Ristia Apriana (Metode Numerik)

7/17/2019 Ristia Apriana (Metode Numerik)

http://slidepdf.com/reader/full/ristia-apriana-metode-numerik 1/46

METODE NUMERIK 1



METODE NUMERIK i

DAFTAR ISI

Pengantar Metode Numerik ....................................................... 1

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik ................................... 5

Bilangan dan Ketelitian ............................................................... 5

Pembulatan ................................................................................ 6

Latihan ....................................................................................... 9

Teori Galat ................................................................................. 10

Latihan ........................................................................................ 13

Operasi Hitung pada Teori Galat ............................................... 14

Latihan ....................................................................................... 18

Akar Persamaan ......................................................................... 19

Metode Biseksi .......................................................................... 21

Metode Iterasi ............................................................................ 24

Metode Newton Raphson .......................................................... 26

Metode Birge-Vieta ................................................................... 28

Interpolasi ................................................................................... 30

Interpolasi Linear ....................................................................... 30

Latihan ........................................................................................ 32



METODE NUMERIK ii

Interpolasi Kuadrat ..................................................................... 33

Interpolasi Langrange ............................................................... 36

Interpolasi Newton .................................................................... 41

Latihan ....................................................................................... 43



METODE NUMERIK 1

PENGANTAR METODE NUMERIK

Ketika kita menyelesaikan persamaan-persamaan matematika di mana teorema-

teoremanya masih dapat diterapkan, solusi analitik atau solusi eksak dapat kita peroleh.

Sebagai contoh, perhatikan soal-soal berikut.

(1) Cari akar-akar persamaan: x2 – 4 x + 3 = 0!

(2) Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut.

2 x + 3 y = 8

5 x – 2 y = 1

(3) Hitung integral berikut:

dx x1

0

2

(4) Tentukan solusi umum persamaan diferensial berikut

0 kydx

dy

Tujuan Umum

Memahami kebermaknaan dari belajar metode numerik serta mengetahui

kekeliruan dalam perhitungan numerik.

Tujuan Khusus

1.

Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian dari metode numerik.

2. Mahasiswa dapat mengetahui kegunaan dari metode numerik.

3. Mahasiswa dapat mengetahui cakupan materi yang terdapat dalam metode

numerik.



METODE NUMERIK 2

Persoalan di atas dengan mudah dapat dipecahkan secara analitik. Dengan

menggunakan metode pemfaktoran atau rumus abc, akar-akar persamaan pada soal (1)

adalah x = 1 dan x = 3. Dengan metode substitusi atau metode Cramer, solusi soal (2)

adalah x = 1 dan y = 2. Teorema dasar kalkulus akan membawa pada jawaban eksak

soal (3), yakni3

11

0

2 dx x . Sementara itu, kx A y sin merupakan salah satu solusi

umum persamaan diferensial pada soal (4).

Permasalahan muncul ketika metode analitik tidak lagi mampu memecahkan

persoalan matematis yang lebih rumit. Sebagai contoh, perhatikan soal-soal berikut.

(1) Cari akar-akar persamaan: 0 x xe x

(2) Tentukan solusi dari sistem persamaan linier berikut:

2 p + 3q – r + 4s + 2t = 2

4 p – 2q + 3r – 2s – t = 5

3 p + q – 2r – 3s + 7t = 6

p + 2q + 3r – 6s + 4t = 8

5 p +3 q – 10r – s + t = 6

(3) Hitung integral berikut: dxe x

1

0

2

(4) Tentukan solusi persamaan diferensial berikut: xe xy y y y 2



METODE NUMERIK 3

Persoalan-persoalan diatas sulit untuk dipecahkan secara analitik karena tidak

ada teorema-teorema matematis yang mendukung. Akan tetapi, persoalan-persoalan itu

bukan berarti tidak dapat dipecahkan. Persoalan-persoalan di atas dapat dipecahkan

dengan metode numerik.

Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk merumuskan persoalan-

persoalan matematis sehingga dapat dipecahkan dengan operasi aritmetika biasa

(tambah, kurang, kali, dan bagi). Secara harfiah, metode artinya cara, sedangkan

numerik artinya angka. Jadi, metode numerik secara harfiah adalah cara berhitung

menggunakan angka-angka.

Berbeda dengan metode analitik yang selalu menghasilkan solusi eksak dan

dapat dinyatakan dengan persamaan matematis, metode numerik menghasilkan solusi

berupa angka yang merupakan hampiran atau pendekatan. Solusi hampiran ini jelas

tidak sama dengan solusi eksak. Akan tetapi, kita dapat mencari solusi hampiran sedekat

mungkin dengan solusi eksaknya. Dengan kata lain, selisih antara solusi hampiran

dengan solusi eksak dibuat sekecil mungkin. Selisih antara solusi hampiran dan solusi

sejati disebut galat atau kesalahan.

Beberapa persoalan yang dapat dipecahkan menggunakan metode numerik

adalah menentukan solusi persamaan nonlinier, sistem persamaan linier multivariabel,

diferensial, integral, interpolasi, regresi, dan persamaan diferensial.

Dalam penerpan matematis untuk menyelesaikan persoalan-persoalan

perhitungan dan analisis, ada beberapa keadaaan dan metode yang digunakan untuk

menghasilkan penyelesaian yang baik yaitu:

1.

Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorema analisamatematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut, maka

penyelesaian matematis (metode analitik) adalah penyelesaian exact yang harus

digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode pendekatan.

2. Jika persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesikan secara matematis

(anaitik) karena tidak ada theorema analisa matematik yang dapat digunakan, maka

dapat digunakan metode numerik.



