KENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF

KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI

NASH

TUGAS AKHIR

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Pada Jurusan Matematika

Oleh :

M.LUTHFI RUSYDI 10454025655

4

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU

PEKANBARU

2011

vii

KENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH

M LUTHFI RUSYDI NIM : 10454025655

Tanggal Sidang : 30 juni 2011 Tanggal Wisuda : November 2011

Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau JL. Soebrantas No. 155 Pekanbaru

ABSTRAK

Tugas akhir ini membahas tentang masalah pengambilan keputusan dari beberapa strategi yang tersedia dalam permainan berjumlah dua orang berstrategi murni dengan konsep Nash Equilibrium. Dilemma ditunjukkan sebagai contoh untuk memperkenalkan teori Nash Equilibrium adalah sangat berguna dalam kehidupan nyata. Hasil penelitian menunjukkan bahwa mengenai aturan main antara kedua pemain sangat mempengaruhi optimalitas nilai permainan. Kata Kunci: Teori Permainan, Kestabilan, Nash equilibrium.

xii

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR PERSETUJUAN .................................................................... ii

LEMBAR PENGESAHAN ..................................................................... iii

LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL ..................... iv

LEMBAR PERNYATAAN..................................................................... v

LEMBAR PERSEMBAHAN .................................................................. vi

ABSTRAK ................................................................................................ vii

ABSTRACT................................................................................................ vii

KATA PENGANTAR ............................................................................. ix

DAFTAR ISI ............................................................................................ xi

DAFTAR GAMBAR ............................................................................... xiii

DAFTAR SIMBOL .................................................................................. xiv

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah ................................................. I-1

1.2 Rumusan Masalah ........................................................... I-2

1.3 Batasan Masalah ............................................................. I-2

1.4 Tujuan Penelitian ............................................................. I-2

1.5 Sistematika Penulisan ..................................................... I-2

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Fungsi Kontinu ................................................................ II-1

2.2 Fungsi Monoton............................................................... II-1

2.3 Kestabilan ........................................................................ II-3

2.4 Permainan Dinamis Non-Kooperatif untuk

Waktu Tak Hingga .................................................................. II-3

xii

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Flow chart ........................................................................ III-1

BAB IV ANALISA DAN PEMBAHASAN

4.1 Kendali Optimal Umpan Balik Permainan Dinamis

Linier Kuadratik Dua Pemain Non-Kooperatif

Kontinu Skalar.............................................................. IV-3

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan ...................................................................... V-1

5.2 Saran ................................................................................. V-2

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

xiv

DAFTAR SIMBOL

훿 : Delta

휀 : Epsilon

휎 : Sigma

∫ : Integral

푇 : Time final

I-1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori permainan dikembangkan untuk menganalisis situasi persaingan yang

meliputi kepentingan yang bertentangan. Dalam teori permainan diasumsikan ada dua

atau lebih pemain dengan tujuan yang berbeda, selanjutnya setiap orang dianggap

mengetahui tujuan dari lawannya. Teori permainan mencari pemecahan untuk

permainan dengan mengasumsikan bahwa setiap pemain bermaksud memaksimalkan

keuntungan yang diharapkan atau setara dengan itu minimalkan kerugian. Kriteria ini

didasarkan pada pandangan konservatif terhadap persoalan, dinyatakan sebagai

kriteria minimaks atau maksimin ini merupakan dasar dari strategi permainan yang

semula dikembangkan oleh Jhon Van Neumann dan Oskar Morgenstern dan

diterapkan dalam berbagai bidang.

Penerapan teori permainan diterapkan dalam berbagai bidang salah satunya

mencakup pula situasi persaingan dalam ekonomi. Setelah ada beberapa terlihat dari

hasil karya kedua penemu di atas yang belum sempurna di dalam keseimbangan

Nash, maka sekarang muncullah penemu yang bernama John Nash pada tahun 1950-

1953, ia menunjukkan keseimbangan di dalam permainan N-orang,”permainan tak

kooperatif”, dan dua orang di dalam permainan kooperatif menurut John Nash,

keseimbangan adalah jika ada serangkaian strategi untuk permainan dimana tidak ada

pemain yang bisa memperoleh keuntungan dengan mengubah strateginya, sementara

pemain lagi menjaga strategi mereka tetap tidak berubah, kemudian rangkaian strategi

hasil yang bersesuaian membentuk keseimbangan Nash.

Berdasarkan penjelasan di atas, maka penulis merasa tertarik untuk meneliti

tentang teori permainan dengan menggunakan strategi Nash, oleh karena itu penulis

mengajukan judul tugas akhir ini dengan “ Kendali Optimal Permainan Non-

Kooperatif Kontinu Skalar Dua Pemain dengan Strategi Nash “.

I-2

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, maka dapat dirumuskan permasalahan

dalam penelitian ini adalah untuk menunjukkan dalam kondisi seperti apa strategi

Nash itu ada.

1.3 Batasan Masalah

Dalam penulisan skripsi ini permasalahan dibatasi untuk teori permainan non-

kooperatif kontinu skalar dua pemain dengan strategi Nash untuk waktu tak hingga.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk menunjukkan dalam kondisi seperti apa

strategi Nash itu ada, dalam permainan ini untuk mencapai tujuan yang diinginkan.

1.5 Sistematika Penulisan

BAB I Pendahuluan

Berisikan tentang latar belakang masalah, perumusan masalah,

batasan masalah, tujuan penelitian dan sistematika penulisan.

BAB II Landasan Teori

Berisikan teori-teori yang mendukung tentang teori permainan

non-kooperatif kontinu skalar dua pemain dengan strategi Nash.

BAB III Metodelogi Penelitian

Berisikan mengenai literatur, yaitu dengan membaca buku-buku

dan sumber-sumber lain yang berhubungan dengan teori

permainan non-kooperatif kontinu skalar dua pemain dengan

strategi Nash.

I-3

BAB IV Pembahasan

Bab ini berisikan pemaparan secara teoritis dalam mendapatkan

hasil penelitian tersebut.

BAB V Penutup

Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai kesimpulan dan saran.

II-1

BAB II

LANDASAN TEORI

Adapun landasan teori yang digunakan pada skripsi ini adalah.

2.1 Fungsi Kontinu

Dibawah akan diberikan definisi dari fungsi kontinu.

Definisi 2.1 (Purcell, 2003): Fungsi 푓 dikatakan kontinu di 푎 ∈ 퐷 jika

lim→푓(푥) = 푓(푎)

Definisi 2.1 di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi 푓 kontinu di

푎, yaitu :

(i). 푓(푎) ada atau terdefinisikan

(ii). 푓(푥)→ ada, dan

(iii). 푓(푥) = 푓(푎)→

2.2 Fungsi Monoton

Bagian ini penggunaan turunan akan digunakan untuk mengetahui sifat-sifat

yang dimiliki suatu fungsi kontinu antara lain kemonotonan serta nilai ekstrim.

Namun sebelumnya perlu diberikan pengertian secara formal mengenai kemonotonan

suatu fungsi pada definisi berikut :

Definisi 2.2 (Purcell, 2003): Diberikan fungsi kontinu 푓: 퐼 → 푅 dengan interval

퐼 ⊆ 푅, maka

1. Fungsi 푓 dikatakan monoton naik pada interval 푥 ≤ 푥 ∈ 퐼 maka

푓(푥 ) 푓(푥 ).

II-2

2. Fungsi 푓 dikatakan fungsi monoton naik tegas pada interval 퐼 ⊆ 푅 jika

푥 < 푥 ∈ 퐼 maka 푓(푥 ) < 푓(푥 ).

