Bab 1 kesalahan&diferensial.docx

8/16/2019 Bab 1 kesalahan&diferensial.docx

1/18

I. PENDAHULUAN

1.1. Umum

Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-

permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi

hitungan (arillimetic). Berbagai permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan

dan teknologi dapat digambarkan dalam bentuk persamaan matematik. Apabila

persamaan tersebut mempunyai bentuk sederhana, penyelesaiannya dapat

dilakukan secara analitis. etapi pada umumnya bentuk persamaan sulit

diselesaikan secara analitis, sehingga penyelesaiannya dilakukan secara numeris.

!asil dari penyelesaian numeris merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari

penyelesaian analitis atau eksak. "arena merupakan nilai pendekatan, maka

terdapat kesalahan terhadap nilai eksak. #ilai kesalahan tersebut harus cukup

kecil terhadap tingkat kesalahan yang ditetapkan.

$alam metode numerik terdapat beberapa bentuk proses hitungan atau

algoritma untuk menyelesaikan suatu tipe persamaan matematis. !itungan

numerik dapat dilakukan dengan menggunakan salah satu dari bentuk proses

hitungan yang paling efisien yang memerlukan %aktu hitungan paling cepat.

&perasi hitungan dilakukan dengan iterasi dalam 'umlah yang sangat banyak dan

berulang-ulang. &leh karena itu diperlukan bantuan komputer untuk

melaksanakan operasi hitungan tersebut. anpa bantuan komputer metode

numerik tidak banyak memberikan manfaat.

Metode numerik sudah cukup lama dikembangkan, namun pemakaiannya

dalam permasalahan yang ada di berbagai bidang belum meluas. !al ini

disebabkan karena pada masa tersebut alat bantu hitungan yang berupa komputer belum banyak digunakan secara meluas. Beberapa tahun terakhir ini

perkembangan kemampuan komputer sangat pesat dan harganyapun semakin

ter'angkau, sehingga ter'adi peningkatan pemakaian metode numerik untuk

menyelesaikan berbagai permasalahan. aat ini metode numerik telah

berkembang dengan pesat dan merupakan alat yang sangat ampuh untuk me-

nyelesaikan permasalahan dalam berbagai bidang. Metode numerik mampu


2/18

menyelesaikan suatu sistem persamaan yang besar, tidak linier dan sangat

kompleks yang tidak mungkin diselesaikan secara analitis.

Meskipun metode numerik banyak dikembangkan oleh para ahli mate-

matika, tetapi ilmu tersebut bukan hanya milik mereka. Berbagai masalah yang

ada dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan dapat digambarkan dalam bentuk

matematik dari berbagai fenomena yang berpengaruh. Misalnya gerak air dan

polutan di saluran, sungai dan laut, aliran udara, perambatan panas, defleksi suatu

plat dan balok, dan sebagainya dapat digambarkan dalam bentuk matematik.

Biasanya fenomena yang berpengaruh tersebut cukup banyak dan sangat

kompleks, dan untuk menyederhanakannya dilakukan beberapa anggapan

sehingga beberapa fenomena yang kurang berpengaruh dapat diabaikan.

Meskipun telah dilakukan penyederhanaan, namun sering persamaan tersebut

tidak bisa diselesaikan secara analitis. Untuk itu maka diperlukan metode

numerik untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

1.2 Kesalahan (error )

enyelesaian secara numeris dari suatu persamaan matematik hanya

memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari

penyelesaian analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat

kesalahan terhadap nilai eksak. Ada tiga macam kesalahan yaitu kesalahan

ba%aan, kesalahan pembulatan dan kesalahan pemotongan.

"esalahan ba%aan adalah kesalahan dari nilai data. "esalahan tersebut bisa

ter'adi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau

kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data

yang diukur.

"esalahan pembulatan ter'adi karena tidak diperhitungkannya beberapa

angka terakhir dari suatu bilangan. "esalahan ini ter'adi apabila bilangan

perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak. uatu bilangan

dibulatkan pada posisi ke n dengan membuat semua angka di sebelah kanan dari

posisi tersebut nol. edang angka pada posisi ke n tersebut tidak berubah atau

dinaikkan satu digit yang tergantung apakah nilai tersebut lebih kecil atau lebih

besar dari setengah dari angka posisi ke n.