METODE NUMERIK 4

3. Jika persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi,

sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik,

maka dapat digunakan metode-metode simulasi.

Persoalan-persoalan uang biasa diangkat dalam metode numerik adalah

persosalan-persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan

menggunakan metode analitik, anatara lain:

1. Menyelesaikan persamaan non linear

2. Menyelesaikan persmaan simulasi atau multivariabel.

3. Menyelesaikan differensial dan integral.

4.

Interpolasi dan regresi.

5. Menyelesaikan persamaan differensial.

6. Masalah multi variabel untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat.



METODE NUMERIK 5

KEKELIRUAAN DALAM PERHITUNGAN NUMERIK

Untuk menyelesaikan suatu masalah biasanya dimulai dengan sebarang data

awal kemudian dihitung, kemudian dengan langkah-langkah (pengolahan) tertentu, dan

akhirnya diperoleh suatu penyelesian.

Data numerik adalah suatu Aproksimasi (pendekatan) yang benar sampai dua,

tiga atau lebih bilangan. Terkadang metode yang digunakan merupakan suatu

aproksiamasi, dan oleh sebab itu kekeliruan dalam hasil perhitungan mungkin

disebabkan oleh kekeliruan data, atau kekeliruan di dalam metode, atau kedua-duanya.

Bilangan dan Ketelitian

Ada dua macam bilangan yaitu:

1. Bilangan Eksak (Tepat)

Contoh:

1; 2; 3;2

3; 0,5; 2

Buatlah contoh lain dari bilangan eksak: ....................................................................

Tujuan Umum:

Memahami kebermaknaan dari belajar metode numerik serta mengetahui

kekeliruan dalam perhitungan numerik.

Tujuan Khusus:

1. Mahasiswa dapat mengetahui kekeliruan yang terjadi dalam perhitungan

numerik.

2. Mahasiswa dapat melakukan pembulatan ke satuan terdekat.

3. Mahasiswa dapat melakukan pembulatan angka desimal.

4. Mahasiswa dapat melakukan pembulatan ke banyak angka signifikan (penting).



METODE NUMERIK 6

2. Bilangan Aproksimasi (Pendekatan)

Contoh:

Nilai aproksimasi dari π adalah 3,1416 atau pendekatan yang lebih baik dari π

adalah 3,14159265.

Buatlah contoh lain dari bilangan aproksimasi ...........................................................

Angka-angka yang menyatakan suatu bilangan disebut angka-angka

signifikan. Jadi bilangan-bilangan 3,1416; 0,66667 dan 4,0687 masing-masing memuat

lima angka signifikan. Bilangan 0,0023 hanya mempunyai dua angka signifikan yaitu 2

dan 3, karena nol hanya menentukan tempat dari titik desimal. Sering kali kita

menginginkan menyingkat penulisan bilangan-bilangan yang besar, dan hal tersebut

dapat dilakukan dengan memotong sampai seberapa angka dari bilangan itu yang kita

inginkan. Proses pemotongan bilangan seperti itu disebut pembulatan.

Untuk membulatkan bilangan sampai ke n angka signifikan, hilangkan setiap

bilangan yang ada disebelah kanan angka ke n, dan bila bilangan yang dihilangkan

tersebut:

1.

Kurang dari 5 (setengah satuan), maka angka ke n tidak berubah (tetap).2. Lebih besar dari 5 (setengah satuan),maka angka ke n bertambah satu (satu satuan).

3. Tepat 5 (setengah unit), maka angka ke n bertambah satu (satuan) jika angka ke n

ganjil, dan yang lain tetap.

Pembulatan

Apakah anda tahu ada

berapa cara

pembulatan hasil

pengukuran???



METODE NUMERIK 7

Berikut adalah cara pembulatan hasil pengukuran:

1. ...................................................................................................................................

2. ..................................................................................................................................

3.

..................................................................................................................................

Pembulatan ke satuan terdekat

Aturan pembulatan suatu bilangan ke satuan terdekat yaitu :

a. Jika angka berikutnya lebih dari atau sama dengan 5, maka angka ini hilang dan

angka di depannya ditambah satu.

b.

Jika angka berikutnya kurang dari 5, angka ini dihilangkan dan angka didepannya tetap.

Contoh:

a. 74,5 cm = 75 cm (dibulatkan ke cm terdekat)

b. 45,49 lt = 45 lt (dibulatkan ke lt terdekat)

Pembulatan ke banyaknya tempat desimal

Cara pembulatannya ke banyaknya angka-angka desimal yang dikehendaki,

yaitu berapa angka yang berada di belakang koma.

Contoh:

a. 47,25369 = 47,2537 (dibulatkan ke-4 tempat desimal)

b. 47,25369 = 47,254 (dibulatkan ke-3 tempat desimal)

c. 47,25369 = 47,25 (dibulatkan ke-2 tempat desimal)

d. 47,25369 = 47,3 (dibulatkan ke-1 tempat desimal)



METODE NUMERIK 8

Pembulatan ke banyaknya angka signifikan (penting)

Ketentuan untuk menyatakan angka signifikan atau angka yang berarti (penting)

sebagai berikut :

a. Semua angka selain nol adalah signifikan.

Contoh: 25,91 mempunyai 4 angka signifikan

5,4 mempunyai 2 angka signifikan

b. Semua angka nol di antara angka selain nol adalah signifikan.


203 mempunyai 3 angka signifikan

c. Semua angka nol di belakang angka bukan nol pada bilangan bulat bukan signifikan.

Contoh: 33.000 mempunyai 2 angka signifikan

42.300 mempunyai 3 angka signifikan

d. Semua angka nol di depan angka bukan nol pada desimal bukan signifikan.


