TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU...

101
TURUNAN Chandra Novtiar 087827953335 [email protected] PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN SAINS INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (IKIP) SILIWANGI 13 APRIL 2020

Transcript of TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU...

Page 1: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

TURUNAN

Chandra Novtiar087827953335

[email protected]

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN SAINS

INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (IKIP) SILIWANGI

13 APRIL 2020

Page 2: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Garis Besar Pembahasan

Sub Pokok Pembahasan

DUA MASALAH SATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARI TURUNAN

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKAT TINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

Page 3: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

3 Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Sub Pokok Pembahasan

1. DUA MASALAH SATU TEMA2. TURUNAN3. ATURAN MENCARI TURUNAN4. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI5. ATURAN RANTAI6. TURUNAN TINGKAT TINGGI7. TURUNAN IMPLISIT8. LAJU BERKAITAN9. DIFERENSIASI DAN APROKSIMASI

Page 4: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

3 Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Sub Pokok Pembahasan

1. DUA MASALAH SATU TEMA2. TURUNAN3. ATURAN MENCARI TURUNAN4. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI5. ATURAN RANTAI6. TURUNAN TINGKAT TINGGI7. TURUNAN IMPLISIT8. LAJU BERKAITAN9. DIFERENSIASI DAN APROKSIMASI

Page 5: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

4 DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

DUA MASALAH SATU TEMA

Sub Pokok Bahasan1. Garis Singgung2. Laju/Kecepatan

Page 6: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

5 TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN

Sub Pokok Bahasan1. Definisi2. Contoh Mencari Turunan dengan menggunakan Definisi3. Diferensiabel4. Grafik fungsi Turunan

Page 7: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

6 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN MENCARI TURUNAN

Sub Pokok Bahasan1. Aturan Turunan Fungsi Konstan2. Aturan Turunan Fungsi Identitas3. Aturan Turunan Fungsi Pangkat4. Aturan Turunan Perkalian Konstanta dengan Fungsi5. Aturan Turunan Fungsi Penjumlahan6. Aturan Turunan Fungsi Pengurangan7. Aturan Turunan Fungsi Perkalian8. Aturan Turunan Fungsi Pembagian

Page 8: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

7 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Konstan

Teorema AJika f (x) = k dimana k merupakan konstanta, maka untuk setiapx ,f ′(x) = 0 atau Dx (k) = 0

Pembuktianf ′(x) = limh→0

f (x+h)−f (x)h = limh→0

k−kh = limh→00 = 0

Page 9: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

7 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Konstan

Teorema AJika f (x) = k dimana k merupakan konstanta, maka untuk setiapx ,f ′(x) = 0 atau Dx (k) = 0

Pembuktianf ′(x) = limh→0

f (x+h)−f (x)h = limh→0

k−kh = limh→00 = 0

Page 10: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

8 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Identitas

Teorema BJika f (x) = x maka f ′(x) = 1 atau Dx (x) = 1

Pembuktianf ′(x) = limh→0

f (x+h)−f (x)h = limh→0

(x+h)−xh = limh→0

hh = 1

Page 11: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

8 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Identitas

Teorema BJika f (x) = x maka f ′(x) = 1 atau Dx (x) = 1

Pembuktianf ′(x) = limh→0

f (x+h)−f (x)h = limh→0

(x+h)−xh = limh→0

hh = 1

Page 12: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

9 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pangkat

Teorema CJika f (x) = xn dimana n merupakan bilangan bulat positif, makaf ′(x) = nxn−1 atau Dx (xn) = nxn−1

Pembuktian

f ′(x) = limh→0f (x + h)− f (x)

h

= limh→0(x + h)n − xn

h

= limh→0xn + nxn−1h + n(n−1)

2 xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn − xn

h

=h[nxn−1 + n(n−1)

2 xn−2h + · · ·+ nxhn−2 + hn−1]

h= nxn−1

Page 13: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

9 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pangkat

Teorema CJika f (x) = xn dimana n merupakan bilangan bulat positif, makaf ′(x) = nxn−1 atau Dx (xn) = nxn−1

Pembuktian

f ′(x) = limh→0f (x + h)− f (x)

h

= limh→0(x + h)n − xn

h

= limh→0xn + nxn−1h + n(n−1)

2 xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn − xn

h

=h[nxn−1 + n(n−1)

2 xn−2h + · · ·+ nxhn−2 + hn−1]

h= nxn−1

Page 14: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

10 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pangkat

Aplikasi Teorema CDx (x3) = 3x2

Dx (x9) = 9x8

Dx (x100) = 100x99

Page 15: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

11 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Perkalian Konstanta denganFungsi

Teorema DJika k adalah konstanta dan f fungsi yang diferensiabel ataumemiliki turunan, maka (kf )′(x) = k · f ′(x) atauDx (k · f (x)) = k · f ′(x)

PembuktianMisalkan F (x) = k · f (x), maka

F ′(x) = limh→0F (x + h)− F (x)

h

= limh→0k · f (x + h)− k · f (x)

h

= limh→0k f (x + h)− f (x)h

= k · limh→0f (x + h)− f (x)

h= k · f ′(x)

Page 16: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

11 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Perkalian Konstanta denganFungsi

Teorema DJika k adalah konstanta dan f fungsi yang diferensiabel ataumemiliki turunan, maka (kf )′(x) = k · f ′(x) atauDx (k · f (x)) = k · f ′(x)

PembuktianMisalkan F (x) = k · f (x), maka

F ′(x) = limh→0F (x + h)− F (x)

h

= limh→0k · f (x + h)− k · f (x)

h

= limh→0k f (x + h)− f (x)h

= k · limh→0f (x + h)− f (x)

h= k · f ′(x)

Page 17: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

12 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Perkalian Konstanta denganFungsi

Aplikasi Teorema DDx (−7x3) = −7 · Dx x3 = −7 · 3x2 = −21x2

Dx (43 x9) = 4

3 Dx (x9) = 43 · 9x8 = 12x8

Page 18: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

13 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Penjumlahan

Teorema EJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f + g)′(x) = f ′(x) + g ′(x) atauDx (f (x) + g(x)) = Dx f (x) + Dx g(x)

PembuktianMisalkan F (x) = f (x) + g(x), maka

F ′(x) = limh→0F (x + h)− F (x)

h

= limh→0[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]

h

= limh→0

[f (x + h)− f (x)

h +g(x + h)− g(x)

h

]= limh→0

f (x + h)− f (x)h + limh→0

g(x + h)− g(x)h

= f ′(x) + g ′(x)

Page 19: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

13 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Penjumlahan

Teorema EJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f + g)′(x) = f ′(x) + g ′(x) atauDx (f (x) + g(x)) = Dx f (x) + Dx g(x)

PembuktianMisalkan F (x) = f (x) + g(x), maka

F ′(x) = limh→0F (x + h)− F (x)

h

= limh→0[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]

h

= limh→0

[f (x + h)− f (x)

h +g(x + h)− g(x)

h

]= limh→0

f (x + h)− f (x)h + limh→0

g(x + h)− g(x)h

= f ′(x) + g ′(x)

Page 20: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

14 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pengurangan

Teorema FJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f − g)′(x) = f ′(x)− g ′(x) atauDx (f (x)− g(x)) = Dx f (x)− Dx g(x)

PembuktianBuktikan sebagai latihan !

