BAB I TEORI GELOMBANG AMPLITUDO KECIL

[TEORI GELOMBANG LINIER]

I.1. PERSAMAAN HIDRODINAMIKA

Ada 7 persamaan yang mengatur proses-proses dinamika yang terjadi di laut yaitu :

1) Persamaan keadaan

2) Persamaan kontinuitas

3-5) Persamaan gerak (3 persamaan dalam arah x, y, z)

6-7) Persamaan difusi (persamaan untuk suhu dan salinitas).

Persamaan Keadaan

Persamaan keadaan ditulis dalam bentuk

(1.1)

dimana :

p = tekanan air laut

T = suhu air laut

S = salinitas air laut

= densitas air laut.

Persamaan Kontinuitas (Persamaan Kekekalan Massa)

Persamaan kontinuitas adalah bentuk hidrodinamik dari hukum kekekalan massa.

(1.2)

dimana :

adalah vektor kecepatan fluida.

Persamaan Gerak [Persamaan Navier Stokes]

Persamaan gerak untuk suatu medium yang viscous dapat dinyatakan sebagai :

1

(1.3-1.5)

= suku-suku konvektif.

= suku Coriolis.

= suku gradien tekanan

= gz = geopotensial

= suku yang menyatakan gaya-gaya luar.

= suku gradien viskos.

v = viskositas kinematika.

driving agent dari gerak fluida adalah atau gaya gradien tekanan.

Dalam gerakannya fluida dipangaruhi oleh gaya Coriolis, gaya gravitasi, gaya-gaya luar,

dan gaya gesekan viskos yaitu gesekan antara lapisan fluida. Gaya Coriolis membelokkan

gerak fluida kearah kanan dibelahan bumi utara dan kearah kiri dibelahan bumi selatan.

Persamaan gerak diturunkan dari hukum Newton ke II :

.

Untuk koordinat yang berputar gaya-gaya terdiri dari :

1) Gaya gradien tekanan.

2) Gaya gravitasi

3) Gaya Coriolis

4) Gaya gesekan Viskos

5) Gaya-gaya luar seperti gaya tarik bulan dan matahari.

2

Persamaan Difusi

Untuk air laut persamaan difusi diberikan dalam parameter suhu dan salinitas ;

(1.6)

(1.7)

dimana :

T = suhu

S = salinitas

KT = koefisien difusi dari suhu

KS = koefisien difusi dari salinitas.

Dalam membahas teori gelombang amplitudo kecil (gelombang linier) dibuat beberapa

anggapan seperti berikut :

1. Fluida adalah non-diffusive

Untuk fluida ini maka berlaku ;

KT = KS = 0

, dan

artinya suhu dan salinitas tiap partikel individu adalah tetap sepanjang waktu atau tetap

sepanjang umur partikel air tersebut. Dengan kondisi ini maka persamaan (1.1) dari

persamaan keadaan dapat ditulis sebagai :

(1.8)

3

2. Fluida dianggap tak termampatkan (incompressible). Suatu medium yang densitasnya

tidak tergantung pada tekanan disebut incompressible.

Hal ini berarti ;

, sehingga

Persamaan di atas menyatakan densitas tiap partikel air tetap atau tidak berubah dengan

waktu.

Yang perlu diingat adalah syarat ini tidak menyatakan bahwa fluida adalah

homogen, tetapi ia hanya menyatakan partikel individu dari fluida tidak berubah dengan

waktu.

Dengan kata lain tidak berarti fluida homogen, tetapi setiap fluida homogen

otomatis . Untuk mempermudah pemahaman dapat diperhatikan gambar

dibawah ini;

homogen homogen

Dengan anggapan fluida yang tak termampatkan maka persamaan kontinuitas (1.2)

dapat ditulis sebagai :

karena maka

karena untuk fluida tak termampatkan

4

maka :

(1.9)

Persamaan (1.9) menyatakan kondisi untuk laut yang non-diffusive dan incompressble.

Dengan menggunakan persamaan-persamaan tersebut di atas kita dapat mempelajari

baik gelombang permukaan (surface waves) maupun gelombang internal (internal

waves) yaitu gelombang di lapisan dalam. Gelombang internal terbentuk dibidang

antara (interface) dua lapisan fluida dengan densitas yang berbeda.

3. Dalam mempelajari gelombang permukaan fluida dianggap homogen atau laut adalah

homogen. Hal ini berarti :

4. Gaya gesekan dapat diabaikan sehingga . Dalam kondisi ini dapat

ditinjau laut yang inviscid (tak kental).

Bila fluida dalam keadaan homogen dan tak kental maka disebut fluida ideal.

Fluida homogen berarti .

Untuk kondisi ini

Kondisi diatas disebut dengan kondisi barotropik, dimana permukaan isobar dan

permukaan isopiknal adalah sejajar.

