i

APLIKASI BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENGHITUNG

MATRIKS EKSPONENSIAL

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Sebagian Syarat

Mencapai Gelar Sarjana S1

Disusun Oleh :

SUGIARTI

0701060008

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO

2011

HALAMAN PERSETUJUAN

APLIKASI BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENGHITUNG

MATRIKS EKSPONENSIAL

SKRIPSI

Oleh :

SUGIARTI

0701060008

Skripsi ini telah disetujui oleh dosen pembimbing untuk diajukan dan

dipertahankan di depan tim penguji skripsi Program Studi Pendidikan

Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purwokerto

Pembimbing I, Pembimbing II, Chumaedi S, S.Si, M.Si Erni Widyastuti, S.Si., M.Si

NIK. 2160127 NIK. 2160227

Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014

Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014

Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum. Wr. Wb

Puji syukur kehadirat Allah swt, yang telah memberikan rahmat, taufik,

hidayah dan karunia-Nya, sehingga skripsi dengan judul “Aplikasi Bentuk

Kanonik Jordan Dalam Menghitung Matriks Eksponensial” dapat

terselesaikan. Skripsi ini bertujuan untuk memenuhi syarat mencapai gelar sarjana

strata satu (S1).

Peneliti yakin tanpa bantuan dari berbagai pihak skripsi ini tidak akan

terselesaikan. Untuk itu peneliti mengucapkan terima kasih yang setulus-tulusnya

kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan baik secara moral maupun

materi. Ucapan terima kasih peneliti ucapkan kepada :

1. DR. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H., M.H., Rektor Universitas Muhammadiyah

Purwokerto.

2. Drs. Joko Purwanto, M.Si, Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

3. Chumaedi Sugihandardji, S.Si., M.Si., Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika sekaligus sebagai dosen pembimbing I yang telah meluangkan

waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk dan pengarahan dalam

penyusunan skripsi ini.

4. Erni Widyastuti, S.Si., M.Si., Dosen pembimbing II yang telah meluangkan

waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk dan pengarahan dalam

penyusunan skripsi ini.

Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014

5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah

memotivasi dan mengajarkan banyak hal selama belajar di Universitas

Muhammadiyah Purwokerto.

6. Semua pihak yang tidak mungkin peneliti sebutkan satu persatu yang secara

langsung maupun tidak langsung telah memberikan bantuan dan semangat

selama penyusunan skripsi ini.

Teriring doa semoga bantuan yang diberikan menjadi amal shalih yang

diterima oleh Alloh SWT. Akhirnya peneliti berharap semoga skripsi ini dapat

bermanfaat bagi dunia pendidikan matematika dan bagi pembaca.

Wassalamualaikum Wr.Wb

Purwokerto, Juli 2011

Peneliti

Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014

MOTTO

Jika kamu meminjamkan kepada Alloh dengan pinjaman yang

baik, niscaya Alloh melipatgandakan (balasan) untukmu dan

mengampuni kamu. Dan Alloh Maha pembalas jasa lagi Maha

penyantun.

(QS. At-Taghobun: 17)

Setiap orang yang mencintai dan dicintai karena Alloh akan

ditarik ke arah mencintai Alloh

Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan kepada :

Ayah Bunda tersayang

“Atas segala keikhlasan, ketulusan dan pengorbanan dalam

menghantarkan dan mendidik saya untuk menjalani kehidupan

ini. Motivasi dan lantunan do’amu menguatkan langkah kaki

ini untuk mengarungi samudera kehidupan.

Semoga surga terindah engkau raih”

Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan matriks eksponensial dengan menggunakan bentuk Kanonik Jordan. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi literatur. Adapun langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah : 1) Menentukan sebarang matriks persegi berukuran n x n, 2) Menentukan persamaan karakteristik dan nilai eigen dari matriks tersebut, 3) Menentukan matriks nonsingular dan invers matriks nonsingular, 4) Mencari bentuk Kanonik Jordan, 5) Menghitung Matriks Eksponensial. Hasil dari penelitian ini adalah matriks bentuk Kanonik Jordan berlaku untuk setiap matriks persegi berukuran n × n dan matriks bentuk Kanonik Jordan dapat digunakan untuk menghitung matriks eksponensial.

Kata kunci : Matriks persegi, nilai eigen, matriks nonsingular, matriks

bentuk Kanonik Jordan, matriks eksponensial.

Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN ……………………………………………. ii

HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................ iii

SURAT PERNYATAAN .............................................................................. iv

KATA PENGANTAR .................................................................................... v

HALAMAN MOTTO .................................................................................... vii

HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................... viii

ABSTRAK ...................................................................................................... ix

DAFTAR ISI .................................................................................................. x

DAFTAR SIMBOL ........................................................................................ xii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah ........................................................... 1

B. Perumusan Masalah .................................................................. 2

C. Tujuan Penelitian ...................................................................... 2

D. Manfaat Penelitian .................................................................... 2

BAB II LANDASAN TEORI

A. Matriks ..................................................................................... 4

1. Pengertian Matriks.............................................................. 4

2. Operasi pada Matriks .......................................................... 5

3. Macam-Macam Matriks ..................................................... 8

B. Determinan Matriks, Invers Matriks dan Rank Matriks .......... 10

1. Determinan Matriks ............................................................ 10

2. Invers Matriks ..................................................................... 15

Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014

3. Rank Matriks ...................................................................... 16

C. Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Persamaan Karakteristik ......... 17

D. Ruang Eigen Suatu Matriks dan Basisnya ................................ 19

E. Matriks-Matriks Serupa ............................................................ 21

F. Matriks Bentuk Kanonik Jordan ............................................... 22

G. Matriks EKsponensial ……………………………………….. 25

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ................................................. 26

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ...................................................... 28

A. Matriks nonsingular untuk Mencari Bentuk Kanonik Jordan .. 28

B. Menghitung Matriks Eksponensial Dalam Bentuk Kanonik

Jordan .......................................................................................... 35

C. Contoh Aplikasi Bentuk Kanonik Jordan Dalam Menghitung

Matriks Eksponensial ………………………………………... 39

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan ............................................................................... 63

B. Saran ......................................................................................... 63

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 64

LAMPIRAN ………………………………………………………………… 66

Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014

DAFTAR SIMBOL

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 : Elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j

I : Matriks identitas

D : Matriks diagonal

N : Matriks nilpoten

Det (A) atau |𝐴𝐴| : Determinan matriks A

Adj (A) : Adjoint matriks A

Rank (A) atau r (A) : Rank matriks A

𝜆𝜆 : Nilai eigen matriks

𝐵𝐵𝑖𝑖 : Blok Jordan untuk setiap i

𝐽𝐽 : Matriks bentuk Kanonik Jordan

T : V→V : Operator linear dari V ke V

𝑒𝑒𝐴𝐴 : Matriks eksponensial dari A

𝐾𝐾𝜆𝜆(𝑇𝑇) : General ruang eigen dari T yang bersesuaian dengan 𝜆𝜆

𝐸𝐸𝜆𝜆 : Ruang eigen dari T yang bersesuaian dengan 𝜆𝜆

Dim 𝐾𝐾𝜆𝜆(𝑇𝑇) : Dimensi general ruang eigen dari T yang bersesuaian

dengan 𝜆𝜆

𝑁𝑁(𝐴𝐴) : Ruang vektor nol pada matriks A

𝑟𝑟𝑖𝑖 : Banyaknya titik pada baris j

: Subset

: Anggota atau elemen

: Gabungan

: Irisan

Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014