BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Standar · PDF filepersamaan dan pertidaksamaan, (3 ......

Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 1

BAB 1

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Standar Kompetensi

Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real )(R sebagai semesta

untuk menentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan, dapat mengembangkan

bentuk persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga mutlak serta menyatakan

selesaian persamaan dan pertidaksamaan dengan metode interval.

Kompetensi Dasar

Setelah mempelajari pokok bahasan persamaan dan pertidaksamaan diharapkan

mahasiswa:

1. Dapat menyatakan bilangan rasional baQ sebagai bentuk desimal berulang atau

sebaliknya.

2. Dapat menentukan selesaian persamaan.

3. Dapat menentukan selesaian pertidaksamaan.

4. Dapat menetukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga

mutlak.

Beberapa konsep yang dibahas dalam bab 1 adalah (1) sistem bilangan real, (2)

persamaan dan pertidaksamaan, (3) nilai mutlak, (4) persamaan dan pertidaksamaan

yang memuat nilai mutlak, dan (5) soal latihan.

1.1 Sistem Bilangan Real

Sebelum penulis menguraikan konsep sistem bilangan real )(R , terlebih dahulu

marilah kita ingat kembali konsep himpunan (set). Himpunan mempunyai peranan

sangat penting dalam memahami sistem bilangan real. Secara eksplisit himpunan

didefinisikan sebagai sekumpulan objek, unsur atau sesuatu yang mempunyai ciri-ciri,

kriteria dan syarat yang tertentu serta terdefinisi dengan jelas. Objek atau unsur sesuatu

himpunan A dinamakan anggota atau elemen. Anggota suatu himpunan dinyatakan

dengan ,....,,, dcba atau ,....4,3,2,1 sedangkan nama himpunan dinyatakan dengan huruf


kapital ,,,, DCBA dan seterusnya. Misal kita mendefinisikan suatu himpunan A

dengan menyatakan secara jelas anggota-anggotanya yang terdiri dari edcba ,,,, ,

himpunan A tersebut dapat ditulis dalam bentuk },,,,{ edcbaA dengan masing-

masing anggota himpunan A dipisahkan oleh tanda baca koma dan terdapat dua tanda

kurung { }. Jika himpunan A mempunyai anggota banyaknya tak hingga maka unsur-

unsurnya tidak ditulis semuanya akan tetapi cukup dituliskan beberapa anggotanya dan

titik-titik sebanyak 3 atau 5 , Jika a adalah anggota himpunan A maka pernyataan

tersebut ditulis dengan notasi Aa dan dibaca a anggota A. Jika a bukan anggota

himpunan A , maka dituliskan Aa dan dibaca “a bukan anggota A. Jika suatu

himpunan A tidak memiliki anggota, maka A disebut himpunan kosong, dan

dinyatakan dengan notasi atau { }.

Himpunan sebagai telah disebutkan di atas, dalam penulisannya dapat dilakukan

dengan dua metode, yaitu metode pencirian (notasi) dan metode perincian (tabulasi).

Metode pencirian dilakukan dengan cara menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki

oleh seluruh anggota suatu himpunan akan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang

bukan anggota himpunan tersebut. ,

Contoh:

1) }10{ darikurangprimabilanganyyA

2) }21{ dariganjilfaktorxxB

3) },1{ 2 primabilanganxxxC

4) }21{ darigenapfaktorxxD

5) }043{ 2 xxxE

6) }043{ 2 xxxF

7) }24{ xxG

8) }4),{( 22 yxyxH

9) }}3,2,1{{ darikuasahimpunanV

Metode perincian dilakukan dengan cara mendaftar seluruh anggota himpunan yang

memenuhi syarat dan ketentuan yang diberikan dalam suatu himpunan.

Contoh

1) ,...}5,4,3,2,1{A


2) },',,,,{ sabtuatjumkamisrabuselasaseninB

3) ,...}19,17,13,11,7,5,3,2{C

4) },,{ hijaukuningmerahD

5) }0{E

6) }{F

7) },1{ xG

8) ),...}4,3(),3,2(),2,1{(H

9) }}2,1{},2{},1{,{V

Misal A dan B suatu himpunan, himpunan A disebut himpunan bagian

himpunan B , ditulis dengan notasi BA , jika setiap anggota A merupakan anggota

B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa A untuk sebarang himpunan A.

