SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS DAN … · A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Aljabar...

i

SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS DAN

APLIKASINYA DALAM MASALAH RAMP HANDLING PESAWAT

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

REGINA WAHYUDYAH SONATA AYU

NIM :111414060

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2015

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING


iii

HALAMAN PENGESAHAN


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

All Things are Difficult Before They are Easy

(Thomas Fuller)

Mistakes are Often The Best Teachers

(James A. Froude)

The Noblest Pleasure is The Joy of Understanding

(Leonardo da Vinci)

Karya ini kupersembahkan kepada:

Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang senantiasa menyertaiku

Bapa Ambros dan Mama Rosalia

Kakak Tian, Kakak Tini, Kakak Andy, Kakak Yovan dan Adik Etu

Keponakanku Chiko


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA


vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH


vii

ABSTRAK

Regina Wahyudyah Sonata Ayu, 2015. Sistem Persamaan Linear Aljabar

Max-Plus dan Aplikasinya dalam Masalah Ramp Handling Pesawat. Skripsi.

Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan,

Universitas Sanata Dharma.

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji penyelesaian sistem

atas aljabar max-plus dengan ,

, , dan

serta aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat. Penelitian ini diawali

dengan mengkaji sub-penyelesaian terbesar dari sistem persamaan

yang kemudian menjadi calon penyelesaian sistem. Selanjutnya, diselidiki

mengenai eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan .

Langkah berikutnya adalah membahas aplikasi sistem atas aljabar

max-plus dalam masalah ramp handling pesawat di bandara.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa sistem atas aljabar max-

plus dapat tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal, atau

mempunyai takhingga banyak penyelesaian. Diberikan matriks dengan

elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . Sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian bila terdapat

baris nol dalam matriks , mempunyai satu penyelesaian bila terdapat lone one

pada setiap baris matriks dan mempunyai takhingga banyak penyelesaian bila

terdapat elemen slack dalam matriks . Aplikasi sistem persamaan

dalam masalah ramp handling adalah untuk menentukan waktu mulai paling

lambat bagi setiap aktivitas ramp handling sehingga semua aktivitas tersebut telah

selesai pada waktu keberangkatan pesawat.

Kata kunci: Aljabar Max-Plus, Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus,

Ramp Handling.


viii

ABSTRACT

Regina Wahyudyah Sonata Ayu, 2015. System of Linear Equations in Max-

Plus Algebra and Its Application in Aircraft Ramp Handling Problem. Thesis.

Mathematic Education Study Program, Mathematic and Science Education

Departement, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma

University, Yogyakarta.

This research aims to study the solution to system of over max-

plus algebra where ,

, , and its application

in aircraft ramp handling problem. This research is started by studying the

principal sub-solution that is the candidate for solution of .

Furthermore, the existence and the uniqueness of the solution to are

investigated. The next step is discussing the application of system of

over max-plus algebra in aircraft ramp handling problem at airport.

The result shows that the system of has either no solution, one

solution or an infinite number of solutions. Let with elements in each

column are not all equal to and . System of has no solution if

there is a zero-row in , has one solution if each row of has a lone one and

has an infinite number of solutions if there are slack entries in . The

application of system of in aircraft ramp handling problem is to

determine the latest starting times for each ramp handling activity so that all of the

activities are completed at the departure time of the plane.

Key word: Max-Plus Algebra, System of Linear Equations in Max-Plus Algebra,

Ramp Handling.


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena

atas berkat dan rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul

“Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus dan Aplikasinya dalam Masalah

Ramp Handling Pesawat”. Skripsi ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu

syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi

Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas

Sanata Dharma Yogyakarta.

Banyak hambatan dan rintangan yang dialami oleh penulis selama

penyusunan skripsi ini. Namun atas bantuan dan dukungan dari berbagai pihak,

maka penulis dapat mengatasi segala hambatan dan rintangan yang dialami. Oleh

karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih

kepada:

1. Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Kaprodi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma sekaligus dosen pembimbing skripsi yang

telah membimbing, memberikan kritikan dan masukan yang membangun

dalam penyusunan skripsi ini.

2. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan.

3. Kedua orang tuaku, Bapak Ambrosius Madut dan Ibu Rosalia Nuet serta

saudara-saudaraku, Kristianus Panjo Candra, Kristiana Deti Sajutin,

Didimus Andi Gunawan, Yuventus Yonavan Cahyono, dan Hersintus

Suwenda Syah Suyoso yang senantiasa menyayangi dan mendukung

penulis baik lewat doa, perhatian maupun dukungan materi.

4. Ibu Veronika Fitri Rianasari, S.Pd. M.Sc. selaku dosen pembimbing

akademik yang telah membantu dan membimbing penulis terutama

berkaitan dengan hal akademis selama penulis menempuh kuliah di

Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.

5. Bapak dan Ibu dosen di Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma yang telah membimbing dan mendidik penulis


x

selama menuntut ilmu di Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma..

6. Sahabat-sahabatku, Margaretha Nobilio Pasia Janu, Ana Karisma Adi

Purwito, Theresia Veni Dwi Lestari, Yuliana Pebri Heriawati, Pilipus Neri

Agustima dan Singgih Satriyo Wicaksono yang telah menemaniku serta

berbagi suka duka selama menempuh kuliah di Universitas Sanata

Dharma.

7. Adik-adikku tersayang, Imak, Itak dan Elisa serta teman-temanku, Yos,

Eki dan Charles yang senantiasa mendukung dan menyemangati penulis

dalam menyelesaikan tulisan ini.

8. Teman-teman seperjuangan di Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma angkatan 2011 yang telah berbagi pengalaman

selama penulis menempuh kuliah di Universitas Sanata Dharma.

9. Semua pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan tugas akhir ini,

baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat disebutkan

satu persatu.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan

skripsi ini. Oleh karena itu, dengan rendah hati, penulis mengharapkan kritik dan

saran yang membangun demi kesempurnaan tulisan ini. Semoga tulisan ini dapat

memberikan manfaat dan wawasan yang lebih kepada setiap pembaca.

Yogyakarta, 17 Juni 2015

Penulis


xi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .. vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

ABSTRACT ......................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi

DAFTAR SIMBOL .............................................................................................. xiii

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ........................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah .................................................................................. 4

C. Batasan Masalah ..................................................................................... 4

D. Tujuan Penelitian .................................................................................... 4

E. Manfaat Penelitian .................................................................................. 5

F. Metode Penelitian ................................................................................... 5

G. Sistematika Penulisan ............................................................................. 5

BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................. 7

A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Aljabar Max-Plus .................................... 7

B. Matriks dan Vektor atas Aljabar Max-Plus .......................................... 12

BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS ................ 21

A. Sub-Penyelesaian Terbesar ................................................................... 22

B. Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian Sistem Persamaan

...............................................................................................................25


xii

C. Penyelesaian Sistem Persamaan dengan Program MATLAB

...............................................................................................................44

BAB IV APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS

DALAM MASALAH RAMP HANDLING PESAWAT ...................... 50

A. Ramp Handling ..................................................................................... 50

B. Aplikasi Sistem Persamaan dalam Masalah Ramp Handling 52

BAB V PENUTUP ................................................................................................ 60

A. Kesimpulan ........................................................................................... 60

B. Saran ..................................................................................................... 61

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 62


xiii

DAFTAR SIMBOL

( ) : himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua operasi biner

dan

: himpunan semua bilangan real

:

: * +

: operasi max

: operasi plus ( )

: ( )

: { [ ] }

: { , -

}

: himpunan semua bilangan asli

: relasi “lebih kecil atau sama dengan” dalam aljabar max-plus

: matriks „discrepancy‟

: matriks hasil reduksi

: tanda akhir pembuktian.


