Aturan Sin Cos Dan Luas Segitiga

of 18

Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Kegiatan Belajar 5

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 5, diharapkan siswa dapat

a. Menentukan unsur-unsur segitiga dengan aturan sinus

b. Menentukan unsur-unsur segitiga dengan aturan kosinus

c. Menghitung luas segitiga sembarang

B. Uraian Materi 4

Aturan Sinus

Untuk memahami aturan sinus maka lakukan kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 5.1

Tujuan kegiatan : Menemukan aturan sinus

Permasalahan : Bagaimana menetukan unsur-unsur segitiga (panjang sisi dan besar sudut)

jika diketahui panjang sisi salah satu sudut dan besar sudut di hadapan

sisi.

Kegiatan

ά θ ∟

A B D

C

E

a b

c

β

Perhatikan gambar di samping, maka

diketahui

∠ CAB = θ, ∠ ABC = ά, ∠ BCA = β

AC = b, AB = c dan BC = a

of 18



1) Perhatikan ∆ BDC maka panjang CD adalah.

)1(sin....

........sin

.........sin

persamaanCD

CD

CD

α

α

α

=⇒

×=⇒

=⇒

2) Perhatikan ∆ ADC maka panjang CD adalah

)2sin.....

.......sin

.........sin

persamaanCD

CD

CD

θ

θ

θ

=⇒

×=⇒

=⇒

Dengan cara subtitusi, persamaan 1) dan 2) maka didapat persamaan

)1sin..... persamaanCD α= dan )2sin..... persamaanCD θ=

maka didapat persamaan

( )3sin

..........

........

sin.....sin.....

persamaana

α

θα

=⇒

=⇒

3) Perhatikan ∆ AEB maka panjang AE adalah.

)4(sin....

........sin

.........sin

persamaanAE

AE

AE

α

α

α

=⇒

×=⇒

=⇒

4) Perhatikan ∆ AEC maka panjang AE adalah.

)5(sin....

........sin

.........sin

persamaanAE

AE

AE

β

β

β

=⇒

×=⇒

=⇒

Dari persamaan 4 dan 5 maka

)4(sin.... persamaanAE α= dan )5(sin.... persamaanAE β=

Diperoleh persamaan

( )6sin

..........

........

sin.....sin.....

persamaana

β

βα

=⇒

=⇒

of 18



Dari persamaan 3 dan 6, dapat disimpulkan bahwa

.......

......

...sin

......

........==

a

Dari kegiatan di atas, dapat dirumuskan bahwandalam setiap segitiga ABC dengan

panjang sisi- sisi BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c satuan panjang dan besar

sudut di hadapan sisi-sisi berturut-turut adalah θ, ά, dan β (gambar tampak pada kegiatan

5.1) berlaku aturan sinus berikut :

βαθ sinsinsin

cba==

Aturan ini dapat digunakan untuk mencari unsur-unsur suatu segitiga (panjang sisi dan besar

sudut) apabila telah diketahui panjang sisi salah satu sudut dan besar sudut di hadapan sisi

tersebut.

Contoh :

1. Deketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 25 cm, sudut A = 60o, dan sudut C = 75

o,

jika sin 75o = 0,9659, tentukan panjang BC dan AB

Penyelesaian

Buat sketsa gambarnya

Sehingga

A B

C

25 cm

60o

75o

a

c

Maka besar sudut B adalah

∠ B = 180o – (∠ A + ∠ C)

∠ B = 180o – (60

o + 75

o)

∠ B = 180o – 135

o

∠ B = 45o

of 18



� Panjang BC

62

25

2

325

2

2

2

325

2

325

2

2

22

1

25

32

1

45sin

25

60sin

sinsin

=⇒

=⇒

×=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

a

a

a

a

a

a

B

AC

A

BC

oo

Jadi panjang BC adalah 62

25 cm

� Panjang AB adalah

( ) 15,3421475,24

21475,24

2

21475,24

1475,242

2

22

1

25

9659,0

45sin

25

75sin

sinsin

≈=⇒

×=⇒

×=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

c

c

c

c

a

c

B

AC

C

AB

oo

Jadi panjang AB adalah 15,34 cm

of 18



2. Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 28 cm, sudut B = 45o tentukan sudut-sudut

segitiga ABC yang lainnya.