3/18

ebagai contoh, nilai*

+/0 dapat dibulatkan men'adi +222

,11/3 dapat dibulatkan men'adi ,1

1.3 Kesalahan Absolut dan Relatif

!ubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat diberikan

dalam bentuk berikut ini.

p = p* + E e

dengan *

p * nilai eksak

p* : nilai perkiraan

E e * kesalahan terhadap nilai eksak

4ndeks e menun'ukkan bah%a kesalahan dibandingkan terhadap nilai eksak.

$ari bentuk persamaan di atas dapat disimpulkan bah%a kesalahan adalah

perbedaan antara nilai eksak dan nilai perkiraan, yaitu *

E e = p - p* (1.1)

Bentuk kesalahan seperti diberikan oleh ersamaan (1.1) disebut dengan

esalahan absolut. "esalahan absolut tidak menun'ukkan besarnya tingkat

kesalahan. ebagai contoh, kesalahan satu sentimeter pada pengukuran pan'ang

pensil akan sangat terasa dibanding dengan kesalahan yang sama pada

pengukuran pan'ang 'embatan.

Besarnya tingkat kesalahan dapat dinyatakan dalam bentuk kesalahan

relatif, yaitu dengan membandingkan kesalahan yang ter'adi dengan nilai eksak.

εe= Ee

p

(1.)

dengan εe adalah kesalahan relatif terhadap nilai eksak.

"esalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen seperti berikut ini.

εe= Ee

p x 100 (1.)


4/18

$alam ersamaan (1.1), (1.) dan (1.) kesalahan dibandingkan terhadap

nilai eksak. #ilai eksak tersebut hanya dapat diketahui apabila suatu fungsi bisa

diselesaikan secara analitis. $alam metode numerik, biasanya nilai tersebut tidak

diketahui. Untuk itu kesalahan dinyatakan berdasarkan nilai perkiraan terbaik dari

nilai eksak, sehingga kesalahan mempunyai bentuk berikut*

εa= E a

p¿ x 100 (1.)

dengan*

E a * kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik

p* * nilai perkiraan terbaik.

4ndeks a menun'ukkan bah%a kesalahan dibandingkan terhadap nilai

perkiraan (approximate value).

$i dalam metode numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteratif. ada

pendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan

sebelumnya. $alam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan

sebelumnya dan perkiraan sekarang, dan kesalahan relatif diberikan oleh bentuk

berikut*

P∗¿n+1 x 100

P∗¿n+1− P∗¿n

¿¿

ε a=¿

(1-/)

dengan

5n * nilai perkiraan pada iterasi ke n

5n61 * nilai perkiraan pada iterasi ke n 61

!ontoh 1


5/18

engukuran pan'ang 'embatan dan pensil memberikan hasil 3333 cm dan 3

cm. Apabila pan'ang yang benar (eksak) berturut-turut adalah 12.222 cm dan 12

cm, hitung kesalahan absolut dan relatif.

Pen"elesaian

a. "esalahan absolut

- 7embatan*

E e 8 12.222 - 3333 8 1 cm

- ensil*

E e = 12 - 3 8 1 cm

b. "esalahan relatif

- 7embatan*

εe= Ee

p x 100=

1

10.000 x 100=0,01

- ensil*

εe=1

10 x 100=10

9ontoh tersebut menun'ukkan bah%a meskipun kedua kesalahan adalah

sama yaitu 1 cm, tetapi kesalahan relatif pensil adalah 'auh lebih besar.

"esimpulan yang dapat diambil bah%a pengukuran 'embatan memberikan hasil

yang baik (memuaskan), sementara hasil pengukuran pensil tidak memuaskan.

!ontoh 2

!itung kesalahan yang ter'adi dari nilai e x dengan : 8 2,/ apabila hanya

diperhitungkan beberapa suku pertama sa'a. #ilai eksak dari e2,/ 8 1,+0101.