Jika setiap anggota himpunan anggota A juga merupakan anggota setiap himpunan

B maka dinotasikan dengan BA

Selanjutnya untuk memudahkan para pembaca dalam memahami konsep sistem

bilangan real berikut ini diberikan beberapa bilangan dan himpunan bilangan yang pada

bab-bab selanjutnya dalam buku ini sering ditemukan. Bilangan dan himpunan bilangan

tersebut adalah:

1. Himpunan bilangan asli (Natural)

Himpunan bilangan asli biasanya dinotasikan dengan N dan anggota-anggota

bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... sehingga ,...}6,5,4,3,2,1{N

Bilangan asli tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk

setiap ba, bilangan asli maka )( ba dan ).( ba bilangan asli. Oleh karena itu,

himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem sistem bilangan asli.

2. Bilangan cacah (whole)

Bilangan cacah biasanya dinotasikan dengan W dan anggota-anggota bilangan cacah

adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., sehingga ,...}.6,5,4,3,2,1,0{W Bilangan cacah tertutup

terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap ba, bilangan

cacah maka )( ba dan ).( ba bilangan cacah.


3. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan lawan dari bilangan-

bilangan asli membentuk sistem bilangan bulat, Bilangan bulat biasanya dinotasikan

dengan Z yang anggota-anggotanya adalah ...-3, -2, -,1, 0, 1, 2, 3, ..., sehingga

,...}.3,2,1,0,2,2,3{... Z

4. Bilangan pecahan atau bilangan rasional (quotient) biasanya dinyatakan dengan Q .

Bilangan rasional adalah bilangan yang secara umum dinyatakan dengan

0,,. bZbabaQ

Contoh

1) 31

p

2) 112

q

3) 722

r

Bilangan-bilangan rasional di atas, dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan

desimal, yaitu

1) ...33333333,031p

2) ...142857142857142857,0112

q

3) ...571481428571428,3722

r

Jika kita cermati lebih mendetail, bilangan-bilangan desimal sebagai mana

tersebut di atas selalu berulang angka-angkanya, sehingga bilangan rasional juga disebut

bilangan desimal berulang. Sebaliknya bilangan desimal berulang dapat dinyatakan

sebagai bilangan rasional. Untuk menyatakan bentuk desimal menjadi bilangan rasioan

adalah dengan cara melihat angka yang berulang pada bilangan tersrsebut. Jika terdapat

1 angka yang berulang maka kalikan bilangan dimaksud dengan 110 . Jika terdapat 2

angka yang berulang maka kalikan bilangan tersebut dengan .102 dan seterusnya.

Selanjutnya cari selisih bilangan semula dengan bilangan yang baru. Dengan metode

perhitungan sederhana akhirnya diperoleh bilangan rasional yang dimaksud. Untuk

lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut ini.


Contoh:

Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bentuk rasional 0,,. bZbabaQ

1. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,12121212...

Jawab

Bilangan ...12121212,0 adalah bilangan desimal dengan 2 angka berulang yaitu

angka 1 dan 2 .

Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,1,212121212... adalah 2

angka, kalikan bilangan ...12121212,0 dengan bilangan 210 .

Misal ...12121212,0x , sehingga diperoleh

...212121212,1,12100 x

Akibatnya 12...)12121212,0(...)12.121212,12(100 xx

...)12121212,0(...)12.121212,12(10 xx

9912

1299

x

x

Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...12121212,0 adalah 9912

2. Tentukan bentuk rasional bilangan .....412333333,1

Jawab

Bilangan .....412333333,1 adalah bilangan desimal dengan 1 angka berulang yaitu

angka 3.

Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan .....412333333,1 adalah 1

angka, kalikan bilangan .....412333333,1 dengan bilangan 110 .

Misal ...4123333333,1x , sehingga diperoleh

...12333333,1410 x

Akibatnya ...)412333333,1(...)123333333,14(10 xx

9001271

971,1271,129

x

x

Sehingga bentuk rasional dari bilangan .....412333333,1 adalah 900

1271


3. Tentukan bentuk rasional bilangan ...2739826273273,0

Jawab

Bilangan ...2739826273273,0 adalah bilangan desimal dengan 3 angka berulang

yaitu angka 2,7, dan 3.

Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan ...2739826273273,0

adalah 3 angka, kalikan bilangan ...2739826273273,0 dengan bilangan 310 .