Penyelesaian

( )

o

o

C

C

C

C

C

C

AB

B

AC

30

2

1sin

16

8sin

2822

1sin16

sin

28

45sin

16

sinsin

=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

maka

∠ A = 180o – (∠ B + ∠ C)

∠ A = 180o – (45

o + 30

o)

∠ A = 105o

Jadi besar sudut A adalah 105o dan besar sudut C = 30

o

Aturan Kosinus

Untuk memahami aturan kosinus maka kerjakan kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 5.2

Tujuan kegiatan : Menemukan aturan kosinus

Permasalahan : Bagaimana menetukan unsur-unsur segitiga (panjang sisi dan besar sudut)

jika diketahui panjang ketiga sisi dan salah satu sudut.

A B

C

16 cm

45o

a

8 2 cm

of 18



Kegiatan

1) Perhatikan ∆ ADC

( )

( )2cos........

......cos

1sin......

sin

persamaanb

AC

persamaanCD

AC

CD

β

β

β

β

=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

2) Perhatikan ∆ BDC, dengan menggunakan teorema pythagoras, dengan mensubtitusikan

persamaan 1 dan 2 diperoleh

CB2

= DB2+ CD

2

CB2

= (AB – AD)2 + CD

2

CB2

= (AB2 – 2(AB)(AD) + AD

2) + CD

2

a2 = (c

2 - 2c.b.cos β +( ....... cos β)

2) + (…… sin β)

2

a2 = c

2 - 2cb.cos β + b

2………. + b

2 ………

a2 = c

2- 2cb.cos β + b

2(…………+ ………)

a2 = ……+ …… - 2cb.cos β

Dengan cara yang sama kita juga bisa melakukan langkah untuk sudut ά dan sudut θ. Secara

umum dalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi BC, AC dan AB berturut-turut

adalah a, b dan c satuan panjang dan besar sudut di hadapan sisi-sisi tersebut adalah β, ά dan

θ, berlaku aturan kosinus sebagai berikut :

θ

β

α

cos.2

cos.2

cos.2

222

222

222

abbac

accab

bccba

−+=•

−+=•

−+=•

A B D

C

a

c

b

β ά

θ

∟

of 18



Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 4 cm, AC = 6 cm dan sudut C = 60o,

tentukan panjang sisi AB

Penyelesaian

( )

72

28

2452

)24(21636

60cos).4)(6(246

cos).)((2

21

222

222

=⇒

=⇒

−=⇒

−+=⇒

−+=⇒

−+=⇒

AB

AB

AB

AB

AB

CBCACBCACAB

o

Jadi panjang sisi AB adalah 72 cm

2. Diketahui segitiga ABC, dengan AB = 7 cm, AC = 8 cm, BC = 5 cm, tentukan sin A

Penyelesaian

r

xA

A

A

A

A

Abccba

→=⇒

=⇒

−=−⇒

−+=⇒

−+=⇒

−+=⇒

14

11cos

112

88cos

cos.11211325

cos).56(2496425

cos).7)(8(2785

cos.2

222

222

A B

C

6 cm

60o

4 cm

A B

C

8 cm

60o

5 cm

7 cm

of 18



maka

35

75

121196

22

=

=

−=

−=

y

y

y

xry

Sehingga nilai 14

35sin =A

Luas Segitiga

Untuk memahami menentukan luas segitiga maka kerjakan kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 5.3

Tujuan kegiatan : Menemukan rumus menghitung luas segitiga dengan perbandingan

trigonometri

Permasalahan : Bagaimana menetukan luas segitiga yang diketahui unsur-unsur segitiga

(panjang sisi dan besar sudut).

Kegiatan

A B D

C

a

c

b

β ά

θ

∟

Perhatikan segitiga ABC di samping, panjang CD :

αβ

αβ

αβ

sin....sin.....

........sin

......sin

sinsin

==

==

==

CDatauCD

aatau

b

BC

CDatau

AC

CD

of 18



Luas segitiga ABC di atas adalah

( )( )

( )( ) ( )( )

...............2

1..................