Page 21: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

14 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pengurangan

Teorema FJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f − g)′(x) = f ′(x)− g ′(x) atauDx (f (x)− g(x)) = Dx f (x)− Dx g(x)

PembuktianBuktikan sebagai latihan !

Page 22: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

15 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Contoh Penggunaan Teorema A,B,C,D,E,F

Tentukan turunan dari fungsi 5x2 + 7x − 6 dan4x6 − 3x5 − 10x2 + 5x + 16

Dx (5x2 + 7x − 6) = Dx (5x2 + 7x)− Dx (6) · · ·TeoremaF= Dx (5x2) + Dx (7x)− Dx (6) · · ·TeoremaE= 5Dx (x2) + 7Dx (x)− Dx (6) · · ·TeoremaD= 5 · 2x + 7 · 1− 0 · · ·TeoremaC ,B,A= 10x + 7

Page 23: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

16 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Dx (4x6 − 3x5 − 10x2 + 5x + 16) = Dx (4x6)− Dx (3x5)

−Dx10x2 + Dx5x + Dx16= 4Dx (x6)− 3Dx (x5)

−10Dx x2 + 5Dx x + Dx16= 4(6x5)− 3(5x4)

−10(2x) + 5(1) + 0= 24x5 − 15x4 − 20x + 5

Page 24: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

17 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Perkalian

Misalkan g(x) = x dan h(x) = 1+ 2x danf (x) = g(x) · h(x) = x(1+ 2x). Tentukanlah Dx f (x),Dx g(x) danDx h(x) = kemudian tunjukkan bahwa Dx f (x) 6= [Dx g(x)][Dx h(x)]

Dx f (x) = Dx (x(1+ 2x))= Dx (x + 2x2)

= 1+ 4xDx g(x) = Dx (x)

= 1Dx h(x) = Dx (1+ 2x)

= 2

Terlihat bahwa Dx (g(x))Dx (h(x)) = 1 · 2 sedangkanDx (f (x)) = 1+ 4x . Maka Dx f (x) 6= [Dx g(x)][Dx h(x)]

Page 25: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

18 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Perkalian

Teorema GJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f · g)′(x) = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x) atauDx [f (x)g(x)] = f (x)Dx g(x) + Dx f (x)g(x)

PembuktianBuktikan sebagai latihan!!

Page 26: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

18 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Perkalian

Teorema GJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memilikiturunan, maka (f · g)′(x) = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x) atauDx [f (x)g(x)] = f (x)Dx g(x) + Dx f (x)g(x)

PembuktianBuktikan sebagai latihan!!

Page 27: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

19 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Perkalian

Aplikasi Teorema GCarilah turunan fungsi (3x2 − 5)(2x4 − x) dengan menggunakanaturan perkalian. Periksalah jawaban tersebut dengan cara lain

Dx [(3x2 − 5)(2x4 − x)] = (3x2 − 5)Dx (2x4 − x) +Dx ((3x2 − 5))(2x4 − x)

= (3x2 − 5)(8x3 − 1) + (6x)(2x4 − x)= 24x5 − 3x2 − 40x3 + 5+ 12x5 − 6x2

= 36x5 − 40x3 − 9x2 + 5

(3x2 − 5)(2x4 − x) = 6x6 − 10x4 − 3x3 + 5x sehingga

Dx [(3x2 − 5)(2x4 − x)] = Dx (6x6)− Dx (10x4)− Dx (3x3)

+Dx (5x)= 36x5 − 40x3 − 9x2 + 5

Page 28: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

20 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pembagian

Teorema HJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memiliki

turunan, maka(

fg

)′(x) = g(x)f ′(x)−f (x)g ′(x)

g2(x) atau

Dx

(fg

)= g(x)Dx f (x)−f (x)Dx g(x)

g2(x)

PembuktianBuktikan sebagai latihan!!

Page 29: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

20 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pembagian

Teorema HJika f dan g adalah fungsi yang diferensiabel atau memiliki

turunan, maka(

fg

)′(x) = g(x)f ′(x)−f (x)g ′(x)

g2(x) atau

Dx

(fg

)= g(x)Dx f (x)−f (x)Dx g(x)

g2(x)

PembuktianBuktikan sebagai latihan!!

Page 30: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

21 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pembagian

Aplikasi Teorema HCarilah d

dx3x−5x2+7

ddx

3x − 5x2 + 7 =

(x2 + 7) ddx (3x − 5)− (3x − 5) d

dx (x2 + 7)

(x2 + 7)2

=(x2 + 7)(3)− (3x − 5)(2x)

(x2 + 7)2

=(3x2 + 21)− (6x2 − 10x)

(x2 + 7)2

=−3x2 + 10x + 21

(x2 + 7)2

Page 31: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

22 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pembagian

Aplikasi Teorema HCarilah Dx y jika y = 2

x4+1 + 3x

Dx y = Dx2

x4 + 1 + Dx3x

=(x4 + 1)Dx (2)− 2Dx (x4 + 1)

(x4 + 1)2 +(x)Dx (3)− 3Dx (x)

x2

=(x4 + 1)(0)− 2(4x3)

(x4 + 1)2 +(x)(0)− 3(1)

x2

=−8x3

(x4 + 1)2 −3x2

Page 32: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

23 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pembagian

Aplikasi Teorema HTunjukkan bahwa Dx (x−n) = −nx−n−1 dimana n bilangan bulatpositif

Dx (x−n) = Dx1xn

=(xn)Dx (1)− 1Dx (xn)

(xn)2

=(xn)(0)− (nxn−1)