3. Fungsi f dikatakan fungsi monoton turun pada interval 퐼 ⊆ 푅 jika 푥 ≤ 푥 ∈

퐼 maka 푓(푥 ) ≥ 푓(푥 ).

4. Fungsi 푓 dikatakan fungsi monoton turun tegas pada interval 퐼 ⊆ 푅 jika

푥 < 푥 ∈ 퐼 maka 푓(푥 ) > 푓(푥 ).

Fungsi 푓 kontinu pada interval 퐼 ⊆ 푅, maka kemonotonan fungsi dapat

diperiksa menganalisis turunan fungsi 푓, secara lengkap diberikan pada teorema

berikut.

Teorema 2.1 (Bartle, 1998): Diberikan fungsi kontinu 푓:→ 푅 dengan interval 퐼 ⊆ 푅

maka

1. Fungsi 푓 dikatakan monoton naik pada interval 퐼 jika dan hanya jika

푓 (푥) ≥ 0, untuk setiap 푥 ∈ 퐼.

2. Fungsi 푓 dikatakan monoton turun pada interval 퐼 jika dan hanya jika

푓 (푥) ≤ 0, untuk setiap 푥 ∈ 퐼.

Selanjutnya, dibahas mengenai nilai ekstrim global dan lokal dari suatu

fungsi, pembahasan awal perlu diberikan definisi mengenai nilai ekstrim minimum

global dan minimum lokal.

Definisi 2.3 (Bartle, 1998): Diberikan fungsi kontinu 푓: 퐼 → 푅 dengan interval 퐼 ⊆

푅, maka

1. Fungsi 푓 dikatakan memiliki minimum global di 푥 ∈ 퐼 jika ∀푥 ∈ 퐼 berlaku

푓(푥) ≥ 푓(푥 ).

2. Fungsi 푓 dikatakan memiliki minimum lokal di 푥 ∈ 퐼 jika untuk suatu

persekitaran 훿 dari 푥 sedemikan sehingga 푓(푥) ≥ 푓(푥 ) untuk setiap

푥 didalam persekitaran tersebut.

II-3

Maksimum global dan maksimum lokal didefinisikan dengan membalik tanda

pertidaksamaan pada defenisi 2.3.

2.3 Kestabilan

Sebelum pembahasan kestabilan perlu didefinisikan titik ekuilibrium, sebagai

berikut :

Definisi 2.4 (Engwerda, 2005): Diberikan persamaan diferensial order satu yaitu

푥̇ = 푓(푥) dengan nilai awal 푥(0) = 푥 , sebuah vektor 푥̅ yang memenuhi 푓(푥̅) = 0

disebut titik ekuilibrium.

Definisi titik ekuilibrium, digunakan untuk memberikan definisi kestabilan

sebagai berikut :

Definisi 2.5 (Engwerda, 2005): Titik ekuilibrium 푥̅ dikatakan stabil jika ∀ 휀 >

0,∃ 훿 > 0 sehingga ‖푥 − 푥̅‖ < 훿 maka ‖푥(푡, 푥 ) − 푥̅‖ < 휀 untuk semua 푡 ≥ 0.

Titik ekuilibrium 푥̅ dikatakan stabil asimtotik jika 푥̅ merupakan titik stabil dan

∃ 훿 > 0 sehingga lim → ‖푥(푡, 푥 ) − 푥̅‖ = 0 memenuhi ‖푥 − 푥̅‖ < 훿.

Untuk kasus lain titik 푥̅ dikatakan tidak titik stabil jika tidak memenuhi

definisi kestabilan.

2.4 Permainan Dinamis Non-Kooperatif untuk Waktu Tak hingga

Permainan dua pemain dengan para pemain memberikan kendali pada

persamaan diferensial sistem dinamik

푥̇(푡) = 퐴푥(푡) + 퐵 푢 (푡) + 퐵 푢 (푡), 푥(0) = 푥 , (2.1)

Para pemain meminimalkan dalam arti Nash

퐽 푥 ,푢 ,푢 ,푇 = ∫ 푥 (푡)푄 푥(푡) + 푢 (푡)푅 푢 (푡) + 푢 (푡)푅 푢 (푡) 푑푡, 푗 ≠ 푖(2.2)

II-4

Pada bagian ini dibahas untuk kasus waktu tak hingga, yaitu fungsi tujuan

memenuhi kriteria

퐽 (푥 ,푢 ,푢 ) = lim 퐽 (푥 ,푢 ,푢 ,푇 ) dengan 푖 = 1,2.

Fungsi tujuan permainan ini memenuhi asumsi 푄 dan 푅 adalah matriks

simetris dan 푅 adalah definit positif, untuk 푖 = 1,2. Selanjutnya akan dicari fungsi

kendali 푢 = 퐹 푥, dengan 퐹 ∈ ℝ핞 ×핟, 푖 = 1,2 dan (퐹 ,퐹 ) adalah anggota ℱ =

{퐹 = (퐹 ,퐹 )|퐴 + 퐵 퐹 + 퐵 퐹 푠푡푎푏푖푙}, yang memenuhi definisi berikut

Definisi 2.6 (Engwerda, 2005): Ekulibrium linier (퐹∗,퐹∗) ∈ ℱ disebut ekuilibrium

linier umpan balik Nash jika memenuhi perrtidaksamaan 퐽 (푥 ,퐹∗,퐹∗) ≤

퐽 (푥 ,퐹 ,퐹∗) dan 퐽 (푥 ,퐹∗,퐹∗) ≤ 퐽 (푥 ,퐹∗, 퐹 ) untuk setiap 푥 dan untuk setiap

matriks state umpan balik 퐹 , 푖 = 1,2 sedemikian sehingga (퐹 ,퐹∗) dan (퐹∗, 퐹 ) ∈ ℱ.

Masalah dua pemain ekuivalen dengan masalah linier kuadratik biasa,

sehingga untuk masalah waktu tak hingga dapat diberikan persamaan aljabar Riccati

sebagai berikut

0 = −(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 − 퐾 푆 퐾 (2.3)

0 = −(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 −퐾 푆 퐾 , (2.4)

Vektor kendali permainan dapat diperoleh jika dan hanya jika persamaan

aljabar Riccati (2.3)-(2.4) memiliki solusi (퐾 ,퐾 ), yang menyebabkan 퐴 − 푆 퐾 −

푆 퐾 menjadi stabil. Hal ini dibahas pada teorema berikut :

Teorema 2.2 (Engwerda, 2005): Misalkan (퐾 ,퐾 ) adalah solusi simetris persamaan

(2.3) dan (2.4) dan didefinisikan 퐹∗ = −푅 퐵 퐾 untuk 푖 = 1,2 maka (퐹∗,퐹∗)

adalah ekuilibrium umpan balik Nash. Selanjutnya fungsi tujuan akhir untuk pemain

ke-푖 adalah 푥 퐾 푥 , 푖 = 1,2. Sebaliknya, jika (퐹∗,퐹∗) adalah ekuilibrium umpan

II-5

balik Nash, maka terdapat (퐾 ,퐾 ) adalah solusi simetris persamaan (2.3) dan (2.4)

sehingga 퐹∗ = −푅 퐵 퐾 untuk 푖 = 1,2.

Bukti :

Pertama akan dibuktikan untuk pemain pertama, diketahui 퐹∗ = −푅 퐵 퐾 dengan

퐾 adalah solusi persamaan diatas. Jika 푢 = 퐹∗푥 maka 푢 = 푥 퐹∗.