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Aljabar merupakan cabang matematika yang menggeneralisasi bentuk

aritmatika dengan menggunakan variabel-variabel untuk menggantikan bilangan-

bilangan. Aljabar memiliki ruang lingkupnya sendiri antara lain aljabar dasar,

aljabar linear, aljabar abstrak, dan sebagainya. Salah satu ruang lingkup aljabar

yang masih tergolong baru adalah aljabar max-plus. Menurut Andersen (2002),

aljabar max-plus muncul pada akhir tahun 1950‟an segera setelah topik mengenai

Riset Operasi mulai dikembangkan. Sementara itu, menurut Butkovič (2000),

aljabar max-plus telah dipelajari dan ditulis dalam bentuk makalah-makalah

penelitian dan buku-buku pada awal 1960‟an dan dikembangkan secara intensif

sejak tahun 1985.

Aljabar max-plus merupakan suatu contoh semiring yang terdiri dari

himpunan * + dengan merupakan himpunan semua bilangan real, yang

dilengkapi dengan operasi maksimum, dinotasikan dengan dan operasi

penjumlahan, dinotasikan dengan . Dalam aljabar max-plus, operasi

penjumlahan didefinisikan sebagai operasi maksimum sedangkan operasi

perkalian didefinisikan sebagai operasi penjumlahan. Selanjutnya, ( * +, ,

) dinotasikan dengan dan * + dinotasikan dengan . Elemen

merupakan elemen netral terhadap operasi dan 0 merupakan elemen identitas

terhadap operasi .


2

Sebagai suatu semiring, aljabar max-plus merupakan semiring komutatif

sekaligus idempoten (Subiono, 2013). Lebih jauh, aljabar max-plus merupakan

semifield sebab untuk setiap di * + memiliki invers terhadap operasi ,

yakni ( * +)( * +)

.

Sama halnya dalam aljabar linear, pasangan operasi ( ) dalam aljabar

max-plus juga dapat diperluas untuk operasi matriks atas aljabar max-plus.

Demikian juga, penjumlahan matriks atas aljabar max-plus hanya terdefinisi untuk

matriks dengan ukuran yang sama. Matriks atas aljabar max-plus kemudian

digunakan dalam merepresentasikan sistem persamaan linear aljabar max-plus

untuk kemudian dicari penyelesaiannya. Representasi sistem persamaan linear

yang dimaksud serupa dalam aljabar linear yakni berupa persamaan matriks

. Namun demikian, berbeda dengan aljabar linear, aljabar max-plus

tidak memiliki invers terhadap penjumlahan. Hal ini menyebabkan cara

menyelesaikan sistem persamaan linear aljabar max-plus berbeda dengan sistem

persamaan linear dalam aljabar biasa. Penyelesaian sistem persamaan linear

aljabar max-plus, sebagaimana dalam aljabar biasa, tidak selalu ada dan bila ada

tidak selalu tunggal.

Kehadiran sistem linear aljabar max-plus sangat membantu dalam

memodelkan serta menganalisa Discrete Event System (DES) seperti sistem

transportasi, sistem komunikasi, sistem produksi, sistem komputasi paralel, dan

sebagainya. Namun demikian, menurut Subiono (2013), pendekatan aljabar max-

plus diterapkan pada sistem yang hanya mempertimbangkan sinkronisasi tanpa

konkurensi. Sinkronisasi berkaitan dengan ketersediaan beberapa sumber dalam


3

waktu bersamaan sedangkan konkurensi tampak ketika pada suatu saat seorang

pengguna harus memilih beberapa sumber.