Isobar = permukaan dimana tekanan konstan dan isopiknal = permukaan dimana

densitas konstan, secara matematis kondisi barotropik ini dinyatakan oleh :

kondisi barotropik dapat dilukiskan seperti gambar berikut ini

dimana :

atau

5

- - - - - - isopiknal

______ isobar

Bila atau maka disebut kondisi yang baroklinik.

Pada kondisi ini permukaan isobar dan isopiknal saling membentuk sudut tertentu

seperti gambar di bawah.

Homogenitas berarti gerakan barotropik.

5. Gaya-gaya luar diabaikan sehingga

Ini berarti kita hanya meninjau gelombang bebas (free waves) dimana gelombang tidak

lagi berada dalam pengaruh gaya pembangkitnya.

6. Pengaruh gaya Coriolis kecil sehingga dapat diabaikan karena itu

.

Dengan membuat anggapan-anggapan tersebut maka persamaan Navier Stokes dapat

lebih disederhanakan menjadi :

(1.10)

Dari persamaan diatas terlihat ada empat persamaan dengan empat parameter yang

belum diketahui yaitu (u, v, w dan p)

p (elevasi muka air)

Sistem persamaan (1.9) dan (1.10) ini adalah non linier. Tidak ada solusi umum dari

sistem perrsamaan ini. Untuk mendapatkan solusinya maka sistem persamaan tersebut

perlu dilinierkan. Linierisasi dilakukan dengan menggunakan teknik gangguan.

I.2. TEKNIK GANGGUAN [PERTUBASI] ATAU METODA GANGGUAN KECIL.

6

Untuk melinierkan persamaan Navier-Stokes digunakan teknik gangguan atau metoda

gangguan kecil. Disini 4 parameter tadi , p dinyatakan sebagai penjumlahan antara harga

rata-ratanya dan simpangan terhadap rata-rata (pertubasi atau gangguan).

(1.11)

dimana = kecepatan rata-rata.

Rata-rata diambil terhadap interval observasi.

Misal :

= interval observasi.

yang diperroleh mewakili kecepatan arus rata-rata laut dunia (sirkulasi umum

dari arus laut).

Sebelum diterapkan metoda gangguan ini, terlebih dahulu diadakan sedikit perubahan

terminologi terhadap dan p yaitu :

diganti dengan

diganti dengan

p diganti dengan po

p' diganti dengan p1.

Substitusikan persamaan (1.11) ke dalam persamaan (1.10) dan (1.9) maka diperoleh :

(1.12)

dan

(1.13)

7

kemudian dibuat pendekatan dengan memisahkan suku-suku berorde nol dan suku-suku

berorde satu. Dengan perkataan lain suku-suku yang berorde nol saling mengimbangi dan

membentuk sistem persamaan tersendiri.

Hal yang sama berlaku juga untuk suku-suku berorde satu. Orde dari perkalian suku-suku

sama dengan jumlah dari orde masing-masing suku individu.

Hasil adalah :

Persamaan orde nol

(1.14)

(1.15)

Persamaan diatas disebut juga persamaan keadaan dasar.

Persamaan orde satu.

(1.16)

(1.17)

disebut dengan persamaan pertubasi (gangguan).

Catatan : Disini terlihat sedikit ketidak konsistenan dalam penulisan

Juga dapat dilihat non lineiritas dari persamaan gerak masih ada tetapi kita dapat

menghilangkan sifat non lineiritas dengan menspesifikasi harga .

Tinjau fluida yang tidak ada gesekan, dimana dalam keadaan dasar .

Dengan kondisi ini persamaan orde ke nol menjadi :

8

Diintegrasikan maka :

dimana :

Dari hubungan ini diperoleh :

(1.18)

Persamaan orde satu menjadi :

(1.19)

(1.20)

catatan : untuk memudahkan penulisan untuk selanjutnya tanda vektor tidak digunakan

Sebelumnya kita anggap fluida adalah ideal (homogen, dan tanpa gesekan). Anggapan

berikutnya fluida adalah tak berotasi(irotasional); fluida dikatakan irotasional bila ia selalu

dalam kondisi tidak berotasi yang secara matematis dinyatakan : .

Untuk fluida yang irotasional kita dapat mendefinisikan suatu skalar (potensial kecepatan)

sedemikian sehingga :

(1.21)

atau

dalam bentuk komponen ditulis sebagai :

Substitusi (1.21) ke (1.19) dan (1.20) menghasilkan :

9

atau

(1.22)

atau

(1.23)

Dari persamaan (1.22) diperoleh

(1.24)

Dengan demikian kita peroleh sistem persamaan dinamika

Untuk menyelesaikan persamaan dinamika tersebut diatas kita perlu memberi syarat batas :

1. syarat batas kinematik ; berlaku di dasarlaut dan di permukaan laut.

2. syarat batas dinamik ; berlaku dipermukaan laut.

syarat batas kinematik di dasar laut, w = 0 di z = - h atau w1 0. Bila z = - ~

Persamaan keadaan di permukaan dapat ditulis sebagai :

atau

10

Partikel air tidak akan keluar dari permukaan laut, bila demikian maka syarat batas

kinematik dipermukaan disyaratkan bahwa partikel air tetap berada dipermukaan air laut,

atau secara matematis dituliskan sebagai :

di

atau di

Gunakan : dan

adalah suku orde dua.

