TEORI BILANGAN

RISTIA APRIANA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANTAHUN AJARAN 2013/2014

INDUKSI MATEMATIK

Tujuan UmumMemahami metode pembuktian dengan induksi matematik dan terampil

menerapkannya.

Tujuan KhususDiharapkan mahasiswa dapat:1. Menuliskan algoritma pembuktian dengan induksi matematik.2. Menentukan basis untuk induksi dalam suatu pembuktian.3. Menentukan langkah induksi dalam pembuktian.4. Terampil menggunakan langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik.

1.1Pembuktian dengan Induksi MatematikSalah satu metode pembuktian yang absah dalam matematika adalah Induksi Matematik.

Metode ini digunakan untuk memberikan teorema-teorema yang berlaku pada bilangan asli. Sebagai contoh jika ada bentuk kesamaan sebagai berikut:

Apakah penyataan tersebut selalau benar untuk setiap bilangan asli n?

Cara pembuktian kesamaan tersebut dapat dilakukan dengan memandang ruas kiri sebagai deret aritmatika sebagai berikut:

Pada ruas kiri : 1 + 2 + 3 + 4+ . . . + nSuku pertama (a) : …….Beda (b) : . . . . .

Jumlah n suku pertama (Sn) =

=

=

=

(Sama dengan ruas kanan)

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka kesamaan tersebut terbukti benar.

Selain cara tersebut, pembuktian dapat dilakukan dengan bukti formal yaitu dengan induksi matematik.

Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik adalah:1. Memisalkan suatu kesamaan yang diketahui sebagai suatu pernyataan atau preposisi

p(n) yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan n.2. Kemudian lanjutkan dengan:

Langkah i: Tujukkan pernyataan tersebut benar untuk n = 1 atau p(1) benar. Langkah ii: Dimisalkan bahwa p(n) benar, tunjukkan bahwa p(n+1) benar.

Jika langkah i dan ii benar, dapat disimpulkan p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Pada pembuktian dengan induksi matematik, langkah i disebut basis (dasar) untuk insuksi dan langkah ii disebut langkah induktif, yaitu suatu bentuk implikasi “jika p(n) benar maka p(n+1) benar untuk setiap bilangan asli n”.

Contoh 1:Buktikan dengan induksi matematik bahwa:

Berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Bukti:

Dimisalkan p(n) :

i. Untuk n = 1, p(n) adalah 1 =

1 = 1 …… (benar)

ii. Dimisalkan p(n) benar. Selanjutnya tunjukkan bahwa p(n+1), yaitu

benar

Hal ini ditunjukkan sebagai berikut:

Karena i dan ii benar, maka terbukti p(n) benar.atau

benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh 2:Buktikan dengan induksi matematik bahwa:

Berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Bukti:

Dimisalkan p(n) :

i. Untuk n = 1, p(n) adalah

…… (benar)

ii. Dimisalkan p(n) benar. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa p(n+1) benar, yaitu

Ini menunjukkan bahwa p(n+1) benar.Karena i dan ii benar, maka terbukti p(n) benar

atau

benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh 3:Buktikanlah dengan menggunakan induksi matematik bahwa:

1 + 2 + 4 + . . . +2n-1 = 2n – 1Berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Bukti:

Contoh 4:Buktikan untuk setiap bilangan asli n, 7n – 2n selalu terbagi habis oleh 5.

Bukti:

Dimisalkan p(n) : 7n – 2n selalu terbagi habis oleh 5.i. P(1) adalah 71 – 21 terbagi habis oleh lima

Jadi p(1) benar.ii. Dimisalkan p(n) benar. Selanjutnya tunjukkan bahwa p (n+1) benar.

Hal ini ditunjukkan sebagai berikut:7n+1 – 2n+1 = 7n . 71 – 2n . 21

= 7n . 7 – 7 . 2n + 7 . 2n – 2n . 2 = 7 .(7n – 2n) + 2n (7 – 2) = 7 .(7n – 2n) + 2n . 5

Menurut asumsi, (7n – 2n) habis dibagi 5, maka 7 .(7n – 2n) juga terbagi habis oleh 5, dan 2n . 5 jelas terbagi habis oleh 5.Jadi 7n+1 – 2n+1 terbagi habis oleh 5 atau p(n+1) benar.

Karena i dan ii benar, maka terbukti p(n) benar atau 7n – 2n selalu terbagi habis oleh 5, untuk setiap bilangan asli n.

Dari contoh di atas maka buktikanlah bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku: 11n – 4n terbagi habis oleh 7

Bukti:

Latihan Soal 1!Buktikan dengan induksi matematika1. a. (am)n = amn b. (ab)n = an . bn c. 1n = 12. 1 + 2 + 4 + …..+ 2n-1 = 2n – 1

3.

4. 1 + 3 + 5 + ….. + (2n – 1) = n2

5. 2 + 5 + 8 + ….. + (3n – 1) =

6. (2n . 2n – 1) terbagi habis 3

1.2Notasi SigmaSuatu cara untuk menulis secara singkat dari bentuk penjumlahan ialah dengan

menggunakan notasi ∑ (sigma).

Misalnya:

Pada ruas kiri di baca “jumlah ai untuk i = 1 sampai i = n”.Bilangan 1 sampai batas bawah, dan n batas atas penjumlahan.Himpunan {1, 2, 3, …,n}disebut daerah penjumlahan.Contoh penjumlahan paling sederhana ialah bilangan ai = i = bilangan asli yaitu

Contoh-contoh lain, misalnya:

1.

2.

3.

Sifat-sifat notasi sigma:

1. diartikan a + a + a + … + n = n . a

= n . a

2.

3.

4. (disebut jumlah monomial)

5.

Contoh-contoh:1. Nyatakan dengan notasi sigma dari x1 + x2 + x3 + x4 +x5

Jawab:Suku umumnya xn batas bawah 1 dan batas atas 5

Jadi, x1 + x2 + x3 +x4 +x5 =

2. Nyatakan dengan notasi sigma dari 1 + 3 + 5 + 7 + 9Jawab :Di cari bentuk umumnya:a1 = 1 = 2(1) – 1a2 = 3 = 2(2) – 1a3 = 5 = 2(3) – 1a4 = 7 = 2(4) – 1a5 = 9 = 2(5) – 1suku umumnya an = 2n – 1, batas bawah 1 dan batas atas 5.

Jadi, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =

3. Tulislah kedalam bentuk penjumlahan biasa.

Jawab:

4. Tentukan hasil dari

Jawab:

= 2 + … + … + … + … = …..

Induksi Matematika dalam Notasi SigmaBentuk-bentuk kesamaan yang menggunakan notasi sigma, dapat juga dibuktikan

dengan induksi matematik, seperti contoh-contoh berikut:

1. Buktikan bahwa berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Bukti:

(i) P(1) adalah

1 = 1Jadi p(1) benar

(ii) Dimisalkan p(n) benar untuk suatu bilangan asli n, yaitu:

Dan ditunjukkan bahwa p(n + 1) benar, yaitu:

Hal ini ditunjukkan sebagai berikut:

Dari (i) dan (ii) disimpulkan p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh soal tersebut juga dapat pula dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat notasi sebagai berikut:

Latihan Soal 2!1. Nyatakan jumlah berikut sebagai jumlah monominal

a.

b.

c.

d.

e.

2. Tulislah jumlah berikut ini dengan satu notasi sigma

a.

b.

c.

d.

e.

3. Tulislah jumlah berikut ini dengan batas bawah bilangan 1.

a.

b.

c.

d.

e.

4. Buktikan

a.

b.

1.3. Teorema Binomial

Tujuan Umum

Mahasiswa dapat memahami teorema Binomial dan sifat-sifat yang diturunkan dari teorema itu seerta trampil menggunakan sifat-sifat tersebut dalam memcahkan permasalahan yang terkait.