Penanganan pesawat di bandara atau lebih dikenal dengan istilah ramp

handling merupakan salah satu masalah sinkronisasi. Ramp handling merupakan

penanganan pesawat yang dilakukan di ramp area, yakni suatu pelataran yang ada

di bandara. Ramp handling meliputi beberapa kegiatan antara lain

deplane/boarding, loading/unloading, refueling, dan lain-lain. Masing-masing

kegiatan memiliki durasi waktu yang berbeda untuk tiap pesawat. Kegiatan-

kegiatan ini dilakukan secara simultan dan harus selesai pada waktu yang sudah

ditentukan. Karena itu, perlu ditentukan waktu mulai paling lambat untuk setiap

kegiatan sehingga semua kegiatan dipastikan telah selesai pada waktu

keberangkatan (departure time) pesawat-pesawat dari bandara. Masalah ramp

handling ini terkait dengan masalah penyelesaian sistem persamaan linear

dimana matriks menyatakan durasi tiap kegiatan ramp handling

untuk tiap pesawat, vektor menyatakan ground time pesawat dan akan

ditentukan vektor yang menyatakan waktu mulai paling lambat untuk tiap

kegiatan ramp handling.

Berdasarkan penjabaran di atas, penulis tertarik untuk mengkaji lebih jauh

mengenai sistem persamaan linear aljabar max-plus serta aplikasinya dalam

masalah ramp handling pesawat.


4

B. Rumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah

1. Bagaimana menentukan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear

aljabar max-plus?

2. Bagaimana eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari suatu sistem

persamaan linear aljabar max-plus?

3. Bagaimana aplikasi sistem persamaan linear aljabar max-plus dalam masalah

ramp handling pesawat?

C. Batasan Masalah

Pembahasan masalah dalam skripsi ini hanya dibatasi pada sistem persamaan

linear aljabar max-plus berbentuk A x = b, sedangkan aplikasinya hanya

dibatasi pada masalah ramp handling pesawat di bandara.

D. Tujuan Penelitian

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk:

1. Mengetahui bagaimana cara menentukan penyelesaian sistem persamaan

linear aljabar max-plus berbentuk A x = b.

2. Mengetahui bagaimana eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem

persamaan linear aljabar max-plus A x = b.

3. Mengetahui bagaimana aplikasi sistem persamaan linear aljabar max-plus

tersebut dalam masalah ramp handling pesawat.


5

E. Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh melalui penulisan skripsi ini adalah:

1. Bagi penulis

Bila dalam perkuliahan penulis mempelajari struktur aljabar atas field,

melalui penelitian ini penulis mendapat pengetahuan baru tentang contoh

struktur aljabar lain yakni aljabar max-plus lebih khusus lagi mengenai sistem

persamaan linear aljabar max-plus. Selain itu, penelitian ini juga menambah

wawasan penulis mengenai aplikasi sistem persamaan linear aljabar max-plus

dalam masalah ramp handling pesawat di bandara.

2. Bagi pembaca

Pembaca dapat memahami sistem persamaan linear A x = b dalam aljabar

max-plus serta aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat di bandara.

F. Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi pustaka, yaitu

dengan membaca dan mempelajari buku-buku, jurnal-jurnal serta tesis-tesis yang

berkaitan dengan topik skripsi.

G. Sistematika Penulisan

Tulisan ini akan mengkaji tentang sistem persamaan linear aljabar max-

plus dan aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat. Untuk itu, tulisan ini

akan dibagi dalam lima bab. Pada Bab I, terlebih dahulu akan dibahas mengenai

latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat

penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan skripsi ini. Selanjutnya,


6

pada Bab II akan dibahas mengenai definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus,

dan vektor dan matriks atas aljabar max-plus yang akan melandasi pembahasan

mengenai sistem persamaan linear aljabar max-plus dan aplikasinya dalam

masalah ramp handling pesawat.