Selanjutnya diketahui sistem dinamik 푥̇ = 퐴푥 + 퐵 푢 + 퐵 푢 , maka sistem dinamik

setelah diberi kendali umpan balik adalah

푥̇ = 퐴푥 + 퐵 푢 + 퐵 푢 = 퐴푥 + 퐵 푢 + 퐵 퐹∗푥 = 퐴푥 + 퐵 (−푅 퐵 퐾 )푥 +

퐵 푢 = (퐴 − 푆 퐾 )푥 + 퐵 푢 , dengan 푥(0) = 푥 ,

Fungsi tujuan yang akan diminimalkan pemain pertama yaitu

퐽 (푥 ,푢 ,퐹∗) = {푥 푄 푥 + 푢 푅 푢 + 푢 푅 푢 }푑푡

= {푥 푄 푥 + 푢 푅 푢 + 푥 퐹∗ 푅 퐹∗푥}푑푡

= {푥 (푄 + 퐹∗ 푅 퐹∗)푥 + 푢 푅 푢 }푑푡

Sistem dinamik permainan fungsi objektif di atas dapat dipandang sebagai

masalah kendali optimal linier kuadratik biasa. Sehingga dapat diberikan persamaan

aljabar Riccati sebagai berikut :

0 = −(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − (푄 + 퐹∗ 푅 퐹∗)

0 = −(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − (푄 − 퐾 퐵 푅 푅 퐵 퐾 )

0 = −(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 − 퐾 푆 퐾 , (2.5)

II-6

Dengan persamaan (2.5) memiliki solusi 퐾 , maka diperoleh vektor kendali

permainan pertama yaitu 푢∗ = −푅 퐵 퐾 푥 dengan 퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾 sebagai

ekuilibrium umpan balik Nash.

Selanjutnya, berdasarkan masalah kendali optimal linier kuadratik biasa, maka

fungsi tujuan akhir optimal untuk pemain pertama dengan kendali yang diperoleh

adalah 퐽 = 푥 퐾 (0)푥 .

Secara sama untuk pemain kedua berdasarkan sistem dinamik dan fungsi

objektif yang bersesuaian dapat dibentuk persamaan aljabar Riccati yaitu :

0 = −(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 − 퐾 푆 퐾 . (2.6)

Berdasarkan persamaan di atas memiliki solusi 퐾 (푡), maka diperoleh vektor

kendali pemain kedua 푢∗ = −푅 퐵 퐾 푥, dengan 퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾 (푡) sebagai

ekuilibrium umpan balik Nash. Sehingga nilai optimal untuk fungsi objektif adalah

퐽 = 푥 퐾 (0)푥 .

Diasumsikan (퐹∗,퐹∗) ∈ ℱ adalah ekuilibrium umpan balik Nash. Selanjutnya

berdasarkan definisi dipenuhi :

퐽 (푥 ,퐹∗, 퐹∗) ≤ 퐽 (푥 ,퐹 ,퐹∗) dan 퐽 (푥 ,퐹∗,퐹∗) ≤ 퐽 (푥 ,퐹∗,퐹 ).

Akan ditunjukkan ada (퐾 (푡),퐾 (푡)) solusi (2.3)-(2.4) dengan

퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾 .

Untuk pemain pertama diketahui 퐹∗ yang memenuhi 푢∗(푡) = 퐹∗푥(푡). Maka

sistem dinamik pemain pertama menjadi 푥̇ = 퐴푥+ 퐵 푢 + 퐵 퐹∗푥 dengan fungsi

objektif berikut :

퐽 = {푥 (푄 + 퐹∗ 푅 퐹∗)푥 + 푢 푅 푢 }푑푡.

II-7

Dapat dibentuk persamaan Riccati

0 = −(퐴 − 퐵 퐹∗) 퐾 −퐾 (퐴 + 퐵 퐹∗) + 퐾 푆 퐾 − (푄 + 퐹∗ 푅 퐹∗). (2.7)

Disubstitusikan 퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾 dengan 퐹∗ (푡) = −퐾 퐵 푅 ke

persamaan (2.7) diperoleh

−(퐴 + 퐵 (−푅 퐵 퐾 )) 퐾 − 퐾 퐴+ 퐵 (−푅 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 +

(−퐾 퐵 푅 )푅 (−푅 퐵 퐾 ) = 0

−(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 − 퐾 푆 퐾 = 0, (2.8)

Maka dapat diperoleh 퐾 sebagai solusi dari persamaan (2.8) sehingga

퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾 .

Selanjutnya untuk pemain kedua, diketahui 퐹∗ dengan 푢∗(푡) = 퐹∗푥(푡). Maka

sistem dinamik pemain pertama menjadi 푥̇ = 퐴푥 + 퐵 퐹∗푥 + 퐵 푢 , dengan fungsi

objektif yang bersesuaian dapat dibentuk persamaan aljabar Riccati berikut :

0 = −(퐴− 퐵 퐹∗) 퐾 −퐾 (퐴+ 퐵 퐹∗) + 퐾 푆 퐾 − (푄 + 퐹∗ 푅 퐹∗ (2.9)

Substitusikan 퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾 dan 퐹∗ (푡) = −퐾 퐵 푅 ke persamaan

(2.9) diperoleh

−(퐴+ 퐵 (−푅 퐵 퐾 )) 퐾 − 퐾 퐴+ 퐵 (−푅 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 +

(−퐾 퐵 푅 )푅 (−푅 퐵 퐾 ) = 0

−(퐴 − 푆 퐾 ) 퐾 − 퐾 (퐴 − 푆 퐾 ) + 퐾 푆 퐾 − 푄 − 퐾 푆 퐾 = 0, (2.10)

Maka dapat diperoleh 퐾 sebagai solusi dari persamaan (2.10) sehingga

퐹∗(푡) = −푅 퐵 퐾

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

Metodologi penelitian yang penulis gunakan adalah studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1) Menentukan persamaan aljabar Riccati.

2) Menyelidiki Eksistensi solusi persamaan aljabar Riccati.

3) Menyelidiki Eksistensi dan ketunggalan kendali Nash.

Langkah-langkah metodologi penelitian di atas dapat digambarkan dalam

flow chart sebagai berikut :

Gambar 3.1 Flow chart metode penelitian

MULAI

풙̇ = 푨풙+ 푩ퟏ풖ퟏ + 푩ퟐ풖ퟐ

Sistem dinamik

Persamaan Aljabar Riccati

Eksistensi Persamaan Aljabar Riccati

Ketunggalan Kendali Nash

SELESAI

IV-1

BAB IV

PEMBAHASAN

Bab ini akan membahas kendali optimal permainan Non-kooperatif

kontinu skalar dua pemain dengan strategi Nash berdasarkan teori- teori yang

berhubungan dengan permasalahan sebagaimana telah dibahas pada bab

sebelumnya.

4.1. Kendali Optimal Umpan Balik Permainan Dinamis Linier Kuadratik

Dua Pemain Non-Kooperatif Kontinu Skalar

Pada bab 2 telah diberikan bentuk umum permainan dinamis dua pemain

untuk waktu tak hingga, vektor kendali optimal dapat diperoleh melalui

penyelesaian sistem persamaan aljabar Riccati. Selanjutnya pada bagian ini akan

dibahas untuk kasus skalar, yang didasarkan dari bentuk umum pada bagian bab 2.

Didefinisikan persamaan diferensial sistem dinamik permainan dua

pemain (2.1)-(2.2) dengan persamaan aljabar Riccati (2.3)-(2.4).