Pen"elesaian

Untuk menun'ukkan pengaruh hanya diperhitungkannya beberapa suku pertama

dari deret terhadap besarnya kesalahan pemotongan, maka hitungan dilakukan

untuk beberapa keadaan. "eadaan pertama apabila hanya diperhitungkan satu

suku pertama, keadaan kedua hanya dua suku pertama, dan seterusnya sampai


6/18

memperhitungkan suku pertama. #ilai e x dapat dihitung berdasarkan deret

berikut ini.

e x

=1+

x+

x2

2!+

x3

3 !+

x4

4 !+… … .

a. $iperhitungkan satu suku pertama *

e x

≈1

"esalahan relatif terhadap nilai eksak dihitung dengan ersamaan (1.)*

εe= Ee

p x 100=

1,648721271−11,648721271

x 100=39,35

b. $iperhitungkan dua suku pertama *

e x=1+ x

untuk : 82,/ maka *

e0,5=1+0,5=1,5

"esalahan reletif terhadap nilai eksak adalah*

εe=1,648721271−1,51,648721271 x 100=9,02

"esalahan berdasarkan perkiraan terbaik dihitung dengan ersamaan (1.) *

εa= E a

P¿ x 100 =

1,5−11,5

x 100 =33,33

c. $iperhitungkan suku pertama *

e x=1+ x+ x2

2!=1+0,5+ 0,5

2

2 =1,625

εe=1,648721271−1,625

1,648721271 x 100=1,44

εa= E a

P¿ x 100 =

1,625−1,51,625

x 100 =7,69

!itungan dilan'utkan dengan memperhitungkan sampai suku pertama, dan

hasilnya diberikan dalam abel 1.1.

abel 1.1


7/18

uk

u

!asil εe (;) εa (;)

1

/

1

1,/

1,/

1,/+

1,+0/22

1,+30310

3,

3,2

1,

2,10/

2,210

2,221

-

,

0,3

1,0

2,1/+

2,21/+


8/18

atau

1.. $eret aylor

1...1. ersamaan deret aylor

$eret aylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode

numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial. 7ika suatu fungsi f(x)

diketahui di titik x i dan semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik

tersebut, maka dengan deret aylor (ersamaan 1.) dapat dinyatakan nilai f pada

titik x i+1 yang terletak pada jarak ∆ x dari titik xi .


9/18

atau

> n * kesalahan pemotongan

? * operator factorial, misalkan ? 8 1 : :

$alam ersamaan (1.) kesalahan pemotongan $n diberikan oleh bentuk berikut

ini.

Rn= f n+1 ( x i )

∆ x(n+1)

(n+1 ) !+ f n+2 ( x i )

∆ xn+2

( n+1 )!+… .(1.7)

ersamaan (1.) yang mempunyai suku sebanyak tak terhingga akan

memberikan perkiraan nilai suatu fungsi sesuai dengan penyelesaian eksaknya.

$alam praktek sulit memperhitungkan semua suku tersebut dan biasanya hanya

diperhitungkan beberapa suku pertama sa'a.

1. %emper&itungkan 'atu 'uku pertama (order nol)

Apabila hanya diperhitungkan satu suku pertama dari ruas kanan, maka

ersamaan (1.) dapat ditulis dalam bentuk *

f ( x i+1 ) ≈ f ( x i ) (1.8 )

ada ersamaan (1.+) yang disebut sebagai perkiraan order nol, nilai f pada

titik xi+1 sama dengan nilai pada x,. erkiraan tersebut adalah benar 'ika fungsi

yang diperkirakan adalah suatu konstan. 7ika fungsi tidak konstan, maka harus

diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret aylor.

. %emper&itungkan dua 'uku pertama (order 1)

Bentuk deret aylor order satu, yang memperhitungkan dua suku pertama,

dapat ditulis dalam bentuk *

f ( x i+1 ) ≈ f ( x i )+ f ' ( x i )

∆ x

1 ! (1.9)

yang merupakan bentuk persamaan garis lurus (linier).

. %emper&itungkan tiga 'uku pertama (order dua)

$eret aylor yang memperhitungkan tiga suku pertama dari ruas kanan

dapat ditulis men'adi*


10/18

atau

f ( x i+1 ) ≈ f ( x i )+ f ' ( x i )

∆ x

1 ! + f left ({x} rsub {i} right ) {{∆x} ^ {2}} !er {2}

ersamaan (1.12) disebut perkiraan order dua.

1.4 Diferensial Numerik

$iferensial numerik digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial

kontinyu men'adi bentuk diskret. $iferensial numerik ini banyak digunakan untuk

menyelesaikan persamaan diferensial. Bentuk tersebut dapat diturunkan berdasar

deret aylor.