2

1

...................2

1...................

2

1

.......2

1

))(.(2

1

=∆=∆

=∆=∆

=∆

=∆

ABCABC

ABCABC

ABC

ABC

LatauL

LatauL

CDL

tinggialasL

Contoh :

1. Tentukan luas segitiga ABC, jika diketahui AB = 15 cm, BC = 10 cm, ∠ B = 30o.

Penyelesaian

2. Tentukan luas segitiga PQR, jika diketahui ∠P = 120o, panjang PR = 10, PQ = 8 .

Penyelesaian

A B

C

10 cm

15 cm

30o

( )( )

( )( )

25,37

2

75

2

11015

2

1

30sin2

1

cmL

L

L

BCABL

ABC

ABC

ABC

o

ABC

=∆

=∆

=∆

=∆

Q

P

R

10 cm

8 cm

120o

( )( )

( )( )

2320

32

1)8(5

120sin8102

1

sin2

1

cmL

L

L

PPRPQL

PQR

PQR

o

PQR

PQR

=∆

=∆

=∆

=∆

of 18



3. Hitunglah luas segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisinya a = 3 m, b= 8 m, c = 9 m

Penyelesaian

27

354sin

354

560

169729

1327 22

=

=

=

−=

−=

B

y

y

y

y

Jadi luas segitiga ABC adalah

( )( )

2352

3527

4

2

27

sin392

1

cmL

L

BL

=

=

=

A B

C

3 m

9 m

8 m

Dicari dahulu salah satu sudutnya dengan

menggunakan aturan kosinus.

27

13cos

54

26cos

54

9064cos

cos.5498164

cos).3)(9(2398 222

=

=

−

−=

−+=

−+=

B

B

B

B

B

of 18



C. Rangkuman 5

Pada segitiga ABC, jika panjang AB = c, AC = b, BC = a, ∠ A= β, ∠ B = ά, ∠ C = θ,

berlaku :

1. Aturan sinus

βαθ sinsinsin

cba==

2. Aturan kosinus

� a2

= b2 + c

2 – 2bc.cos ά

� b2

= a2

+ c2 – 2ac.cos β

� c2 = a

2 + b

2 – 2cb.cos θ

3. Luas segitiga

� βsin2

1bcL ABC =∆

� αsin2

1acL ABC =∆

� θsin2

1abL ABC =∆

A B

C

a

c

b

β ά

θ

of 18



D. Lembar Kerja 5

1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 13 cm, ∠BAC =45o dan ∠ABC = 30

o,

tentukan panjang sisi AB.

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

2. Tentukan besar sudut dan panjang sisi yang belum diketahui dari segitiga di bawah.

a. b.

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

A B

C

5

45o 30o

P

Q

R

4

30o

of 18



3. Dalam segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 7, b = 8 dan c = 9, tentukan nilai

dari:

a. sin A c. sin B e. sin C

b. tan A d. tan B f. sin C

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

4. Tentukan nilai sin x dan tan y dari gambar di bawah ini

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

B A

C

D

x

y 3

1

30o ∟

of 18



.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

5. Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui ∠ A = 120o pajang AC = 10 cm dan

panjang AB = 8 cm

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...............................................................................................................................

6. Tentukan luas Jajargenjang ABCD di bawah, jika diketahui panjang AB = 8 cm, AD

= 6, ∠BAD = 60o

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

7. Sebidang tanah seperti gambar di bawah akan di jual dengan harga Rp. 100.000 per

m2. tentukan harga total tanah tersebut

A B

C D

6

8

60o

of 18



.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

E. Tes Formatif 5

1. Nilai kosinus sudut C pada segitiga di

bawah ini adalah

a. 3

1

b. 74

1

c. 4

3

d. 63

1

e. 23

2

2. Suatu segitiga ABC dengan sisi BC =

7 , sisi AC = 6 dan sisi AB = 5, maka

nilai sin A adalah

a. 12

5 6 d.

12

16

b. 5

26 e.