(x2n)

=−nxn−1

x2n

= −nx−n−1

sehingga Dx

(3x

)= −3

x2

Page 33: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

23 ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

Aturan Turunan Fungsi Pembagian

Aplikasi Teorema HTunjukkan bahwa Dx (x−n) = −nx−n−1 dimana n bilangan bulatpositif

Dx (x−n) = Dx1xn

=(xn)Dx (1)− 1Dx (xn)

(xn)2

=(xn)(0)− (nxn−1)

(x2n)

=−nxn−1

x2n

= −nx−n−1

sehingga Dx

(3x

)= −3

x2

Page 34: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

24 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Turunan Fungsi sin(x)

Dx (sin x) = limh→0sin(x + h)− sin x

h

= limh→0sin x cos h + cos x sin h − sin x

h

= limh→0

(− sin x 1+ cos h

h + cos x sin hh

)= − sin x

[limh→0

1+ cos hh

]+ cos x

[limh→0

sin hh

]Karena limh→0

sin hh = 1 dan limh→0

1−cos hh = 0 maka

Dx (sin x) = (− sin x) · 0+ (cos x) · 1= cos x

Page 35: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

25 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Turunan Fungsi cos(x)

Dx (cos x) = limh→0cos(x + h)− cos x

h

= limh→0cos x cos h − sin x sin h − cos x

h

= limh→0

(− cos x 1− cos h

h − sin x sin hh

)= (− cos x) · 0− (sin x) · 1= − sin x

Page 36: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

26 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TEOREMA AFungsi f (x) = sin x dan g(x) = cos x yang keduanya merupakanfungsi yang diferensiabel dan

Dx (sin x) = cos xDx (cos x) = − sin x

Contoh Soal 1Tentukan Dx (3 sin x − 2 cos x)

Dx (3 sin x − 2 cos x) = 3Dx (sin x)− 2Dx (cos x)= 3 cos x + 2 sin x

Page 37: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

26 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TEOREMA AFungsi f (x) = sin x dan g(x) = cos x yang keduanya merupakanfungsi yang diferensiabel dan

Dx (sin x) = cos xDx (cos x) = − sin x

Contoh Soal 1Tentukan Dx (3 sin x − 2 cos x)

Dx (3 sin x − 2 cos x) = 3Dx (sin x)− 2Dx (cos x)= 3 cos x + 2 sin x

Page 38: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

27 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Contoh Soal 2Carilah persamaan garis singgung grafik fungsi y = 3 sin x di titik(π, 0)Turunan fungsi y adalah dy

dx = 3 cos x , sehingga di titik x = πkemiringan/gradien garis singgung adalah 3 cosπ = 3(−1) = −3.Jadi, persamaan garis singgung grafik fungsi y = 3 sin x di titik(π, 0) adalah

y − 0 = −3(x − π)y = −3x + 3π

Contoh Soal 3Tentukanlah Dx (x2 sin x)

Dx (x2 sin x) = x2Dx (sin x) + sin xDx (x2)

= x2 cos x + 2x sin x

Page 39: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

27 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Contoh Soal 2Carilah persamaan garis singgung grafik fungsi y = 3 sin x di titik(π, 0)Turunan fungsi y adalah dy

dx = 3 cos x , sehingga di titik x = πkemiringan/gradien garis singgung adalah 3 cosπ = 3(−1) = −3.Jadi, persamaan garis singgung grafik fungsi y = 3 sin x di titik(π, 0) adalah

y − 0 = −3(x − π)y = −3x + 3π

Contoh Soal 3Tentukanlah Dx (x2 sin x)

Dx (x2 sin x) = x2Dx (sin x) + sin xDx (x2)

= x2 cos x + 2x sin x

Page 40: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

28 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Contoh Soal 4

Tentukanlah nilai dari ddx

(1+sin x

cos x

)Untuk menyelesaikan masalah ini gunakan aturan turunan fungsipembagian

ddx

(1+ sin xcos x

)=

cos x ddx (1+ sin x)− (1+ sin x) d

dx cos xcos2 x

=cos x(cos x)− (1+ sin x)(− sin x)

cos2 x

=cos2 x + sin x + sin2 x

cos2 x=

1+ sin xcos2 x

Page 41: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

29 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TEOREMA B

Dx (tan x) = sec2 xDx (sec x) = sec x tan xDx (cot x) = − csc2 xDx (csc x) = − csc x cot x

Contoh Soal 5Carilah nilai dari Dx (xn tan x)

Dx (xn tan x) = xnDx (tan x) + tan xDx (xn)

= xn sec2 x + nxn−1 tan x

Page 42: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

29 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TEOREMA B

Dx (tan x) = sec2 xDx (sec x) = sec x tan xDx (cot x) = − csc2 xDx (csc x) = − csc x cot x

Contoh Soal 5Carilah nilai dari Dx (xn tan x)

Dx (xn tan x) = xnDx (tan x) + tan xDx (xn)

= xn sec2 x + nxn−1 tan x

Page 43: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

30 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Contoh Soal 6Carilah persamaan garis singgung grafik fungsi y = tan x di titik(π

4 , 1).Turunan fungsi y adalah dy

dx = sec2 x , sehingga di titik x = π4

kemiringan/gradien garis singgung adalahsec2 (π

4)= 1

cos2 π4= 1(√

22

)2 = 112= 2. Jadi, persamaan garis

singgung grafik fungsi y = tan x di titik (π4 , 1) adalah

y − 1 = 2(x − π

4 )

y = 2x − π

2 + 1

Page 44: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

31 TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Contoh Soal 7Tentukanlah semua titik pada y = sin2 x dimana garis singungnyahorizontal. Garis singgung suatu grafik horizontal ketikagradiennya nol.

ddx sin2 x =

ddx sin x sin x

= sin x ddx sin x + sin x d

dx sin x

= sin x cos x + sin x cos x= 2 sin x cos x

2 sin x cos x = 0 ketika sin x = 0 atau cos x = 0. Kondisi ini terjadisaat x = 0,±π

2 ,±π,±3π2 , · · ·

Page 45: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

32 ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

TEOREMA A ATURAN RANTAIMisalkan y = f (u) dan u = g(x). Jika g terdiferensialkan di xdan f terdiferensialkan di u = g(x), maka fungsi komposisi f ◦ gyang didefinisikan sebagai (f ◦ g)(x) = f (g(x)) terdiferensialkandi x dan

(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g ′(x)Dx (f (g(x)) = f ′(g(x))g ′(x)

dydx =

dydu

dudx

Page 46: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

33 ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 1Diketahui y = (2x2 − 4x + 1)60. Tentukan Dx yMisalkan y = u60 dan u = 2x2 − 4x + 1. Sehingga f (u) = u60 danu = g(x) = 2x2 − 4x + 1 maka

Dx y = Dx f (g(x))= f ′(u)g ′(x)= (60u59)(4x − 4)= 60(2x2 − 4x + 1)59(4x − 4)

Page 47: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

34 ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 2Diketahui y = 1

(2x5−7)3 . Tentukan dydx

Misalkan y = 1u3 = u−3 dan u = 2x5 − 7. Sehingga

dydx =

dydu

dudx

= (−3u−4)(10x4)

=−3u4 (10x4)

=−30x4

(2x5 − 7)4

Page 48: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

35 ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 3

Hitunglah Dt

(t3−2t+1

t4+3

)13.