2,5 x 10-3 mempunyai 2 angka signifikan

e. Semua angka nol di belakang angka bukan nol pada desimal adalah signifikan.


0,510 mempunyai 2 angka signifikan

f. Semua angka nol pada bilangan yang diberi tanda khusus (strip atau bar) adalah

signifikan.

Contoh: 5.000 mempunyai 3 angka signifikan

12.000 mempunyai 3 angka signifikan



METODE NUMERIK 9

Contoh Soal

Bilangan-bilangan berikut dibulatkan sampai empat angka signifikan:

1,6583 ke 1,658

30,0567 ke 30,…..

0,859378 ke 0,85….

3,14159 ke 3,1……

Latihan!

1. Bulatkanlah bilangan-bilangan berikut kedua tempat desimal:

48,21416 ke ………………..

2,375 ke ………………..

2,3742 ke ………………..

2,385 ke ………………..

52,275 ke ………………..

81,225 ke ………………..

2.

Bulatkanlah bilangan-bilangan berikut ke 4 signifikan.

38, 46235 ke ……………….

0,70029 ke ……………….

0,0022218 ke ……………….

19,255101 ke ……………….

2,36425 ke ……………….

0,0314052 ke ……………….



METODE NUMERIK 10

TEORI GALAT

Teori galat atau disebut juga teori kesalahan yang terbagi ke dalam dua

kesalahan, yaitu:

1.

Kesalahan mutlak ( Absolut Error )

Merupakan selisih antara nilai sebenarnya dengan nilai aproksimasinya, yang dapat

dirumuskan sebagai berikut:

Atau

2. Kesalahan relatif ( Relatif Error )

Merupakan hasil bagi dari kesalahan mutlak dengan nilai aproksimasinya, yang

dapat dirumskan sebagai berikut:

Atau x

E E A

R x

E E A

R

Tujuan Umum:

Mampu membedakan kesalahan mutlak (EA) dan kesalahan relatif (Er ) baik itu

dalam perasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Tujuan Khusus:

1. Mahasiswa dapat membedakan kesalahan mutlah (absolut) dan kesalahan relatif.

2. Mahasiswa dapat mengetahui cara mencari persentase kesalahan.

3.

Mahasiswa dapat mengetahui cara mencari persentase ketelitian.

4. Mahasiswa dapat mengetahui cara mencari batas penghampiran.



METODE NUMERIK 11

Kedua bentuk teori galat atau teori kesalahan di atas merupakan bagian utama

yang harus di kuasi, guna dapat melanjutkan penyelesaian masalah lain yang

berhubungan dengan kedua teori tersebut. Berikut beberapa hal yang merupakan

lanjutan dari permasalahan teori galat.

1. Persentase Kesalahan

Untuk mencari persentase kesalahan di peroleh dengan mengalikan kesalahan relatif

dengan persen, bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

2. Persentase Ketelitian

Setelah mengetahui persentase kesalahan, maka kita dapat mencari persentase

ketelitiannya dengan mengurangkan total suatu ketelitian dengan kesalahan.

3. Batas Penghampiran

Bilangan x disebut mendekati x sampai pada d digit- digit yang signifikan yang

memenuhi:

Contoh:

Misal p adalah pendekatan untuk p, dengan p = 3,141592, p = 3,14, tentukan:

1. Kesalahan absolut

2. Kesalahan relatif

3.

Persentase kesalahan

4. Persentase ketelitian

5. Batas penghampiran

Penyelesaian:

1.)

EA (p) = ............................. - ............................... = .........................

%100 RP E E

P E Ketelitian %100(%)

2

10 d

R x

x x E



METODE NUMERIK 12

2.) ER (p) = ..................................................

..................................

3.) EP = ...................... X 100% ≈ ......................

4.)

Ketelitian (%) = 100% - ............................... ≈ .............................

5.) R E = .................. <............

............

Jadi, .............................................................................................................................................

Contoh:

Jika a adalah bilangan yang dibulatkan ke N tempat desimal, maka N x 1021 . Jika x =

0,51 maka x teliti sampai 2 tempat desimal, sehingga N x 10

2

1 = ..................... dan

ketelitian relatifnya adalah ....%........................

...............

x

x



METODE NUMERIK 13

Latihan!

Carla kesalahan absolut, relatif, persentase kesalahan, tingkat ketelitian dari

data di bawah ini. Tentukan juga banyaknya digit-digit yang signifikan dalam

pendekatan masing-masing.

999996

1000000.1

a

a

000009,0

000012,0.2

b

b

7182,271828182,2.3

x

x

98000

98350.4

y

y

00006,0

00068,0.5

z

z

6. Diketahui π = 3,141592653, bila π dinyatakan dalam 6 desimal, hitunglah error

relatifnya jika:

a. Dilakukan pemotongan tanpa pembulatan.

b. Dilakukan pemotongan dengan pembulatan.

c. Manakah yang memiliki tingkat ketelitian yang tinggi.



METODE NUMERIK 14

OPERASI HITUNG PADA TEORI GALAT

Misal x adalah pendekatan untuk x, maka diperoleh:

Tujuan Umum:

Mampu membedakan kesalahan mutlak (EA) dan kesalahan relatif (Er ) baik

itu dalam perasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Tujuan Khusus:

1. Mahasiswa dapat mengetahui proses medapatkan rumus penjumlahan,

pengurangan, perkalian dan pembagian pada EA dan ER .

2.

Mahsiswa dapat menggunakan rumus penjumlahan, pengurangan, perkalian dan

pembagian untuk menyelesaikan permaslahan dalam metode numerik mengenai

EA dan ER .