1..1$iferensial turunan pertama

$eret aylor (ersamaan 1.) dapat ditulis dalam bentuk *

f ( x i+1 )=f ( x i )+ f ' ( x i ) ∆ x+O(∆ x

2)(1.12)

Atau

∂ f

∂ x=f ' ( x i )=

f ( x i+1)−f ( x i )∆ x

−O(∆ x)(1.13)

eperti ditun'ukkan dalam


11/18

atau

Bentuk diferensial dari ersamaan (1.1) disebut diferensial ma'u order

satu. $isebut diferensial ma'u karena menggunakan data pada titik xi dan xi+1

untuk memperhitungkan diferensial. 7ika data yang digunakan adalah di titik xi

dan xi-1, maka disebut diferensial mundur , dan deret aylor men'adi*

f ( xi−1 )=f ( xi )−f ' ( xi )

∆ x

1 ! +f {left ({ x } rsub { i } right ) {∆ { x } ^ {2}} !er {2! } " f } ^ {###} left

atau

f ( x i−1 )=f ( xi )−f ' ( x i ) ∆ x+O ( ∆ x

2 ) i+1i+1 ama dari❑

(1.15 )

∂ f ∂ x

=f ' ( xi )= f ( xi )−f ( xi−1 )

∆ x +O(∆ x)(1.16)

Apabila data yang digunakan untuk memperkirakan diferensial dari fungsi

adalah pada titik xi-1 dan xi+1, maka perkiraannya disebut diferensial terpusat. 7ika

ersamaan (1.) dikurangi ersamaan (1.1) didapat*

f ( x i+1 )−f ( x i−1 )=2 f ' ( x i)∆ x+2 f

' ' ' ( xi)∆ x

3

3 ! +…i+1 i+1 ama dari/¿

atau

∂ f

∂ x= f ' ( x i )=

f ( x i+1)−f ( x i−1 )2 ∆ x

− f '' ' ( x i ) ∆ x

2

6 … … ..

∂ f ∂ x

=f ' ( xi )= f ( xi+1)−f ( xi−1 )2∆ x

+O ( ∆ x2 )−… … ..(1.17)

$ari ersamaan (1.10) terlihat bah%a kesalahan pemotongan berorder ∆ x sedang

pada diferensial ma'u dan mundur berorder ∆ x. Untuk inter@al ∆ x kecil, nilai

kesalahan pemotongan yang berorder ( ∆ x ) lebih kecil dari order 1 (∆ x). !al ini

menun'ukkan bah%a perkiraan diferensial terpusat lebih teliti dibanding

diferensial ma'u atau mundur. "eadaan ini 'uga dapat dilihat pada


12/18

atau

"emiringan garis yang melalui titik dan (diferensial terpusat) hampir sama

dengan kemiringan garis singgung dari fungsi di titik xi dibanding dengan

kemiringan garis singgung yang melalui titik dan (diferensial mundur) atau

titik dan 9 (diferensial ma'u).

1.#2 Dife$ensial tu$unan edua

urunan kedua dari suatu fungsi dapat diperoleh dengan men'umlahkan

ersamaan (1.) dengan ersamaan (1.1) *

f ( xi+1 )+ f ( x i−1 )=2 f ( x i )+2 f ' ' ( x i )

∆ x2

2! +2 f ' '' ' ( xi )

∆ x4

4 ! +…i+1 i+1 ama dari/¿

atau

f ' ' ( x i)=

f ( x i+1)−2 f ( x i)+f ( x i−1)

∆ x2

−f ' '' ' ( x i ) ∆ x

2

12 −… i+1i+1 ama dari/¿

atau

∂2

f

∂ x2=f '' ( x i)=

f ( xi+1)−2 f ( x i )+ f ( xi−1 )

∆ x2

−O (∆ x2 )

(1.1+)

$ari uraian di atas dapat disimpulkan bah%a bentuk diferensial (biasa

ataupun parsiil) dapat diubah dalam bentuk diferensial numerik (beda hingga).


13/18

atau

9ontoh oal*


14/18

atau


15/18

atau


16/18

atau


17/18

atau


18/18

atau

Bab 1 kesalahan&diferensial.docx

Documents

Transcript of Bab 1 kesalahan&diferensial.docx