Tujuan Khusus

1. Menentukan koefisien Binomial2. Menurunkan sifat-sifat koefisien Binomial3. Menerapkan sifat-sifat koefisien Binomial dalam memecahkan masalah yang terkait4. Terampil menggunakan sifat-sifat koefisien Binomial dalam perhitungan-perhitungan

1. Faktorial

Definisi dan notasi Faktorial

Definisi 1.

n! = 1.2.3.4. … (n – 2) (n – 1).n

atau

n! = n.(n – 1)(n – 2) … 3. 2.1

dan

0! = 1

Dari definisi di atas maka:

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = …..

(n – 1)! = (n – 1)(n – 2)(n – 3) … 3.2.1 maka n! = n.(n – 1)! atau n! =

2. Permutasia. Definisi dan Notasi Permutasi

Permutasi dari sekumpulan unsure adalah penyusunan unsur-unsur itu dengan memperhatikan urutannya.Notasi PermutasiBanyaknya permutasi dari n unsur diambil r dinyatakan dengan notasi nPr atau atau P(n, r) atau Pn,r

b. Rumus PermutasiPermutasi dari n unsur diambil r unsure adalah penyusunan r unsure yang diambil dari n unsure yang diketahui.Kota sedeiakan r kotak untuk menempatkan unsur-unsur tersebut

Kotak 1 2 3 4 ke – r

Kotak ke-1 dapat disi dengan n cara, kotak ke-2 dapat diisi dengan (n – 1) cara, karena 1 unsur sudah menempati kotak ke-1. Kotak ke-3 dapat diisi dengan (n – 2) cara, demikian seterusnya. Jika proses ini dilanjutkan untuk kotak ke-r yang terakhir dapat diisikan dengan (n – (r – 1)) cara = (n – r + 1) cara

Untuk r = n, maka nPn = ……………………………………………………………nPn = ……………………………………………………………nPn = ……………………………………………………………

Kita tinjau lagi rumus nPr = n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1)

Jika ruas kanan dikalikan dengan didapat:

nPr = ………………………………………………………………………………….

nPr = ………………………………………………………………………………….

nPr = ………………………………………………………………………………….

Jadi nPr = ……………………………………………….

Jadi: nPr = n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1)

Untuk r = n, maka nPn = ……………………………….

Padahal nPn = n!

Jadin! =

Contoh Soal:1. Hitunglah

a. 3P3 = ………………………………………………………………………………

b. 8P2 = ………………………………………………………………………………

2. Tentukan n jika nP2 = 12Jawab:

3. Kombinasia. Definisi dan Notasi Kombinasi

Jika ditentukan 3 buah huruf a, b, c maka permutasi dari 3 huruf diambil dua-

dua adalah ab, ba, bc, cb, ac, dan ca. banyaknya permutasi ini adalah 3P2 =

Kombinasi dari permutasi sekumpulan unsur adalah penyusunan unsur-unsur itu dengan tidak memperhatikan urutannya. Dari contoh di atas kombinasi dari 3 huruf a, b, c dengan setiap pengambilan 2 adalah: ab, bc, ac.

Banyaknya kombinasi dari 3 unsur dengan setiap pengambilan 2 dinyatakan dengan notasi 3P2 atau atau C(3, 2) atau C .

Berikut ini akan kita lihat apakah ada hubungan antara kombinasi dan permutasi.

Tampak disini untuk setiap kombinasi 2 unsur diperoleh 2! Permutasi = 2 permutasi. Jika banyaknya kombinasi 3, maka banyaknya permutasi adalah 6 = 3.2!

Kombinasi Permutasi

ab ab, ba

bc bc, cb

ac ac, ca

C 3P2 = 6

Banyaknya permutasi = banyaknya kombinasi kali 2!

3P2 = C .2! atau C = 3P2 / 2!

Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut

1. Kombinasi dari n unsur berbeda dengan setiap pengambilan r unsur (r ≤ n) adalah susunan yang terdiri dari n unsur yang berbeda yang diambil dari n unsur itu dengan tidak memperhatikan urutan-urutannya.

2. Banyaknya kombinasi dari n unsur dengan setiap pengambilan r unsur dinyatakan dengan notasi nCr atau C (n, r) atau C

b. Rumus KombinasiBanyaknya kombinasi dari n unsure dengan setiap pengambilan r unsur adalah:

belum lengkap

Bukti:Jika dari n unsur yang diketahui dibuat kombinasi dari r unsure, maka terdapat nCr kombinsi yang berbeda.Dari setiap kombinasi tersebut, yang terdiri dari r unsur, akan memberikan r! permutasi.

Jadi, nPr = nCr ∙r! atau nCr =

Karena nPr = , maka C =

Jadi dari nCr kombinasi akan diperoleh nCr ∙r! permutasi yang berbeda. Padahal dari n unsur dengan sekali pengambilan r unsur diperoleh nPr permutasi.

Contoh Soal.

1. Hitunglah =

………………………………………………………………………

2. Dengan beberapa cara suatu panitia terdiri atas 3 orang dipilih dari 9 orang?

Jawab:

4. Binomial Newton

Perhatikan ekspensi (perluasan) dari (a + b)n berikut

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

……………………………………………………………………………………….

Koefisien-koefisien dari perluasan (a + b)n di atas dapat disusun dalam suatu segitiga Pascal berikut:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 … … … …

1 … … … … 1

… … … … … … …

Koefisien Binomial

Segitiga Pascal mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. Tiap baris berawal dan berakhir dengan 1.2. Tiap bilangan lainnya adalah jumlah kedua bilangan di kiri dan kanan atasnya.3. Koefisien-koefisien binomial tersebut dapat ditulis dengan menggunakan notasi

kombinasi sebagai berikut.

Contoh Soal:

1. Ekspansikan (a + b)6

Jawab:

2. Carilah empat suku pertama dari perluasan (2x – y)8

Jawab:

3. Tentukan suku kelima dalam ekspansi Jawab:

4. Tentukan suku yang memuat y6 dari ekspansi (3xy2 – z2)7

Jawab:

5. Teorema-teorema

Teorema 1.

Jika n suatu bilangan asli, maka menurut rumus kombinasi berlaku

Bahwa:

Sifat-sifat dasar lainnya dari koefisien Binomial diberikan berikut ini.

dan =

Sehingga diperoleh

Teorema 2.

Teorema ini sering disebut sifat simetrik dari koefisien Binomial.

Contoh 1:

dan

Jadi

Teorema 3.

Jika n dan k bilangan-bilangan asli dan n > k, maka

Bukti:

Contoh:

sedangkan

Jadi dan

Teorema 4.

Jika n, m, k bilangan-bilangan asli dan n > k > m, maka

Bukti:

Buatlah contoh yang melibatkan bilangan untuk memperjelas Teorema 4.

Teorema 5.

Jika n dan k bilangan-bilangan asli dengan n ≥ k, maka

Bukti:

Buatlah contoh yang melibatkan bilangan untuk memperjelas Teorema 5.

Teorema 6.

Berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Bukti: (gunakan induksi matematik)

SISTEM BILANGAN BULAT

Anggota-anggota dari {-1, -2, -3, …} disebut bilangan-bilangan bulat negatif. Bilangan asli disebut juga dengan bilangan bulat positif. Jadi bilangan bulat merupakan ….………………

…………………………………………………………………………………………………

Definisi 1. Jika n bilangan bulat, maka n + (-n) = (-n) + n = 0. (-n) disebut lawan dari (invers penjumlahan dari n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan.

Definisi 2. Setiap bilangan bulat n ada dengan tunggal bilangan bulat (-n) sedemikian hingga n + (-n) = (-n) + n = 0. Lawan dari (-n) adalah -(-n) sehingga (-n) + (-(-n)) = (-(-n)) + (-n) = 0. Karena (-n) + n = n + (-n) = 0 dan mengingat ketunggalan dari n, maka (-(-n))= n. jadi lawan dari (-n) adalah n.

Definisi 3. Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} dengan operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (x). untuk a, b, dan c bilangan-bilangan bulat sebarang, sistem mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. Sifat tertutup terhadap penjumlahan.Ada dengan tunggal (a + b) dalam BContoh:2 + 3 = …..-2 + 3 = …..

