ALJABAR MAX-PLUS

ALJABAR MAX-PLUS

Sistem Produksi Pabrik ToyotaPetrus Fendiyanto

1213201002

PASCASARJANA MATEMATIKAINSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

2014

ALJABAR MAX-PLUS

Pabrik Toyota Jepang memproduksi mesin untuk pembuatanmobil innova. Kemudian, mesin tersebut diekspor ke Pabrik Toyotadi Indonesia dan Thailand untuk dilakukan perakitan sebelumproduk mereka dijual ke Pasaran, dengan ketentuan sebagaiberikut:

Pabrik Jepang (P1) mengirim mesin langsung ke PabrikIndonesia (P3), namun ada beberapa suku cadang yang harusdikirim ke Pabrik Thailand (P2) terlebih dahulu untukdilakukan penyempurnaan sebelum akhirnya dikirimkan keIndonesia.

Diasumsikan waktu yang diperlukan Pabrik Jepang untukmenyelesaikan mesin yang akan diekspor, d1 = 3 satuanwaktu.

Lama pengiriman ke Pabrik Indonesia, t2 = 2 satuan waktu,sedangkan pengiriman ke Pabrik Thailand, t3 = 1 satuanwaktu.

ALJABAR MAX-PLUS

Di Pabrik Thailand, proses penyelesaian mesin memerlukan 3satuan waktu (d2).Proses pengiriman mesin yang telah disempurnakan dariPabrik Thailand ke Pabrik Indonesia memerlukan 1 satuanwaktu (t4 = 1) dan finishing akhir sebelum dijual ke PasarIndonesia, diperlukan waktu 3 satuan waktu (d3 = 5).

Bila proses tersebut direpresentasikan dalam gambar, sepertigambar di bawah ini:

Gambar: Sistem Produksi Pabrik Toyota

ALJABAR MAX-PLUS

Selain asumsi yang telah disebutkan sebelumnya, diasumsikanpula pada setiap pabrik, produk yang baru akan diproduksi bilaproduk yang sedang dikerjakan selesai. Pabrik akan mulaimemproduksi produknya, mesin mobil setelah semua bahantersedia. Kemudian didefinsikan sebagai berikut:

u(k) adalah waktu dimana bahan baku dimasukkan ke sistemuntuk waktu ke-(k + 1).

xi (k) adalah waktu dmana Pabrik ke-(i) mulai aktif pada saatke-k ,i = 1, 2, 3.

y(k) adalah waktu dimana produk selesai pada saat ke-kmeninggalkan sistem/dijual di konsumen.

ALJABAR MAX-PLUS

Dari reperesentasi gambar, dapat diketahui bahwa:x1(k + 1) = max{u(k) + 0, x1(k) + 3}x2(k + 1) = max{x1(k) + 3 + 1, x2(k) + 2}x3(k + 1) = max{x1(k) + 3 + 2, x2(k) + 1 + 2, x3(k) + 5}

y(k) = x3(k) + 3 + 0

Kemudian sistem persamaan diatas dapat disederhanakan:x1(k + 1) = max{u(k), x1(k) + 3}x2(k + 1) = max{x1(k) + 4, x2(k) + 2}x3(k + 1) = max{x1(k) + 5, x2(k) + 3, x3(k) + 5}

y(k) = x3(k) + 3

ALJABAR MAX-PLUS

Dengan menggunakan operasi dalam aljabar max-plus ⊕ dan ⊗diperoleh sistem persamaan sebagai berikut:

x1(k + 1) = 3⊗ x1(k)⊕ u(k)x2(k + 1) = 4⊗ x1(k)⊕ 2⊗ x2(k)x3(k + 1) = 5⊗ x1(k)⊕ 3⊗ x2(k)⊕ 5⊗ x3(k)

y(k) = 3⊗ x3(k)

Persamaan dibentuk ke dalam matriks aljabar max-plus, diperoleh:

x(k + 1) =

3 ε ε4 2 ε5 3 5

⊗ x(k)⊕

0εε

⊗ u(k)

y(k) =(ε ε 3

)⊗ x(k)

ALJABAR MAX-PLUS

Dari asumsi sebelumnya, produk baru akan diproduksi ketikaproduk yang sedang diproduksi selesai, dengan kata lainu(k) = y(k). Maka evolusi dari keadaaan sistem diberikan olehpersamaan:

x(k + 1) = A⊗ x(k)⊕ B ⊗ u(k)= A⊗ x(k)⊕ B ⊗ y(k)= A⊗ x(k)⊕ B ⊗ C ⊗ x(k)= A ⊗x(k)

dimanaA = A⊕ B ⊗ C

Sehingga A untuk permasalahan ini adalah:

A =

3 ε ε4 2 ε5 3 5

⊕ 0

εε

⊗ ( ε ε 3)

ALJABAR MAX-PLUS

A =

3 ε ε4 2 ε5 3 5

⊕ ε ε 3

ε ε εε ε ε

=

3 ε 34 2 ε5 3 5

Kemudian akan dikaji perilaku sistem dinamik tersebut dengannilai awal yang berbeda.