Misal

...2739826273273,0x

...35627327327,9821000 x

Akibatnya ...)32739825627327,0(...)35627327327,982(1000 xx

9990098158017

99958017,981

58017,981999

x

x

Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...2739826273273,0 adalah

9990098158017

4. Tentukan bentuk rasional bilangan ...2543120543125431,0

Jawab

Bilangan ...2543120543125431,0 adalah bilangan desimal dengan 4 angka

berulang yaitu angka 5, 4, 3, 2, dan 1.

Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan ...2543120543125431,0

adalah 4 angka, kalikan bilangan ...2543120543125431,0 dengan bilangan 410 .

Misal

...4310543154315,0x , sehingga diperoleh

....154315431,54310000 x

Akibatnya ...)4310543154315,0(...)154315431,543(10000 xx

999905421

99991,542

1,5429999

x

x

Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...4310543154315,0 adalah 999905421


5. Bilangan Irasional (_Q ) atau disebut juga bilangan tidak rasional yaitu bilangan yang

tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 0,,. bZbabaQ . Karena bilangan

rasional dapat dinyatakan dengan bilangan desimal yang angka-angkanya berulang,

maka bilangan irasional adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada

yang berulang. Bilangan irasional juga disebut dengan bilangan bentuk akar.

Persoalan dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai adanya bilangan-

bilangan irasional. Contoh bilangan irasional antara lain adalah 2 dan . Bilangan

2 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya

masing-masing adalah 1. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 1.1

Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi antara keliling sebarang lingkaran

dengan panjang garis tengah lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar 1.2

21

1

1d 2d

1l2l

2

2

1

1

dl

dl


Contoh

1) 2 = 1,41421356237...

2) 3 = 1,73205080756...

3) 11 = 3,316625790355...

4) π = 3.14159265358979….

5) e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…

Berdasarkan contoh di atas, tampak bilangan-bilangan dalam bentuk akar

umumnya adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang.

Sehingga bilangan akar juga disebut bilangan irasional. Dengan demikian apa yang

selama ini dianggap sama yaitu 722 = tidaklah selalu benar. Karena

722 adalah

bilangan rasional, sedangkan adalah bilangan irasional.

6. Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan bilangan rasional

membentuk himpunan semua bilangan real )(R , sehingga QQZWNR

Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali

digunakan cara desimal.

Contoh

Bilangan-bilangan 667dan,

35,

43 masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal

sebagai dan,...666,1,75,0 ....1060606,0 Dapat ditunjukkan bahwa bentuk

desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:

i. berhenti ( dst.81,

25,

43 ), atau

ii. berulang beraturan ( dst.,667,

35 ).

Sifat-sifat Sistem Bilangan Real

Untuk sebarang dcba ,,, bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1) Sifat komutatif

(i). abbaabba ..).ii(

2) Sifat asosiatif


cbacbacbacbacbacba

......).ii().i(

3) Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan

).().().( cabacba

4) (i). 0,1. bb

aba

(ii). 0,0,.

).().(

db

dbcbda

dc

ba

(iii). 0,0,... dbdbca

dc

ba

5) (i). ).().().( bababa

(ii). baba .)).((

(iii). aa )(

6) (i). 00

a, untuk setiap bilangan 0a .

(ii). 0a tak terdefinisikan.

(iii). 1aa , untuk setiap bilangan 0a .

7) Hukum kanselasi

(i). Jika cbca .. dan 0c maka ba .

(ii). Jika 0, cb maka ba

cbca

.

. .

8) Sifat pembagi nol

Jika 0. ba maka 0a atau 0b .

Sifat-sifat terurut bilangan Real

Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan

dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. Prinsip dapat diambil dari definisi,

aksioma, atau dalil-dalil yang “dimunculkan” kembali untuk digunakan pada bagian lain

suatu konsep yang memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika adalah prinsip

urutan (well ordering principle).


Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara bilangan-

bilangan real. Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat keterurutan adalah

mengidentifikasi suatu subset khusus dari R dengan menggunakan gagasan

“kepositipan”.

Definisi

Misalkan P himpunan bagian R dan P . Untuk selanjutnya P disebut bilangan real

positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:

(1) Jika Pba , maka Pba )(

(2) Jika Pba , maka Pba ).(

(3) Jika Ra , maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi

PaaPa ,0,

Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi

penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut sifat trikotomi

karena membagi R menjadi 3 jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa }{ Paa

dari bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan dengan ,P dan

selanjutnya himpunan R merupakan gabungan dari tiga himpunan yang saling asing.