3. Mahsiswa dapat menggunakan rumus penjumlahan, pengurangan, perkalian dan

pembagian untuk menyelesaikan permaslahan dalam metode numerik mengenai

EA dan ER dengan mengguakan exel.

Masih ingat kah

mengenai kesalahan

absolut dan

kesalahan relatif

)( x E x x

x x E

A

A

x x E x x

x E x x x

x

x x x E

R

R

R

)(

)(

)(

)()(

)()(

x E x x E

x

x E x E A

R



METODE NUMERIK 15

1. Penjumlahan

Kesalahan Absolut

x + y = .........................................................................................................................

= ..........................................................................................................................

= ..........................................................................................................................

= .........................................................................................................................

= .........................................................................................................................

= ........................................................................................................................

= .........................................................................................................................

Kesalahan Relatif

ER (x + y) = ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

2. Pengurangan

Kesalahan Absolut

x - y = .........................................................................................................................

= ..........................................................................................................................

= ..........................................................................................................................

= .........................................................................................................................



METODE NUMERIK 16

= .........................................................................................................................

= ........................................................................................................................

= .........................................................................................................................

Kesalahan Relatif

ER (x - y) = ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

3. Perkalian

Kesalahan Absolut

x . y = .........................................................................................................................

= ..........................................................................................................................

= ..........................................................................................................................

Diasumsikan EA (x) . EA (y) ≈ 0, maka:

= .........................................................................................................................

= .........................................................................................................................

= .........................................................................................................................

= .........................................................................................................................



METODE NUMERIK 17

= .........................................................................................................................

Kesalahan Relatif

ER (x . y) = ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

4. Pembagian

Kesalahan Absolut

y

x = ............................................................................................................................

= ..........................................................................................................................

= ..........................................................................................................................

= .........................................................................................................................

= .........................................................................................................................

= ........................................................................................................................

= .........................................................................................................................

Kesalahan Relatif

ER

y

x= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................



METODE NUMERIK 18

= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

Contoh:

Diberikan data x = 2,718282, x= 2,7182, y = 3,141593 dan y = 3,1416, maka carilah:

1. EA(x + y) dan ER (x + y)

2. EA (x – y) dan ER (x – y)

3. EA (x . y) dan ER (x . y)

4. EA (x/y) dan ER (x/y)

Setelah mengetahui penyelesaian operasi hitung pada teori galat, maka untuk

menyelesaikan permasalahan tersebut dapat menggunakan bantuan program komputer

yang sangat sederhana yaitu exel.

Latihan!

Diberikan data x = 3/4 , x= pembulatan 4 desimal, y = 4/7 dan y = pembulatan 4

desimal, maka carilah:

1.

EA(x + y) dan ER (x + y)

2. EA (x – y) dan ER (x – y)

3. EA (x . y) dan ER (x . y)

4. EA (x/y) dan ER (x/y)

Selesaikan permasalahan di atas dengan menggunakan manual dan bantuan program

exel, kemudian buatlah kesimpulan dari kedua pengerjaan yang berbeda tersebut.



METODE NUMERIK 19

AKAR PERSAMAAN

Di dalam kerja ilmiah dan teknik, sering dijumpai suatu masalah untuk mencari

akar-akar persamaan yang berbentuk f(x). Jika f(x) berbentuk kuadrat, pangkat tiga,

atau pangkat empat maka ada rumus-rumus aljabar untuk menghitung akar-akarnya.

Sebaiknya, jika f(x) suatu polinom berderajat tinggi atau berbentuk fungsi transenden

seperti, 1 + cos x – 5x, x tan x – cos x, e-x – sin x, dan seterusnya, tidak tersedia metode

aljabar untuk solusinya, dan harus dipelajari kembali tentang cara mencari akar-akarnya

dengan metode (cara) aproksimasi.

Tujuan Umum:

Mampu mencari nilai akar persamaan dengan menggunakan metode numerik

yaitu dengan cara iseksi, iterasi, newton raphson dan bierge vietta.

Tujuan Khusus:

1. Mahsiswa dapat mencari akar persamaan dengan menggunakan cara biseksi,

iterasi, newton raphson, dan bierge vietta.

2.

Mampu menarik kesimpulan dari keempat cara dalam metode numerik untuk

mencari akar persamaan.

3. Dapat menyelesaikan permaslahan sehari-hari yang berhubungan akar

persamaan.

Definisi:

Diberikan suatu fungsi f dari R ke R yang kontinu. Suatu bilangan x0 ϵ R

yang memenuhi f(x0) = 0 disebut akar persamaan f (x) = 0 atau nilai nol dari

fungsi f.



METODE NUMERIK 20

Contoh:

1. Berapakah nilai x pada F(x) = 2x2 + 5x – 3 dari Ɍ ke Ɍ adalah fungsi kontinyu.

Penyelesian:

Jadi, ......................................................................................................................

2. Carilah akar Real dari persamaan H(x) = x3 – x – 1 = 0

Untuk mencari akar-akar dari pesamaan H(x) = 0 adalah sukar dilakukan dengan cara

eksak. Pada kenyataannya kita cukup mencari pendekatan dari akar-akar yang eksak.

Dalam bagian ini, akan dibicarakan metode-metode numerik untuk solusi

persamaan, dengan f(x) adalah fungsi aljabar atau transenden atau keduanya.

Masih ingatkah untuk

menyelesaikan soal

seperti berikut????

F(x) = 2x2 + 5x ‐3



METODE NUMERIK 21

METODE BISEKSI (Belah Dua)

Teorema yang digunakan dalam metode biseksi “Bila f(x) kontinu di dalam a ≤

x ≤ b dan fungsi f(a) dengan f(b) berlawanan tanda, maka f( α ) = 0 untuk suatu

bilangan α sedemikian sehingga a < α < b”.