2. Sifat tertutup terhadap perkalianAda dengan tungga (a x b) dalam BContoh:2 x 3 = …..3 x (-4) = …..

3. Sifat komutatif penjumlahana + b = b + aContoh:2 + 3 = 3 + 2 = …..5 + (-3) = (-3) + 5 = …..

4. Sifat komutatif perkaliana x b + b x aContoh:-2 x (-3) = (-3) x (-2) = …..-3 x 7 = 7 x (-3) = ……

5. Sifat asosiatif penjumlahan

(a + b) + c = a + (b + c)Contoh:(2 + 3) + (-5) = 2 + (3 + (-5)) =……….4 + (-2 + 6) = (4 + (-2)) + 6 = ………

6. Sifat asosiatif perkalian(a x b) x c = a x (b x c)Contoh:(10 x 2) x 3 = 10 x (2 x 3) = …….-2 x (4 x (-3)) = ((-2) x 4) x (-3) = ……..

7. Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahana x (b + c) = (a x b) + (a x c)Contoh:3 x (5 + 2) = ………………………………. = ……….(-2) x (5 + (-6)) = ………………………………………… = ………

8. Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan(a + b) x c = (a x b) + (b x c)Contoh:((-8) + 5) x 3 = ………………………………………………. = ………..(7 + (-2)) x (-4) = ……………………………………………… = ………

9. Untuk setiap a, ada dengan tunggal elemen 0 dalam B sehingga a + 0 = 0 + a = a, 0 disebut elemen identitas penjumlahan.

10. Untuk setiap a, ada dengan tunggal elemen 1 dan B sehingga a x 1 = 1 x a = a. 1 disebut elemen identitas perkalian.

Penjumlahan Bilangan-Bilangan Bulat

Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan (-a) + (-b), yaitu:

c = (-a) + (-b)

c + b = ((-a) + (-b)) + b

c + b = (-a) + ((-b) + b)

c + b = (-a) + 0

(c+ b) + a = (-a) + a

(c + b) + a = 0

c + (b + a) = 0

c + (a + b) = 0

(c + (a + b)) + (-(a + b)) = -(a + b)

c + ((a + b) + (-(a + b))) = -(a + b)

c + 0 = -(a + b)

c = -(a + b)

karena c = (-a) + (-b) maka (-a) + (-b) = -(a + b)

jadi, jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif, maka (-a) + (-b) = - (a + b)

Menurut definisi urutan bilangan-bilangan cacah, a < b berarti ada bilangan asli c sedemikian hingga a + c = b, dan menurut definisi pengurangan bilangan-bilangan cacah a + c = b sama artinya dengan b – a = c. Jadi a + (-b) = a + (-(a + c))

= a + ((-a) + (-c))

= (a + (-a)) + (-c)

= 0 + (-c)

= (-c) karena c = b –a, maka

a + (-b) = - (b –a)

Jadi, jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif dengan a < b, maka a + (-b) = -(b – a)

Contoh 1:

Jika a dan b bilangan-bilangan cacah dengan b < a, buktikan bahwa a + (-b) = a – b

Bukti:

Pengurangan Bilangan Bulat

Definisi 4: Jika a, b dan k bilangan-bilangan bulat, maka a – b = k jika dan hanya jika a = b + k.

Apakah pengurangan bilangan bulat memiliki sifat tertutup?

Menurut definisi pengurangan a – b = k jika dan hanya jika a = b + k

a + (-b) = (b + k) + (-b)

= (k + b) + (-b)

= k + (b) + (-b)

= k + 0

a + (-b) = k

k = a + (-b) ini menunjukkan bahwa ada bilangan bulat k sedemikian hingga a – b = k.

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa bilangan bulat k (yang sama dengan a + (-b)) itu tunggal. Andaikan ada bilangan bulat n dengan n ≠ k sedemikian hingga a = b + n. Karena a = b + k maka b + n = b + k . jika kedua ruas kesamaan terakhir masing-masing ditambah (-b) dan dengan sifat asosiatif penjumlahan dan invers penjumlahan maka diperoleh bahwa n = k yang bertentangan dengan pengandaian. Jadi bilangan bulat k tertentu dengan tunggal sehingga a = b + k.

Dengan demikian terbuktilah bahwa pengurangan bilangan-bilangan bulat memiliki sifat tertutup. Jadi a – b = k = a + (-b).

Contoh 2:

Buktikanlah bahwa a – (-b) = a + b

Bukti:

Contoh 3:

Buktikanlah bahwa a – (b – c) = (a + c) – b

Bukti:

Contoh 4:

Buktikanlah bahwa (a – b) – (-c) = (a + c) – b

Bukti:

Contoh 5:

Buktikanlah bahwa a – b = (a – c) – (b – c)

Bukti:

Perkalian dan Pembagian Bilangan-bilangan Bulat

Sebelum kita membicarakan lebih lanjut tentang sifat perkalian dan pembagian bilangan bulat, terlebih dahulu kita akan membuktikan suatu sifat yang telah diberikan pada sifat ke-10.

Sifat kanselasi dari penjumlahan

Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a + c = b + cMaka a = b

Bukti:a + c = b + c

(a + c) + (-c) = (b + c) + (-c)a + (c + (-c)) = b + (c + (-c))

a + 0 = b + 0 a = b

Contoh 6:Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, sehingga a bilangan bulat positif dan (-b) bilangan bulat negatif. Akan diperlihatkan bahwa (a)(-b) = -(ab)Langkah 1. a x (b + (-b)) = a x 0 = 0Langkah 2. a x (b + (-b)) = (a x b) + (a x (-b))Langkah 3. (a x b) + (a x(-b)) = 0Langkah 4. (a x b) + (-(a x b)) = 0Langkah 5. (a x b) + (a x (-b)) = (a x b) + (-(a x b))Langkah 6. a x(-b) = -(a x b)

Mengingat bahwa perkalian bilangan-bilangan bulat bersifat komutatif, a x (-b) = (-b) x a dan a x (-b) = -(a x b) maka (-b) x a = -(a x b) = -(b x a). begitu pula jika a = 0, maka 0 x (-b) = -(0 x b) = -0 = 0 dan (-b) x 0 = -(0 x b) = -0 = 0.

Contoh 7:Buktikan bahwa (-a) x (-b) = a x bBukti:

Contoh 8:Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.Bukti:

Pembagian Bilangan BulatDefinisi 5. Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dengan b ≠ 0, maka a : b = c jika dan hanya jika a = bc.

Hasil bagi bilangan-bilangan bulat (a : b) ada (yaitu suatu bilangan bulat) jika dan hanya jika a kelipatan dari b. sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b, hasil bagi (a : b) tidak selalu ada (merupakan bilangan bulat). Oleh karena itu pembagian bilangan-bilangan bulat tidak mempunyai sifat tertutup.

Membagi bahwa (-a)(b) = (a)(-b) = -(ab), maka:1. –(ab) : a = (-b)2. –(ab) : b = (-a)3. –(ab) : (-a) = b4. –(ab) : (-b) = a

Demikian pula karena (-a)(-b) = ab, maka5. ab : (-a) = (-b)6. ab : (-b) = (-a)

Mengingat definisi 5, yaitu a : b = c jika dan hanya jika a = bc yang sama artinya dengan a = b x (a : b) atau a = (a : b) x b, maka dari pernyataan-pernyataan 1 sampai 6 dapat diturunkan rumus-rumus definisi pembagian bilangan-bilangan bulat sebagai berikut:

1. ((-a) : b) x (b) = (-a)2. (a : (-b)) x b = (-a)3. ((-a) : b) x (-b) = a4. (a : (-b)) x (-b) = a5. ((-a : (-b)) x b = a6. ((-a) : (-b)) x (-b) = (-a)

Contoh 9:Buktikanlah bahwa (p : (-q)) : (-r) = p : (q x r)Bukti:Kalimat yang akan dibuktikan yaitu, p sebagai terbagi

(q x r) sebagai pembagi{(p : (-q)) : (-r)} sebagai hasil pembagian

Menurut definisi pembagian, kalimat yang akan dibuktikan itu sama artinya dengan{(p : (-q)) : (-r)}x (q x r) = pKalimat yang terakhir akan dibuktikan.Ki = {(p : (-q)) : (-r)}x (q x r) = {(p : (-q)) : (-r)}x (r x q) = [{(p : (-q)) : (-r)} x r] x q = (-(p : (-q))) x q = -((p : (-q)) x q = -(-p) = p

Contoh 10:Buktikanlah bahwa (a – b) : (-c) = (b : c) – (a : c)Bukti:Kalimat yang akan dibuktikan yaitu, (a – b) sebagai terbagi

(-c) sebagai pembagi{(b : c) –(a : c)} sebagai hasil pembagian

Sehingga kalimat yang akan dibuktikan sama artinya dengan {(b : c) – (a : c)} x (-c) = a – bKi = ……………………………………………… = ……………………………………………… = ……………………………………………… = ……………………………………………… = ……………………………………………… = ………………………………………………. = ……………………………………………….. = ………………………………………………..