Definisi

1) Jika Pa , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real positip kuat

(strictly positip) dan dituliskan dengan 0a , Jika }0{ Pa , maka a disebut

bilangan real tidak negatip dan dituliskan dalam bentuk 0a .

2) Jika Pa , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real negatip kuat

(strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk 0a , Jika }0{ Pa , maka a

disebut bilangan real tidak positip dan dituliskan dalam bentuk .0a

3) Jika Rba , dan jika Pba maka dituliskan dalam bentuk ba atau .ab

4) ika Rba , dan jika }0{ Pba maka dituliskan dalam bentuk ba atau

ab .

Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan cba yang berarti ba dan

cb . Demikian juga jika cba yang berarti ba maka cb dan seterusnya.

Berikut ini diberikan beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan


Teorema 1

Misalkan Rcba ,,

1. Jika ba dan cb maka ca .

2. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi

bababa ,,

3. Jika ba dan ba maka ba

Bukti

1) ba maka menurut definisi 0 ba atau Pba

cb maka menurut definisi 0 cb atau Pcb

Karena Pba dan Pcb maka menurut definisi diperoleh

Pcbba )()(

sehingga Pca atau ca

2) Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari yang berikut

mungkin terjadi

0 ba , atau 0 ba atau 0)( ba sehingga ba atau

ba atau ba

3) Jika ba , maka 0 ba , sehingga dari bukti (b) kita dapatkan

Pba atau Pcb yakni ba atau ab . Dalam kasus lainnya salah

satu dari hipotesisi tersebut kontradiksi. Jadi haruslah ba

Teorema 2

1. Jika Ra dan 0a maka .02 a

2. 01

3. Jika Nn maka 0n

Bukti

1. Dengan sifat trikotomi jika 0a , maka Pa atau Pa . Jika Pa maka

dengan definisi kita mempunyai aaa .2 , untuk Pa . Dengan cara yang sama

Jika -a P maka dengan definisi sebelumnya diperoleh bentuk

Paaa ))(()( 2 . Berdasarkan teorema sebelumnya berakibat bahwa:

2)1)(1()1()1())(( aaaaa . Akibatnya bahwa Pa 2 . Jadi kita

simpulkan bahwa jika Pa , maka 02 a .


2. Karena 2)1(1 , menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa 1 > 0.

3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan ini.

Pernyataan tersebut benar untuk 1n yakni 1 > 0. Selanjutnya kita anggap benar

untuk kn , dengan k bilangan asli.

Karena 1 > 0 dan P1 , maka Pk 1 , sehingga pernyataan di atas benar adanya

dengan menggunakan definisi sebelumnya.

Teorema 3

Misalkan Rcba ,,

1. Jika ba , maka cbca

2. Jika ba , dan cb maka dbca

3. Jika ba , 0c maka bcac

4. Jika ba , 0c maka bcac

5. Jika 0a maka 01

a

6. Jika 0a maka 01

a

Bukti teorema di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Karena ba berarti menurut definisi sebelumnya 0 ba . Karena 0 ba

sehingga Pba .

)()()( ccbaba

)()()()( cbcaccba

Sehingga Pcbca )()( . Dengan kata lain 0)()( cbca

Karena 0)()( cbca berarti )()( cbca

2. Karena ba dan dc berarti 0 ba dan 0 dc .

Hal ini berarti Pba dan Pdc .

Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh

Pdcba )()( . Dengan kata lain 0)()( dcba , atau

0)()( dcba sehingga berlaku )()( dcba

3. Karena ba dan dc berarti 0 ba dan 0 dc .

Hal ini berarti Pba dan Pdc .



Pcba )( . Dengan kata lain Pbcac )( , atau

0)( bcac sehingga berlaku bcac

4. Karena ba dan 0c berarti 0 ba dan 0c atau 0)( c .

Hal ini berarti Pba dan Pc .


Pcba ))(( . Dengan kata lain Pacbc )( , atau

Pacbc )( sehingga berlaku acbc

5. Jika 0a maka 0a (berdasarkan sifat trikotomi). Karena 0a , berdasarkan

sifat sebelumnya maka berlaku ,01

a Jika 01

a

, berdasarkan teorema

sebelumnya diperoleh 011

aa .

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah

01

a

6. Jika 0a , maka 0a (berdasarkan sifat trikotomi). Karena 0a , berdasarkan

sifat sebelumnya maka maka berlaku ,01

a Jika

01

a, berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 011

aa

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah

01

a

Teorema 4

Jika Rba , , maka bbaa 21

Bukti.

