0

MAKALAH

TRANSFORMASI

Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi

Dosen Pengampu : Ishaq Nuriadin M.Pd

Disusun oleh :

Niamatus Saadah 1201125122

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

2015

1

TRANSFORMASI

A. PENGANTAR

Suatu fungsi pada V adalah suatu padanan yang mengaitkan setiap anggota V dengan

satu anggota V.

Jika f adalah fungsi dari V ke V yang mengaitkan setiap x ∈ V dengan y∈ V maka

ditulis y = f(x) , x dinamakan prap

eta dari y oleh f, dan y dinamakan peta dari x oleh f. Daerah asal fungsi tersebut

adalah V dan daerah nilainya juga V. Fungsi yang demikian dinamakan fungsi pada f.

B. TRANSFORMASI

Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan

daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi

yang bersifat :

1. Surjektif, artinya : Jika T suatu transformasi, maka tiap titik B∈ V ada prapeta A ∈ V

sehingga B = T(A). B dinamakan peta dari A dan A dinamakan prapeta dari B.

2. Injektif, artinya : Jika 𝐴1 ≠ 𝐴2 dan T(𝐴1) = 𝐵1, T(𝐴2) = 𝐵2 maka 𝐵1 ≠ 𝐵2, atau

jika T(𝑃1) = 𝑄1 dan T(𝑃2) = 𝑄2 sedangkan 𝑄1 = 𝑄2 maka 𝑃1 = 𝑃2.

Pada contoh di bawah ini, anggaplah V adalah bidang Euclides, artinya pada

himpunan titik-titik V diberlakukan sistem axioma Euclides.

Contoh 1 :

Andaikan A ∈ 𝑉. Ada perpetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah nilai

juga V.

Jadi T : V V yang didefinisikan sebagai berikut :

1) T(A) = A

2) Apabila P A, maka T(P) = Q dengan Q titik tengah garis 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ . Selidiki apakah

padanan T tersebut suatu transformasi ?

2

Penyelesaian : A S = T(R) R

Q=T(P)

P

Jelas bahwa A memiliki peta, yaitu A sendiri.

Ambil sebarang titik R≠ 𝐴 pada V. Oleh karena V bidang Euclides, maka ada satu garis

yang melalui A dan R, jadi ada satu ruas garis 𝐴𝑅̅̅ ̅̅ sehingga ada tepat satu titik S dengan

S antara A dan R, sehingga AS = SR.

Ini berarti untuk setiap X ∈ V terdapat satu Y ∈ V dengan Y = T(X) yang memenuhi

persyaratan (2). Jadi daerah asal T adalah V.

1) Akan dibuktikan T surjektif.

Untuk menyelidiki ini cukuplah dipertanyakan apakah setiap titik di V memiliki

prapeta. Jadi apabila Y∈ 𝑉 apakah ada X ∈ 𝑉 yang bersifat T(X) = Y ?

Menurut ketentuan pertama, jika Y = A prapetanya adalah A sendiri, sebab T(A) = A.

Y = T(X)

A X

Apabila Y A, maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada X tunggal dengan X ∈

𝐴𝑌 ⃡ sehingga AY = YX.

Jadi Y adalah titik tengah 𝐴𝑋̅̅ ̅̅ yang merupakan satu-satunya titik tengah. Jadi Y =

T(X).

Ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. Dengan demikian dapat dikatakan

bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta. Jadi T adalah suatu padanan yang

surjektif.

2) Akan dibuktikan T injektif.

Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik 𝑃 ≠ 𝐴, 𝑄 ≠ 𝐴𝑑𝑎𝑛𝑃 ≠ 𝑄. P,Q,A tidak segaris

(kolinear). Kita akan menyelidiki kedudukan T(P) dan T(Q).

3

A

T(P) T(Q)

P Q

Andaikan T(P) = T(Q)

Oleh karena T(P) ∈ 𝐴𝑃 ⃡ 𝑑𝑎𝑛𝑇(𝑄) ∈ 𝐴𝑄 ⃡ maka dalam hal ini 𝐴𝑃 ⃡ 𝑑𝑎𝑛𝐴𝑄 ⃡ memilki dua

titik sekutu yaitu A dan T(P) = T(Q). ini berarti bahwa garis 𝐴𝑃 ⃡ 𝑑𝑎𝑛𝐴𝑄 ⃡ berimpit,

sehingga mengakibatkan bahwa 𝑄 ∈ 𝐴𝑃 ⃡ .

