Materi 12

Aturan Rantai

Pengantar.

Bayangkan usaha untuk mencari turunan

F(x) = (2x2 – 4x + 1)60

Pertama anda harus mengalikan bersama ke 60 faktor-faktor kuadrat 2x2 – 4x + 1 dan

kemudian mendiferensialkan polinom derajat 120 yang dihasilkan.

Untung saja terdapat cara yang lebih baik. Setelah anda mempelajari aturan rantai, anda

akan mampu menuliskan jawaban.

F’(x) = 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)

Secepat anda menggerakkan pensil anda. Sebenarnya aturan rantai demikian pentingnya

sehingga anda jarang lagi mendiferrensialkan suatu fungsi tanpa memakainya. Tetapi agar

dapat menyatakan aturan tersebut sebagaimana mestinya, kita perlu memperkenalkan

suatu terobosan pada notasi D kita.

Notasi Dx

Jika suatu masalah menyangkut lebih dari dari satu variabel, akan sangat membantu untuk

mempunyai sarana penulisan (notasi) untuk menunjukkan variabel mana yang sedang

ditinjau pada suatuu saat tertentu. Jadi, jika y = s 2x3 dan kita ingin memperlakukan x sebagai

varibel bebas dan s sebagai konstan, maka dengan menulis Dxy akan memperoleh

Dxy = Dx(s2x3) = s2Dx(x3) = s2 . 3x2 = 3s2x2

Lambang Dxy ini dapat dibaca sebagai turunan y terhadap x.

Lebih penting adalah contoh berikut.

Andaikan y = u60 dan u = 2x2 – 4x + 1. Maka Duy = 60u59 dan Dxu = 4x – 4. Tetapi perhatikan

bilamana kita menggntikan u = 2x2 – 4x + 1 dalam y = u60 , kita peroleh :

Y = (2x2 – 4x + 1)60

Dengan demikian, adalah beralasan untuk menanyakan apa dan bagaimana D xy ini dikaitkan

dengan Duy dan Dxu? Secara lebih umum, bagaimana anda mendiferensialkan suatu fungsi

komposit?

Pendiferensialan Fungsi Komposit

Jika Tina dapat mengetik dua kali lebih cepat daripada Mona dan Mona dapat mengetik tiga

kali lebih cepat daripada Dono, maka Tina dapat mengetik 2.3 = 6 kali lebih cepat daripada

Dono. Kedua laju tersebut dikalikan.

Andaikan bahwa

Y = f(u) dan u = g(x)

menentukan fungsi komposit y = f(g(x)). Karena suatu turunan menunjukkan laju perubahan,

kita dapat mengatakan bahwa

Y berubah Duy kali secepat u

U berubah Dxu kali secepat x

Kelihatannya beralasan untuk menyimpulkan bahwa

Y berubah Duy . Dxu kali secepat x

Ini memang benar dan kita akan memberian bukti formal dalam materi berikutnya. Hasilnya

disebut Aturan Rantai.

Teorema A : Aturan rantai

Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y = f(g(x)) = fog(x). Jika g

terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x), maka fog terdiferensialkan di x dan

(fog)’(x) = f’(g(x)) . g’(x)

yakni,

Dxy = Duy . Dxu

Dengan cara yang sama, jika diketahui

w = f(s) dan s = g(t)

maka

Dtw = Dsw . Dts

Penerapan Aturan Rantai

Contoh 1: jika y = (2x2 – 4x + 1)60 , carilah Dxy

Penyelesaian :

Kita pikirkan ini sebagai : y = u60 dan u = 2x2 – 4x + 1

Jadi :

Dxy = Duy . Dxu

= (60u59).(4x – 4)

= 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)

= 240(x – 1)( 2x2 – 4x + 1)59

Contoh 2 : jika y = 1/ (2x5 – 7)3 , carilah Dxy

Penyelesaian :

Pikirkan begini : y = 1

𝑢3 = u-3 dan u = 2x5 – 7

Jadi :

Dxy = Duy . Dxu

= (-3u-4).(10x4)

= −3

𝑢4 . 10x4

= −30𝑥4

(2𝑥5 − 7)4

Contoh 3 : jika y = sin(x3 – 3x), cari Dxy

Penyelesaian:

Y = sin u dan u = x3 – 3x

Jadi

Dxy = Duy . Dxu

= (cos u).(3x2 – 3)

= [cos(x3 – 3x)].(3x2 – 3)

= (3x2 – 3).cos(x3 – 3x)

Contoh 4 : cari Dt (𝑡3 − 2𝑡 + 1

𝑡4 + 3)

13

Penyelesaian :

Pikirkan secara ini dalam mencari Dty, dimana

Y = u13 dan u = 𝑡3 − 2𝑡 + 1

𝑡4 + 3

Maka,

Dty = Duy . Dtu

= 13u12. (𝑡4 + 3)(3𝑡2 − 2) − (𝑡3 − 2𝑡 + 1)(4𝑡3)