Selanjutnya dibentuk sistem permainan non-kooperatif dua pemain untuk

kasus skalar, dengan mensubstitusikan 푅 = 푅 = 0,퐴 = 푎 ,퐵 = 푏 ,푄 =

푞 ,푅 = 푟 dan 푠 = , dengan 푖 = 1,2 ke sistem permainan (2.1)-(2.2) diperoleh

푥̇(푡) = 푎푥(푡) + 푏 푢 (푡) + 푏 푢 (푡), 푥(0) = 푥 (4.1)

Para pemain meminimalkan dalam arti Nash fungsi objektif

퐽 (푥 ,푢 푢 ) = {푥(푡)푞 푥(푡) + 푢 (푡)푟 푢 (푡) + 푢 (푡)(0)푢 (푡)}푑푡

퐽 (푥 ,푢 푢 ) = {푞 푥 (푡) + 푟 푢 (푡)}푑푡∞

, 푖 = 1,2, (4.2)

IV-2

Dengan mengambil 푥 = 퐾 , berdasarkan persamaan (2.3)-(2.4) maka

persamaan aljabar Riccati yang bersesuaian adalah sebagai berikut :

푠 푥 + 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0 (4.3)

푠 푥 + 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0 (4.4)

Persamaan aljabar Riccati (4.3)-(4.4) akan memiliki solusi (푥 ,푥 ) yang

akan menghasilkan vektor kendali Nash, yang dapat menstabilkan sistem

permainan loop tertutup, 푎 − 푠 푥 − 푠 푥 menjadi stabil atau

푎 − 푠 푥 − 푠 푥 < 0 (4.5)

Persamaan (4.3)-(4.4) merupakan bentuk khusus dari persamaan berderajat dua

퐴푥 + 퐵푥푦 + 퐶푦 + 퐷푥 + 퐸푦 + 퐹 = 0

Persamaan (4.3) merupakan persamaan hiperbola pada daerah (푥 ,푥 ), karena

untuk 퐴 = 푠 ,퐵 = 2푠 ,퐶 = 0,퐷 = −2푎,퐸 = 0, dan 퐹 = −푞 diperoleh 퐵 −

4퐴퐶 = (2푠 ) − 4(푠 )(0) = 4푠 > 0. Kondisi ini menunjukkan bahwa

persamaan (4.3) merupakan sebuah persamaan hiperbola. Selanjutnya berdasarkan

persamaan (4.3) diperoleh

푥 = −푠

2푠 푥 +푎푠 +

푞2푠푥 ,

Maka asimtot tegak adalah 푥 = 0 dan asimtot miring adalah 푥 = + ,

sementara pusat hiperbola persamaan pada 0, .

Secara sama persamaan (4.4) merupakan persamaan hiperbola pada daerah

(푥 ,푥 ), karena untuk 퐴 = 푠 ,퐵 = 2푠 ,퐶 = 0,퐷 = −2푎,퐸 = 0, dan 퐹 = −푞

diperoleh 퐵 − 4퐴퐶 = (2푠 ) − 4(푠 )(0) = 4푠 > 0. berdasarkan persamaan

(4.4) diperoleh

푥 = −푠

2푠 푥 +푎푠 +

푞2푠푥 ,

IV-3

Sehingga asimtot datar adalah 푥 = 0 dan asimtot miring adalah 푥 = + ,

sementara pusat hiperbola pada , 0 .

Persamaan (4.5) merupakan syarat kestabilan, yang menggambarkan daerah stabil

dan daerah tak stabil. Umpan balik equilibrium Nash dapat diperoleh dari titik

perpotongan kedua hiperbola pada daerah kestabilan. Seperti dapat dilihat pada

contoh berikut :

Contoh 4.1 : Diberikan persamaan (4.3)-(4.5), dengan 푎 = 푏 = 푟 = 1,푞 =

dan 푞 = , dengan 푎 = 1, 푠 = 푠 = 1 maka diperoleh persamaan hiperbola pertama adalah

푥 + 2푥 푥 − 2푥 −14 = 0

Dengan asimtot tegak 푥 = 0, asimtot miring 푥 = − 푥 + = − 푥 + 1 dan

pusat hiperbola adalah (0,1).

Sedangkan persamaan hiperbola kedua adalah

푥 + 2푥 푥 − 2푥 −15 = 0

Dengan asimtot datar 푥 = 0, asimtot miring 푥 = − 푥 + = − 푥 + 1 dan

pusat hiperbola adalah (1,0), dengan syarat 1 − 푥 − 푥 = 0 ⇔ 푥 = 1 − 푥 ,

kedua hiperbola dapat dilihat pada gambar 4.1 berikut :

IV-4

y

3

2

1

-3 -2 -1 1 2 3 x

-1

-2

-3

Gambar 4.1: Permainan dengan tiga titik ekuilibrium Nash

Berdasarkan Gambar 4.1 diperoleh bahwa, kedua hiperbola memiliki

empat titik potong, satu titik potong berada di daerah tidak stabil dan tiga titik

potong berada di daerah stabil (daerah arsiran). Maka diperoleh tiga umpan balik

ekuilibrium Nash yaitu tiga titik potong pada daerah stabil.

Contoh 4.2: Diberikan persamaan (4.3)-(4.5), dengan 푎 = 0,푏 = 푟 = 1,푞 =

dan 푞 = , dengan 푎 = 0, 푠 = 푠 = 1 maka diperoleh persamaan hiperbola

pertama adalah

푥 + 2푥 푥 −14 = 0

Dengan asimtot tegak 푥 = 0, asimtot miring 푥 = − 푥 + = − 푥 dan

pusat hiperbola adalah (0,0).

IV-5

Sedangkan persamaan hiperbola kedua adalah

푥 + 2푥 푥 −15 = 0

Dengan asimtot datar 푥 = 0, asimtot miring 푥 = − 푥 + = − 푥 dan

pusat hiperbola adalah (1,0), dengan syarat −푥 − 푥 = 0 ⇔ 푥 = −푥 , kedua

hiperbola dapat dilihat pada gambar berikut :

y

3

2

1

-3 -2 -1 1 2 3 x

-1

-2

-3

Gambar 4.2: Permainan dengan satu titik ekuilibrium Nash

Berdasarkan Gambar 4.2 diperoleh bahwa, kedua hiperbola memiliki dua

titik potong, satu titik potong berada di daerah tidak stabil dan satu titik potong

berada di daerah stabil (daerah arsiran). Maka diperoleh satu umpan balik

ekuilibrium Nash yaitu titik potong pada daerah stabil.

Sebelum dibahas berbagai situasi yang berhubungan dengan titik

ekuilibrium Nash pada permainan ini, maka terlebih dahulu dibahas kondisi-

IV-6

kondisi yang berhubungan dengan solusi persamaan aljabar Riccati, teorema

berikut akan membahas solusi-solusi persamaan aljabar Riccati untuk kasus 푠 =

0, dan untuk kasus 푠 ≠ 0 akan dibahas pada bagian selanjutnya.