Ini berlawanan dengan pemisalan bahwa A, P, Q tidak segaris. Jadi pengandaian

bahwa T(P) = T(Q) tidak benar sehingga haruslah T(P) T(Q). Jadi, T injektif.

Dari uraian di atas tampak bahwa padanan T itu injektif dan surjektif, sehingga T adalah

padanan yang bijektif.

Dengan demikian terbukti T suatu transformasi dari V ke V. Ditulis T : V V.

Contoh 2 :

Pilihlah pada bidang Euclides V suatu sistem koordinat ortogonal. T adalah padanan yang

mengkaitkan setiap titik P dengan P’ yang letaknya satu satuan dari P dengan arah sumbu

X yang positif. Selidiki apakah T suatu transformasi ?

Penyelesaian :

Y

P P’

O X

Jika P = (x,y) maka T(P) = P’ dan P’=(x+1,Y).

Jelas daerah asal T adalah seluruh bidang V.

Adb T surjektif dan T injektif.

Misalkan A = (x,y).

4

Andaikan B= (x’, Y’).

(i) Jika B prapeta titik A(x,y) maka haruslah berlaku T(B) = (x’ +1, y’).

Jadi x’+1 = x, y’=y.

x’ = x - 1

atau

y’=y

Jelas T (x-1,y)=((x-1)+1,y)=(x,y).

Oleh karena x’, y’ selalu ada, untuk semua nilai x,y maka B selalu ada sehingga

T(B)=A.

Karena A sebarang maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T

surjektif.

(ii) Andaikan P(x1,y1) dan Q (x2,y2) dengan P≠Q.

Dipunyai T(P)= (x1+1,y1) dan T(Q)= (x2+1,y2).

Jika T(P)= T(Q), maka (x1+1,y1)= (x2+1,y2).

Jadi x1+1=x2+1, dan y1= y2. Ini berarti x1=x2 dan y1= y2.

Jadi P=Q.

Terjadi kontradiksi, sehingga pengandaian salah. Jadi haruslah T(P)≠T(Q).

Jadi T injektif.

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T adalah padanan yang bijektif.

Jadi T merupakan suatu transformasi dari V ke V.

5

PEMBAHASAN SOAL LATIHAN

1. Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang euclides V. A sebuah titik yang

terletakdi tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang

didefinisikan sebagai berikut:

Apabila gP maka hPAPTP )('

a) Apakah daerah nilai T ?

b) Apabila EDgEgD ,, , buktikan bahwa DEED '' ; )('),(' ETEDTD

c) Apakah T injektif

Penyelesaian :

a) Daerah nilai T adalah h

b) EDgEgD ,,

)('),(' ETEDTD

Lihat ∆ ADE dan segitiga ∆ AD’E’

𝑚(∠𝐷𝐴𝐸) = 𝑚(∠𝐷′𝐴𝐸′) (Bertolak belakang)

𝐷𝐴 = 𝐴𝐷′ (Karena A tengah-tengah 𝑔 dan ℎ)

𝐸𝐴 = 𝐴𝐸′ (Karena A tengah-tengah 𝑔 dan ℎ)

Diperoleh ∆𝐴𝐷𝐸 ≅ ∆𝐴𝐷′𝐸′ menurut definisi sisi sudut sisi.

Akibatnya 𝐷′𝐸 = 𝐷𝐸.

P’=T(P)

A

P g

h

D’

A

E g

h

D

E’

6

c) Akan dibuktikan T injektif

Ambil dua titik 𝑋 dan 𝑌 pada g, YX

Akan dibuktikan )()( YTXT

Andaikan 𝑇(𝑋) = 𝑇(𝑌)

Oleh karena hXAXT )( dan hYAYT )(

Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan 𝑇(𝑋) = 𝑇(𝑌).

Berarti garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat 𝑋 = 𝑌.

Ini suatu kontradiksi.

Jadi pengandaian salah, maka haruslah )()( YTXT

Jadi T injektif.