Misalkan y = u13 dimana u = (t3−2t+1)t4+3 . Dengan menggunakan

aturan rantai ditambah aturan pembagian memberikan

Dt

(t3 − 2t + 1

t4 + 3

)13= 13

(t3 − 2t + 1

t4 + 3

)12Dt

(t3 − 2t + 1

t4 + 3

)= 13

(t3 − 2t + 1

t4 + 3

)12

(t4 + 3)(3t2 − 2)− (t3 − 2t + 1)(4t3)

(t4 + 3)2

= 13(

t3 − 2t + 1t4 + 3

)12−t6 + 6t4 − 4t3 + 9t2 − 6(t4 + 3)2

Page 49: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

36 ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 4Jika y = sin 2x , tentukanlah dy

dx . Misalkan y = sin u dimanau = 2x . Dengan menggunakan aturan rantai

dydx =

dydu

dudx

= cos u(2)= 2 cos 2x

CONTOH 5Tentukanlah F ′(y) dimana F (y) = y sin y2. Dengan menggunakanaturan perkalian untuk perkalian antara y dengan sin y2 danaturan rantai untuk turunan sin y2 menjadi

F ′(x) = yDy [sin y2] + sin y2Dy [y ]= y(cos y2)Dy (y2) + sin y2(1)= 2y3 cos y2 + sin y2

Page 50: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

36 ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 4Jika y = sin 2x , tentukanlah dy

dx . Misalkan y = sin u dimanau = 2x . Dengan menggunakan aturan rantai

dydx =

dydu

dudx

= cos u(2)= 2 cos 2x

CONTOH 5Tentukanlah F ′(y) dimana F (y) = y sin y2. Dengan menggunakanaturan perkalian untuk perkalian antara y dengan sin y2 danaturan rantai untuk turunan sin y2 menjadi

F ′(x) = yDy [sin y2] + sin y2Dy [y ]= y(cos y2)Dy (y2) + sin y2(1)= 2y3 cos y2 + sin y2

Page 51: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

37 ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 6

Tentukanlah Dx

(x2(1−x)3

1+x

). Dengan menggunakan aturan

pembagian dan aturan rantai sehingga (Kerjakan sebagai latihan)

CONTOH 7Tentukanlah d

dx1

(2x−1)3

ddx

1(2x − 1)3 =

ddx (2x − 1)−3

= −3(2x − 1)−3−1 ddx (2x − 1)

= −3(2x − 1)−4(2)

=−6

(2x − 1)4

Page 52: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

37 ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 6

Tentukanlah Dx

(x2(1−x)3

1+x

). Dengan menggunakan aturan

pembagian dan aturan rantai sehingga (Kerjakan sebagai latihan)

CONTOH 7Tentukanlah d

dx1

(2x−1)3

ddx

1(2x − 1)3 =

ddx (2x − 1)−3

= −3(2x − 1)−3−1 ddx (2x − 1)

= −3(2x − 1)−4(2)

=−6

(2x − 1)4

Page 53: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

38 ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI

CONTOH 8Tentukanlah ekspresi turunan untuk fungsi-fungsi berikut dengansyarat F diferensiabel.(a) Dx (F (x3))

(b) Dx [(F (x))3]

Jawaban :(a) Misalkan u = x3 sehingga F (x3) = F (u). Maka

Dx F (x3) = F ′(x3)Dx (x3) = 3x2F ′(x3)

(b) Misalkan u = F (x) sehingga F (x)3 = u3. Dengan aturanpangkat dan aturan rantai,Dx [(F (x))3] = 3[F (x)]2Dx (F (x)) = 3[F (x)]2F ′(x)

Page 54: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

39 ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI BERULANG

CONTOH 9Tentukanlah Dx sin3 (4x). Ingat bahwa sin3 (4x) = [sin (4x)]3

Dx sin3 (4x) = Dx [sin (4x)]3

= 3[sin (4x)]3−1Dx sin (4x)= 3[sin (4x)]2 cos (4x)Dx (4x)= 3[sin (4x)]2 cos (4x)(4)= 12 cos (4x) sin (4x)]2

Page 55: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

40 ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

ATURAN RANTAI BERULANG

CONTOH 10Tentukanlah Dx sin[cos [x2]]

Dx sin[cos [x2]] = cos[cos [x2]]Dx [cos [x2]]

= cos[cos [x2]] · [− sin (x2)] · Dx [x2]

= cos[cos [x2]] · [− sin (x2)] · (2x)= −2x sin (x2) cos[cos [x2]]

Page 56: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

41 TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN TINGKAT TINGGI

TURUNAN TINGKAT TINGGIMisalkan terdapat fungsi f . Operasi turunan pada f menjadikan fmenjadi f ′. Selanjutnya, fungsi f ′ diturunkan kembali menjadisuatu fungsi f ” (dibaca f double aksen) dan disebut turunankedua dari f . Kemudian, f ” diturunkan kembali sekali menjadif ′′′ sebagai turunan ketiga dari f . Turunan keempatdinotasikan dengan f 4 dan turunan kelima dinotasikan dengan f 5

dan lain-lain. Sebagai contoh jika kita memiliki suatu fungsif (x) = 2x3 − 4x2 + 7x − 8. Maka

f ′(x) = 6x2 − 8x + 7f ”(x) = 12x − 8f ′′′(x) = 12f 4(x) = 0

Karena f 4(x) = 0 maka turunan keempat dan turunan tingkattinggi selanjutnya dari x akan bernilai 0.

