BAB I : Bentuk Aljabar Bilangan Kompleks 1

BAB I : Bentuk Aljabar Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks berawal dari suatu kenyataan bahwa, tidak ada bilangan real x, yang

memenuhi persamaan x2+1=0. Untuk memperbolehkan adanya jawaban dari persamaan ini dan

yang sejenisnya, maka diperkenalkanlah himpunan bilangan kompleks. Suatu bilangan kompleks

dapat dipandang sebagai bilangan yang berbentuk a + ib di mana a dan b bilangan real dan i

dinamakan satuan khayal (imaginer). Sifat utama dari i adalah bahwa i2=−1.

Jika z=a+ib, maka a dinamakan bagian real dan b dinamakan bagian imaginer, dinyatakan

dengan Rl (z) dan ℑ(z). Bilangan z yang dapat dinyatakan untuk sesuatu himpunan bilangan

kompleks, disebut bilangan kompleks. Dua buah bilangan kompleks a+ ib dan c+id, jika dan

hanya jika a=c dan b=d . Kompleks sekawan atau kawan dari bilangan kompleks a+ ib adalah

bilangan a – ib, kompleks sekawan dari z dinyatakan dengan z.

Operasi-operasi dasar dengan bilangan kompleks

1. Penjumlahan : (a+ ib)+( c+id )=a+ib+c+id=(a+c )+ (b+d ) i

2. Pengurangan : (a+ ib)−(c+id )=a+ib−c+id=(a−c )+ (b−d ) i

3. Perkalian : (a+ ib) (c+id )=(ac−bd )+(ad−bc )i

4. Pembagian : a+ibc+ id

=a+ibc+id

c−idc−id

=ac−iad+bci−bd i2

c2−i2d2

¿ac+bd−(ad+bc) i

c2+d2

BAB I : Bentuk Aljabar Bilangan Kompleks 2

Dasar Aksiomatik Bilangan Kompleks

Definisi:

1. Bilangan kompleks adalah pasangan berurutan dari dua buah bilangan real ditulis (a ,b)

yang mana a ,b∈R.

2. Dua buah bilangan kompleks dikatakan sama, ditulis (a , b )=(c ,d ) jika dan hanya jika

a=c dan b=d

3. Jumlah dua bilangan kompleks ditulis (a , b )+ (c , d )≝(a+c ,b+d )

Sifat-sifat:

1. Komutatif

2. Assosiatif

3. Elemen nol

4. Pengurangan bilangan kompleks

Produk dua bilangan kompleks

Definisi: (a , b ) (c , d )≝(a−bdc , bc+ad)

Sifat-sifat:

1. Komutatif

2. Assosiatif

3. Distributif

4. Hasil bagi bilangan kompleks

Penjumlahan bilangan kompleks dengan bilangan real

(a , b ) : bilangan kompleks

p : bilangan real

(a , b )+ p=¿

¿(a+ p , b+0), b+0 real maka berlaku b+0=b

BAB I : Bentuk Aljabar Bilangan Kompleks 3

¿(a+ p , b)

Perkalian bilangan kompleks dengan bilangan real

(a , b ) p=¿

¿(ap−b . 0 ,bp+a . 0)

¿ap−b0 dan bp+a0

Masing-masing real, maka berlaku

ap−b0=ap dan bp+a 0=bp

Jadi, (a , b ) p=ap+bp

Cara lain penulisan bilangan kompleks

(a , b )=(a ,0 )+(0 , b)

= (a , 0 )+ (b ,0 )(0,1) definisikan (0 , 1 )=i

Sehingga

(a , 0 )+ (b ,0 ) (0,1 )=(a , 0 )+(b ,0 ) i

= (a , 0 )+ (ib , i0 )

(a , b )=(a ,0 )+(ib , 0)

(a , b )=a+ib

Bidang Kompleks

Bilangan Kompleks (a , b ) atau a+ ib dinyatakan dengan z=a+ib dapat digambarkan sebagai

berikut

BAB I : Bentuk Aljabar Bilangan Kompleks 4

z=a+ib

b

O a

dari bentuk z=a+ib, a dan b masing-masing komponen a dan komponen b dari vektor OZ, atau

a komponen nyata (real) dan b komponen khayal (imaginer) dari z, ditulis a=Rl ( z ) dan b=ℑ ( z ).