Latihan Soal!Apabila a, b, c, k, l dan m adalah bilangan-bilangan bulat, maka buktikanlah bahwa:

1. ((-a) : b) x (-c) = a : (b x c)2. ((-a) : b) : (-c) = (a : c) : b3. (-(abc)) : (-klm) = (a : k) (b : l) (c : m)4. (-(ac)) : (-(bc)) = a : b5. (-c)(a : b) = (-a) : (b : c)

Urutan Bilangan-bilangan Bulat

Definisi 6. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a < b) jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif c sedemikian hingga a + c = b

Definisi 7. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b (dinyatakan dengan a > b) jika dan hanya jika b < a.

Urutan bilangan-bilangan bulat ini akan tampak jelas pada garis bilangan brikut.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Pada garis bilangan a < b ditunjukkan bahwa titik yang menyatakan a berada di sebelah kiri dari titik yang menyatakan b. misalkan (-4) < (-1), terlihat pada garis bilangan itu bahwa titik yang menyatakan (-4) berada di sebelah kiri dari titik yang menyatakan (-1).

Apabila a, b, c dan d bilangan-bilangan bulat, maka1. a = b maka a + c = b + c2. a = b maka a x c = b x c3. a = b dan a = c maka a + c = b + d4. a + c = b + c maka a = b5. a x c = b x c dengan c = 0 maka a = b

Sifat 1.Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka a < b jika dan hanya jika a + c < b + c.

Bukti:(i) dibuktikan jika a < b maka a + c < b + c

a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hinggaa + k = b(a + k) + c = b + ca + (k + c) = b + ca + (c + k) = b + c(a + c) + k = b + c a + c < b + c

(ii) dibuktikan jika a + c < b + c maka a < ba + c < b + c berarti ada bilangan bulat positif p sedemikian hingga(a + c) + p = b + ca + (c + p) = b + ca + (p + c) = b + c(a + p) + c = b + c{(a + p) + c} + (-c) = (b + c) + (-c)(a + p) + (c + (-c)) = b + (c + (-c))(a + p) + 0 = b + 0 a + p = b

a < bDari (i) dan (ii) terbukti bahwa a < b jika dan hanya jika a + c < b + c

Sifat 2.Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a < b maka a x c <

b x c.Bukti:

Sifat 3.Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a x c < b x c maka

a < bBukti:

Sifat 4. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negative serta a < b. maka a x c

> b x c.Bukti:

Sifat 5.Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilnagan bulat negative serta a x c > b x c

maka a < b.Bukti:

Latihan Soal!Buktikanlah pernyataan berikut dan dapat dilakukan dengan menunjukkan contoh.

1. Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a < b maka a x c < b x c.

2. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, c bilangan bulat positif merupakan factor bersama dari a dan b, dan a > b maka a : c > b : c.

3. Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dengan a x (-c) < b x (-c) maka a > b.4. Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat yang tak nol, a dan b masing-masing aalah

faktor dari a dan a < b maka c : a < c : b.5. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, c bilangan bulat negative dan a > b maka (a x c)

– ( b x c) < 0.6. Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a < b maka (-a) x c < (-b) x c.7. Jika a, b, c dan d bilangan-bilangan dengan bulat dengan a < b dan c < d maka a x c <

b x d.8. Jika a, b, c dan d bilangan-bilangan bulat dengan a > b dan c < d maka a + d > b + c.

KETERBAGIAN

Definisi 1: bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b, (ditulis a│b) jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sehingga b = ak.

Contoh: 1│14 karena 2k = 12 sehingga k = 7

-12 dapat dibagi oleh 4, karena -12 = 4(-3)

3ł10 karena tidak ada bilangan bulat k sehingga 3k = 10

Istilah-istilah lain yang mempunyai arti sama dengan a│b adalah:

- a ialah faktor b- a ialah pembagi b- b ialah kelipatan a

Teorema 1 : jika a│b dan b│c maka a│c.

Bukti:

Teorema 2: jika a│b dan a│c maka a│(b + c)

Bukti:

Teorema 3: jika a│b maka a│cb untuk bilangan bulat c sembarang

Bukti:

Teorema 4: jika a│b dan a│c maka a│(bm + cm) untuk sembarang bilangan-bilangan bulat m dan n.

Bukti:

Teorema 5: jika a│b dan b│a maka a = b atau a = -b

Bukti:

Teorema 6: jika a│b dengan a dan bilangan-bilangan bulat postif, maka a < b.

Bukti:

a│b berarti ada bilangan bulat k sehingga b = ak

karena a > 0 dan b > 0 maka k > 0

jika k = 1 berarti a – b dan jika k > 1 maka b > a

jadi a ≤ b.

Latihan Soal!

1. Jika a│b dan c│d maka ac│bd. Buktikan!2. Tunjukkan bahwa “jika a > b maka a ł b” suatu pernyataan yang salah.3. Buktikan bahwa jika d│a dan d│b maka d│(a – b)

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

Definisi 1: Jika a, b Z sebarang maka d Z dikatakan pembagi persekutuan dari a dan b jika d│a

dan d│b.Definisi 2: Jika a atau b bilangan-bilangan bulat yang tidak nol, d adalah factor persekutuan terbesar

dari a dan b “ditulis (a, b)” jika dan hanya jika d faktor persekutuan dari a dan b jika c faktor persekutuan a dan b maka c ≤ d.

Dari definisi 1 dan 2 dapat dinyatakan sebagai berikut:d = (a, b) jika dan hanya jika (i) d│a dan d│b

(menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan dari a dan b)(ii) c│a dan c│b maka c ≤ d (menyatakan bahwa d adalah factor persekutuan terbesar)

Contoh 1: Pembagi positif dari -12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembagi positif dari 30 adalah 1, 2, 3, 5,

6, 10, 15, 30. Pembagi persekutuan dari -12 dan 30 adalah 1, 2, 3, 6. FPB (-12, 30) = 6 FPB (-5, 5) = 5, FPB (8, 17) = 1, FPB (-8, -36) = 4.Teorema 7: Jika (a, b) = d maka (a:d, b:d) = 1Bukti:Misal: (a:d, b:d) = c → c = 1 Sehingga harus ditunjukkan c ≤ 1 dan c ≥ 1(i) c ≥ 1 karena c adalah FPB maka sudah pasti c ≥ 1(ii) c ≤ 1

(a:d, b:d) = c maka c│(a:d) ˄ c│(b:d)c│(a:d) berarti c k = a:d

a = (c k) d a = (c d) k

c│(b:d) berarti c k = b:d b = (c k) d b = (c d) k

karena (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa (c d) adalah faktor perekrutan dari a dan b, maka (c d) ≤ d. Karena d bilangan bulat positif maka c ≤ 1 TERBUKTI

Contoh 2:FPB (30, 75) = …..30 = 75 =Jadi FPB (30, 75) adalah(30:15, 75:15) = (2, 5) = 1

Teorema 8: untuk bilangan-bilangan bulat positif a dan b ada tepat satu pasang bilangan-

bilangan bulat q dan r sehingga b = qa + r dengan 0 ≤ r < a.

