kehebatan WWW adalah kemudahan untuk mengakses informasi, yang

dibuhungkan satu dengan lainnya melalui konsep hypertext. Informasi dapat tersebar di

mana-mana di dunia dan terhubung melalui hyperlink.

2.10.4 Web Server

Untuk dapat memberikan dokumen web kepada komputer lain, diperlukan

software yang disebut dengan web server. Web server merpakan software server yang

mengerti protocol HTTP dan menunggu koneksi di port tertentu (umumnya port HTTP

80). Pekerjaan utama web server adakah menerima permintaan terhadap dokumen

tertentu yang ditulis dalam format alamat URL dan mencari file atau program yang

sesuai pada sistem file, membaca, dan memberikannya kepada si peminta.

2.10.5 HTML (Hypertext Markup Language)

HTML (Hypertext Markup Language) merupakan suatu script di mana dapat

ditampilkan informasi dan daya kreasi lewat internet. HTML sendiri adalah dokumen

teks biasa yang mudah dimengerti dibandingkan bahasa pemrograman lainnya, dan

karena bentuknya itu maka HTML dapat dibaca di platform yang berlainan seperti

Windows, UNIX, dan lainnya. Walaupun berberntuk dokumen teks biasa, HTML

memiliki perbedaan dengan dokumen lain seperti dokumen Word, misalnya.

33

 

 

 

Perbedaan yang paling mencolok adalah, pada dokumen Word, banyaknya

karakter akan terbatasi oleh besarnya kertas sehingga jika teks yang ada di dalamnya

banyak ia akan terdiri dari banyak halaman pula. Sedangkan HTML tidak memiliki

batasan teks, sehingga tidak ada pemisah halaman 1, 2, dan seterusnya.

HTML merupakan bahasa pemrograman yang lentur di mana dapat diletakkan

skrip dari bahasa pemrograman lain seperti Java, Visual Basic, C, dan lain-lain, jika

HTML tersebut tidak dapat mendukung suatu perintah pemrograman tertentu. Browser

tidak akan menampilkan kotak dialog ‘syntax error’ jika terdapat penulisan kode yang

keliru pada skrip HTML sepanjang kode-kode yang kita tuliskan merupakan kode-kode

HTML tanpa penambahan kode-kode dari luar seperti Java, C, dan lain-lain.

Oleh karena itu, juta terjadi syntax error pada skrip HTML, efek yang paling

jelas adalah HTML tersebut tidak akan ditampilkan pada jendela browser.

Hypertext dalam HTML berarti bahwa kita dapet menuju ke suatu tempat, misal

website atau halaman web lain, dengan cara memilih suatu link atau penghubung yang

biasanya digaris-bawahi atau diwakili oleh suatu gambar. Selain link atau penghubung

ke website atau homepage halaman lain, hypertext ini juga mengizinkan kita untuk

menuju ke salah satu bagian dalam satu teks itu sendiri.

Sedangkan markup language menunjukkan suatu fasilitas yang berupa tanda

tertentu dalam skrip HTML di mana kita dapat menentukan judul, membuat garis, tabel,

atau gambar dengan perintah khusus.

34

 

 

 

2.10.6 CGI

CGI adalah singkatan dari Common Gateway Interface yaitu sebuah antarmuka

atau protokol yang mengijinkan web site untuk dapet berkomunikasi dengan server, atau

juga dapat berarti, suatu metode dimana web server dapat memproses suatu data yang di

terimanya melalui browser lalu menyajikan atau mengirim data tersebut ke database

server, mail server atau menampilkan hasil prosesnya ke web browser.

Secara mudahnya CGI adalah pemrograman untuk web. CGI program dapat

ditulis dengan banyak bahasa pemrograman seperti Perl, C/C++, Tcl, Apple script dan

masih banyak yang lain. Dengan bantuan CGI dapat dibuat berbagai aplikasi berbasis

web seperti program counter, guest book, web news/board, e-commerce, advertisement

classfield, web database dan masih banyak yang lain tergantung dari fungsi situs web

yang bersangkutan.

2.11 Microsoft Visual Studio

Microsoft Visual Studio merupakan sebuah perangkat lunak lengkap (suite) yang

dapat digunakan untuk melakukan pengembangan aplikasi, baik itu aplikasi bisnis,

aplikasi personal, ataupun komponen aplikasinya, dalam bentuk aplikasi console,

aplikasi Windows, ataupun aplikasi Web. Visual Studio mencakup kompiler, SDK,

Integrated Development Environment (IDE), dan dokumentasi (umumnya berupa

MSDN Library). Kompiler yang dimasukkan ke dalam paket Visual Studio antara lain

Visual C++, Visual C#, Visual Basic, Visual Basic .NET, Visual InterDev, Visual J++,

Visual J#, Visual FoxPro, dan Visual SourceSafe.