Jarak OZ disebut modulus dari z dan ditulis |z|=√a2+b2 sedangkan argument z atau ialah besar

sudut yang dibentuk oleh sumbu real positif dengan OZ, dihitung dari sumbu real positif

berlawanan dengan arah jarum jam sampai dengan OZ. Sedangkan, apabila berlawanan dengan

arah jarum jam maka tanda argument itu negative. Sumbu real, sumbu imaginer, dan OZ terletak

dalam satu bidang datar yang disebut dengan bidang kompleks,

atau

Secara umum a dan b dapat diganti dengan x dan y, di mana x menyatakan komponen nyata dan

y menyatakan komponen khayal. Panjang vektor z dinotasikan dengan ¿ z∨¿ dinamakan

modulus dari bilangan kompleks z. Jarak OZ disebut modulus dari z dan ditulis |z|=√x2+ y2

sedangkan argument z atau ialah besar sudut yang dibentuk oleh sumbu real positif dengan OZ,

dihitung dari sumbu real positif berlawanan dengan arah jarum jam sampai dengan OZ.

Sedangkan apabila berlawanan dengan arah jarum jam maka tanda argument itu negative

BAB I : Bentuk Aljabar Bilangan Kompleks 5

Bilangan Kompleks Sekawan (Conjugate)

Conjugate dari z ditulis z didefinisikan sebagai berikut. Jika z=x+iy, maka z=x−iy dan

digambarkan sebagai berikut

Modulus dari ¿ z∨¿√ x2+(− y )2=√x2+ y2

¿ z∨¿∨z∨¿

Soal Latihan :

Buktikan :

1. z z=|z|2

2. z=z

3. 2 Rl ( z )=z+z

4. 2ℑ ( z )=z−z

BAB I : Bentuk Aljabar Bilangan Kompleks 6

Bentuk Modulus-Argumen

Bilangan kompleks ( x , y ) atau x+iy dinyatakan dengan z=x+iy dapat dinyatakan dalam bentuk

modulus- argumen

sin φ= yOZ

= y¿Z∨¿¿ y=|z|sin φ

cos φ= xOZ

= x¿Z∨¿¿ x=|z|cos φ

z=x+iy

z=|z|cos φ+i∨z∨sin φ ¿¿

z=|z|¿

Umumnya

Argumen bilangan positif adalah : 0, 2, 4, .....

Argumen bilangan negatif adalah : , 3, 5, ....

Argumen utama : - < ≤ atau - ≤ < .

Bentuk z=r ¿ di mana |z|=r, dinamakan bentuk kutub bilangan kompleks, r dan φ dinamakan

koordinat kutub. Ada kalanya bentuk z=r ¿ditulis sebagai z=r cis φ.

Untuk suatu bilangan kompleks z ≠ 0 terdapat kaitan dengan hanya satu nilai φ, 0 < ≤ 2.

Tetapi suatu selang lain dengan panjang 2, seperti misalnya - < ≤ , dapat juga digunakan.

BAB I : Bentuk Aljabar Bilangan Kompleks 7

Suatu pilihan khusus tertentu yang tidak tergantung pada kelanjutannya dinamakan jangkauan

utama (principal range) dan nilai dinamakan nilai utamanya.

Sifat-sifat modulus dan argumen bilangan kompleks

1. Modulus hasil kali dua buah bilangan kompleks sama dengan hasil kali modulus kedua

bilangan kompleks itu.

2. Modulus jumlah dua buah bilangan kompleks sama dengan atau lebih kecil dari jumlah

modulus kedua bilangan kompleks itu.

3. Modulus selisih dua buah bilangan kompleks sama atau lebih besar dari selisih modulus

kedua bilangan kompleks itu.

4. Modulus hasil bagi dua buah bilangan kompleks sama dengan hasil bagi modulus kedua

bilangan kompleks itu.

5. Argumen hasil kali dua buah bilangan kompleks sama dengan jumlah kedua argument

bilangan-bilangan kompleks itu.

6. Argumen hasil bagi dua buah bilangan kompleks sama dengan selisih kedua argument

bilangan-bilangan kompleks itu.

7. Konjugate dari jumlah/selisih dua buah bilangan kompleks sama dengan jumlah/selisih

dari konjugatenya.

8. Konjugate dari perkalian dua buah bilangan kompleks sama dengan perkalian dari

konjugatenya.

9. Konjugate dari hasil bagi dua buah bilangan kompleks sama dengan hasil bagi dari

konjugatenya.

Bukti sifat-sifat di atas, sebagai latihan untuk pembaca.