Inti dari tulisan ini terdapat dalam Bab III dan Bab IV. Pada Bab III akan

dibahas mengenai sistem persamaan linear aljabar max-plus yang meliputi sub-

penyelesaian terbesar, eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan

A x = b. Pada bab ini juga diberikan penyelesaian sistem persamaan A x = b

dengan program MATLAB guna mempermudah perhitungan, sedangkan pada Bab

IV akan dibahas mengenai ramp handling dan aplikasi sistem persamaan A x =

b dalam masalah ramp handling.

Bagian terakhir dalam tulisan ini adalah Bab V yang berisi kesimpulan

dari pembahasan pada Bab III dan Bab IV serta beberapa saran yang dapat

digunakan dalam penelitian selanjutnya.


7

7

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang diperlukan sebagai

landasan teori dalam pembahasan mengenai sistem persamaan linear aljabar max-

plus dan aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat. Pembahasan akan

dibagi menjadi dua bagian, yakni: definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus

serta matriks dan vektor atas aljabar max-plus.

A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Aljabar Max-Plus

Berikut ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus.

Pembahasan akan diawali dengan definisi semiring.

Definisi 2.A.1

Suatu semiring (S, ) adalah suatu himpunan tak kosong S disertai dengan

dua operasi biner dan yang memenuhi:

1. (S, ) komutatif dan asosiatif serta memiliki elemen netral, yakni:

a.

b. ( ) ( )

c. ( )( )

2. (S, ) asosiatif serta memiliki elemen identitas, yakni:

a. ( ) ( )

b. ( )( )

3. Sifat penyerapan elemen netral terhadap operasi , yakni:


8

4. Operasi distributif terhadap (distributif kiri dan distributif kanan),

yakni berlaku

a. ( ) ( ) ( ) (distributif kiri)

b. ( ) ( ) ( ) (distributif kanan)

Contoh 2.A.1

Diberikan * + dengan himpunan semua bilangan real, :=

dan := 0. Kemudian, dalam didefinisikan operasi dan yakni

berlaku:

( ) dan

Selanjutnya akan ditunjukkan ( , ) merupakan semiring.

Bukti:

( , ) semiring sebab:

1. ( ) komutatif dan asosiatif serta memiliki elemen netral, yakni:

a. ( ) ( )

b. ( ) * ( ) + ( )

* ( )+ ( )

c. ( )( ) ( )

( )

2. ( , ) asosiatif serta memiliki elemen identitas, yakni:

a. ( ) ( ) ( )

( )


9

b. ( )( )

3. Sifat penyerapan elemen netral terhadap operasi , yakni:

( )

4. Operasi distributif terhadap , yakni berlaku

a. ( ) ( )

( ) ( ) ( )

b. ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( , ) kemudian cukup ditulis . Selanjutnya akan

diberikan definisi mengenai dua semiring khusus, yakni semiring komutatif dan

semiring idempoten.

Definisi 2.A.3

Suatu semiring (S, ) merupakan semiring komutatif bila dan hanya bila

berlaku sifat komutatif terhadap operasi , yakni .

Definisi 2.A.4

Suatu semiring (S, ) merupakan semiring idempoten bila dan hanya bila

berlaku sifat idempoten terhadap operasi , yakni

Contoh 2.A.2

Semiring merupakan semiring komutatif sekaligus semiring idempoten.


10

Bukti:

a. Semiring merupakan semiring komutatif sebab :

.

b. Semiring merupakan semiring idempoten sebab :

( )

Lebih lanjut, dalam Subiono (2013) didefinisikan mengenai semifield

yang merupakan ragam khusus dari semiring komutatif.

Definisi 2.A.5

Suatu semiring komutatif ( ) disebut semifield bila dan hanya bila setiap

elemen a di * + mempunyai invers terhadap operasi , yaitu (

)( ) .

Contoh 2.A.3

Semiring komutatif merupakan semifield.

Bukti:

semifield sebab ( * +)( * +)

( ) ( ) ( ) .

Struktur aljabar ( , ) inilah yang kemudian disebut sebagai aljabar

max-plus. Elemen-elemen akan disebut juga sebagai skalar (Rudhito, 2003).