2. Diketahui sebuah titik K dan ruas garis AB , ABK dan sebuah garis g sehingga g //

AB dan jarak K dan AB , adalah dua kali lebih panjang dari pada jarak antara K dan

g. Ada padanan T dengan daerah asal AB dan daerah nilai g sehingga apabila

ABP maka gKPPPT ')( .

a) Apakah bentuk himpunan peta-peta P’ kalau P bergerak pada AB

b) Buktikan bahwa T injektif.

c) Apabila E dan F dua titik pada AB , apakah dapat dikatakan tentang jarak E’F’

jika E’ = T(E) dan F’=T(F)?

x’=T(x)

A

y g

h

x

y’=T(y)

7

Penyelesaian :

P’ g

K

A P B

a) ABK , g // AB , T: gAB

ABP maka gKPPPT ')(

gKPP '

sehingga gP'

Jadi bentuk himpunan peta-peta P’ adalah ruas garis pada g.

b) Akan dibuktikan T injektif

Ambil dua titik 𝑋 dan 𝑌 pada AB , YX

Akan dibuktikan )()( YTXT

Andaikan 𝑇(𝑋) = 𝑇(𝑌)

Oleh karena gKXXT )( dan gKYYT )(

Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan 𝑇(𝑋) = 𝑇(𝑌).

Ini berarti bahwa garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat 𝑋 = 𝑌.

Hal ini suatu kontradiksi.

Jadi pengandaian salah,maka haruslah )()( YTXT

Jadi T injektif

c) g

A B

E F

F’=T(F) E’=T(E)

K

8

Dipunyai 𝐸, 𝐹 ∈ 𝐴𝐵 ⃡ , maka 𝐸′, 𝐹′ ∈ 𝑔 sehingga 𝐸𝐹 ∕∕ 𝐸′𝐹′

Lihat∆𝐾𝐸′𝐹′ dan ∆𝐾𝐸𝐹

𝐹′𝐾

𝐹𝐾=

𝐸′𝐾

𝐸𝐾=

1

2

𝑚(∠𝐸𝐾𝐹) = 𝑚(∠𝐸′𝐾𝐹) (sudut − sudut bertolak belakang)

Diperoleh∆𝐾𝐸′𝐹′~∆𝐾𝐸𝐹 (S Sd).

Akibatnya :

𝐸′𝐹′

𝐸𝐹=

𝐸′𝐾

𝐸𝐾=

𝐹′𝐾

𝐹𝐾=

1

2

⇔ 𝐸′𝐹′ = 1

2 𝐸𝐹.

Jadi jarak E’F’ adalah 1

2 kali jarak EF.

3. Diketahui tiga titik A, R, S yang berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang

didefinisikan sebagai berikut:

T(A) = A, T(P) = P’ sehingga P titik tengah 'AP

a) Lukislah R’ = T(R)

b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S

c) Apakah T suatu transformasi?

Penyelesaian :

(a) dan (b)

c) Bukti :

(i) Akan dibuktikan T surjektif.

T surjektif jika ∀ 𝑌 ∈ 𝑉 terdapat prapeta 𝑋 sehingga 𝑌 = 𝑇(𝑋).

Jika 𝑌 = 𝐴 maka prapetanya adalah 𝐴 sendiri sebab 𝑇(𝐴) = 𝐴.

Apabila 𝑌 ≠ 𝐴 maka terdapat 𝑋 tunggal dengan 𝑋 ∈ 𝐴𝑌 ⃡ sehingga 𝐴𝑋 = 𝐴𝑌.

Diperoleh𝑋 adalah titik tengah 𝐴𝑌̅̅ ̅̅ . Artinya 𝑌 = 𝑇(𝑋).

Z S = T(Z)

P

P’ =T(P)

R

R’ =T(R)

A

9

Maka∀𝑌 ∈ 𝑉 terdapat prapeta 𝑋 sehingga 𝑌 = 𝑇(𝑋).

Jadi T Surjektif.

(ii) Akan diselidiki T injektif

Ambil titik 𝑃 ≠ 𝐴, 𝑄 ≠ 𝐴 dan 𝑃 ≠ 𝑄, 𝑃, 𝑄, 𝐴 tidak segaris.

Andaikan 𝑇(𝑃) = 𝑇(𝑄).

Oleh karena 𝑇(𝑃) ∈ 𝐴𝑃 ⃡ dan 𝑇(𝑄) ∈ 𝐴𝑄 ⃡ maka dalam hal ini 𝐴𝑃 ⃡ dan 𝐴𝑄 ⃡

memiliki dua titik sekutu yaitu 𝐴 dan 𝑇(𝑃) = 𝑇(𝑄).

Ini berarti bahwa garis 𝐴𝑃 ⃡ dan 𝐴𝑄 ⃡ berimpit, sehingga mengakibatkan 𝑄 ∈

𝐴𝑃 ⃡ . Dengan kata lain 𝑃, 𝑄, 𝐴 segaris.