Page 57: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

42 TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN TINGKAT TINGGI

NOTASI TURUNAN TINGKAT TINGGITurunan Notasi f ′ Notasi y ′ Notasi D Notasi LeibnizPertama f ′(x) y ′ Dx y dy

dxKedua f ”(x) y” D2

x y d2ydx2

Ketiga f ′′′(x) y ′′′ D3x y d3y

dx3

Keempat f 4(x) y4 D4x y d4y

dx4

......

......

...Ke-n f n(x) yn Dn

x y dnydxn

Page 58: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

43 TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN TINGKAT TINGGI

CONTOH 1Misalkan y = sin 2x . Carilah d3y

dx3 ,d4ydx4 dan d12y

dx12 .

dydx = 2 cos 2x

d2ydx2 = −22 sin 2x

d3ydx3 = −23 cos 2x

d4ydx4 = 24 sin 2x

d5ydx5 = 25 cos 2x

... =...

d12ydx12 = 212 sin 2x

Page 59: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

44 TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN TINGKAT TINGGI

LAJU DAN PERCEPATAN : LAJUSuatu obek bergerak di sepanjang garis sehingga posisinya saat tdinyatakan dengan s = 2t2 − 12t + 8, dimana s dalam satuancentimeter dan t dalam satuan detik dengan t ≥ 0. Tentukanlahlaju saat t = 1 detik dan saat t = 6 detik. Kapankah benda ketikalajunya 0? Kapankah lajunya bernilai positif?

v(t) =dsdt

= 4t − 12

sehingga laju saat t = 1 detik adalah v(1) = 4(1)− 12 = −8centimeter per detik dan laju saat t = 6 detik adalahv(6) = 4(6)− 12 = 24 centimeter per detik. Laju bernilai nolketika v(t) = 4t − 12 = 0 atau saat t = 3 detik. Laju bernilaipositif ketika v(t) = 4t − 12 > 0 atau t > 3 detik.

Page 60: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

45 TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN TINGKAT TINGGI

LAJU DAN PERCEPATAN : PERCEPATANPercepatan merupakan kecepatan perubahan laju terhadap waktu,yang dinotasikan dengan a

a(t) =dvdt =

d2sdt2

Contohnya adalah pada soal sebelumnya, dengans = 2t2 − 12t + 8 maka

v(t) =dsdt = 4t − 12

a(t) =d2sdt2 = 4

Hal ini memperlihatkan bahwa laju naik dengan kecepatan yangkonstan yaitu 4 centimeter per detik dalam 1 detik, ditulis 4centimeter per detik per detik atau 4 cm

detik2

Page 61: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

46 TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN TINGKAT TINGGI

CONTOH 2Suatu benda bergerak di sepanjang garis horizontal denganposisinya setiap saat dituliskan sebagai

s(t) = t3 − 12t2 + 36t − 30

dimana s jarak dalam satuan kaki dan t dalam detik.(a) Kapankah ketika lajunya 0?(b) Kapankah lajunya positif?(c) Kapankah benda bergerak ke arah kiri (arah negatif)?(d) Kapankah percepatannya positif?

Page 62: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

47 TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN TINGKAT TINGGI

JAWABAN CONTOH 2(a) v = ds

dt = 3t2 − 24t + 36 = 3(t − 2)(t − 6). Sehinggakecepatan v = 0 saat t = 2 dan t = 6

(b) v > 0 ketika (t − 2)(t − 6) > 0, yaitu saat t pada intervalwaktu (−∞, 2) ∪ (6,∞)

(c) Benda bergerak ke arah kiri, saat v < 0 atau(t − 2)(t − 6) < 0 yaitu saat t pada interval waktu (2, 6)

(d) a = dvdt = 6t − 24 = 6(t − 4) sehingga a > 0 saat t > 4

Page 63: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

48 TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN TINGKAT TINGGI

GERAK JATUH BEBASJika suatu benda dilempar ke atas dengan ketinggian awal s0 kakidengan laju awal adalah v0 kaki per detik. Jika s merupakanketinggian di atas permukaan tanah, dalam kaki per detik, makas = −16t2 + v0t + s0. Dalam hal ini, kecepatan positifmenandakan benda bergerak ke atas.

CONTOH 3Dari atas suatu gedung dengan ketinggian 160 kaki, sebuah boladilemparkan ke atas dengan laju awal sebesar 64 kaki per detik(a) Kapankah bola mencapai ketinggian maksimum?(b) Berapakah ketinggian maksimumnya?(c) Kapankah bola mencapai dasar gedung?(d) Dengan laju berapakah bola mencapai dasar gedung?(e) Berapakah percepatan saat t = 2?

Page 64: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

48 TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN TINGKAT TINGGI

GERAK JATUH BEBASJika suatu benda dilempar ke atas dengan ketinggian awal s0 kakidengan laju awal adalah v0 kaki per detik. Jika s merupakanketinggian di atas permukaan tanah, dalam kaki per detik, makas = −16t2 + v0t + s0. Dalam hal ini, kecepatan positifmenandakan benda bergerak ke atas.

CONTOH 3Dari atas suatu gedung dengan ketinggian 160 kaki, sebuah boladilemparkan ke atas dengan laju awal sebesar 64 kaki per detik(a) Kapankah bola mencapai ketinggian maksimum?(b) Berapakah ketinggian maksimumnya?(c) Kapankah bola mencapai dasar gedung?(d) Dengan laju berapakah bola mencapai dasar gedung?(e) Berapakah percepatan saat t = 2?

Page 65: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

49 TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN TINGKAT TINGGI

JAWABAN CONTOH 3Dari atas suatu gedung dengan ketinggian 160 kaki, sebuah boladilemparkan ke atas dengan laju awal sebesar 64 kaki per detik.Misalkan t = 0 berkorespondensi dengan waktu bola dilemparkanke atas. Maka s0 = 160 dan v0 = 64 (v0 bernilai positif karenabola dilempar ke atas), maka

s(t) = −16t2 + 64t + 160

v(t) =dsdt = −32t + 64

a(t) =dvdt = −32

(a) Bola mencapai ketinggian maksimum saat lajunya 0 atau−32t + 64 = 0 atau t = 2 detik

(b) Saat t = 2, s = −16(2)2 + 64(2) + 160 = 224 kaki

Page 66: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

50 TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN TINGKAT TINGGI

JAWABAN CONTOH 3(Lanjutan)(c) Bola mencapai dasar gedung saat s = 0 atau

−16t2 + 64t + 160 = 0−16(t2 − 4t − 10) = 0

(t2 − 4t − 10) = 0

yang menghasilkan t = 4±√

16+402 = 4±2

√14

2 = 2±√14.