Karena kita batasi peninjauan hanya sampai orde satu maka suku tersebut diabaikan,

dengan demikian dalam orde ini syarat batas kinematik menjadi :

di

Sedangkan syarat batas dinamik diberikan oleh

p = pa , di , pa = tekanan Atmosfer.

Bila kita terapkan metode gangguan : pada syarat batas dinamik

Akhirnya kita mempunyai sistem persamaan dinamika diberikan :

(1.25)

11

(1.26)

dengan syarat batas sebagai berikut :

a. Syarat batas kinematik di permukaan yang dinyatakan oleh

di

b. Syarat batas dinamik di permukaan yang dinyatakan oleh

c. Syarat batas kinematik di dasar yang dinyatakan oleh

di z = - h (atau jika z - ~ )

Kita perhatikan disini syarat batas kinematik dan dinamik dispesifikasikan di z = (x, y, t)

yang merupakan parameter yang akan kita tentukan. Hal ini tentu menyulitkan

penyelesaian persamaan dinamik.

Untuk mengatasi hal ini syarat-syarat batas tersebut kita spesifikasikan di z = 0.

Hal ini dapat kita lakukan karena kita meninjau suatu gelombang amplitudo kecil. Cara

untuk menspesifikasikan syarat batas di z = 0 (dipermukaan yang tidak terganggu) adalah

menguraikan syarat-syarat batas kinematik dan dinamik dipermukaan mengikuti uraian

deret Taylor.

Uraian deret Taylor dari f(z) disekitar z = 0 adalah

Dengan cara yang sama :

12

Uraian Taylor dari syarat batas kinematik dapat dituliskan dalam bentuk :

yang dapat kita sederhanakan (dengan mengabaikan suku-suku orde dua) menjadi :

(Syarat batas kinematik dipermukaan.)

Uraian Taylor untuk syarat batas dinamik adalah :

Kumpulkan suku-suku orde nol dan orde satu. Orde nol menghasilkan

(1.27)

Dengan menggunakan persamaan hidrostatik

po = - g o z + D(t) di z = 0

Syarat batas dinamik orde nol dapat ditulis dalam bentuk :

Orde satu menghasilkan :

atau

(1.28)

13

= fluktuasi dari tekanan atmosfer

= densitas dari udara.

Dalam mempelajari gelombang permukaan yang merupakan free waves pengaruh fluktuasi

tekanan atmosfer diabaikan. Karena densitas udara jauh lebih kecil dari pada densitas air

laut maka dapat diabaikan relatif terhadap

Dengan demikian syarat batas dinamik orde satu menjadi :

di z = 0 (1.29)

Kalau kita perhatikan persamaan dinamik dinyatakan dalam dua parameter yaitu dan p1,

sementara syarat-syarat batasnya ditentukan oleh tiga parameter yaitu , p1 dan .

Kita ingin menyatakan persamaan dinamik dan syarat batasnya hanya dalam satu variabel

saja yaitu potensial kecepatan .

Dengan mengkombinasikan persamaan dinamik

dan syarat batas dinamik dipermukaan.

di z = 0.

Kita dapat mengeliminasikan p1 dan diperoleh

di z = 0

Diferensir persamaan ini terhadap t hasilnya

di z = 0

Dengan menyelesaikan persamaan ini dan syarat batas kinematik

di z = 0

diperoleh :

di z = 0

14

(Syarat batas campuran dipermukaan (z = 0)) Sekarang kita telah memperoleh persamaan

dinamik dan syarat batas yang dinyatakan dalam .

di z = 0

(1.30)

di z = - H

atau jika z - ~

Sekali kita dapat menentukan maka elevasi muka air ( ) dan tekanan p1 dapat ditentukan

dari hubungan

(1.31)

Selanjutnya kita ingin menentukan solusi dari persamaan Laplace .

Misalkan solusinya mempunyai bentuk

(1.32)

dimana : menyatakan besaran kompleks dari .

f(z) menyatakan struktur vertikal dari .

Ingat disini, kita meninjau gelombang yang bergerak hanya dalam arah x saja atau disebut

juga "Long crested waves".

Crest (puncak)Trough (lembah)

Bentuk gelombangnya sudah teratur

Gelombang acak short crested waves

15

k = bilangan gelombang =

= kecepatan sudut gelombang =

Potensial kecepatan ditentukan dari bagian riel dari besaran

φ ( x, z, t) = Re [ (x, z, t)] (1.33)

catatan : untuk gelombang yang non linier (tak lempang) berlaku hubungan

(1.34)

Substitusikan persamaan (1.33) kedalam persamaan dinamik.

diperoleh :

atau

(1.35)

Syarat batas campuran di permukaan

menjadi

di z = 0.

atau

di z = 0 (1.36)

16

didasar :

di z = - H

atau

bila z - ¥

17