Ini suatu kontradiksi dengan pernyataan 𝑃, 𝑄, 𝐴 tidak segaris.

Pengandaian salah, sehingga 𝑇(𝑃) ≠ 𝑇(𝑄).

Jadi T injektif.

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T surjektif dan T injektif.

Jadi T merupakan suatu transformasi.

4. Diketahui P = (0,0), C1 1|),( 22 yxyx

C2 25|),( 22 yxyx

T : C1 C2 adalah suatu padanan yang definisikan sebagai berikut : Apabila 1CX

maka 2')( CPXXXT

a) Apabila A = (0,1) tentukan T(A)

b) Tentukan prapeta dari B(4,3)

c) Apabila Z sebarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ’, dengan Z’ =

T(Z).

d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T , apakah dapat dikatakan tentang

jarak E’F’?

Penyelesaian :

Y

P

A

B(4,3)

E’

F’

X F

E

10

a) A = (0,1) maka T(A) = (0,5)

b) Perhatikan gambar di atas.

Lihat ∆ APC dan ∆𝑃𝑄𝐵.

𝑃𝐶

𝑃𝑄=

𝑃𝐴

𝑃𝐵=

𝐴𝐶

𝐵𝑄

𝑃𝐶

𝑃𝑄=

𝑃𝐴

𝑃𝐵⇔

𝑃𝐶

4=

1

5

⇔ 𝑃𝐶 =4

5

𝐴𝐶

𝐵𝑄=

𝑃𝐴

𝑃𝐵⇔

𝐴𝐶

3=

1

5

⇔ 𝐴𝐶 =3

5

Jadi prapeta B adalah A = (4

5,3

5).

c) Dipunyai 𝑍 ∈ daerah asal 𝑇.

Maka 𝑍 ∈ 𝐶1.

Berarti 𝑍 = (𝑥1, 𝑦1) dimana 𝑥12 + 𝑦1

2 = 1.

Jelas 𝑍𝑃 = √(𝑥1 − 0)2 + (𝑦1 − 0)2 = √𝑥12 + 𝑦1

2 = √1 = 1.

Selanjutnya 𝑍′ = 𝑇(𝑍).

Maka 𝑍′ ∈ 𝐶2.

Berarti 𝑍′ = (𝑥2, 𝑦2) dimana 𝑥22 + 𝑦2

2 = 25.

Jelas 𝑍′𝑃 = √(𝑥2 − 0)2 + (𝑦2 − 0)2 = √𝑥22 + 𝑦2

2 = √25 = 5.

Jelas 𝑃, 𝑍, 𝑍′ segaris.

𝑍′𝑃 = 𝑍′𝑍 + 𝑍𝑃

⟺ 5 = 𝑍′𝑍 + 1

⟺ 𝑍′𝑍 = 5 − 1

⟺ 5 = 𝑍′𝑍 + 1

P

A = prapeta B

C Q

B

11

⟺ 𝑍𝑍′ = 𝑍′𝑍 = 4

Jadi jarak 𝑍𝑍′ = 4.

d) Dipunyai 𝐸, 𝐹 ∈ 𝐶1, 𝐸 ≠ 𝐹

Maka panjang busur 𝐸𝐹

=𝑚(∠𝐸𝑃𝐹)

2𝜋. 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔𝐶1

=𝑚(∠𝐸𝑃𝐹)

2𝜋. 2𝜋. 1

= 𝑚(∠𝐸𝑃𝐹)

Selanjutnya 𝐸′ = 𝑇(𝐸) dan 𝐹′ = 𝑇(𝐹).

Maka panjang busur 𝐸′𝐹′

=𝑚(∠𝐸′𝑃𝐹′)

2𝜋. 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔𝐶2

=𝑚(∠𝐸′𝑃𝐹′)

2𝜋. 2𝜋. 5

= 5. 𝑚(∠𝐸′𝑃𝐹′).

Karena 𝑃, 𝐸, 𝐸′ segaris dan 𝑃, 𝐹, 𝐹′ segarismaka 𝑚(∠𝐸′𝑃𝐹′) = 𝑚(∠𝐸𝑃𝐹).