Namun hanya waktu t positif yang masuk akal makat = 2+

√14 detik

(d) Saat t = 2+√14, v = −32(2+

√14) + 64 = −32

√14. Jadi,

bola menyentuh tanah dengan laju 32√14 kaki per detik.

(tanda negatif menandakan saat benda bererak ke bawah).(e) Percepatan selalu konstan yaitu a = −32kakiperdetik2.

Page 67: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

51 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

TURUNAN IMPLISITPada persamaan y3 + 7y = x3, kita tak dapat menyelesaikan ydalam fungsi x . Persamaan ini dinamakan persamaan implisit.Dengan menuliskan y sebagai y(x) kita dapat menuliskan ulangpersamaan menjadi y(x)3 + 7y(x) = x3. Kita dapat menentukanhubungan antara x , y(x) dan y ′(x) dengan menurunkan keduaruas terhadap x . Dengan aturan rantai diperoleh

ddx y3 +

ddx (7y) =

ddx x3

3y2 dydx + 7dy

dx = 3x2

dydx (3y2 + 7) = 3x2

dydx =

3x2

3y2 + 7

Page 68: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

52 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

TURUNAN IMPLISIT(LANJUTAN)Saat x = 2 persamaan menjadi y3 + 7y = x3 = 23 = 8 atauy3 + 7y = 8 sehingga diperoleh y = 1. Gradien garis singgungkurva/grafik y3 + 7y = x3 di (x , y) = (2, 1) adalah

dydx =

3(2)2

3(1)2 + 7

=1210

=65

Metode ini merupakan ilustrasi dalam menentukan dydx tanpa

mencari/menentukan persamaan y terhadap variabel x . Metodeini diberi nama metode turunan impilsit

Page 69: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

53 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

CONTOH 1Tentukanlah dy

dx jika diketahui persamaan 4x2y − 3y = x3 − 1Metode 1Dengan mencari y terlebih dahulu

4x2y − 3y = x3 − 1y(4x2 − 3) = x3 − 1

y =x3 − 14x2 − 3

Maka

dydx =

(4x2 − 3)(3x2)− (x3 − 1)(8x)(4x2 − 3)2

=4x4 − 9x2 + 8x

(4x2 − 3)2

Page 70: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

54 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

CONTOH 1(LANJUTAN)Metode 2 TURUNAN IMPLISITDengan menurunkan kedua ruas 4x2y − 3y = x3 − 1 terlebihdahulu diperoleh d

dx (4x2y − 3y) = ddx x3 − 1

4x2 dydx + 8xy − 3dy

dx = 3x2

dydx (4x2 − 3) = 3x2 − 8xy

dydx =

3x2 − 8xy4x2 − 3 (1)

Jawaban yan diperoleh berbeda dengan metode 1. Denganmensubstitusikan y = x3−1

4x2−3 ke persamaan (1) menjadidydx = x3−1

4x2−3 =3x2−8x x3−1

4x2−34x2−3 = 12x4−9x2−8x4+8x

(4x2−3)2 = 4x4−9x2+8x(4x2−3)2

Page 71: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

55 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

CONTOH 2Tentukanlah dy

dx jika diketahui persamaan x2 + 5y3 = x + 9

ddx (x

2 + 5y3) =ddx (x + 9)

2x + 15y2 dydx = 1

dydx =

1− 2x15y2

Page 72: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

56 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

CONTOH 3Carilah persamaan garis singgung kurva y3 − xy2 + cos xy = 2 dititik (0, 1). Gunakan notasi y ′ untuk dy

dx

3y2y ′ − x(2yy ′)− y2 − sin xy(xy ′ + y) = 0y ′(3y2 − 2xy − x sin xy) = y2 + y sin xy

y ′ =y2 + y sin xy

3y2 − 2xy − x sin xy

Di (0, 1) diperoleh y ′ = 13 sehingga persamaan garis singgung

kurva tersebut di (0, 1) adalah

y − 1 =13 (x − 0)

y =13x + 1

Page 73: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

57 TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

TURUNAN IMPLISIT

CONTOH 4Jika y = 2x 5

3 +√

x2 + 1, tentukanlah Dx y

Dx y = Dx(2x 5

3 +√

x2 + 1)

= 2Dx (x53 ) + Dx (

√x2 + 1)

= 2(53x 5

3−1)+

12 (x

2 + 1) 12−1 · (2x)

=103 x 2

3 +x√

x2 + 1

Page 74: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

58 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

DUA CONTOH SEDERHANA :CONTOH 1Sebuah balon kecil yang berjarak 150 kaki dari seorang pengamatakan dilepaskan ke atas. Jika balon tersebut bergerak ke atasdengan laju 8kaki/detik, seberapa cepatkah jarak dari pengamatdan balon bertambah ketika balon berada pada ketinggian 50 kaki.

Misalkan t merupakan waktu (dalam detik) setelah balondilepaskan. Misalkan pula h merupakan ketinggian balon daridasar tanah dan x merupakan jarak dari pengamat terhadap posisiawal balon dilepaskan. Baik h maupun x merupakan variabel yangbergantung pada t. Diagram sederhana untuk mengambarkankondisi ini adalah sebagai berikut

Page 75: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

58 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

DUA CONTOH SEDERHANA :CONTOH 1Sebuah balon kecil yang berjarak 150 kaki dari seorang pengamatakan dilepaskan ke atas. Jika balon tersebut bergerak ke atasdengan laju 8kaki/detik, seberapa cepatkah jarak dari pengamatdan balon bertambah ketika balon berada pada ketinggian 50 kaki.