Berdasarkan teorema di atas menyatakan bahwa bila fungsi f(x) kontinu di antara

a dan b, maka f(a) dan f(b) berlawanan tanda, maka ada paling sedikit satu akar di antara

a dan b. maka akar-akarnya terletak di antar a dan b, dan nilai aproksimasinya.

20

ba x

Jika f(x0) = 0, maka x0 adalah akar-akar dari f(x) = 0.

Contoh:

Selesaikan persamaan x2 – 3 = 0 dalam interval [1 ,2] menggunakan metode bagi dua

sampai 5 iterasi (langkah).

Penyelesaian:

.....)(1 a f a

......)(2 b f b

Oleh karena itu akar persamaan teretak antara 1 dan 2

Iterasi 1:

75,03)5,1()(

5,12

21

2

1

1

x f

x

Oleh karena itu akar persamaan terletak antara 1,5 dan 2

Iterasi 2:

.........................)(.........)(

..................

........................

2

2

2

x f

x

Toleransi keauratan (%) = %1002

12

x

x x

= %100........

........................



METODE NUMERIK 22

= ................%

Oleh karena itu akar terletak antara ............. dan ..........

Iterasi 3:

.........................)(.........)(

..................

........................

2

3

3

x f

x


23

x

x x

= %100........

........................

= ................%Oleh karena itu akar terletak antara ............ dan .............

Iterasi 4:

.........................)(.........)(

..................

........................

2

4

4

x f

x


4

34

x

x x

= %100........

........................

= ................%

Oleh karena itu akar terletak antara ............ dan ...............

Iterasi 5:

.........................)(.........)(

...........

.......

........................

2

5

5

x f

x


45

x

x x

= %100........

........................

= ................%

Jadi pada iterasi ke-5 diperoleh akar hampir x = ....................



METODE NUMERIK 23

Contoh:

Carilah akar real dari persamaan f(x) = x3 – x – 1 = 0 dengan interval [1, 2] dengan 3

iterasi.

Penyelesaian:

Jadi pada iterasi ke-3 diperoleh akar hampir x = ..................



METODE NUMERIK 24

METODE ITERASI

Iterasi adalah suatu proses yang diulangi sampai jawaban yang diinginkan

diperoleh. Teknik-teknik iterasi digunakan untuk mencari akar-akar pendekatan

persamaan, solusi dari sistem persamaan linear maupun non linear, dam solusi dari

persamaan diferensial.

Dalam proses iterasi kita mulai dengan mengopersasikan x0 untuk suatu akar α

dan akar hasil tersebut kita aproksimasi x1 sebelum aproksimasi x2 dan setersunya.

Dengan proses efektif nilai-nilai yang diperoleh x1, x2, x3, ... makin lama makin

mendekati akar α.

Proses tersebut diteruskan sehingga aproksimasinya dengan ketelitian yang

diinginkan diperoleh. Jadi ntuk suatu proses iteratif kita perlukan kedua hal ini:

1. Aproksimasi x0

2. Metode aau formula untuk memperoleh apoksimasi xn+1 dalam suku-suku dari

aproksimasi xn.

Jika persamaan yang akar-akarnya akan dicari adalah f(x) = 0, maka untuk

aproksimasi x0 dapat diperoleh dari sketsa gambar dari grafik f(X). Jika persamaan f(x)

= 0 ditulis dalam bentuk x = F(x), kita peroleh berturut-turut iterasi x1, x2, x3, .... seperti

berikut:

x1 = F(x0)

x2 = F(x1)

x3 = F(x2)

... ...

... ...

xn+1 = F(xn)



METODE NUMERIK 25

Contoh:

Carilah akar dari persamaan x3 – x – 1 = 0

Penyelesaian:

Persamaan x3

– x – 1 = 0 dapat ditulis sebagai x = x3

– 1 yaitu dalam bentuk x = F(x)

dengan F(x) = x3 – 1.

Sekarang akan kita coba untuk menentukan akar diantara 1 dan 2 merumuskan proses

yang didefiniskan oleh aproksimasi awal.

xn+1 = x3-1



METODE NUMERIK 26

METODE NEWTON RAPSON

Metode ini merupakan penggunaan umum untuk memperoleh hasil yang lebih

baik dari metode-metode sebelumya. Misal x0 adalah aproksimasi akar dari f(x) = 0 dan

misalnya h adalah kekeliruan dari aproksimasi tersebut sedemikian x1 = x0 + h dan f(x1)

= 0. Ekspansi f(x1) oleh deret Taylor, kita peroleh:

0...)(!2

)()( 0

2

00 x f h

x f h x f

Karena aproksimasi yang lebih baik adalah yang kekeliruannya terkecil, dalam hal ini

h snagat kecil, maka turunan kedua atau lebih dapat diabaikan, sehingga kita peroleh

)(

)(

0)()(

0

0

00

x f

x f h

x f h x f

Aproksimasi yang baik dari x0 diberikan oleh x1, dengan)(

)(

0

001

x f

x f x x

Aproksimasi-aproksimasi yang lain adalah x2, x3, x4, ........, xn+1 dengan

yang disebut formula Newton Rapshon

Contoh:

Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan aproksimasi akar real dari persamaan x3 – x – 1 dengan x0 = 1.

Penyelesaian:

Jika kita misalkan f(x) = x3 – x – 1 dengan x0 = 1, maka 13)( 2 x x f

13

)1(2

3

1

x

x x x x nn

)(

)(1

n

n

nn x f

x f x x



METODE NUMERIK 27

...........................1..........

...........1

)(

)(

0

001

x f

x f x x

..........................

...........

.........................