Teorema 4.1(Engwerda, 2005): Diberikan persamaan (4.3)-(4.5), diasumsikan

푠 = 0, berlaku :

1. Jika 푠 ≠ 0 maka terdapat solusi (푥 ,푥 ) ∈ ℝ untuk persamaan (4.3)-(4.5)

jika dan hanya jika 푎 + 푠 푞 > 0. jika kondisi tersebut dipenuhi maka

terdapat solusi tunggal yaitu ,

2. Jika 푠 = 0 maka terdapat solusi (푠 , 푠 ) ∈ 푅 untuk persamaan (4.3)-(4.5)

jika dan hanya jika 푎 < 0. Jika kondisi tersebut dipenuhi maka terdapat solusi

tunggal yaitu − ,−

Bukti :

1. Diasumsikan 푠 = 0 dan 푠 ≠ 0 berdasarkan persamaan (4.3)-(4.5) diperoleh

2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0

푠 푥 − 2푎푠 − 푞 = 0

푎 − 푠 푥 < 0

Selanjutnya dari persamaan 푠 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0 diperoleh solusi yaitu

푥 =푎 ± 푎 + 푠 푞

푠 ,

Maka 푥 = ± akan memiliki solusi real jika dan hanya jika

푎 + 푠 푞 > 0,

IV-7

Oleh karena itu, kondisi di atas dipenuhi, maka 푥 = ±

disubstitusikan ke persamaan (4.3)

Untuk 푥 = disubstitusikan ke 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0

diperoleh .

Untuk 푥 = disubstitusikan ke 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0

diperoleh .

Didapat , dan ,

adalah solusi persamaan (4.3)-(4.4)

Selanjutnya hasil disubstitusikan ke persamaan (4.5). Untuk himpunan

penyelesaian pertama diperoleh :

푎 − 푠푎 + 푎 + 푠 푞

푠 = − 푎 + 푠 푞 < 0

Untuk himpunan penyelesaian kedua didapat

푎 − 푠푎 − 푎 + 푠 푞

푠 = − 푎 + 푠 푞 > 0

Dari hasil tersebut dapat diambil kesimpulan kembali bahwa penyelesaian

yang memenuhi persamaan (4.3)-(4.4) adalah

⎝

⎛ 푞2 푎 + 푠 푞

,푎+ 푎2 + 푠2푞2

푠2⎠

⎞

IV-8

2. Diasumsikan 푠 = 0 dan 푠 = 0 berdasarkan persamaan (4.3)-(4.5)

diperoleh :

−2푎푥 − 푞 = 0,

−2푎푥 − 푞 = 0,

푎 < 0.

Karena 푎 < 0, maka

−2푎푥 − 푞 = 0 → 푥 = −푞2푎

−2푎푥 − 푞 = 0 → 푥 = −푞2푎

Sehingga diperoleh solusi yaitu

−푞2푎 ,−

푞2푎 ∎

Selanjutnya akan di bahas solusi persamaan aljabar Riccati dengan asumsi

푠 ≠ 0, 푖 = 1,2, didefinisikan 푦 = 푠 푥 dan 휎 = 푠 푞 , 푖 = 1,2, dan diasumsikan

휎 ≥ 휎 . Persamaan (2.3) dan (2.4) dikalikan dengan 푠 , 푖 = 1,2 diperoleh

푠 푥 + 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0 → 푠 푥 + 2푠 푠 푥 푥 − 2푎푠 푥 − 푠 푥 = 0,

푠 푥 + 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0 → 푠 푥 + 2푠 푠 푥 푥 − 2푎푠 푥 − 푠 푥 = 0,

Selanjutnya akan ditunjukan bahwa persamaan (4.3)-(4.5) memiliki solusi

(푥 ,푥 )휖 푅 jika dan hanya jika persamaan :

푦 − 2푦 푦 − 훿 = 0, 푖 = 1,2 (4.6)

푦 = −푎 + 푦 + 푦 > 0, (4.7)

Memiliki solusi (푦 , 푦 ) 휖 푅

Sebelumnya disubtitusikan terlebih dahulu 푦 = −푎 + 푦 + 푦

kepersamaan (4.6), untuk 푖 = 1 diperoleh

푦 − 2(−푎 + 푦 + 푦 )푦 + 훿 = 0

푦 + 2푎푦 − 2푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0

푦 − 2푎푦 + 2푦 푦 − 훿 = 0, (4.8)

IV-9

Maka berdasarka perkalian persamaan (4.3) dengan 훿 , diperoleh

푠 푥 + 2푠 푠 푦 푦 − 2푎푠 푥 − 푠 푞 = 0 ↔ 푦 − 2푎푦 2푦 푦 − 훿 = 0

Dapat disimpulakan bahwa persamaan (4.3) akan punya solusi (푥 ,푥 )휖 푅 jika dan hanya jika persamaan (4.8) punya solusi (푦 , 푦 ) 휖 푅 untuk 푖 = 2, diperoleh

푦 − 2(−푎 + 푦 + 푦 )푦 + 훿 = 0

푦 + 2푎푦 − 2푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0

푦 − 2푎푦 + 2푦 푦 − 훿 = 0, (4.9)

Selanjutnya berdasarkan persamaan (4.5), dengan 푦 = 푠 푥 dan 훿 =

푠 푞 , maka diperoleh :

푠 푥 + 2푠 푠 푥 푥 − 2푎푠 푥 − 푠 푞 = 0 ↔ 푦 − 2푎푦 + 푦 푦 − 훿 = 0

Dapat disimpulkan bahwa persamaan (4.3) akan mempunyai solusi

(푥 ,푥 )휖 푅 jika dan hanya jika persamaan (4.9) mempunyai solusi (푦 , 푦 ) 휖 푅

Berdasarkan uraian di atas diperoleh hasil bahwa terdapat hubungan antara

persamaan (4.3)-(4.5) dan persamaan (4.6)-(4.7), sehingga dengan mencari solusi

persamaan (4.6)-(4.7) maka dapat diperoleh solusi untuk (4.3)-(4.5). untuk solusi

persamaan (4.6)-(4.7) dibahas dengan Lemma berikut :

Lemma 4.1: Sistem persamaan (4.6)-(4.7) memiliki solusi jika dan hanya jika

terdapat 푡 , 푡 휖 {−1,1} sehingga persamaan

푦 + 푡 푦 − 훿 + 푡 푦 − 훿 = 푎 (4.10)

Memiliki solusi 푦 > 0 dengan syarat 푦 ≥ 훿 ,

IV-10

Bukti :

Andaikan sistem persamaan (4.6) memiliki solusi, yaitu

푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0, 푖 = 1,2,

Untuk 푖 = 1 maka 푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0 diperoleh solusi

푦 =2푦 ± (2푦 ) − 4훿

2 = 푦 ± 푦 − 훿

Untuk 푖 = 2 maka 푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0 diperoleh solusi

푦 =2푦 ± (2푦 ) − 4훿

2 = 푦 ± 푦 − 훿

Substitusikan 푦 ,푦 ke persamaan (4.7) diperoleh

푦 = −푎 + 푦 + 푦 > 0

푦 = −푎 + 푦 ± 푦 − 훿 + 푦 ± 푦 − 훿 ↔ 푦 = −푎 + 2푦 ±

푦 − 훿 ± 푦 − 훿

→ 푦 − 2푦 ± 푦 − 훿 ± 푦 − 훿 = −푎 ↔ −푦 ± 푦 − 훿 ±

푦 − 훿 = −푎

→ 푦 ± 푦 − 훿 ± 푦 − 훿 = 푎 (4.11)

Berdasarkan persamaan (4.11) dapat dilihat terdapat 푡 , 푡 휖 {−1,1} sehingga

diperoleh

푦 + 푡 푦 − 훿 + 푡 푦 − 훿 = 푎 (4.12)

Persamaan (4.12) akan memiliki solusi 푦 > 0 jika 푦 ≥ 훿

IV-11

Sekarang akan dibuktikan arah sebaliknya. Andaikan persamaan (4.10)

memiliki solusi 푦 > 0 dengan syarat 푦 ≥ 훿 . Selanjutnya akan dibuktikan

persamaan (4.6)-(4.7) memiliki solusi (푦 , 푦 ) 휖 푅 . Berdasarkan persamaan (4.6)

diperoleh

Untuk 푖 = 1 → 푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0 memiliki solusi 푦 = 푦 ± 푦 − 훿

Untuk 푖 = 2 → 푦 − 2푦 푦 + 훿 = 0 memiliki solusi 푦 = 푦 ± 푦 − 훿

Karena terdapat 푦 > 0 adalah solusi persamaan (4.10) dengan syarat 푦 ≥ 훿

maka 푦 , 푦 ada.

Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat dari semua kemungkinan persamaan

yang dapat dibentuk dari persamaan (4.10), yang berhubungan dengan eksistensi

dan ketunggalan ekuilibrium permainan. Pembahasan selanjutnya dimulai dengan

menotasikan 푥 dan 푦 dan didefinisikan untuk semua 푥 > 0 dengan syarat

푥 ≥ 휎 , maka dari persamaan (4.10) dengan 푡 , 푡 ∈ {−1,1} dapat dibentuk

persamaan-persamaan berikut :

푓 (푥) = 푥 − 푥 − 휎 − 푥 − 휎 , (4.13)

푓 (푥) = 푥 + 푥 − 휎 − 푥 − 휎 , (4.14)

푓 (푥) = 푥 − 푥 − 휎 + 푥 − 휎 , (4.15)

푓 (푥) = 푥 + 푥 − 휎 + 푥 − 휎 . (4.16)

Titik ekuilibrium merupakan perpotongan titik pada grafik 푓 (푥) dengan 푎

pada daerah stabil. Selanjutnya beberapa sifat untuk fungsi 푓 (푥) dengan 휎 > 0

dan 휎 < 0 diberikan pada Lemma berikut :

IV-12

Lemma 4.2: Diberikan persamaan-persamaan (4.13)-(4.16), dengan 휎 > 휎 ,

berlaku :

1. 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥).

2. Jika 휎 > 0 maka

(a). 푓 (√휎 ) = 푓 (√휎 ), 푖 = 1,3.

(b). 푓 (푥) mempunyai titik minimum yang tunggal pada 푥∗ > √휎 .

3. Jika 휎 < 0 maka

(a). 푓 (푥) dan 푓 (푥) adalah fungsi monoton naik.

(b). 푓 (푥) mempunyai tepat satu titik global maksimum pada 푥∗ > 0.

(c). Maksimum 푓 (푥) < 푓 (0).

Bukti :

1. Diberikan persamaan (4.13)-(4.16) dengan 푥 > 0,푥 ≥ 휎 푑푎푛 휎 > 휎 ,

maka berlaku hubungan

푥 − 푥 − 휎 − 푥 − 휎 < 푥 + 푥 − 휎 − 푥 − 휎 < 푥 −

푥 − 휎 + 푥 − 휎 < 푥 + 푥 − 휎 + 푥 − 휎 ,

Sehingga terbukti bahwa

푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥).

2. Jika 휎 > 0 maka

(a). untuk 푖 = 1 maka 푓 (√휎 ) = 푓 (√휎 ), karena

푓 휎 = 휎 − 휎 − 휎 − 휎 − 휎 = 휎 − 휎 − 휎

푓 휎 = 휎 + 휎 − 휎 − 휎 − 휎 = 휎 − 휎 − 휎

Untuk 푖 = 3 maka 푓 (√휎 ) = 푓 (√휎 ), karena

IV-13

푓 (√휎 ) = √휎 − (√휎 ) − 휎 + (√휎 ) − 휎 = √휎 + √휎 − 휎

푓 (√휎 ) = √휎 + (√휎 ) − 휎 + (√휎 ) − 휎 = √휎 + √휎 − 휎

(b). Diberikan persamaan (4.13) selanjutnya dengan turunan pertama

diperoleh

푓 (푥) = 1 − (푥 − 휎 ) 2푥 − (푥 − 휎 ) 2푥

= 1− 푥(푥 − 휎 ) − 푥(푥 − 휎 )

= 1−( )

−( )

< 0.

Karena 푓 (푥) < 0 maka 푓 (푥) merupakan fungsi monoton turun.

Selanjutnya, berdasarkan persamaan (4.14), dengan turunan pertama

diperoleh

푓 (푥) = 1 + (푥 − 휎 ) 2푥 − (푥 − 휎 ) 2푥

= 1 + 푥(푥 − 휎 ) − 푥(푥 − 휎 )

= 1 +( )

−( )

> 0.

Karena 푓 (푥) > 0 maka 푓 (푥) merupakan fungsi monoton naik.

Selanjutnya, berdasarkan persamaan (4.16), dengan turunan pertama

diperoleh

푓 (푥) = 1 + (푥 − 휎 ) 2푥 + (푥 − 휎 ) 2푥

= 1 + 푥(푥 − 휎 ) + 푥(푥 − 휎 )

= 1 +( )

+( )

> 0.

IV-14

(c). Berdasarkan persamaan (4.15), dengan turunan pertama diperoleh

푓 (푥) = 1 −12

(푥 − 휎 ) 2푥 +12

(푥 − 휎 ) 2푥

= 1 +( )

+( )

> 0.

Maka 푓 (푥) = 0 untuk suatu 푥 = 푥∗ dengan syarat 푥∗ > √휎 .

Selanjutnya dengan uji turunan kedua, jika 휎 > 휎 dan 푥∗ > √휎

diperoleh :

푓 (푥) = − 1(푥 − 휎 ) + 푥 −12

(푥 − 휎 ) 2푥

+ 1(푥 − 휎 ) + 푥 −12

(푥 − 휎 ) 2푥

=−(푥 − 휎 ) + 푥 (푥 − 휎 )

(푥 − 휎 ) +(푥 − 휎 ) − 푥 (푥 − 휎 )

(푥 − 휎 )

=(푥 − 휎 )(푥 − 휎 ) (−(푥 − 휎 ) + 푥 ) +

(푥 − 휎 )(푥 − 휎 ) (푥 − 휎 ) − 푥

푓 (푥) =(푥 − 휎 )(푥 − 휎 ) (휎 ) +

(푥 − 휎 )(푥 − 휎 ) (−휎 ) > 0

Diperoleh 푓 (푥∗) > 0, sehingga 푓 (푥) punya minimum pada saat 푥∗ > √휎 .

3. Jika 휎 < 0 maka

(a) Berdasarkan persamaan (4.14), selanjutnya dengan turunan pertama

diperoleh

푓 (푥) = 1 + (푥 − 휎 ) 2푥 − (푥 − 휎 ) 2푥

= 1 + 푥(푥 − 휎 ) − 푥(푥 − 휎 )

IV-15

= 1 +( )

−( )

> 0.

Karena 푓 (푥) > 0 maka 푓 (푥) merupakan fungsi monoton naik.

Selanjutnya, berdasarkan persamaan (4.15) dengan turunan pertama

diperoleh

푓 (푥) = 1 − (푥 − 휎 ) 2푥 + (푥 − 휎 ) 2푥

= 1 − 푥(푥 − 휎 ) + 푥(푥 − 휎 )

= 1 −( )

+( )

> 0.

Karena 푓 (푥) > 0 maka 푓 (푥) merupakan fungsi monoton naik.

(b). Berdasarkan persamaan (4.13), dengan syarat 휎 < 0, maka

푓 (푥) = 푥 − 푥 − 휎 − 푥 − 휎 .