Misalkan t merupakan waktu (dalam detik) setelah balondilepaskan. Misalkan pula h merupakan ketinggian balon daridasar tanah dan x merupakan jarak dari pengamat terhadap posisiawal balon dilepaskan. Baik h maupun x merupakan variabel yangbergantung pada t. Diagram sederhana untuk mengambarkankondisi ini adalah sebagai berikut

Page 76: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

59 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

Jarak dari pengamat ke titik awal pelepasan balon sejauh 150 kakitidak berubah ketika waktu t bertambah. Sedangkan jarak antarapengamat dengan balon s dan jarak antara titik pertama balondilepaskan dan posisi balon h berubah ketika t waktu bertambah.Hubungan antara variabel-variabel tersebut sesuai dengan teoremaphytagoras

s2 = h2 + (150)2

Dengan menurunan secara implisit kedua ruas terhadap t diperoleh

2s dsdt = 2hdh

dt

s dsdt = hdh

dt

Ketika h = 50 kaki, s memenuhi s2 = h2 + (150)2 sehinggadiperoleh s2 = (50)2 + (150)2 = 2500+ 22500 = 25000 ataus = 50

√10 kaki

Page 77: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

60 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

Substitusi s = 50√10 kaki,h = 50 kaki dan dh

dt = 8 kakidetik ke

s dsdt = h dh

dt menjadi

50√10ds

dt = 50(8)

dsdt =

8√10

Jadi, ketika ketinggian balon h = 50 kaki, jarak pengamat danbalon bertambah dengan laju 8√

10kakidetik

Page 78: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

61 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

DUA CONTOH SEDERHANA :CONTOH 2Air dialirkan ke dalam sebuah tangki berbentuk kerucut terbalikdengan debit/laju 8 kaki3

menit . Jika tinggi tangki adalah 12 kaki danradius atau jari-jari tangki adalah 6 kaki, seberapa cepat ketinggianair bertambah ketika ketinggian air tersebut adalah 4 kaki

Misalkan h dinotasikan sebagai ketinggian air dan r merupakanradius atau jari-jari permukaan air.

Page 79: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

61 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

DUA CONTOH SEDERHANA :CONTOH 2Air dialirkan ke dalam sebuah tangki berbentuk kerucut terbalikdengan debit/laju 8 kaki3

menit . Jika tinggi tangki adalah 12 kaki danradius atau jari-jari tangki adalah 6 kaki, seberapa cepat ketinggianair bertambah ketika ketinggian air tersebut adalah 4 kaki

Misalkan h dinotasikan sebagai ketinggian air dan r merupakanradius atau jari-jari permukaan air.

Page 80: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

62 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

Volume air V di dalam tangki bertambah dengan laju 8 kaki3

menit ataudVdt = 8. Akan dicari seberapa cepat ketinggian air bertambahatau dh

dt ketika h = 4.Hubungan antara V dengan h dapat dituliskan sebagaiV = 1

3πr2h. Karena radius r dan laju pertambahan radius r tidakkita perlukan, maka kita dapat menentukan nilai r yangbergantung pada h yang memenuhi

rh =

612

r =h2

sehingga V = 13πr2h menjadi V = 1

3π( h

2)2h = πh3

12

Page 81: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

63 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

Dengan menurunkan kedua ruas secara impilist pada V = πh3

12diperoleh

dVdt =

dVdh

dhdt

=3πh2

12dhdt =

πh2

4dhdt

sehingga ketika h = 4 kaki dan dVdt = 8 kaki3

menit

8 =π(4)2

4dhdt

dhdt =

Jadi, ketinggian air bertambah dengan laju 2π

kakimenit

Page 82: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

64 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

PROSEDUR SISTEMATISBerdasarkan contoh 1 dan 2 dapat kita simpulkan langkah-langkahatau prosedur sistematis untuk menyelesaikan masalah lajuberkaitan ini adalah

1 MENDEFINISIKAN VARIABEL-VARIABEL YANGTERLIBAT

2 TULISKAN SEMUA YANG DIKETAHUI DALAM SOALTENTANG VARIABEL-VARIABEL DAN INFORMASI YANGTERKANDUNG DI DALAMNYA

3 MENENTUKAN HUBUNGAN ANTAR VARIABEL4 HUBUNGAN ANTAR VARIABEL DITURUNKAN SECARA

IMPLISIT5 MEMPEROLEH NILAI VARIABEL LAIN KEMUDIAN

SUBSTITUSI DATA-DATA YANG DIKETAHUI DAN NILAIVARIABEL LAIN KE PERSAMAAN STEP 4

Page 83: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

65 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 3Pesawat terbang ke arah utara pada tengah hari dengan laju640 mil

jam . Lima belas menit kemudian, pesawat kedua terbang kearah timur dengan laju 600 mil

jam . Jika kedua pesawat terbang darititik yang sama, seberapa cepat kedua pesawat terpisah pada jam13.15.

STEP 1Misalkan t merupakan waktu (dalam jam) setelah pukul 12.15, ymerupakan jarak tempuh (dalam mil) pesawat pertama yangterbang ke arah utara setelah pukul 12.15 dan x merupakan jaraktempuh (dalam mil) pesawat kedua yang terbang ke arah timur.Misalkan pula s merupakan jarak antara dua pesawat. Dalamwaktu setelah tengah hari hingga pukul 12.15, pesawat pertamatelah menempuh jarak 640

4 = 160 mil, sehingga jarak jarak tempuhpesawat pertama pada waktu t adalah y + 160.

Page 84: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

65 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 3Pesawat terbang ke arah utara pada tengah hari dengan laju640 mil

jam . Lima belas menit kemudian, pesawat kedua terbang kearah timur dengan laju 600 mil

jam . Jika kedua pesawat terbang darititik yang sama, seberapa cepat kedua pesawat terpisah pada jam13.15.

STEP 1Misalkan t merupakan waktu (dalam jam) setelah pukul 12.15, ymerupakan jarak tempuh (dalam mil) pesawat pertama yangterbang ke arah utara setelah pukul 12.15 dan x merupakan jaraktempuh (dalam mil) pesawat kedua yang terbang ke arah timur.Misalkan pula s merupakan jarak antara dua pesawat. Dalamwaktu setelah tengah hari hingga pukul 12.15, pesawat pertamatelah menempuh jarak 640

4 = 160 mil, sehingga jarak jarak tempuhpesawat pertama pada waktu t adalah y + 160.

Page 85: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

66 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 1 (LANJUTAN)

STEP 2Untuk t > 0, dy

dt = 640 dan dxdt = 600. Kita ingin mencari ds

dt saatt = 1 (yaitu pukul 13.15).

Page 86: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

66 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 1 (LANJUTAN)

STEP 2Untuk t > 0, dy

dt = 640 dan dxdt = 600. Kita ingin mencari ds

dt saatt = 1 (yaitu pukul 13.15).