)(

)(

1

112

x f

x f x x

........................................................................................3 x

Jadi, ..................................................................................................................................

Contoh:

Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan aproksimasi akar real dari

persamaan x2 – 1 dengan x0 = 1. (Buatlah sebanyak 4 iterasi)

Penyelesian:



METODE NUMERIK 28

METODE BIRGE-VIETA

Diberikan persamaan P(x) dengan P(x) suatu polinomial. Akan dicari

pendekatan dari akar persamaan P(x) = 0 dengan nilai awal x0 dengan metode Bierge-

Vieta yang langkah-langkahnya dijelaskan pada contoh ini.

Langkah-langkah untuk mencari akar persamaan dengan menggunakan metode

ini yaitu:

Contoh:

Carilah akar pendakatan dari P(x) = x3 – x – 1 dengan x0 = 1, sebanyak 3 iterasi.

Penyelesaian:

P(x) = a3.x3 + a2.x2 + a1.x + a0

P(x) = x3 – x – 1

Sehingga a3 = ........., a2 = .........., a1 = .........., a0 = ........... maka a3 = b3 = c3 = 1

.....................................

........1

....................)1()(

......................

..........................................

1110

1

001

10000

2011

2011

3022

3022

c

b x x

b xa f x f b

c xbc

b xab

c xbc

b xab

1

001

0000

10

10

.)(

.

1,2

.

c

b x x

b xa x pb

c xbc

i

b xab

i

iii

iii



METODE NUMERIK 29

.....................................

........1

....................)1()(

......................

.....................

.....................

1110

1

012

11000

2111

2111

3122

3122

c

b x x

b xa f x f b

c xbc

b xab

c xbc

b xab

.....................................

........1

....................)1()(

......................

.....................

.....................

1110

1

021

12000

2211

2211

3222

3222

c

b x x

b xa f x f b

c xbc

b xab

c xbc

b xab

Contoh:

Carilah akar pendakatan dari P(x) = x2 – 3 dengan x0 = 1, sebanyak 5 iterasi.

Penyelesaian:



METODE NUMERIK 30

INTERPOLASI

Inetrpolasi berarti mengestimasi nilai fungsi yang tidak diketahui dengan

menggunakan nilai-nilai fungsi di titik sekitarnya. Interpolasi ialah menghubungkan

titik-titik data diskrit dalam suatu cara yang masuk akal sehingga dapat diperoleh

taksiran layak dari titik-titik data diantara titik-titik yang diketahui. Sehingga dapat

dikatakan bahwa interpolasi merupakan suatu cara untuk mencari suatu bentuk fungsi,

dengan diketahui titik-titik dari suatu fungsi tersebut.

Akan dibicarakan bermacam-macam interpolasi, yaitu Interpolasi Linear,

Interpolasi Kuadrat, Interpolasi Lagrange, Interpolasi Newton

INTERPOLASI LINEAR

Interpolasi linear menggunakan suatu penggal garis lurus yang melalui 2 titik.

Slope/gardien tunggal penggal garis lurus yang melalui titik (x0, y0) dan titik (x1, y1)

adalah:

Tujuan Umum:

Mampu menyelesaikan permasalahan dari titik-titik koordinat yang

membentuk garis lurus dengan interpolasi linear, kuadrat, lagrange dan newton

Tujuan Khusus:

1. Mahsiswa dapat mengetahui definisi dari interpolasi.

2. Mahasiwa dapat memahami jenis dari interpolasi.

3.

Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan dari titik-titik koordinat yang

membentuk garis lurus dengan interpolasi linear interpolasi kuadrat, interpolasi

lagrange dan interpolasi newton.

4. Mahasiswa dapat membedakan ketiga jenis interpolasi



METODE NUMERIK 31

Persamaan garis lurusnya:

atau dapat ditulis

Dapat digambarkan

Contoh:

1. Jika diketahui bahwa nilai fungsi di x0 = 2 adalah y0 = 7 di x1 = 10 adalah y1 =

15,carilah nilai fungsi di x2 = 6 dan di x3 = 8, gunakan interpolasi linear.

Penyelesaian:

18

8

210

715

01

01

x x

y ym

Persamaan garis lurusnya: y = P(x) = y0 + (x – x0) = ....... + (x - ......)

Jadi y2 = 7 + (x2 - .....) = 7 + ( .... - .....) = .......+....... = ........

y3 = 7 + (x3 - .....) = 7 + ( .... - .....) = .......+....... = ........

Dengan gambar sebagai berikut.

01

01

x x

y ym

)()( 0

01

010 x x

x x

y y y xP y

)()( 00 x xm y x p y

X0 X1 X2

y0

y1

y = P(x), x0 ≤ x ≤x1

y1 = P(x1) = ...???



METODE NUMERIK 32

2. Di suatu tempat pada jam 6 pagi suhu udara 230C dan jam 12 siang suhu udara naik

menjadi 320C. Menggunakan inetrpolasi linear, carilah suhu udara ditempat tersebut

pada jam 11 siang.

Penyelesaian:

Latihan!

1. Bila diketahui bahwa nilai fungsi x0 = 2 adalah y0 = 7 di x1 = 10 adalah y1 = 15,

carilah nilai fungsi di x2 = 6 dan di x3 = 8. gunakan interpolasi linear.

2.

Hitunglah taksiran y untuk x = 2 dengan menggunakan interpolasi linear untuk data(1,0) dan (4, 1.386294).

3. Diketahui nilai fungsi di xA = -5 adalah yA = 12 dan xB = 3 adalah yB = -20. carilah

nilai fungsi di xC = -1 dan di xD = = 2 dengan interpolasi linear.