6

16

c. 15

16

3. Segitiga PQR siku-siku sama kaki,

sudut Q = 900 dan PR = 8 cm, maka

panjang PQ =

a. 16 2 D. 4 2

b. 10 2 E. 2 2

c. 8 2

100o

12 m

60o

6 m

12 m 80o

12 m

120o

9 m

105o

15 m

15

10 A B

C

30o

of 18



4. Sisi-sisi suatu segitiga ABC adalah 3,

5 , dan 7, maka sudut terbesar dari

segitiga tersebut adalah

a. 750 d. 120

0

b. 900 e. 150

0

c. 600

5. Dari segitiga ABC diketahui a = 4

cm, b = 3 cm. Jika luas segitiga = 6

cm2, maka sudut C =….

a. 1200 d. 45

0

b. 900 e. 30

0

c. 600

6. Jika dalam segitiga ABC diketahui

sisi BC = 10, AC = 40, dan ∠ C =

120o, maka AB =

a. 1310 d. 1710

b. 320 e. 50

c. 2110

7. Pada segitiga ABC diketahui ∠ A =

60o, ∠ B = 75

o, dan BC = 3, maka

panjang AB =…

a. 23 d. 26

b. 63 e. 33

c. 6

8. Jika diketahui titik O(0, 0), A( 34 ,

4) dan B(6, 66 ) maka luas segitiga

AOB adalah…

a. 32 d. 72

b. 48 e. 96

c. 64

9. Suatu segitiga ABC diketahui panjang

BC = 10 cm, AB = 6 cm, dan ∠ B =

30o. luas segitiga ABC adalah…

a. 360 d. 30

b. 330 e. 60

c. 15

10. Diketahui segitiga ABC, dengan BC

= 3 cm, AC = 4 cm, dan ∠ A = 30o,

maka cos ∠ B adalah….

a. 55

2 d.

3

2

b. 53

1 e.

2

1

c. 32

1

11. Pada suatu jajargenjang ABCD

diketahui AB = 6 cm, AD = 4 cm,

dan ∠ BAD = 60o. luas jajargenjang

ABCD adalah…

a. 324 d. 12

b. 24 e. 36

c. 312

12. Dalam suatu segitiga ABC diketahui

BC = 15 cm, AB = 12 cm, dan luas

segitiga adalah 45 cm2, besar sudut

C adalah…

a. 90o d. 30

o

b. 60o e. 15

o

c. 45o

of 18



13. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB

= 6 cm, AC =10 cm, dan ∠ A = 60o.

Panjang BC adalah..

a. 192 d. 292

b. 193 e. 293

c. 294

14. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga

yang panjang sisinya 5 cm, 6 cm dan

21 cm adalah..

a. 215

1 d. 21

6

1

b. 216

1 e. 21

3

1

c. 215

1

15. Pada segitiga ABC diketahui panjang

sisi AB = 2 cm, AC = 3 cm, dan BC =

2 cm. nilai sin A adalah….

a. 32

1 d. 5

3

1

b. 53

1 e. 15

4

1

c. 74

1

16. Diketahui segitiga ABC dengan ∠ B

= 45o dan CT adalah garis tinggi dari

sudut C. jika BC = a dan AT =

22

5a maka AC adalah…

a. 3a d. 11a

b. 5a e. 13a

c. 7a

17. Pada segitiga ABC diketahui a + b =

10, sudut A = 30o, dan sudut B = 45

o.

maka panjang sisi b adalah….

a. ( )125 − d. ( )2210 +

b. ( )225 − e. ( )2110 +

c. ( )2210 −

18. Pada gambar di bawah, jika PQ =

310 maka panjang PS adalah…

a. 20

b. 320

c. 30

d. 330

e. 336

19. Diketahui segitiga ABC dengan

panjang AC = BC = 6 cm, AB =

36 . Luas segitiga ABC adalah...

a. 336 d. 29

b. 318 e. 22

9

c. 39

20. Nilai (p x q) dari gambar di bawah ini

adalah…

a. 33

b. 6

c. 9

d. 36

e. 2

113

P Q R

S

60o 30o ∟

3

p

30o ∟

q

of 18



Aturan Sin Cos Dan Luas Segitiga

Documents

Transcript of Aturan Sin Cos Dan Luas Segitiga