Page 87: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

67 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 3Teorema phytagoras, hubungan antar variabel pada langkah 1 dan2 adalah

s2 = x2 + (y + 160)2

STEP 4Turunkan secara implisit tehadap t dan gunakan aturan rantaisehingga diperoleh

2s dsdt = 2x dx

dt + 2(y + 160)dydt

s dsdt = x dx

dt + (y + 160)dydt

Page 88: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

67 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 3Teorema phytagoras, hubungan antar variabel pada langkah 1 dan2 adalah

s2 = x2 + (y + 160)2

STEP 4Turunkan secara implisit tehadap t dan gunakan aturan rantaisehingga diperoleh

2s dsdt = 2x dx

dt + 2(y + 160)dydt

s dsdt = x dx

dt + (y + 160)dydt

Page 89: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

68 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 5Untuk setiap t > 0, dy

dt = 640 dan dxdt = 600. Saat t = 1, x = 600

dan y = 640, maka s =√(600)2 + (640+ 160)2 = 1000.

Substitusikan semua data-data yang diketahui dan diperoleh kepersamaan pada step 4, menjadi

1000dsdt = (600)(600) + (640+ 160)(640)

1000dsdt = 872000

dsdt = 872

Jadi, pada pukul 13.15, dua pesawat terpisah 872 miljam

Page 90: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

69 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 4Seorang wanita berdiri di atas jurang di pantai melihatmenggunakan teleskop sebuah motorboat yang lewat mendekatigaris pantai di bawah wanita tersebut. Jika teleskop tersebutberjarak 250 kaki di atas permukaan laut dan motorboat bergerakmendekati garis pantai dengan laju 20 kaki

detik , seberapa cepat sudutteleskop berubah ketika boat berjarak 250mil dari garis pantai.

STEP 1Hubungan antara variabel x dan θ digambarkan sebagai berikut

Page 91: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

69 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 4Seorang wanita berdiri di atas jurang di pantai melihatmenggunakan teleskop sebuah motorboat yang lewat mendekatigaris pantai di bawah wanita tersebut. Jika teleskop tersebutberjarak 250 kaki di atas permukaan laut dan motorboat bergerakmendekati garis pantai dengan laju 20 kaki

detik , seberapa cepat sudutteleskop berubah ketika boat berjarak 250mil dari garis pantai.

STEP 1Hubungan antara variabel x dan θ digambarkan sebagai berikut

Page 92: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

70 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 2Diberikan dx

dt = −20 (tanda negatif menandakan karena xberkurang seiring pertambahan waktu t. Kita menginginkanmengetahui dθ

dt saat x = 250

STEP 3Dengan menggunakan kesamaan trigonometri

cos θ =x250

STEP 4Dengan menurunkan kedua ruas persamaan pada step 3 danmenggunakan aturan rantai diperoleh

sec2 θdθdt =

1250

dxdt

Page 93: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

70 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 2Diberikan dx

dt = −20 (tanda negatif menandakan karena xberkurang seiring pertambahan waktu t. Kita menginginkanmengetahui dθ

dt saat x = 250

STEP 3Dengan menggunakan kesamaan trigonometri

cos θ =x250

STEP 4Dengan menurunkan kedua ruas persamaan pada step 3 danmenggunakan aturan rantai diperoleh

sec2 θdθdt =

1250

dxdt

Page 94: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

70 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 2Diberikan dx

dt = −20 (tanda negatif menandakan karena xberkurang seiring pertambahan waktu t. Kita menginginkanmengetahui dθ

dt saat x = 250

STEP 3Dengan menggunakan kesamaan trigonometri

cos θ =x250

STEP 4Dengan menurunkan kedua ruas persamaan pada step 3 danmenggunakan aturan rantai diperoleh

sec2 θdθdt =

1250

dxdt

Page 95: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

71 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 5Saat x = 250, θ = π

4 dan sec2 (π4)= 1

cos2(

π4

) = 1(√2

2

)2 = 124= 2

maka

2dθdt =

1250 (−20)

dθdt = − 1

25 = −0.04

Jadi, θ berubah −0.04 mildetik . Tanda negatif menandakan θ

berkurang seiring bertambahnya waktu.

Page 96: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

72 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 5Matahari yang terbit di atas sebuah gedung dengan tinggi 120kaki membentuk bayangan. Seberapa cepat bayangan bertambah(dalam kaki per detik) ketika cahaya matahari membentuk sudut450

STEP 1Misalkan t menyatakan waktu (dalam detik) sejak tengah malam.Misalkan x menyatakan panjang bayangan (dalam kaki) dan θmenyatakan sudut antara sinar matahari dengan dasar gedung.Lihat gambar di bawah

Page 97: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

72 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 5Matahari yang terbit di atas sebuah gedung dengan tinggi 120kaki membentuk bayangan. Seberapa cepat bayangan bertambah(dalam kaki per detik) ketika cahaya matahari membentuk sudut450

STEP 1Misalkan t menyatakan waktu (dalam detik) sejak tengah malam.Misalkan x menyatakan panjang bayangan (dalam kaki) dan θmenyatakan sudut antara sinar matahari dengan dasar gedung.Lihat gambar di bawah

Page 98: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

73 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

STEP 2Pelajari sendiri

STEP 3Pelajari sendiri

STEP 4Pelajari sendiri

STEP 5Pelajari sendiri

Page 99: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

74 LAJU BERKAITAN

Daftar Pustaka

13 April 2020

LAJU BERKAITAN

CONTOH 6Lihat soal latihan 6 pada buku kalkulus tentang laju berkaitan

STEP 1Pelajari sendiri

STEP 2Pelajari sendiri

STEP 3Pelajari sendiri

STEP 4Pelajari sendiri

STEP 5Pelajari sendiri

Page 100: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

75 Daftar Pustaka

13 April 2020

Daftar Pustaka

I D.Varberg, E.Purcell, and S.Rigdon, Calculus 9rd Edition,Jakarta, Erlangga, 20xx.

Page 101: TURUNAN · 2020. 6. 20. · TRIGONOMETRI ATURAN RANTAI TURUNAN TINGKAT TINGGI TURUNAN IMPLISIT LAJU BERKAITAN Daftar Pustaka 13 April 2020 Aturan Turunan Fungsi Identitas Teorema

76

KALKULUS

Chandra Novtiar,M.Si.

Sub PokokPembahasan

DUA MASALAHSATU TEMA

TURUNAN

ATURAN MENCARITURUNAN

TURUNAN FUNGSITRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKATTINGGI

TURUNAN IMPLISIT

LAJU BERKAITAN

76 Daftar Pustaka

13 April 2020

Terima Kasih

Chandra Novtiar087827953335

[email protected]