4. Diketahui xA = 2, yA = 3 dan xB = 15, yB = 8. menggunakan interpolasi linear, bila

diberikan x1 = 8 dan x2 = 11 berapakah y1 dan y2?. Gunakan aritmatika 4 angka

desimal (dibelakang koma) dengan pembulatan ke 0,0001 yang terdekat.

5. Tinggi badan seseorang waktu berumur 10 tahun adalah 140 cm dan waktu berumur

20 tahun adalah 165 cm. menggunakan interpolasi linear, carilah tinggi badan orang

tersebut. Waktu umurnya 17 tahun. Bila kenyataannya menunjukkan bahwa tinggi

badan orang tersebut waktu berumur 17 tahun adalah 162 cm, hitunglah kesalahan

absolut dan kesalahan relatif dari tinggi badan yang sebenarnya.



METODE NUMERIK 33

INTERPOLASI KUADRAT

Banyaknya kasus di mana penggunaan interpolasi linear kurang memuaskan,

karena fungsi yang diinterpolasi nilai-nilainya berlaku cukup besar (dalam nilai mutlak)

dengan nilai-nilai fungsi linear.

Untuk mengatasi hal tersebut, digunakan polinom derajat dua atau lebih. Di sini

dibahas interpolasi kuadrat yang menggunakan polinom derajat dua.

Cara I:

Misalkan diberikan data yang dinyatakan dengan titik-titik (xk-1, yk-1), (xk , yk )

dan (xk+1, yk+1). Akan dicari polinom derajat dua (fungsi kuadrat) P(x) = A2 x2

+ A1 x +A0 yang kurvanya (parabola) melalui 3 titik tersebut. Jadi akan dicari A2, A1, dan A0,

A2 ≠ 0 dari sistem persamaan linear:

021

2

222

011

2

121

001

2

020

A x A x A y

A x A x A y

A x A x A y

Setelah A2, A1, dan A0 diperoleh dari sistem persamaan linear tersebut, nilai-nilai

disubstitusikan ke P(x) = A2x2 + A1x + A0

Contoh:

Carilah interpolasi kuadrat menggunakan titik-titik (0,1), (2,5) dan (4,17).

Penyelesaian:

Dalam hal ini akan dicari persaman parabola y= P(x)= A2x2

+ A1x + A0 yang melalui 3titik tersebut. Diperoleh sistem persamaan linear:

012

012

0

41617

245

1

A A A

A A A

A

Jadi, 4A2 + 2A1 = 4

16A2 + 4A1 = 16



METODE NUMERIK 34

2A2 + A1 = 2

4A2 + A1 = 4

Dengan mengurangkan persamaan. Pertama ke persamaan ke dua di dapat,

2A2 = 1 sehingga A2 = 1 dan A1 = 0.

Gambar dari persamaan di atas.

Cara II:

Untuk mencari polinomial derajat dua (fungsi kuadrat) P(x) yang kurvanya

(parabola) melalui titik-titik(x0, y0), (x1, y1) dan (x2, y2) dilakukan langkah-langkah

sebagai berikut:

1. Bentuk fungsi-fungsi kuadrat:

))(()(

))(()(

))(()(

102

201

210

x x x x xC

x x x x xC

x x x x xC

2. Bentuk koefisien-koefisien:



METODE NUMERIK 35

2

22

1

11

0

00

C

y B

C

y B

C

y B

3. P(x) = B0C0(x) + B1C1(x) + B2C2(x)

Contoh:

Carilah interpolasi kuadrat menggunakan titik-titik (0,1), (2,5) dan (4,17).

Penyelesaian:

1. Bentuk fungsi-fungsi kuadrat:

....)(......).......)(())(()(

....)(......).......)(())(()(

......).......)(())(()(

102

201

210

x x x x x x x x xC

x x x x x x x x xC

x x x x x x xC

2. Bentuk koefisien-koefisien:

...................................

....................................

...................................

2

22

1

11

0

00

C

y B

C

y B

C

y B

2. P(x) = B0C0(x) + B1C1(x) + B2C2(x)

= ............................................. + ........................................ + .............................

= ............................................ + ........................................ + .........................



METODE NUMERIK 36

= ..........................

Dengan gambar sebagai berikut:

Contoh:

Carilah interpolasi kudrat menggunakan titik-titik (0, 3), (1, 2) dan (-2, 11)

Penyelesaian:

Akan di cari persamaan parabola y = A2 x2 + A1 x + A0

INTERPOLASI LAGRANGE

Disini akan dibahas interpolasi polinomial berderajat N-1 yang menggunakan N

titik (x1,y1), (x2,y2), …, (x N,y N). Jadi bila N=2 terjadi interpolasi linear dan bila N=3

terjadi interpolasi kuadrat. Akan dicari polonomial berderajat N-1:

y = P(x) = A N-1x N-1 + A N-2x N-2 + …+ A1x + An

CaraI menggunakan sistem N persamaan linear untuk mencari N buat koefisien

A N-1,A N-2, …,A1,A0. Cara II menggunakan formula lagrange dan interpolasinya disebut

interpolasi Lagrange.



METODE NUMERIK 37

Cara I:

Akan dicari A N-1, A N-2, …, A1, A0 dari sistem N persaman linear:

01

2

2

1

1

021

2

22

1

212

011

2

12

1

111

...

......

A x A x A x A y

A x A x A x A y A x A x A x A y

N

N

N N

N

N N n

N

N

N

N

N

N

N

N

Setelah A , A , …, A , A diperoleh dari sistem persamaan linear tersebut, nilai-

nilai ini disubstitusikan y = P(x)= A N-1x N-1 + A N-2x N-2 + … + A1x + A0.