Karena ba , maka dapat diperoleh baaa atau baa 2

Demikian pula ba maka dapat diperoleh bbba atau bba 2

Dari ketaksamaan baa 2 dan bba 2 didapatkan

bbaa 2


bbbaaa )2(21)(

21)2(

21

bbaa )(21

Akibat dari teorema di atas adalah:

jika Ra dan 0a maka bbaa )(21

Soal-soal

1) Misalkan Rdcba ,,, buktikan pernyataan berikut:

a) Jika cbba , maka bdacbcad

b) Jika ba dan dc maka dbca

c) 022 ba jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0

2) Carilah bilangan Rdcba ,,, yang memenuhi ba 0 dan 0 da dan

berlaku

a) bdac

b) bdac .

3) Tentukan bilangan real x , sedemikian sehingga:

a) 432 xx

b) 41 2 x

c) xx

1

d) 721

x

e) 32

1

x

Garis Bilangan

Secara geometris, sistem bilangan real )(R dapat digambarkan dengan garis

lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini

dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama

dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O.

Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat dipasangkan dengan


masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan ...,3,2,1 dengan titik-titik

di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk

bilangan-bilangan ,2,32,

21 dst.

Perhatikan gambar berikut.

Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik

pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu

bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula garis bilangan real.

1.2 Persamaan dan Pertidaksamaan

Istilah persamaan dan pertidaksamaan pada umumnya berhubungan dengan

peubah atau variabel. Peubah adalah lambang yang digunakan untuk menyatakan

sebarang anggota suatu himpunan. Jika anggotanya himpunan bilangan real maka

perubahnya disebut peubah real. Selanjutnya yang dimaksud dengan peubah dalam

persamaan dan pertidaksamaan yang akan dibahas dalam buku ini adalah peubah real.

Persamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peubah

atau lebih dengan tanda sama dengan (=).

Contoh

1) 432 x

2) 72 23 xx

3) 0432 xx

4) 312

x

x

5) 21

xx

x

6) 084 xx

7) 023 zzz

8) 0)8126( 234 zzzz

2 1 0 1 2 3

Gambar 1.3

21


9) 0)( 24 zz

10) 0)412136( 234 zzzz

11) 0)16249( 246 zzz

12) 0)( 68 zz

13) 0)64( 23 z

14) 01202742258515 2345 zzzzz

15) 04423 zzz

16) 0)( 4 zz

17) 0)52( 52 zz

18) 0)365( 24 zz

19) 04875 2345 zzzzz

20) 0133 23 zzz

21) 0)3)(44( 2 zzz

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu

peubah atau lebih dan tanda ketidaksamaan (<, >, , ).

Contoh

1) 432 x

2) 32 23 xx

3) 522 23 xx

4) 822 xx

5) 02

3

x

6) 312

x

x

7) 21

xx

x

8) 41

1 x


Karena persamaan dan pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka dan mempunyai

peubah, maka peubah tersebut dapat ditentukan sehingga memenuhi persamaan atau

pertidaksamaan dimaksud, sehingga persamaan atau pertidaksamaan mempunyai arti

dan bernilai benar. Nilia peubah yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaa disebut

selesaian. Himpunan semua bilangan real yang merupakan selesaian dari suatu

persamaan atau pertidaksamaan disebut himpunan selesaian. Sifat-sifat dan hukum

dalam bilangan real R sangat membantu dalam menentukan selesaian persamaan atau

pertidaksamaan yang diberikan.

Contoh

Tentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini.

1) 342 x

Jawab

342 x

27

27

22

7243442

x

xxx

Jadi selesaian persamaan 342 x adalah x = 27

2) 0432 xx

Jawab

0432 xx

140)1(0)4(

0)1)(4(0432

xatauxxataux

xxxx

Jadi selesaian persamaan 0432 xx adalah 1x atau 1x

3) Tentukan selesaian pertidaksamaan 7552 xx .

Jawab


4)31.(12)31.(3

12355755552

7552

xxx

xxxxxx

Jadi, selesaian pertidaksamaan 7552 xx .adalah x > -4

Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan

pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh di atas.

Beberapa contoh diberikan sebagai berikut.

1) Tentukan selesaian 0652 xx

Jawab

Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:

032 xx

Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor

positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,

(i). Jika ke dua faktor positif maka:

3dan2

03dan02

xxxx

Sehingga diperoleh: 3x .