Sehingga,

𝐸′𝐹′ = 5. 𝑚(∠𝐸′𝑃𝐹′)

= 5. 𝑚(∠𝐸𝑃𝐹)

= 5. 𝐸𝐹

Jadi 𝐸′𝐹′ = 5𝐸𝐹

5. Diketahui f : V V. Jika P(x,y) maka f(P) =(|x|,|y|)

a) Tentukan f(A) jika A = (-3,6)

b) Tentukan semua prapeta dari titik B(4,2)

c) Apakah bentuk daerah nilai f?

d) Apakah f suatu transformasi?

Jawab :

a) A = (-3,6) maka f(A) = (|-3|,|6|) = (3,6)

b) Prapeta dari B(4,2) adalah (4,2),(4,-2),(-4,2),(-4,-2).

c) Daerah nilai f adalah himpunan semua titik-titik di Kuadran I.

d) Pilih𝐴1 = (4,2) ∈ 𝑉, 𝐴2 = (4, −2) ∈ 𝑉

12

Jelas 𝐴1 ≠ 𝐴2.

Maka𝑓(𝐴1) = (4,2) dan 𝑓(𝐴2) = (4,2).

Diperoleh 𝑓(𝐴1) = 𝑓(𝐴2).

Jadi terdapat 𝐴1 ≠ 𝐴2 dan 𝑓(𝐴1) = 𝑓(𝐴2).

Artinya f tidak injektif.

Karena f tidak injektif maka f bukan transformasi.

6. Diketahui fungsi g : sumbu X V yang didefinisikan sebagai berikut :

Apabila P(x,0) maka g(P) = (x,x2).

a) Tentukan peta A(3,0) oleh g.

b) Apakah R(-14, 196) daerah nilai g?

c) Apakah g surjektif?

d) Gambarlah daerah nilai g.

Jawab :

a) Peta A(3,0) oleh g.

A(3,0) maka g(A) = (3,(3)2) =(3,9).

b) Diketahui R(-14,196).

196 = (-14)2 + y

⇔ 196 = 196 + y

⇔ y = 0

Jelas VR , dan 𝑅 mempunyai prapeta yaitu 𝑃(−14,0) pada sumbu 𝑋.

Jadi 𝑅 ∈ daerah nilai 𝑔.

c) Ambil titik 𝐴′ ∈ 𝑉, maka 𝐴′(𝑎, 𝑏) dengan 𝑏 = 𝑎2.

Jelas terdapat 𝐴(𝑎, 0) sehingga𝑔(𝐴) = 𝐴′.

Jadi, g surjektif.

d)

(0,0) P(x,0)

g(P)=(x,x2)

13

7. T : V V, didefinisikan sebagai berikut : Apabila P(x,y) maka

i) T(P) = (x + 1, y), untuk x > 0

ii) T(P) = (x - 1, y), untuk x < 0

a) Apakah T injektif?

b) Apakah T suatu transformasi?

Jawab :

a) Ambil P(x1,y1) dan Q(x2,y2) sehingga QP

Akan dibuktikan )()( QTPT

Karena QP maka 21 xx atau 21 yy

(i) Untuk x > 0

T(P) = (x1+1, y1)

T(Q) = (x2+1, y2)

Jelas 11 2121 xxxx atau 21 yy

Jadi )()( QTPT

(ii) Untuk x < 0

T(P) = (x1-1, y1)

T(Q) = (x2-1, y2)

Jelas 11 2121 xxxx atau 21 yy

Jadi )()( QTPT

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T injektif.

b) Ambil P(x1,y1) dan Q(x2,y2) dengan P≠Q.

Akan dibuktikan T(P)≠T(Q).

Karena P ≠ Q maka x1 ≠ x2 atu y1 ≠ y2.

(i) Kasus x≥0

T(P) = (x1 + 1,y1)

T(Q) = (x2 + 1,y2)

Karena x1≠x2 maka x1+1 ≠ x2+1 dan y1≠y2.

Jadi T(P) ≠T(Q).

14

(ii) Kasus x<0

T(P) = (x1 - 1,y1)

T(Q) = (x2 - 1,y2)

Karena x1≠x2 maka x1 - 1 ≠x2 -1 dan y1≠y2.

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T tidak surjektif.

Karena T tidak surjektif maka T bukan suatu transformasi.