Dengan turunan pertama diperoleh :

푓 (푥) = 1 − (푥 − 휎 ) 2푥 − (푥 − 휎 ) 2푥

= 1 +푥

(푥 − 휎 )−

푥

(푥 − 휎 )

Maka 푓 (푥) = 0 untuk suatu 푥 = 푥∗ dengan syarat 푥 = 푥∗ > 0.

Dengan uji turunan kedua, jika 푥∗ > 0 diperoleh :

푓 (푥) = −1

(푥 + 휎 )+

푥

(푥 + 휎 )−

1

(푥 + 휎 )+

푥

(푥 + 휎 )

=−(푥 + 휎 ) + 푥 (푥 + 휎 )

(푥 + 휎 ) +−(푥 + 휎 ) + 푥 (푥 + 휎 )

(푥 + 휎 )

IV-16

=(푥 + 휎 )(푥 + 휎 ) (−(푥 + 휎 ) + 푥 ) +

(푥 + 휎 )(푥 + 휎 ) (−(푥 + 휎 ) + 푥 )

=(푥 + 휎 )(푥 + 휎 ) (−휎 ) +

(푥 + 휎 )(푥 + 휎 ) (−휎 ) < 0.

Diperoleh 푓 (푥∗) < 0. maka 푓 (푥) akan memiliki nilai maksimum pada

saat 푥∗ > 0.

(c). Berdasarkan persamaan (4.16) dengan syarat 휎 < 0, maka

푓 (푥) = 푥 + 푥 − 휎 + 푥 − 휎

Selanjutnya dengan turunan pertama diperoleh

푓 (푥) = 1 +푥

(푥 − 휎 )+

푥

(푥 − 휎 )

Maka 푓 (푥) = 0 untuk suatu 푥 = 푥∗ dengan syarat 푥 = 푥∗ > 0.

Selanjutnya dengan uji turunan kedua, jika 푥∗ < 0 diperoleh

푓 (푥) =1

(푥 + 휎 )−

푥

(푥 + 휎 )+

1

(푥 + 휎 )−

푥

(푥 + 휎 )

=(푥 + 휎 ) − 푥 (푥 + 휎 )

(푥 + 휎 ) +(푥 + 휎 ) − 푥 (푥 + 휎 )

(푥 + 휎 )

=(푥 + 휎 )(푥 + 휎 ) (휎 ) +

(푥 + 휎 )(푥 + 휎 ) (휎 ) > 0

Diperoleh 푓 (푥∗) > 0, maka fungsi 푓 (푥) memiliki minimum pada saat

푥∗ < 0. Berdasarkan turunan pertama, 푓 (푥) = 푥 + 푥 + 휎 + 푥 + 휎

merupakan fungsi monoton naik.

(d). Diketahui fungsi 푓 (푥) punya solusi maksimum untuk 푥∗ > 0.

IV-17

푓 (0) = 0 + 0 + 휎 − 0 + 휎 = 휎 − 휎 ,

Sehingga

푓 (푥∗)− 푓 (0) = 푥∗ − (푥∗) + 휎 − (푥∗) + 휎 − √휎 + √휎 < 0,

Maka diperoleh 푓 (푥∗)− 푓 (0) < 0 ⟺ 푓 (푥∗) < 푓 (0)

atau maksimum 푓 (푥) < 푓 (0).

Lemma 4.1 memberikan beberapa hasil yang dapat digunakan untuk membalas

kondisi-kondisi yang menyebabkan suatu permainan tidak memiliki ekuilibrium

Nash, memiliki satu ekuilibrium Nash dan memiliki lebih dari satu ekuilibrium

Nash, hal ini dibahas pada teorema berikut.

Teorema 4.2 : Diberikan permainan yang memenuhi persamaan (4.11) dan

(4.12), dengan 휎 = , 푖 = 1,2. diasumsikan 휎 ≥ 휎 , selanjutnya diberikan

persamaan 푓 (푥), 푖 = 1,2,3,4, seperti pada persamaan (4.13)-(4.16), maka

1(a). Jika 휎 > 0 dan 휎 ≥ 휎 , maka permainan memiliki

i. Satu ekuilibrium jika −∞ < 푎 < 푚푖푛 푓 (푥).

ii. Dua ekuilibrium jika 푎 = 푚푖푛 푓 (푥).

iii. Tiga ekuilibrium jika 푎 > 푚푖푛 푓 (푥).

1(b). Jika 휎 = 휎 > 0, maka permainan memiliki

i. Satu ekuilibrium jika 푎 ≤ √휎 .

ii. Tiga ekuilibrium jika 푎 > √휎 .

2(a). Jika 휎 < 0 dan 휎 > 휎 , maka permainan

i. Memiliki satu ekuilibrium jika √−휎 − √−휎 < 푎 ≤ √−휎 +

√−휎

ii. Memiliki dua ekuilibrium jika −√−휎 + √−휎 < 푎 ≤ √−휎 +

√−휎

IV-18

iii. Memiliki tiga ekuilibrium jika 푎 > √−휎 + √−휎 .

2(b). Jika 휎 = 휎 < 0, maka permainan

i. Memiliki dua ekuilibrium jika 0 < 푎 ≤ 2√−휎 .

ii. Memiliki tiga ekuilibrium jika 푎 > 2√−휎 .

Bukti :

1(a). Jika 휎 > 0 dan 휎 ≥ 휎 berlaku

i. Karena 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥), jika 푎 > −∞ dan 푎 < 푚푖푛 푓 (푥).

Maka 푎 hanya akan memotong kurva didaerah stabil dengan

kurva 푓 (푥), berarti untuk −∞ < 푎 < 푚푖푛 푓 (푥), permainan

hanya memiliki satu titik ekuilibrium.

ii. Karena 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥), jika 푎 = 푚푖푛 푓 (푥) maka 푎 akan

memotong grafik pada daerah stabil yaitu pada 푓 (푥) dan pada

푓 (푥). Maka untuk 푎 = 푚푖푛 푓 (푥) permainan akan memiliki dua

titik ekuilibrium.

iii. Karena 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥), jika 푎 > 푚푖푛 푓 (푥),

maka akan memotong 푓 (푥) pada daerah stabil, selanjutnya jika

푚푖푛 푓 (푥) pada 푥∗ > √휎 , untuk 푥 = √휎 berlaku 푓 (√휎 ) =

푓 (√휎 ), sehingga untuk 푎 > 푥∗ > √휎 maka a akan memotong

grafik 푓 (푥) dan 푓 (푥) sehingga untuk 푎 > 푚푖푛 푓 (푥) akan

memotong grafik 푓 (푥),푓 (푥), dan 푓 (푥). Sehingga diperoleh tiga

titik ekuilibrium.

1(b). Jika 휎 = 휎 > 0 berlaku

i. Andaikan 푓 (푥) punya minimum 푥∗ > √휎 , jika 푎 ≤ √휎 berarti

푎 berada dibawah grafik 푓 (푥) maka 푎 hanya akan memotong

grafik 푓 (푥) pada daerah stabil. Maka untuk 푎 ≤ √휎 permainan

akan memiliki satu titik ekuilibrium.

IV-19

ii. Andaikan 푓 (푥) punya minimum 푥∗ > √휎 , dan memenuhi

pertidaksamaan 푓 (푥) < 푓 (푥) < 푓 (푥) dan untuk 푥 = √휎 ,

memenuhi 푓 (√휎 ) = 푓 (√휎 ), maka untuk 푎 = 푥∗ > √휎 , garis

푎 akan memotong grafik 푓 (푥),푓 (푥),푓 (푥). Pada daerah stabil.