(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:

3dan2

03dan02

xxxx

Diperoleh: 2x .

Jadi, selesaian persamaan 0652 xx adalah x < 2 atau x > 3.

Selesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: Ruas kiri

pertidaksamaan bernilai nol jika 3atau2 xx . Selanjutnya, ke dua bilangan ini

membagi garis bilangan menjadi 3 bagian: 3dan,32,2 xxx .

0 2 3 4

x<2 2<x<3 x>3


Gambar 1.4

Pada bagian 2x , nilai )3(dan)2( xx keduanya nega tif, sehingga hasil kali

keduanya positif. Pada segmen 32 x , )2( x bernilai positif sedangkan )3( x

bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian

3x , )3(dan)2( xx masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya

juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel berikut.

Tanda nilai

Kesimpulan 2x 3x )3)(2( xx

2x - - + Pertidaksamaan dipenuhi

32 x

+ - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi

3x + + + Pertidaksaman dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah 2x atau 3x .

Metode penyelesaian seperti pada contoh 1 di atas dapat pula diterapkan pada

bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk

pecahan.

2) 112 23 xxx .

Jawab

Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh:

0)2)(1)(1(

022 23

xxx

xxx

Jika 0)2)(1)(1( xxx , maka diperoleh: 2atau,1,1 xxx .

Selanjutnya, perhatikan table berikut:

Nilai-nilai peubah 2,1,1 xxx disebut titik kritis.

Tanda nilai/nilai

Kesimpulan 1x 1x 2x )2)(1)(1( xxx

1x - - - - Pertidaksamaan dipenuhi


11 x + - - + Pertidaksamaan tidak dipenuhi

21 x + + - - Pertidaksamaan dipenuhi

2x + + + + Pertidaksamaan tidak dipenuhi

1x 0 -2 -3 0 Pertidaksamaan dipenuhi

1x 2 0 -1 0 Pertidaksamaan dipenuhi

2x 3 1 0 0 Pertidaksamaan dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan 112 23 xxx x 1 atau 1 2 x .

Cara lain untuk menentukan selesaian pertidaksamaan 112 23 xxx .

adalah dengan menggunakan garis bilangan

2,1,1

,0)2)(1)(1(0112

11223

23

xdanxxadalahmaanpertidaksakritistitikSehingga

xxxxxx

xxx

Dengan memilih satu titik sebarang disetiap interval diatas diperoleh:

- - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + +

Berdasarkan garis bilangan di atas selesaian pertidaksamaan adalah

x 1 atau 1 2 x .

3) 1282

x

xx .

Penyelesaian

Apabila pada ke dua ruas ditambahkan )1( x maka diperoleh:

02

)2)(5(

02

103

02

2820)1(282

2

2

xxx

xxxx

xxxxxx

1 1 2


Nilai nol pembilang adalah 5dan2 , sedangkan nilai nol penyebut adalah 2.

Sekarang, untuk mendapatkan nilai x sehingga 02

)2)(5(

xxx diperhatikan tabel

berikut:

Tanda nilai/nilai Kesimpulan 2x 2x 5x

2)5)(2(

xxx

2x - - - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi

22 x + - - + Pertidaksamaan dipenuhi

52 x + + - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi

5x + + + + Pertidaksamaan dipenuhi

2x 0 -4 -7 0 Pertidaksamaan dipenuhi

2x 4 0 -3 Tidak terdefinisi

Pertidaksamaan tidak dipenuhi

5x 7 3 0 0 Pertidaksamaan dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah 522 xataux dan ditulis dengan

notasi interval ~),5[)2,2[

Berdasarkan contoh di atas, bahwa tampak selesaian suatu persamaan berupa titik

(diskrit), sedangkan selesaian pertidaksamaan berupa selang/interval (kontinu).

Selang

Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan ba . Berturut-turut

didefinisikan:

axxaaxxa

axxaaxxa

bxaxbabxaxba

bxaxbabxaxba

)~,(]~,(

~),(~),[

],(),[

),(],[


1.3 Nilai Mutlak

Misal x suatu bilangan real, nilai mutlak x dinotasikan dengan x dan

didefinisikan sebagai panjang atau jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Definisi

Misal x real maka:

0,0,

xuntukxxuntukx

x

Bentuk lain dari definisi di atas adalah sebagai berikut:

2xx .