ALJABAR MAX-PLUS

Dengan cara yang sama diperoleh:

A⊗3 =

13 11 1312 10 1215 13 15

; A⊗4 =

18 16 1817 15 1720 18 20

; A⊗5 =

23 21 2322 20 2225 23 25

A⊗6 =

28 26 2827 25 2730 28 30

; A⊗7 =

33 31 1832 30 3235 33 35

; A⊗8 =

38 36 3837 35 3740 38 40

;

A⊗9 =

43 41 4342 40 4245 43 45

ALJABAR MAX-PLUS

Maka:

x(1) = A⊗1 ⊗ x(0)

=

3 ε 34 2 ε5 3 5

⊗0

00

=

345

x(2) = A⊗2 ⊗ x(0)

=

8 6 87 4 7

10 8 10

⊗0

00

=

87

10

ALJABAR MAX-PLUS

Dengan cara yang sama, diperoleh nilai x(3) hingga x(9) sebagaiberikut:

x(3) =

131215

; x(4) =

181720

; x(5) =

232225

; x(6) =

282730

;

x(7) =

333235

; x(8) =

383740

; x(9) =

434245

Dan nilai y sebagai berikut:

y = 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48

ALJABAR MAX-PLUS

Jika nilai-nilai tersebut dibentuk ke dalam suatu matriks, akanmenghasilkan:

X =0 3 8 13 18 23 28 33 38 430 4 7 12 17 22 27 32 37 420 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Dari matriks X terlihat bahwa x(3) = 5⊗ x(2) yangmengakibatkan nilai p = 3, c = 5, dan q = 2. Kemudian dihitungλ dengan persamaan:

λ =c

p − q

=5

3− 2

=5

1= 5

ALJABAR MAX-PLUS

Dan dihitung juga vektor karakteristiknya, yang diberikan olehpersamaan:

v =

p−q⊕i=1

(λ⊗(p−q−i) ⊗ x (q + i − 1)

)=

3−2⊕i=1

(λ⊗(3−2−i) ⊗ x (2 + i − 1)

)=

1⊕i=1

(λ⊗(1−i) ⊗ x (i + 1)

)= 5⊕0 ⊕ x(2)

=

87

10

ALJABAR MAX-PLUS

Kemudian dicoba memberikan input x(0) yang baru dengan

x(0) =

87

10

Memberikan hasil

X =8 13 18 23 28 33 38 43 48 537 12 17 22 27 32 37 42 47 52

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

dany = 13 18 23 28 33 38 43 48 53 58

ALJABAR MAX-PLUS

Dicoba lagi dengan memberikan input x(0) =

325

Menghasilkan nilai X dan y sebagai berikut:

X =3 8 13 18 23 28 33 38 43 482 7 12 17 22 27 32 37 42 475 10 15 20 25 30 35 40 45 50

dany = 8 13 18 23 28 33 38 43 48 53

ALJABAR MAX-PLUS

Selanjutnya diuji dengan memasukkan input x(0) =

103

Diperoleh nilai X dan y seperti berikut ini:

X =1 6 11 16 21 26 31 36 41 460 5 10 15 20 25 30 35 40 453 8 13 18 23 28 33 38 43 48

y = 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

ALJABAR MAX-PLUS

Dicoba untuk input x(0) =

214

Hasilnya:

X =2 7 12 17 22 27 32 37 42 471 6 11 16 21 26 31 36 41 464 9 14 19 24 29 34 39 44 49

y = 7 12 17 22 27 32 37 42 47 52

ALJABAR MAX-PLUS

x(0) =

214

merupakan keadaan yang baik untuk mengawali saat

keadaan sistem aktif, yaitu waktu dimana semua pabrik di Jepang,Thailand, maupun Indonesia mulai berproduksi. Sebab dengankondisi ini, akan diperoleh suatu jadwal dari setiap pabrik, yaknisetiap pabrik akan bekerja secara teratur dengan periode samadengan 5.