Contoh:

Carilah interpolasi polinomial derajat tiga menggunakan titik-titik (0, 1), (1, 1), (2, 2)

dan (4, 5).

Penyelesaian:

Karena A0 = 1, maka diperoleh sistem persamaan:



METODE NUMERIK 38

Jadi, y = P(x) = ..................................................................................................

Cara II:

Untuk mencari interpolasi polinomial berderajat N-1 yang kurvanya melalui N

titik(x1,y1), (x2,y2), …, (x N,y N), dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Bentuk N polinomial derajat N-1:

N

j j

ji N i x x x

11

...,3,2,1),()(

2.

Bentuk N koefisien:

N i x

y B

ii

ii ,...,2,1,

)(

3. Diambil

)()(1

xC B xP N

i

ii

Dari definisi di atas, terlihat bahwa Ci(xk ) = 0 jika i = k. Jadi untuk setiap k, k =

1, 2, …, N, didapat.

k

N

i

N

i ii

ik iik y

xC

y xC B xP

1 1 )()()(

Jadi y = P(xk ), k = 1, 2, …, N, sehingga kurva y = P(x) melalui N titik-titik

(x1,y1),(x2,y2, …,(x N,y N).



METODE NUMERIK 39

Contoh:

Carilah interpolasi polinomial derajat tiga menggunakan titik-titik (0, 1), (1, 1), (2, 2)

dan (4, 5).

Penyelesaian:

Bentuk 4 polinomial derajat 3:

C1 =

C2 =

C3 =

C4 =

Bentuk 4 koefisien)( xC

y B

i

i

i

B1 =

B2 =

B3 =



METODE NUMERIK 40

B4 =

Jadi, Ambil y = P(x) =

4

2)(

i

ii xC B =

Latihan!

Carilah interpolasi polinomial derajat tiga menggunakan titik-titik:

1. (0,1),(1,1),(2,2) dan (4,5)

2. (-1,2),(0,3),(2,5) dan (3,-4)

3. (-2,3),(-1,4),(0,5) dan (3,6)



METODE NUMERIK 41

INETRPOLASI NEWTON

Disini akan dicari interpolasi berderajat n yang menggunakan titik-titik (x0,y0),(x1,y1, …, (xn,yn) yang banyaknya n + 1. bentuk polinomial interpolasi newton: y = y(x)

= P(x).

],,...,,[))...()((

...],,,[))()((

],,[))((],[)()()(

011110

0123210

012100100

x x x xP x x x x x x

x x x xP x x x x x x

x x xP x x x x x xP x x xP xP

nnn

Dimana…

01

0101

)()(],[

x x

xP xP x xP

02

0112012

],[),(],,[

x x

x xP x xP x x xP

03

0121230123

],,[],,[],,,[ x x

x x xP x x xP x x x xP

0

0211101

],...,,[],...,[],...,,[

x x

x x xP x x xP x x xP

n

nnnnnn

Disebut beda terbagi hingga ke n, dan

nn y xP y xP y xP )(,...,)(,)( 1100

disebut beda terbagi hingga

disebut beda terbagi hingga pertamadisebut

beda terbagi hingga kedua

Dst...



METODE NUMERIK 42

Contoh:

Carilah interpolasi polinomial derajat tiga menggunakan titik (0,1) (1,1), (2,2) dan (4,5)

berturut-turut sebagai (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) dan (x3, y3).

Penyelesaian:

.......01

11),(

01

0101

x x

y y x xP

P(x2, x1) = .................................................................................................................

P(x3, x2) = .................................................................................................................

P(x2, x1, x0) = ............................................................................................................

P(x3, x2, x1) = ............................................................................................................

Jadi, P(x) =.................................................................................................................



Latihan Soal!

1. Nilai-nilai eksak dari ln 1 dan ln 4 berturut-turut adalah 0 dan 1,3862944. gunakan

polinomial interpolasi lagrange derajat satu untuk menghitung ln 2. nilai eksak dari

ln 2 adalah 0,6931472. carilah Eabs(0,6931472) dan Erel(0,6931472) dari hasil

pendekatan tersebut.

2. Seperti pada soal no.1 gunakan polinomial interpolasi newton derajat satu.

3. nilai-nilai eksak dari ln 1, ln 4 dan ln 6 berturut-turut adalah 0, 1,3862944 dan

1,7917595. gunakan polinomial interpolasi Lagrange derajat dua untuk menghitung

ln 5. nilai eksak dari ln 5 adalah 1,6094379. carilah Eabs(1,6094379) dan

Erel(1,6094379) dari hasil pendekatan tersebut. 4. Seperti pada soal no.4 gunakan polinomial interposlasi Newton derajat dua.

5. nilai-nilai eksak dari cos 0 dan cos 1 berturut-turut adalah 1 dan 0,540302. gunakan

polinomial interpolasi Lagrange derajat satu untuk menghitung cos 0,4. nilai eksak

dari cos 0,4 adalah 0,921061. carilah Eabs(0,921061) dan Erel(0,921061) dari hasil

pendekatan tersebut.

6. Seperti pada soal no.5 gunakan polinomial interpolasi Newton derajat satu.

7.

nilai-nilai eksak dari cos 0, cos 1 dan cos (-1) berturut-turut adalah 1 dan 0,540302

serta 0,540302. gunakan polinomial interpolasi Lagrange derajat dua untuk

menghitung cos 0,6. nilai eksak dari cos 0,6 adalah 0,825336. carilah Eabs(0,825336)

dan Erel(0,825336)dari hasil pendekatan tersebut.

8. Seperti pada oal no.7 gunakan polinomial interpolasi Newton derajat dua.

Ristia Apriana (Metode Numerik)

Documents

Transcript of Ristia Apriana (Metode Numerik)