Sehingga untuk 푎 > √휎 permainan akan memiliki tiga titik

ekuilibrium.

2(a). Jika 휎 < 0 dan 휎 > 휎 berlaku

i. Berdasarkan lemma 1 dan 푓 (0) = √−휎 − √−휎 , jika 푎 >

푚푎푘푠 푓 (푥) dan 푎 ≤ 푓 (0), maka 푎 memotong grafik pada

daerah tidak stabil, sehingga tidak ada titik ekuilibrium.

ii. Karena 푓 (0) = √−휎 − √−휎 dan 푓 (0) = √−휎 + √−휎 , jika

푎 > 푓 (0) dan 푎 < −√−휎 + √−휎 , maka 푎 memotong grafik

didaerah stabil pada grafik 푓 (푥), maka permainan akan memiliki

satu titik ekuilibrium.

iii. Karena 푓 (0) = √−휎 + √−휎 dan 푓 (0) = √−휎 + √−휎 , jika

푎 > 푓 (0) dan 푎 < 푓 (0), maka 푎 akan memotong grafik 푓 (푥)

dan 푓 (푥) di daerah stabil. Sehinggga permainan akan memiliki

dua titik ekuilibrium.

iv. Karena 푓 (0) = √−휎 + √−휎 , jika 푎 < 푓 (0) maka 푎 akan

memotong grafik 푓 (푥),푓 (푥),푓 (푥) di daerah stabil. Sehingga

permainan akan memiliki tiga titik ekuilibrium.

2(b). jika 휎 = 휎 < 0 berlaku

i. Berdasarkan bagian 2.a, diketahui bahwa permainan tidak

memiliki titik ekuilibrium jika 푚푎푘푠 푓 (푥) < 푎 ≤ √−휎 −

√−휎 . Selanjutnya untuk 휎 = 휎 < 0 maka maksimum 푓 (푥)

sebagai berikut :

푓 (푥) = 푥 − 푥 − 휎 − 푥 − 휎 = 푥 − 2 푥 − 휎 ,

IV-20

Selanjutnya turunan pertama 푓 (푥) diperoleh,

푓 (푥) = − 2(푥 − 휎 ) + 2푥 −12

(푥 − 휎 ) 2푥

=−2(푥 − 휎 ) + 2푥 (푥 − 휎 )

(푥 − 휎 )

푓 (푥) =2(푥 − 휎 )

(푥 − 휎 ) (휎 )

Karena 휎 < 0 maka untuk 푥 . = ± didapat 푓 (푥) < 0, selanjutnya

berdasarkan Lemma 4.1, 푓 (푥) punya maksimum untuk 푥 > 0, maka 푓 (푥)

punya maksimum untuk 푥 = .

Sehingga nilai maksimum 푓 (푥) adalah :

푓 (푥) = 푥 − 2 푥 − 휎 =−3휎

3 − 2−3휎

3 − 휎 = −3휎

Selanjutnya untuk 푓 (0) dengan 휎 = 휎 < 0 diperoleh

푓 (0) = −휎 − −휎 = 0

Maka

푚푎푘푠 푓 (푥) < 푎 ≤ √−휎 + √−휎 ⇔ −3휎 < 푎 ≤ 0.

Permainan tidak punya titik ekuilibrium.

ii. Berdasarkan bagian 2.a, permainan akan memiliki ekuilibrium

jika

−√−휎 + √−휎 < 푎 ≤ √−휎 + √−휎 .

IV-21

Karena 휎 = 휎 maka

−√−휎 + √−휎 < 푎 ≤ √−휎 + √−휎

−√−휎 + √−휎 < 푎 ≤ √−휎 + √−휎

0 < 푎 ≤ 2√−휎 .

Maka untuk 휎 = 휎 permainan akan punya dua ekuilibrium jika

0 < 푎 ≤ 2√−휎 .

iii. Berdasarkan bagian 2.a, permainan akan memiliki tiga

ekuilibrium jika

푎 > √−휎 + √−휎 , karena 휎 = 휎 maka

√−휎 + √−휎 = √−휎 + √−휎 = 2√−휎 , diperoleh 푎 > 2√−휎 .

Sehingga permainan akan memiliki tiga ekuilibrium jika 푎 >

2√−휎 .

V-1

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

Mengakhiri penulisan Tugas akhir ini, penulis dapat menarik kesimpulan dan

saran berdasarkan pembahasan yang telah dipaparkan pada bab-bab sebelumnya.

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan penelitian dan pembahasan yang dilakukan pada bab IV, dapat

disimpulkan sebagai berikut :

1. Titik ekuilibrium 푥̅ dikatakan stabil jika ∀ 휀 > 0,∃ 훿 > 0 sehingga ‖푥 −

푥̅‖ < 훿 maka ‖푥(푡,푥 )− 푥̅‖ < 휀 untuk semua 푡 ≥ 0. Titik ekuilibrium 푥̅

dikatakan stabil asimtotik jika 푥̅ merupakan titik stabil dan ∃ 훿 > 0 sehingga

lim → ‖푥(푡, 푥 )− 푥̅‖ = 0 memenuhi ‖푥 − 푥̅‖ < 훿. Untuk kasus lain titik 푥̅

dikatakan tidak titik stabil jika tidak memenuhi definisi kestabilan.

2. Vektor kendali permainan dapat diperoleh jika dan hanya jika persamaan

aljabar Riccati (2.3)-(2.4) memiliki solusi (퐾 ,퐾 ), yang menyebabkan

퐴 − 푆 퐾 − 푆 퐾 menjadi stabil.

3. Persamaan aljabar Riccati :

푠 푥 + 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0

푠 푥 + 2푠 푥 푥 − 2푎푥 − 푞 = 0

Akan memiliki solusi (푥 ,푥 ) yang akan menghasilkan vektor kendali Nash,

yang dapat menstabilkan sistem permainan loop tertutup 푎 − 푠 푥 − 푠 푥

menjadi stabil atau −푠 푥 − 푠 푥 < 0 .

V-2

4. Persamaan 푎 − 푠 푥 − 푠 푥 < 0 merupakan syarat kestabilan, yang

menggambarkan daerah stabil dan daerah tak stabil. Umpan balik Nash dapat

diperoleh dari titik perpotongan kedua hiperbola pada daerah kestabilan.

5.2 Saran

Dalam skripsi ini penulis hanya menggunakan permainan Non-kooperatif

kontinu dua pemain dengan strategi Nash. Oleh karena itu, penulis menyarankan agar

pembaca dapat lebih lanjut menemukan strategi-strategi yang lebih optimal dari

strategi Nash.

DAFTAR PUSTAKA

Engwerda, Jacob, LQ Dynamic Optimization and Differensial Games, Tilburg University, the Netherlands. John Wiley and Sons, LTD, England. 2005.

Weber, J. E, Analisis Matematik Penerapan Bisnis dan Ekonomi, University of

Arizona, Erlangga, Jakarta. 1999. Engwerda, Jacob, Feedback Nash equlibria in the scalar infinite horizon LQ-

games, Tilburg University, the Netherlands. Wartono, dkk, Persamaan Diferensial Biasa dan Masalah Nilai Awal, UIN-Press

SUSQA, Pekanbaru. 2009. Purcell, Edwin J., Kalkulus 1. Hamline:Addison-Wesley. 2003.

Bartle, R.G. and Sherbert, D.R., Introduction to 1. Real Analysis, John Wiley. 1998.