Sama halnya dalam aljabar biasa, operasi perkalian dikerjakan terlebih

dahulu sebelum operasi penjumlahan, demikian juga halnya dalam aljabar max-


11

plus, operasi mempunyai prioritas daripada operasi . Berikut ini diberikan

beberapa contoh yang mengilustrasikan operasi-operasi dalam .

Tabel 1: Pengoperasian dalam .

Operasi dalam Arti Hasil

( ) 3

( ) 9

( ) 4

16

7

( ) ( ) 6

( ) ( ) 8

Bila dalam field bilangan real terdapat elemen invers terhadap operasi +,

tidak demikian halnya dalam . merupakan semiring idempoten

sehingga menyebabkan tidak memiliki invers terhadap operasi . Hal ini

ditunjukkan dalam teorema berikut.

Teorema 2.A.1 (Farlow, 2009)

Diberikan semiring ( ). Sifat idempoten dari berakibat bahwa

elemen invers terhadap tidak ada .


12

Bukti:

memiliki invers terhadap operasi yakni dirinya sendiri di mana

( )

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk setiap elemen dalam * + tidak

memiliki invers yakni dengan mengambil sebarang * +. Misalkan bahwa

mempunyai invers terhadap yaitu , didapat .

Tambahkan pada kedua ruas persamaan, didapat

Dengan sifat idempoten, persamaan menjadi . Hal ini bertentangan

dengan .

Hal inilah yang kemudian membedakan aljabar max-plus dengan aljabar

konvensional.

B. Matriks dan Vektor atas Aljabar Max-Plus

Pada bagian ini akan dibahas mengenai matriks dan vektor atas aljabar

max plus serta relasi urutan di dalamnya. Himpunan matriks berukuran

dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan untuk . Elemen

pada baris ke dan kolom ke dinotasikan dengan atau , - untuk

dan Dalam hal ini matriks direpresentasikan

sebagai berikut

[

]


13

Serupa dalam matriks real, pada matriks atas aljabar max-plus juga dapat

didefinisikan operasi penjumlahan matriks, perkalian skalar, dan perkalian

matriks. Selain itu, pada matriks atas aljabar max-plus juga dapat didefinisikan

transpos matriks.

Definisi 2.B.1

Diberikan matriks , dan . Elemen ke-ij dari penjumlahan

matriks , perkalian skalar , serta transpos matriks didefinisikan

sebagai

1. , - ( ), untuk dan

2. , - , untuk dan

3. , - , untuk dan

Contoh 2.B.1

Diberikan matriks [

] dan [

], maka

a. [

] [

]

b. [

] [

]

c. [

]

Definisi 2.B.2

Misalkan

dan

maka elemen ke-ij dari perkalian matriks

didefinisikan sebagai


14

, -

, ,

Contoh 2.B.2

Diberikan matriks [

] dan [

], maka

[

] [

]

[

]

[

]

[

]

Teorema 2.B.1 (Rudhito, 2003)

Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar dan serta

sebarang matriks , , dan asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.

1. ( ) ( )

2.

3.

4. ( ) ( )

5. ( ) ( )

6. ( ) ( ) ( )

7. ( ) ( ) ( )

Sifat-sifat lain dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi operasi dan sifat-

sifat operasi dalam Di bawah ini akan diberikan bukti untuk sifat 4.


15

Bukti:

Misalkan , -

, , -

dan [ ]

. Elemen

ke- kolom ke- matriks ( ) adalah

[( ) ]

(

)

(

)

[ ( )]

( )

Definisi 2.B.3 (Rudhito, 2003)

Didefinisikan matriks dengan , - untuk semua dan .

Selanjutnya akan dibahas mengenai semimodul atas serta relasi

urutan di dalamnya. Definisi semimodul berikut ini mengikuti definisi dalam

Rudhito (2003).