35

 

 

 

Microsoft Visual Studio dapat digunakan untuk mengembangkan aplikasi dalam

native code (dalam bentuk bahasa mesin yang berjalan di atas Windows) ataupun

managed code (dalam bentuk Microsoft Intermediate Language di atas .NET

Framework). Selain itu, Visual Studio juga dapat digunakan untuk mengembangkan

aplikasi Silverlight atau aplikasi Windows Mobile (yang berjalan di atas .NET Compact

Framework).

Visual Studio kini telah menginjak versi Visual Studio 9.0.21022.08, atau

dikenal dengan sebutan Microsoft Visual Studio 2008 yang diluncurkan pada 19

November 2007, yang ditujukan untuk platform Microsoft .NET Framework 3.5. Versi

sebelumnya, Visual Studio 2005 ditujukan untuk platform .NET Framework 2.0 dan 3.0.

Visual Studio 2003 ditujukan untuk .NET Framework 1.1, dan Visual Studio 2002

ditujukan untuk .NET Framework 1.0. Versi-versi tersebut di atas kini dikenal dengan

sebutan Visual Studio .NET, karena memang membutuhkan Microsoft .NET

Framework. Sementara itu, sebelum muncul Visual Studio .NET, terdapat Microsoft

Visual Studio 6.0 (VS1998).

2.12 C#

C# (dibaca: C sharp) merupakan sebuah bahasa pemrograman yang berorientasi

objek yang dikembangkan oleh Microsoft sebagai bagian dari inisiatif kerangka .NET

Framework. Bahasa pemrograman ini dibuat berbasiskan bahasa C++ yang telah

dipengaruhi oleh aspek-aspek ataupun fitur bahasa yang terdapat pada bahasa-bahasa

pemrograman lainnya seperti Java, Delphi, Visual Basic, dan lain-lain, dengan beberapa

36

 

 

 

penyederhanaan. Menurut standar ECMA-334 C# Language Specification, nama C#

terdiri atas sebuah huruf Latin C (U+0043) yang diikuti oleh tanda pagar yang

menandakan angka # (U+0023).

2.12.1 Tujuan Desain

Standar European Computer Manufacturer Association (ECMA) mendaftarkan

beberapa tujuan desain dari bahasa pemrograman C#, sebagai berikut:

Bahasa pemrograman C# dibuat sebagai bahasa pemrograman yang bersifat

general-purpose (untuk tujuan jamak), berorientasi objek, modern, dan sederhana.

Bahasa pemrograman C# ditujukan untuk digunakan dalam mengembangkan

komponen perangkat lunak yang mampu mengambil keuntungan dari lingkungan

terdistribusi.

Portabilitas programmer sangatlah penting, khususnya bagi programmer yang

telah lama menggunakan bahasa pemrograman C dan C++.

Dukungan untuk internasionalisasi (multi-language) juga sangat penting. C#

ditujukan agar cocok digunakan untuk menulis program aplikasi baik dalam sistem

klien-server (hosted system) maupun sistem tertanam (embedded system), mulai dari

program aplikasi yang sangat besar yang menggunakan sistem operasi yang canggih

hingga program aplikasi yang sangat kecil yang memiliki fungsi-fungsi terdedikasi.

Meskipun aplikasi C# ditujukan agar bersifat 'ekonomis' dalam hal kebutuhan

pemrosesan dan memori komputer, bahasa C# tidak ditujukan untuk bersaing secara

37

 

 

 

langsung dengan kinerja dan ukuran program aplikasi yang dibuat dengan menggunakan

bahasa pemrograman C dan bahasa rakitan.

Bahasa C# harus mencakup pengecekan jenis (type checking) yang kuat,

pengecekan larik (array), pendeteksian terhadap percobaan terhadap penggunaan

peubah-peubah yang belum diinisialisasikan, portabilitas kode sumber, dan

pengumpulan sampah (garbage collection) secara otomatis.

2.13 Active Server Pages .NET

Active Server Pages .NET (sering disingkat sebagai ASP.NET) adalah sebuah

teknologi layanan Web dinamis, aplikasi web, dan XML web service yang

dikembangkan oleh Microsoft sebagai pengganti Active Server Pages (ASP) yang telah

lama. Teknologi ini berbasis .NET Framework dan dibangun di atas Common Language

Runtime (CLR), sehingga para programmer dapat menulis kode ASP.NET dengan

menggunakan semua bahasa pemrograman .NET, meski yang populer digunakan adalah

bahasa C# dan Visual Basic .NET.