(𝑡4 + 3)2

= 13 (𝑡3 − 2𝑡 + 1

𝑡4 + 3)

12

. (3𝑡6 − 2𝑡4 + 9𝑡2 − 6 ) − (4𝑡6 − 8𝑡4 + 4𝑡3)

(𝑡4 + 3)2

= 13 (𝑡3 − 2𝑡 + 1

𝑡4 + 3)

12

. (−𝑡6 + 6𝑡4− 4𝑡3 + 9𝑡2 − 6 )

(𝑡4 + 3)2

Segera anda akan mempelajari untuk membuat pengenalan dalam hati tentang variabel

antara tanpa menuliskannya. Jadi, seorang pakar segera menuliskan :

Dx(cos 3x) = (-sin 3x).3 = -3sin3x

Dx(x3 + sinx)6 = 6(x3 + sin x)5. (3x2 + cos x)

Dt (𝑡

cos 3𝑡)

4

= 4(𝑡

cos 3𝑡)

3

. cos3𝑡 − 𝑡(− sin 3𝑡)3

𝑐𝑜𝑠2 3𝑡

= 4𝑡3 (𝑐𝑜𝑠 3𝑡 + 3𝑡 sin 3𝑡)

𝑐𝑜𝑠5 3𝑡

Aturan Rantai Bersusun

Andaikan : y = f(u) dan u = g(v) dan v = h(x)

Maka,

Dxy = Duy . Dvu . Dxv

Contoh 5 : cari Dx [sin3(4x)]

Penyelesaian :

Pikirkan ini untuk mencari Dxy, dimana

Y = u3 dan u = sin v dan v = 4x

Maka ,

Dxy = Duy . Dvu . Dxv

= 3u2 . cos v . 4

= 12 sin2(4x) cos(4x)

Di sini juga, anda akan segera melakukan penggantian ini dalam kepala dan menuliskan

jawabnya dengan segera. Mungkin membantu jika anda perhatikan bahwa, dalam

pendiferensialan fungsi komposit bersusun, anda bekerja mulai tanda kurung paling luar ke

arah dalam, seperti mengupas bawang.

Marilah kita kerjakan contoh 5 sekali lagi, dengan membuat gamblang apa yang baru kita

katakan

Dx[sin(4x)]3 = 3sin2(4x).Dxsin(4x)

= 3sin2(4x) Cos(4x). Dx(4x)

= 3sin2(4x) cos(4x) . 4

= 12sin2(4x) cos(4x)

Contoh 6. Cari Dx{sin[cos(x2)]}

Penyelesaian :

Dx{sin[cos(x2)]} = cos[cos(x2)].Dx[cos(x2)]

= cos[cos(x2)].-sin(x2).Dx(x2)

= cos[cos(x2)].-sin(x2).2x

= -2x.sin(x2).cos[cos(x2)]

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1 – 20, carilah Dxy

1. Y = (2 – 9x)15

2. Y = (4x + 7)23

3. Y = (5x2 + 2x – 8)5

4. Y = (3x3 – 11x)7

5. Y = (x3 – 3x2 + 11x)9

6. Y = (2x4 – 12x2 + 11x – 9)10

7. Y = (3x4 + x – 8)-3

8. Y = (4x3 – 3x2 + 11x – 1)-5

9. Y = 1

(3𝑥4 + 𝑥 − 8)9

10. Y = 3

(4𝑥3 + 11𝑥 )7

11. Y = sin(3x2 + 11x)

12. Y = cos(4x5 – 11x)

13. Y = sin3x

14. Y = cos5x

15. Y = (𝑥2 − 1

𝑥 + 4)

4

16. Y = (3𝑥 − 1

2𝑥 + 5)

6

17. Y = sin (3𝑥 − 1

2𝑥 + 5)

18. Y = cos (𝑥2 − 1

𝑥 + 4)

19. Y = (4x – 7)2(2x + 3)

20. Y = (3𝑥2 + 2 )2

2𝑥2 − 5

Dalam soal 21 – 26, cari turunan yang ditunjukkan

21. Dt (3𝑡 − 2

𝑡 + 5)

3

22. Ds (𝑠2 − 9

𝑠 + 4)

23. Dt (sin3t)

24. Dt (cos4t)

25. Dx (sin 𝑥

cos 2𝑥)

3

26. Dt [sint tan(t2 + 1)]

Dalam soal 27 – 30, hitung turunan yng ditunjukkan

27. F’(3) jika f(x) = (𝑥2 + 1

𝑥 + 2)

3

28. G’(1) jika G(t) = (t2 + 9)3(t2 – 2)4

Dalam soal 29 – 32, gunakan aturan rantai bersusun (contoh 5) untuk mencari turunan yang

ditunjukkan

29. Dx[sin4(x2 + 3x)]

30. Dt[cos5(4t – 19)]

31. Dt[sin3t(cos t)]

32. Dx[x sin2(2x)]