Definisi 2.B.4

Misalkan (S, ) adalah semiring komutatif dengan elemen netral 0 dan

elemen identitas 1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif (M, )

bersama operasi perkalian skalar ●: , dituliskan sebagai ( )

● yang memenuhi aksioma berikut:

dan berlaku:


16

i) ●( ) ● ●

ii) ( )● ● ●

iii) ●( ● ) ( )●

iv) ●

v) ●

Elemen dalam semimodul dinamakan vektor.

Contoh 2.B.3

adalah semimodul atas , dalam hal ini

cukup ditulis

dimana

{ [ ]

}

Untuk setiap dan untuk setiap didefinisikan operasi

dengan

, -

dan operasi perkalian skalar ● dengan

● , -

Berdasarkan Teorema 2.B.1 1 dan 2 maka dapat disimpulkan bahwa ( )

merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral , - .

Selanjutnya, berdasarkan Teorema 2.B.1 5, 6 dan 7 maka dapat disimpulkan

bahwa merupakan semimodul atas .


17

Definisi 2.B.5

Suatu relasi pada suatu himpunan P dinamakan urutan parsial pada P bila

untuk semua memenuhi:

1. Sifat reflektif, yaitu:

2. Sifat antisimetris, yaitu: jika dan , maka

3. Sifat transitif, yaitu: jika dan , maka

Elemen dan dikatakan komparabel (comparable) jika atau .

Sementara itu, dapat juga ditulis . Jika dan maka ditulis

.

Definisi 2.B.6

Bila setiap dua elemen P komparabel, maka urutan parsial disebut urutan

total.

Definisi 2.B.5 dan Definisi 2.B.6 di atas didasarkan pada definisi

Wohlgemuth (dalam Rudhito, 2003). Berikut ini diberikan suatu teorema yang

berkaitan dengan urutan parsial pada suatu semigrup komutatif idempoten.

Teorema 2.B.2 (Rudhito, 2003)

Jika ( ) semigrup komutatif idempoten maka relasi yang didefinisikan

pada dengan merupakan urutan parsial pada .

Bukti:

Ambil sebarang

1. Karena idempoten maka .


18

2. Jika dan maka dan . Karena

komutatif maka .

3. Jika dan maka dan . Karena

semigrup maka berlaku sifat asosiatif. Akibatnya,

( ) ( )

Sehingga .

Akibat 2.B.1 (Rudhito, 2003)

Relasi yang didefinisikan pada dengan

merupakan urutan parsial pada . Lebih lanjut, relasi pada

merupakan urutan total.

Bukti:

Karena ( ) merupakan semigrup komutatif idempoten, maka menurut

Teorema 2.B.2 relasi pada merupakan urutan parsial. Selanjutnya,

untuk setiap berlaku:

( ) atau

( )

Jadi, relasi merupakan urutan total.

Relasi pada ekuivalen dengan relasi pada , sebab

( )


19



untuk setiap dan merupakan urutan parsial pada .

Bukti:

Berdasarkan Teorema 2.B.1 1, 2, dan 3 nampak bahwa ( ) merupakan

semigrup komutatif idempoten sehingga menurut Teorema 2.B.2 relasi

pada merupakan urutan parsial.



untuk setiap merupakan urutan parsial pada .

Bukti:

Berdasarkan Teorema 2.B.1 1, 2, dan 3 nampak bahwa ( ) merupakan

semigrup komutatif idempoten sehingga menurut Teorema 2.B.2 relasi

pada merupakan urutan parsial.

Relasi yang didefinisikan pada di atas bukan merupakan urutan

total sebab terdapat matriks [

] dan [

] sedemikian sehingga

[

] [

] [

] tetapi dan .


20

Demikian juga, relasi yang didefinisikan pada di atas bukan

merupakan urutan total sebab terdapat vektor , - r dan , -

sedemikian sehingga

, - , - , - tetapi dan

Teorema 2.B.3 (Subiono, 2013)

Diberikan . Jika

dengan , maka

( ) ( ).