Contoh

88 , 25

25 , 33 , 2)2(2 ,

72

72

72

dst.

Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.

Sifat-sifat Nilai Mutlak

1. Jika Ryx , maka:

a) 0x

b) 00 xx

c) yxyx ..

d) 0, yasalyx

yx

e) yxyx (Ketaksamaan segitiga)

f) yxyx

Secara geometris, nilai mutlak ax dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai

contoh, jika 73 x maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah

kiri 3 (lihat Gambar 1.15).

4 3 10

7 unit 7 unit


Jadi selesaian 73 x adalah 10,4 .

Dengan mengingat nilai mutlak sebelumnya kiranya mudah dipahami sifat

berikut:

2. Jika 0a , maka: axaxax atau .

Contoh,

4atau4berarti4 xxx

35atau

35

53atau5353

xx

xxx

Dengan cara yang sama

2atau542atau102732atau732berarti732

xxxx

xxx

3. Jika 0a , maka:

a) axaax .

b) axaxax atau .

Contoh

Tentukan selesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak di bawah ini:

1) Selesaikan 732 x .

Jawab

5atau2102atau42

732atau732732

xxxx

xxx

Jadi selesaian pertidaksamaan adalah 52 xataux

2) Tentukan semua nilai x yang memenuhi 32

2

xx .

Gambar 1.5


Jawab

3

22dan3

22

32

2332

2

xx

xx

xx

xx

Selanjutnya, karena:

2atau56

0265

032

232

2).i(

xx

xx

xx

xx

6atau2

026

032

232

2).ii(

xxxx

xx

xx

maka, diperoleh: 6atau56

xx .

3) Tentukan selesaian 24 xx .

Jawab:

(i). Apabila 02 x , maka selalu berlaku 24 xx untuk setiap x. Sehingga

diperoleh: 2x .

(ii). Jika 02 x , maka:

322,62

2,24atau2424

xxx

xxxxxxx

Dari (i) dan (ii), diperoleh 3x .

4) Tentukan selesaian 32

2

xx .

Jawab

Berdasarkan nilai mutlak dperoleh:


2,656

2,06652,036365

2,4494

02,23232

23

22

2

22

xx

xxxxxx

xxxx

xxxataux

xx

x

Jadi selesaian pertidaksamaan adalah 6,22,56

.

4. 22 yxyx

Contoh

Tentukan selesaian dari pertidaksamaan

a. 321 xx

Jawab

Menurut sifat 4 di atas, maka:

321 xx

621 xx

0)5)(73(035223

3624412)62()1(

2

22

22

xxxx

xxxxxx

Titik kritis pertidaksamaan adalah 37

x dan 5x sehingga gambar garis bilangan

+++++++++++ - - - - - - - - - - - - - +++++++

Jadi selesaian pertidaksamaan 321 xx adalah ~),5()57~,(

1.4 Soal Latihan

Tentukan selesaian pertidakasamaan dibawah ini!

1. 254 x 2. 4936 xx 3. 253 x

5/7 5


4. 01452 xx 5. 1032 xx 6. 0123 xx

7. 1312

xx 8. 5

22

x

9. 1

23

xx

10. xx

x 3124

11. x

xx

5

2 12. 21273

xx

13. 43 x 14. 523 x 15. 7321 x

16. 21

x 17. 32

x

18. 21

x

x

19. 2112

xx 20. 32 xx 21. xx 21

Untuk soal 22 – 24 tentukan x sehingga masing-masing pernyataan mempunyai arti.

22. 532 2 xx 23.82

122

xx

x 24.3

2

321

xx

25. Jika 21 ax dan 31 ay maka tunjukkan 65 yx .

26. Jika ba maka tunjukkan bahwa bbaa

2

. Bilangan 2

ba disebut rata-rata

aritmatika dari bilangan a dan b.

27. Jika ba 0 maka tunjukkan bahwa baba . Bilangan ab disebut rata-rata

geometri dari bilangan a dan b. Tunjukkan pula bahwa rata-rata geometri dari

bilangan a dan b kurang dari rata-rata aritmatikanya.

28. Tunjukkan bahwa yxyx .

29. Jika 0, ba dan ba maka tunjukkan ba11

.

30. Jika ba dan 0c , tunjukkan bcac .

BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Standar · PDF filepersamaan dan pertidaksamaan, (3 ......

Documents

Transcript of BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Standar · PDF filepersamaan dan pertidaksamaan, (3 ......