8. Diketahui sebuah garis S dan titik-titik A, B, C seperti dapat dilihat pada gambar di

bawah ini

A

B

C

S

T : V V didefinisikan sebagai berikut :

i. Jika P S maka T(P) = P

ii. Jika P S maka T(P) = P’, sedemikian hingga garis S adalah sumbu ruas 'PP

a) Lukislah A’ = T(A), B’ = T(B)

b) Lukislah prapeta titik C

c) Apakah T suatu transformasi ?

d) Buktikan bahwa A’B’ = AB

Penyelesaian :

a) dan b)

A B

A’

C

B’ C’

15

c) Akan ditunjukkan T surjektif dan T injektif.

Jelas setiap P pada V, ada prapeta P’, sehingga T(P) = P’.

Jika P ∈ S, maka P’ = P dan jika P ∉S maka P’ adalah cermin dari P terhadap

sumbu S.

Jadi T surjektif.

Untuk P ∈ S, Q ∈ S dan P≠Q, jelas P’ ≠Q’.

Untuk P ∉ S, ambil dua titik, A ,B ∉S, A ≠ B.

Kita akan menyelidiki kedudukan A’ dan B’.

Andaikan A’ = B’.

Karena S adalah sumbu ruas garis AA’ maka S tegak lurus AA’ dan karena S

adalah sumbu dari ruas garis BB’ maka S tegak lurus BB’.

Maka karena A’ = B’ dan kedua garis tegak lurus S, AA’ dan BB’ berimpit.

Akibatnya A =B.

Ini suatu kontradiksi, harusnya A’≠ B’.

Jadi T injektif.

Dengan demikian karena T injektif dan T surjektif, maka T suatu transformasi.

d) Akan dibuktikan A’B’=AB.

A

B

A’

S

B’

Misal 𝐷 titik potong garis 𝑆 dengan ruas garis 𝐴′𝐴̅̅ ̅̅̅ dan 𝐸 titik potong garis 𝑠

dengan ruas garis 𝐵′𝐵̅̅ ̅̅ ̅.

Lihat∆𝐴′𝐷𝐸 dan ∆𝐴𝐷𝐸.

𝐴′𝐷 = 𝐴𝐷 (menurut definisi 𝑠 adalah sumbu 𝐴′𝐴̅̅ ̅̅̅ sehingga 𝐷 tengah-tengah 𝐴′𝐴̅̅ ̅̅̅)

𝑚(∠𝐴′𝐷𝐸) = 𝑚(∠𝐴𝐷𝐸) = 900 (karena 𝑠 sumbu 𝐴′𝐴̅̅ ̅̅̅ maka 𝑠 ⊥ 𝐴′𝐴̅̅ ̅̅̅)

𝐷𝐸 = 𝐷𝐸 (berimpit)

D

E

16

Maka menurut teorema sisi-sudut-sisi ∆𝐴′𝐷𝐸 ≅ ∆𝐴𝐷𝐸.

Akibatnya 𝐴′𝐸 = 𝐴𝐸 dan 𝑚(∠𝐴′𝐸𝐷) = 𝑚(∠𝐴𝐸𝐷).

Lihat∆𝐴′𝐵′𝐸 dan ∆𝐴𝐵𝐸.

𝐴′𝐸 = 𝐴𝐸 (diketahui) …(i)

𝐵′𝐸 = 𝐵𝐸 (menurut definisi 𝑠 adalah sumbu 𝐵′𝐵̅̅ ̅̅ ̅ sehingga 𝐸

tengah-tengah 𝐵′𝐵̅̅ ̅̅ ̅) …(ii)

𝑚(∠𝐵′𝐸𝐷) = 𝑚(∠𝐵𝐸𝐷) = 900 (karena 𝑠 sumbu 𝐵′𝐵̅̅ ̅̅ ̅ maka 𝑠 ⊥ 𝐵′𝐵̅̅ ̅̅ ̅)

𝑚(∠𝐵′𝐸𝐴) = 𝑚(∠𝐵′𝐸𝐷) − 𝑚(∠𝐴′𝐸𝐷)

𝑚(∠𝐵𝐸𝐴) = 𝑚(∠𝐵𝐸𝐷) − 𝑚(∠𝐴𝐸𝐷) = 𝑚(∠𝐵′𝐸𝐷) − 𝑚(∠𝐴′𝐸𝐷)

Berakibat 𝑚(∠𝐵′𝐸𝐴) = 𝑚(∠𝐵𝐸𝐴) …(iii)

Dari (i),(ii) dan (iii) maka menurut teorema sudut-sisi-sudut ∆𝐴′𝐵′𝐸 ≅ ∆𝐴𝐵𝐸

Akibatnya 𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