Contoh 3:a = 21, b = 75 maka q = 3, r = 12karena 75 = 3 21 + 12terlihat bahwa (75, 21) = 3 dan (21, 12) = 3

Teorema 9: Jika b = qa + r maka (b, a) = (a, r)Bukti: (b, a) = d → d│a dan d│b → d│(b – qa) → d│r → d pembagi persekutuan dari a dan

r. c pembagi persekutuan dari a dan r → c│a dan c│r → c│(qa + r) → c│a → c

pembagi persekutuan dari a dan b → c ≤ d → (b, a) = (a, r)Contoh 4:Hitunglah (5756, 4453) = ……5767 = 4453 ∙1 + 13144453 = 1314 ∙ 3 + 5111314 = 511 ∙ 2 + 292511 = 292 ∙ 1 + 219292 = 219 ∙1 + 73219 = 73 ∙ 3 + 0Jadi FPB (5767, 4453) = 73

Teorema 10: Jika (a, b) = d maka bilangan bulat x dan y sehingga ax + by = dContoh 5:Ditentukan a = 247 dan b = 299. Dengan algoritma pembagian berkali-kali diperoleh.

299 = 247 ∙1 + 52247 = 52 ∙4 + 39 52 = 39 ∙ 1 + 13 39 = 13 ∙ 3

Menurut teorema 10 maka ada bilangan-bilangan bulat x dan y sedemikian hingga13 = 52 - 39∙1 = 52∙4 + 39

= 52 ∙ 5 – 247

= (299 – 247)5 – 24713 = 299 ∙ 5 – 247 ∙ 6

Jadi, x = -6 dan y = 5 agar 13 = 247x + 299yTeorema 11: Jika d│ab dan (d, a) = 1 maka d│bBukti:(d, a) = 1 maka ada x dan y sehingga dx + ay = 1Jika kedua ruas dari persamaan ini dikalikan b, makab(dx) + b(ay) = bd(bx) + (ab)y = bkarena d│ab → d│(ab)y dank arena d│d(bx) → d│b TERBUKTI

Teorema 12: Jika c│a dan c│b dengan (a, b) = d maka c│dBukti:(a, b) = d → d = ax + byKarena c│a maka c│ax, karena c│b → c│byPada persamaan d = ax + by, c│ax dan c│by → c│d TERBUKTI

Latihan Soal!1. Hitunglah

a. FPB (314, 159)b. FPB (1009, 4001)

2. Buktikan bahwa c│ab dan (c, a) = d maka c│bd.

KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

Definisi 1: Bilangan-bilangan bulat a1, a2, a3, …, an masing-masing tidak nol memiliki kelipatan

persekutuan b, jika ai│b untuk setiap = 1, 2, 3, …, n.

Definisi 2: Apabila a1, a2, a3, …, an adalah bilangan-bilangan bulat yang tidak nol, maka kelipatan

persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan bulat positif terkecil di antara kelipatan-

kelipatan persekutuan a1, a2, a3, …,an.

Teorema 13: Jika b suatu kelipatan persekutuan dari a1, a2, a3, …, an maka [a1, a2, a3, …, an]│b.Bukti:Misalkan [a1, a2, a3, …, an] = hMaka akan di tunjukkan bawha h│b.Andaikan h│b, maka ada q dan r sehingga b = hq + r dengan 0 < r < h.Karena b suatu kelipatan persekutuan a1, a2, a3, …, an maka ai│b untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.h = [a1, a2, a3, …, an] maka ai│h untuk setiap i = 1, 2, 3, …, ndari b = hq + r dengan 0 < r < h, karena ai│b dan ai│r, yaitu r kelipatan persekutuan dari a1, a2, a3, …, hal ini bertentangan dengan r < h, karena h kelipatan persekutuan terkecil, maka pengandaian tersebut salah berarti h│b yaitu r kelipatan persekutuan dari a1, a2, a3, …, an. hal ini bertentangan dengan r < h, karena h kelipatan persekutan terkecil, maka pengandaian tersebut salah, berarti h│b yaitu [a1, a2, a3, …, an]│b.

Teorema 14: Jika m > 0 maka [ma, mb] = m[a, b]Bukti:Misal: [a, b] = d maka a│d dan b│d (semua dikalikan dengan m, dimana m bilangan bulat)Jadi, dapat dikatakan dm adalah kelipatan persekutuan dari am dan bm. Maka [am, bm] dapat dikatkan kelipatannya m, sehingga [ma, mb] = m[a, b]

Contoh1:[2∙3, 2∙5] = 2[3, 5][6, 10] = 2[15]

Teorema 15: Jika a dan b bilangan- bilangan bulat positif maka [a, b](a,b) = abBukti:(a, b) = 1 maka [a, b] = abMisal: (a, b) = d → (a:d, b:d) = 1Maka di peroleh [a:d, b:d] = (a:d, b:d)Karena [a:d, b:d]∙1 = (a:d, b:d)

[a:d, b:d](a:d, b:d) = (a:d, b:d) (semua dikalikan dengan d2, dimana d bilangan bulat)Jadi, [a, b] (a, b) = abContoh 2:(6, -10) = 2Kelipatan persekutuan 6 dan -10 = …, -60, -30, 0, 30, 60, …[6, -10] = 30[6, -10](6, -10) = 30∙2 = 60

Latihan Soal!1. Hitunglah [126, 120]2. Berikan satu contoh yang seperti teorema 15.

KEKONGRUENAN

Tujuan umum:

Mahasiswa dapat memahami konsep kekongruenan dan sifat-sifat serta dapat menerapkannya untuk memecahkan masalah dalam mata kuliah ini dan dalam kehidupan

sehari-hari. Selain itu, mahasiswa dapat memahami dan menyelesaikan pekongruenan linear serta memecahkan soal-soal terapan yang berkaitan dengan pekongruenan.

Tujuan khusus

1. Menuliskan konsep kekongruenan2. Membuktikan beberapa sifat kekongruenan3. Menentukan banyaknya solusi pekongruenan linear4. Menyelesaikan pekongruenan linear5. Menyelesaikan persamaan linear Diophantus6. Menyelesaikan sistem pekongruenan linear

Materi

Bilangan Bulat Modulo M

Konsep keterbagian dan sifat-sifatnya pada himpunan bilangan bulat dapat dilihat lebih dalam lagi dengan menggunakan konsep kekongruenan. Kekongruenan merupakan cara lain untuk menelaah keterbagian pada himpunan bilangan bulat. Suatu kekongruenan adalah suatu pernyataan tentang keterbagian.

Definisi 1

Jika m suatu bilangan bulat positif membagi a – b maka dikatakan a kongruen terhadap b modulo m dan ditulis a ≡ b (mod m).

Pemahaman definisi:

Andaikan diketahui a = 13, b = 5. Berdasarkan definisi terebut dapat dinyatakan bahwa:

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

Jika m tidak membagi a – b maka dikatakan a tidak kongruen terhadap b modulo m dan ditulis a ≠ b (mod m).

Pemahaman definisi:

Andaikan diketahui a = 13, b = 3, m = 7. Berdasarkan definisi tersebut dapat dinyatakan bahwa:

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

Jika m > 0 dan m│(a – b) maka ada suatu bilangan bulat k sehingga a – b ≡ mk.

Dengan demikian a│b dapat dinyatakan sebagai a – b = mk, atau beda antara a dan b merupakan kelipatan m, atau a = b + mk, yaitu a sama dengan b ditambah kelipatan m.

Pemahaman:

Andaikan diketahui a = 12, b = 2, m = 5, berdasarkan penjelasan di atas dapat dinyatakan bahwa:

………………………………………………………………………………………………

Demikian juga jika diketahui a = 2 dan b = 12, maka a│b atau 2│12 dapat dinyatakan sebagai 2 - 12∙k (untuk k =-2).