Dalil De`Moivre

Jika z1=x1+ i y1=r1(cos❑1+isin❑1) dan z2=x2+ i y2 ¿ r2(cos❑2+i sin❑2), maka z1 z2=r1 r2 ¿

z1

z2

=r1

r2

¿

BAB I : Bentuk Aljabar Bilangan Kompleks 8

Suatu perumuman dari bentuk di atas dihasilkan :

z1 z2 ….zn=r1r2 …rn ¿

Dan jika z1=z2=…=zn=z, maka

zn={r (cos+isin❑)}n=rn(cosn+i sin n)

Persamaan di atas merupakan Dalil de Moivre memberikan hubungan sebagai berikut.

(cos❑+ isin❑)n=cosn+i sin n, n bilangan bulat

Bukti :

Persamaan ini juga dapat dibuktikan dengan induksi matematika, seperti berikut.

Untuk n bilangan bulat positif

Untuk n = 1 (cos❑+ isin❑)1=cos❑+isin❑

Misal berlaku untuk n = k

Akan dibuktikan berlaku untuk n = k + 1

untuk n = k + 1

(cos❑+ isin❑)k +1=(cos❑+i sin❑)k (cos❑+i sin❑)1

¿ (cos k+isin k ) (cos❑+isin❑)❑

¿ (cos k cos❑−sin k sin❑) (sin kcos❑+cos k sin❑)❑

¿cos (k+1)+isin (k+1)

(cos❑+ isin❑)k +1 ¿cos (k+1)+isin (k+1)

Jadi, berlaku untuk semua n bilangan bulat positif.

Untuk n bilangan bulat negatif, misalkan n = -m, m bilangan asli

BAB I : Bentuk Aljabar Bilangan Kompleks 9

(cos❑+ isin❑)n = (cos❑+ isin❑)−m

= 1

(cos❑+i sin❑)m

= 1

(cosm+isin m❑)

= 1¿¿

= 1

(cosn−isin n❑)

= cos2n+ isin2 n❑(cosn−isin n❑)

= cos2 n−i2 sin2 n❑(cosn−isin n❑)

= (cosn−isin n❑) (cosn+ isin n❑)

(cos n−i sin n❑)

= (cos n+isin n❑)

Terbukti berlaku untuk n bilangan bulat negatif, sehingga model di atas berlaku untuk semua n

bilangan bulat.

Akar Bilangan Kompleks

z=¿ z∨¿, diubah menjadi

z=¿ z∨cis(+2n),∨z∨¿ r ; di mana (cos❑+ isin❑)=cis

z=r cis(+2 n)

z=r exp i (+2n )

(exp i=cos❑+isin❑ dinamakan Rumus Euler)

BAB I : Bentuk Aljabar Bilangan Kompleks 10

n√ z=n√r exp i(θ+2 mπ )=n√r exp( i(θ+2 mπ )n )

n√ z=n√r (cos(θ+2mπ )

n+i sin

(θ+2 mπ )n )

, n = 0, 1, 2, 3, …, n – 1

Jadi, hasil penarikan akar ini adalah n buah bilangan kompleks, yaitu :

Untuk m = 0 z1=

n√r (cosθn+ isin

θn )

Untuk m = 1 z2=

n√r (cos(θ+2 π )

n+isin

(θ+2 π )n )

Untuk m = 2 z3=

n√r (cos(θ+4 π )

n+i sin

(θ+4 π )n )

…

Untuk m = n – 1 zn=

n√r (cos(θ+2(n−1 )π )

n+i sin

(θ+2(n−1 )π )n )

Akan terdapat n buah akar-akar yang berlainan yang mana akar tersebut akan terletak pada

sebuah busur lingkaran dengan jari-jari n√r

Tentukan dan gambarkan akar-akar dari :

1. z=6√1

2. z6=32

3. z4=(1+i)

4. z6=−32

5. z6=32

Soal-soal Latihan :

BAB I : Bentuk Aljabar Bilangan Kompleks 11

Tempat dan Kedudukan bilangan kompleks

Jika bilangan kompleks z memenuhi suatu syarat tertentu, maka kita dapat mencari dan

menggambarkan tempat dan kedudukan bilangan kompleks itu pada bidang kompleks.

Latihan Soal-soal :

Tentukan tempat dan kedudukan dari

1. |z|=10

2. |z|<10

3. |z|≤10

4. |z|>10

5. |z|≥ 10

6. 3<|z−2+i|<5

7. |z−3 i|+¿ z+3 i∨¿10

8. |z−2 i|+¿ z+2i∨¿6

9. |z−3|+¿ z+3∨¿ 4

10. z (z+2)=3

11. ℑ ( z2 )=4

12. |z−3|∨z+3∨¿9