Kita telah melihat bahwa jika m > 0 dan a bilangan bulat maka a dapat dinyatakan sebagai

a = mq + r dengan 0 ≤ r < m. (Algoritma pembagian)

ini berarti bahwa a – r = mq, yaitu a ≡ r (mod m). karena 0 ≤ r < m maka ada m buah pilihan untuk r yaitu 0, 1, 2, . . ., m – 1.

Jadi tiap bilangan bulat akan kongruen modulo m terhadap salah satu dari m buah r itu, khususnya jika m│a maka a ≡ 0 (mod m).

Definisi 2

Pada a ≡ r (mod m), r disebut sebagai residu a modulo m.

Sedangkan himpunan bilangan bulat 0, 1, 2, 3, . . ., m – 1, yaitu {0, 1, 2, . . ., m – 1} disebut himpunan residu terkecil modulo m.

Contoh:

Untuk 12 ≡ 2 (mod 5)

2 adalah residu modulo 5

{0, 1, 2, 3, 4} merupakan himpunan residu positif terkecil modulo 5.

Definisi 3

Himpunan bilangan r1, r2, . . ., rm disebut system residu lengkap modulo m, jika tiap billangan bulat adalah kongruen modulo m terhadap satu dan hanya satu di antara m dan ri

itu (I = 1, 2, . . ., m), boleh dikatakan bahwa r1, r2, . . ., rm adalah kongruen modulo m terhadap 0, 1, 2, . . ., m – 1 menurut susunan tertentu.

Contoh:

1. Tunjukkan apakah {12, 23, 9, 45, -9} merupakan sistem residu lengkap modulo 5.

Jawab:

Buat pernyataan dalam bentuk a ≡ r (mod 5) dengan a adalah anggota setiap himpunan yang diketahui.

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Pada a ≡ r (mod m), contoh di atas menunjukkan ada tak hingga banyaknya system residu lengkap modulo m.

2. Tunjukkan apakah {0, 1, 2, 3, 4} merupakan sebuah sisten residu lengkap modulo 5 dan juga merupakan himpunan residu positif terkecil modulo 5?

Jawab:

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Karena seluruh anggota himpunan dapat dipasangkan dengan himpunan r dari 0 sampai 4, maka himpunan tersebut dinyatakan sebagai Sistem Residu lengkap modulo 5.

Latihan 1:

1. Perlihatkan bentuk pembagian yang mengakibatkan bentuk kekongruenan seperti berikut.a. 13 ≡ 1 (mod 2) Jawab: …………………………………………………………...

b. 22 ≡ 7 (mod 5) Jawab: …………………………………………………………...

c. 91 ≡ 0 (mod 13) Jawab: …………………………………………………………...

d. 69 ≡ 62 (mod 7) Jawab: …………………………………………………………...

e. -2 ≡ 1 (mod 3) Jawab: …………………………………………………...............

f. 13 ≡ 1 (mod 2) Jawab: …………………………………………………………...

g. 111 ≡ -9 (mod 40) Jawab: …………………………………………………………...

h. 666 ≡ 0 (mod 37) Jawab: …………………………………………………………...2. Tunjukkan apakah setiap pasangan bilangan bulat berikut adalah kongruen modulo 7.

a. 1, 15 Jawab: ………………………………………………………………...

b. 0, 45 Jawab: ………………………………………………………………...

c. 2, 99 Jawab: ………………………………………………………………...

d. -1, 8 Jawab: ………………………………………………………………...

e. -9, 5 Jawab: ………………………………………………………………...

f. -1, 699 Jawab: …………………………………………………………...........3. Untuk bilangan bulat m positif yang manakah agar setiap pernyataan berikut menjadi

benar?a. 27 ≡ 5 (mod m) Jawab: m = ……………………………………………………...

b. 1000 ≡ 1 (mod m) Jawab: m = ……………………………………………………...

c. 1331 ≡ 0 (mod m) Jawab: m = ………………………………………………………4. Tunjukkan bahwa:

a. Jika a adalah bilangan bulat genap, maka a2 ≡ 0 (mod 4)Jawab:

b. Jika b adalah bilangan bulat ganjil, maka b2 ≡ 1 (mod 4)Jawab:

5. Carilah residu nonnegatif terkecil yang kongruen modulo 13 untuk bilangan-bilangan berikut.a. 22 Jawab: r adalah ……………………………………………………………….b. 100 Jawab: r adalah ……………………………………………………………….

c. 1001 Jawab: r adalah …………………………………………………………………

d. -1 Jawab: r adalah ……………………………………………………………….

e. -100 Jawab: r adalah ………………………………………………………………..

f. -1000 Jawab: r adalah ………………………………………………………………..

Teorema Kekongruenan

Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif m sebetulnya menandakan suatu bilangan bulat a dengan suatu bilangan bulat lain yaitu b. karena suatu pemadanan maka ia suatu relasi, bahkan ia suatu relasi ekivalen, seperti halnya relasi kesamaan. Suatu relasi Ɍ disebut relasi ekivalen atas suatu himpunan bilangan A jika untuk a, b dan c unsur-unsur A, berlaku:

1. Sifat refleksif, a Ɍ a, suatu bilangan a memiliki relasi Ɍ terhadap bilangan a itu sendiri.

2. Sifat simetris, a Ɍ b jika dan hanya jika b Ɍ a.3. Sifat transitif, a Ɍ b dan b Ɍ c berakibat a Ɍ c.4. Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif m adalah suatu relasi ekivalen

pada himpunan bilangan bulat.

Teorema 1

Untuk bilangan bulat sebarang a dan b, a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m.

Bukti:

Pandang a ≡ b (mod m).Ini berarti a = b + km, dengan k bilangan bulat.Menurut algoritma pembagian, b = qm + r dengan 0 ≤ r < m.Maka a = b + km = (qm + r) + km = (q + k) m + rIni berarti a seperti b, memiliki sisa r, jika dibagi m.Andaikan a = q1m + r dan b = q2m + r dengan r yang sama 0 ≤ r < m.Maka a – b = (q1 – q2)mYang berarti m│a – b. ini berarti a ≡ b (mod m)

Buatlah contoh yang melibatkan bilangan untuk memperjelas teorema 1.

Teorema 2Kekongruenan sebagai relasi ekivalen.Untuk m bilangan bulat positif dan a, b dan c bilangan bulat berlaku:1. a ≡ a (mod m)2. a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika b ≡ a (mod m)3. jika a ≡ b (mod m) dan b ≡ c (mod m) maka a ≡ c (mod m)Bukti – bukti:1. Buktikan a ≡ a (mod m)

Bukti:

2. Buktikan a ≡ b (mod m) juka dan hanya jika b ≡ a (mod m)Bukti:

3. Buktikan jika a ≡ b (mod m) dan b ≡ c (mod m) maka a ≡ c (mod m)Bukti:

Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif, dapat dikombinasikan dengan cara yang hampir sama seperti pada persamaan.

Teorema 3

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka a + c ≡ b + d (mod m)

Bukti:

Buatlah contoh yang melibatkan bilangan untuk memperjelas teorema 3.

Teorema 4

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka ax + cy ≡ bx + dy (mod m)

Bukti:

Buatlah contoh yang melibatkan bilangan untuk memperjelas teorema 4.

Teorema 5

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka ac ≡ bd (mod m)

Bukti:

Buatlah contoh yang melibatkan bilangan untuk memperjelas teorema 5.

Teorema 6

Jika a ≡ b (mod m) maka ka ≡ kb (mod m) untuk k bilangan bulat sebarang.

Bukti:

Buatlah contoh yang melibatkan bilangan untuk memperjelas teorema 6.

Latihan 2:

1. residu terkecil modulo 8 dari 125 adalah……..2. periksalah apakah {5, 11, 17, 23, -1} merupakan himpunan residu lengkap modulo 5.3. Buktikan, jika p ≡ q (mod m) maka ap ≡ aq (mod m).4. Buktikan, jika p ≡ q (mod m) dan s ≡ t (mod m) maka p – s ≡ q – t (mod m)5. Jika diketahui p = km + r dan q = tm + r, maka ………………..

APLIKASI KEKONGRUENAN

Tujuan Umum:Mahasiswa dapat memecahkan soal-soal terapan yang berkaitan dengan

perkongruenan.

Tujuan khusus:

Diharapkan mahasiswa dapat:1. Menerapkan konsep kekongruenan modulo 9.2. Menerapkan konsep kekongruenan untuk menguji penjumlahan beberapa

bilangan dengan kekongruenan mod 9.3. Menrapkan konsep kekongruenan untuk menguji perkalian bilangan dengan

kekongruenan mod 9.4. Mencirikan terbagi habis bilangan oleh 9 atau 3; 2,4 atau 8; 5 atau 10;6 atau 11.

Materi1. Kekongruenan mod 9

Kekongruenan modulo 9 dapat digunakan untuk memerikasa kebenaran perkalian dan jumlah bilangan0bilangan bulat. Kita mengetahui bahwa:10.000 – 1 = 9.999 = 9 k1 sehingga 10.000 ≡ 1 (mod 9)1.000 – 1 = 999 = 9 k2 sehingga 1000 ≡ 1 (mod 9)100 – 1 = 99 = 9 k3 sehingga 100 ≡ 1 (mod 9)

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa setiap bilangan bulat kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya.

Contoh:8234 ≡ (8000 + 200 + 30 + 4) (mod 9) ≡ (8(1000) + 2(100) + 3(10) + 4) (mod 9) ≡8(1) + 2(1) + 3(1) + 4 (mod 9) ≡ 17 (mod 9)Selanjutnya dengan cara yang sama17 ≡ 10 + 7 (mod 9) ≡ 1 + 7 (mod 9) ≡ 8 (mod 9)Jadi 8.234 ≡ 8 (mod 9)

Teorema 110n ≡ 1 (mod 9) untuk n = 0, 1, 2, 3, . . . .Bukti:

10n – 1 = 999…9 (n angka semuanya 9) terbagi oleh 9Jadi 10n ≡ 1 (mod 9)

Teorema 2

Setiap bilangan bulat kongruean modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya.Bukti:

Ambil sembarang bilangan bulat n dan angka-angkanya secara berurutan adalah:n = dk dk – 1 dk – 2 . . . d2 d1 d0 dann = dk10k + dk – 110k- 1 + dk – 210k – 2 + . . . + d2102 + d110 + d0

menurut teorema 110n ≡ 1 (mod 9) untuk n = 0, 1, 2, 3, . . .Sehinggan = dk(1) + dk – 1(1) + dk – 2(1) + . . . + d2(1) + d1(1) + d0 (mod 9)Jadi bilangan bulat n kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya.Perhatikan sekarang, misalkan a + b = c

Maka tentukanlah a + b ≡ c (mod 9)Jika a ≡ m (mod 9), b ≡ n (mod 9) dan c ≡ p (mod 9)

Maka dari a + b ≡ c (mod 9)Dapat disimpulkan bahwa m + n ≡ p (mod 9)

Prinsip-prinsip dapat digunakan untuk memeriksa kebenaran suatu penjumlahan maupun pengurangan bilangan-bilangan bulat.

Menguji Penjumlahan Contoh:Periksalah kebenaran penjumlahan berikut ini dengan prinsip di atas.248 + 324 + 672 = 1244Jawab:

Jadi, 248 + 324+ 672 ≡

≡

≡ . . . . . (i)

Sedangkan, 1244 ≡

≡

≡

≡

≡ . . . . . (ii)

Dari kekongruenan (i) dan (ii) berarti 248 + 324 + 672 = 1.244 (benar)

Latihan Pemahaman:Masing-masing memuat penjumlahan tiga bilangan dengan digit berbeda. Lakukan pengecekan dengan konsep modulo 9.

Menguji PerkalianJika a ≡ b (mod 9) dan c ≡ d (mod 9) maka ac ≡ bd (mod 9)Prinsip ini dapat digunakan untuk memeriksa kebenaran suatu perkalian.

Contoh:Benarkah 84 x 428 = 35.956?Jawab:84 ≡ 428 ≡Maka 84 x 428 ≡

≡ ≡ . . . . . (i)

Sedangkan, 35.952 ≡ 3 + 9 + 5 + 2 24 ≡ 6 (mod 9) . . . . . (ii)

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa 84 x 428 = 35.952 (BENAR).

Latihan Pemahaman:Masing-masing memuat perkalian dua bilangan dengan digit berbeda (minimal dua digit). Lakukan pengecekan dengan konsep modulo 9.

Contoh:Benarkah 10 + 11 = 30 Kita mengetahui bahwa 10 + 11 ≡ 3 (mod 9)

30 ≡ 3 (mod9)Menurut cara pemeriksaan di atas 10 + 11 = 30 benar, tetapi kita mengetahui bahwa 10 + 11 = 30 salah.

Selain itu kekongruenan modulo 9 dapat digunakan untuk menguji keterbagian suatu bilangan bulat oleh 9.Suatu bilangan terbagi oleh 9 bila dan hanya bila sisa pembagian itu nol.n ≡ a (mod 9) bila dan hanya bila n dan a masing-masing mempunyai sisa yang sama jika dibagi 9.Jadi, jika n ≡ a (mod 9) maka n terbagi oleh 9, bila dan hanya bila a terbagi oleh 9. Padahal n kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya.Jadi suatu bilangan terbagi oleh 9 bila dan hanya bila jumlah angka-angkanya tergabi oleh 9.

Contoh:1. 7. 587 ≡ 7 + 5 + 8 + 7 ≡ 9 (mod 9)

Karena 9│9 maka 9│75872. 47.623 ≡ 4 + 7 + 6 + 2 + 3 ≡22 ≡ 4 (mod9)

Karena 9 ł 4 maka 9ł 47.723

Latihan Pemahaman:Masing-masing membuat contoh dua bilangan dengan 5 dan 6 digit yang dapat dan yang tidak dapat dibagi 9.

Apakah bilangan yang terbagi oleh 9 akan tebagi juga oleh 3?

Misalkan 9│n dan 3│9 dengan sifat transitif diperoleh 3│n. karena n tebagi oleh 9 bila dan hanya bila angka-angkanta terbagi oleh 9, maka n terbagi oleh 3 bila dan hanya bila jumlah angkanya terbagi oleh 3.

Contoh:1. 12.456 ≡ 1 + 2 + 4 + 5 + 6 ≡ 18 ≡ 9 (mod 9)

Karena 3│9 maka 3│12.4562. 42.641 ≡ 4 + 2 + 6 + 4 + 1 ≡ 17 ≡ 8 (mod 9)

Karena 3 ł 8 maka 3 ł 42.641

2. Bilangan terbagi 2, 4 atau 8Bagaimana menguji bilangan terbagi oleh 2, 4 atau 8?Bilangan terbagi oleh 2, bila bilangan itu genap.Coba buktikan pernyataan itu dengan menggunakan kekongruenan mod 2.Bukti:Ambil n, bilangan yang dinyatakan oleh n = ak ak – 1 . . . a1 a0 dengan 0 ≤ ai < 9 untuk I = 1, 2, 3…n = ak ak – 1 . . . a1 a0 = ak 10k + ak – 1 10k – 1 + . . . + a2 102 + a 10 + a0

terlihat bahwa suku-suku ruas kanan pada persamaan ini terbagi oleh 2 keculai a0.Apabila n terbagi oleh 2, maka a0 pun terbagi oleh 2.a0 adalah angka terakhir dari bilangan n.jadi suatu bilangan terbagi oleh 2 bila dan hanya bila angka terakhirnya terbagi oleh 2.

Apakah 102, 103, 104 masing-masing terbagi oleh 4?Bagaimana menguji suatu bilangan terbagi oleh 4.Misalkan n = ak ak -1 . . . a2 a1 a0 ataun = ak 10 k + ak – 1 10k – 1 + . . . + a2 100 + (a1 10 + a0)setiap suku pada ruas kanan dari persamaan itu, kecuali dua suku terakhir, yaitu a110 dan a0 terbagi oleh 4. Jadi n terbagi oleh 4 bila dan hanya bila (a110 + a0) terbagi oleh 4.

Sehingga dapat disimpulkan:Suatu bilangan terbagi oleh 4 bila dan hanya bila bilangan yang ditanyakan oleh dua angka terakhir dari bilangan itu terbagi oleh 4.

Contoh:5.132.216 terbagi oleh 4, sebab 16 (dua angka terakhir ) terbagi oleh 4.

Dengan cara yang mirip dengan keterbagian oleh 4, maka berikut aturan keterbagian bilangan oleh 8.Suatu bilangan terbagi oleh 8 bila dan hanya bila bilangan yang dinyatakan oleh tiga angka terakhir dari bilangan itu terbagi oleh 8.

Contoh:17.256 terbagi oleh 8 karena 256 9tiga angka terakhir) terbagi oleh 8.

3. Bilangan terbagi oleh 6 dan 11Bagaimanakah menguji bilangan terbagi oleh 6?

2│n dan 3│n bila dan hanya bila 6│n. Buktikanlah pernyataan itu.Coba selesaikan dengan kekongruenan modulo 7.

LATIHAN!Benar atau salahkah pernyataan berikut ini! Jika benar, buktikan dan tunjukkan, tetapi jika salah berikan alas an atau contoh kontranya.

1. Jika angka terakhir dari bilangan n adalah 4, maka n2 ≡ 6 (mod 10)

2. Selisih pangkat tiga dari dua bilangan berurutan selalu tidak terbagi oleh 3.

3. Sisa 2n dibagi oleh 7 adalah salah satu di antara 1, 2, atau 4 utnuk setiap bilangan bulat positif n.

4. 234.567.765.432 terbagi oleh 11

5. 876.543.212.678 terbagi oleh 11

6. Sisa 4167 dibagi 7 adalah 6

7. Apabila n bilangan ganjil, maka n2 ≡ 1 (mod 8)

8. Jika suatu bilangan terbagi oleh 3, maka bilangan itu terbagi oleh 9.

9. Jika suatu bilangan terbagi oleh 12 maka bilangan itu terbagi oleh 2 dan terbagi oleh 4 sehingga bilangan itu terbagi oleh 8

10. 31415 x 9265 = 2.910.693.995

PERKONGRUENAN LINEAR

Tujuan UmumMahasiswa dapat menyelesaikan perkongruenan linear serta memecahkan soal-soal

terapan yang berkaitan dengan perkongruenan.

Tujuan KhususDiharapkan mahasiswa dapat:

1. Menentukan banyaknya solusi perkongruenan linear.2. Menyelesaikan perkongruenan linear.3. Menyelesaikan persamaan linear Diophantus.4. Mencirikan ada tidaknya solusi suatu pekongruenan linear.5. Menyelesaikan system perkongruenan linear.

Persamaan Linear DiophantusPersamaan linear diophantus yaitu persamaan linear yang berbentuk ax + by = c, dengan a, b, c bilangan bulat.

Penyelesaian Persamaan Linear DiophantusPersamaan ax + by = c berarti ax ≡ c (mod b)

atau by ≡ c (mod a)dari bentuk tersebut, menunjukkan bahwa persamaan linear dalam bentuk ax + by = c dapat diselesaikan dengan perkongruenan.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari 9x + 16y = 35

Penyelesaian:

9x + 16y = 35

Berarti

Nilai y disubstitusikan pada 9x + 16y = 35

Memberikan

Himpunan penyelesaian dari 9x + 16y = 35 adalah:

Sehingga (-5,5) merupakan penyelesaian 9x + 16y = 35.

Berdasarkan uraian di atas terlihat bahwa apabila (x0, y0) suatu penyelesaian persamaan linear Diphantus ax + by = c, maka solusi lainnya adalah (x0 + bt, y0 – at) untuk stiap bilangan bulat t.

Solusi Persamaan Linear Diphantus

Persaman linear Diphantus ax + by = c dengan a, b ≠ 0,

1. Mempunyai solusi jika (a, b) │c2. Tidak mempunyai solusi jika (a, b) ł c

Ingat cara menentukan FPB dua bilangan.

Dapat dilakukan dengan berbagai cara, di antaranya:

1. Pohon faktor2. Algoritma pembagian

Cobalah beberapa soal berikut:

Tentukan FPB nya:

a. (30, 105) =b. (28, 12) =

c. (2, 7) =d. (247, 299) =e. (5767, 4453) =

Contoh 2:

1. Tentukan solusi dari persamaan linear Diophantus2x + 4y = 5Penyelesaian:Karena (2, 4) = 2 dan 2 ł 5 maka persamaan linear tersebut tidak mempunyai solusi.

Penjelasan:

Andaikan y = t, makaUntuk setiap bilangan bulat t, maka (5 – 4t) merupakan bilangan ganjil.

Sehingga bukan merupakan bilangan bulat.

2. Tentukan solusi dari persamaan linear Diophantus7x + 15y = 51, dengan x dan y bulat positif.Penyelesaian:Karena (7, 15) = 1 maka persamaan linear tersebut mempunyai solusi.

Substitusi:

Karena x bulat positif dan t cacah, maka x = 3 yaitu untuk t = 0 sehingga y = 2.Jadi x = 3 dan y = 2.

3. Tentukan solusi dari persamaan linear Diophantus 2x + 6y = 20Penyelesaian:Karena (2, 6) = 2 dan 2│20 maka persamaan linear tersebut mempunyai solusi.Penjelasan:2x + 6y = 20

Substitusi :

Himpunan penyelesaian dari persamaan 2x + 6y = 20 adalah …………………………………...................

Perkongruenan LinearPengkongruenan linear adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekongruenan.Contoh 3:

3x ≡ 4 (mod 5)x2 + 3x – 3 ≡ 0 (mod 31)

Pengkongruenan yang variabelnya berpangkatan paling tinggi satu disebut pengkongruenan linear.Bentuk umum pengkongruenan linear adalah:

ax ≡ b (mod m) memiliki penyelesaian jika dan hanya jika ada bilangan x dan k yang memenuhi persamaan: ax = b + km

Misalkan r memnuhi pengkongruenan linear ax ≡ b (mod m) berarti ar ≡ b (mod m),

Maka setiap bilangan bulat

(r + m), (r + 2m), (r + 3m), …, (r – m), (r – 2m), (r – 3m) memenuhi pengkongruenan tersebut.

Sebab:

a(r + km) = ar = b (mod m) untuk setiap bilangan bulat k, diantara himpunan bilanan bulat (r + km), dengan k = 1, 2, 3, 4, …, -1, -2, -3), ada tepat satu dan hanya satu s dengan 0 ≤ s ≤ m, sebab suatu bilangan bulat mesti terletak di antara dua kelipatan m yang berurutan. Jadi jika r memenuhi ax ≡ b (mod m), dan km ≤ r ≤ (k + 1) m untuk suatu bilangan bulat k, maka 0 ≤ (r – km) ≤ m. jadi s = r – km suatu bilangan bulat.

Pernyataan tersebut menunjukkan s adalah residu terkecil modulo m yang memnuhi perkongruenan ax ≡ b (mod m). selanjutnya, s disebut solusi dari pengkongruenan.

Contoh 4:

Tentukan penyelesaian dari 2x ≡ 4 (mod 7)Penyelesaian:Nilai x yang memnuhi : …, -19, -12, -5, 2, 9, 16, …Residu terkecil (yang kurang dari 7) dari modulo 7 yang memenuhi adalah 2.Jadi penyelesaian 2x ≡ 4 (mod 7) adalah x = 2.

Solusi perkongruenan ax ≡ b (mod m)

Pada persamaan ax = b, dengan a ≥ 0 memiliki satu solusi. Sedangkan solusi bentuk ax ≡ b (mod m) dapat berupa satu solusi, banyak solusi dan tidak banyak solusi

Latihan soal!

Tentukan solusi dari soal-soal berikut:

1. 3x ≡ 6 (mod 7)2. 2x ≡ 1 (mod 4)3. 2x ≡ 4 (mod 6)