Bukti:

Ambil sebarang dengan , maka

( )

( ) ( )

( ) ( )


21

BAB III

SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS

Sistem persamaan linear yang akan dibahas adalah sistem persamaan

berbentuk dengan ,

, , dan .

Penyelesaian sistem ini adalah himpunan semua vektor sedemikian

sehingga . Sistem persamaan dapat ditulis ulang dalam

bentuk persamaan matriks yang lebih rinci dan kemudian dalam bentuk sistem

ekuivalen persamaan max-plus sebagai berikut

[

] [

] [

]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Bila ditulis dalam bentuk baku, maka sistem persamaan di atas menjadi

*( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+

*( ) ( ) ( )+

}

Penyelesaian sistem persamaan diperoleh dengan

menyelesaikan sistem terakhir di atas secara simultan. Sama halnya dalam aljabar

biasa, penyelesaian sistem persamaan tidak selalu ada. Sistem yang

tidak memiliki penyelesaian ditunjukkan dalam contoh berikut.


22

Contoh 3.1

Diberikan matriks [

] dan [ ]. Persamaan tidak

mempunyai penyelesaian, sebab bila mempunyai penyelesaian berarti ada

[ ] sehingga

[

] [ ] [

]

Didapat , * + , dan * + . Nampak bahwa

tidak akan ada sehingga * + dan * + .

Jadi, tidak mempunyai penyelesaian.

Di lain pihak, sistem selalu mempunyai penyelesaian

karena untuk diperoleh . Karena itu, masalah

penyelesaian sistem persamaan dapat diperlemah dengan

mendefinisikan konsep sub-penyelesaian terbesar dengan sebelumnya

mendefinisikan konsep sub-penyelesaian.

A. Sub-Penyelesaian Terbesar

Berikut diberikan definisi mengenai sub-penyelesaian dan sub-

penyelesaian terbesar sistem persamaan .

Definisi 3.A

Diberikan dan

. Sub-penyelesaian sistem persamaan

adalah vektor yang memenuhi .


23

Definisi 3.B

Sub-penyelesaian terbesar adalah vektor terbesar yang memenuhi

, dinotasikan dengan .

Dengan kata lain, untuk setiap sub-penyelesaian dari sistem

persamaan . Sub-penyelesaian terbesar tidak harus merupakan suatu

penyelesaian dari . Sub-penyelesaian terbesar diberikan oleh teorema

berikut.

Teorema 3.A.1 (Rudhito, 2003)

Diberikan dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak

semuanya sama dengan dan , maka

( )

untuk setiap * + dan * +.

Bukti:

{

( )

dan

( )


24

( )

Jadi, sub-penyelesaian dari sistem persamaan adalah setiap vektor

di mana komponen-komponennya memenuhi

( )

Jika vektor ,

- didefinisikan dengan

( )

maka diperoleh:

( )

( )

dan

(

)

Hal ini berarti bahwa merupakan sub-penyelesaian dari sistem persamaan

. Karena ( ) , maka .

Akibatnya, . Jadi, vektor merupakan sub-penyelesaian terbesar dari

sistem persamaan .

Teorema 3.A.1 menjelaskan penyelesaian dari sedangkan

penyelesaian dari dijelaskan dalam teorema berikut:


25

Teorema 3.A.2 (Butkovič, 2000)

Diberikan dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak

semuanya sama dengan dan . memiliki penyelesaian bila

dan hanya bila adalah penyelesaiannya.

Bukti:

Misalkan merupakan penyelesaian dari sistem . Karena

merupakan sub-penyelesaian terbesar maka . Berdasarkan Teorema

2.B.3 diperoleh

.

Jadi,

B. Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian Sistem Persamaan

Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas mengenai sub-penyelesaian

terbesar dari sistem persamaan . Pada bagian ini akan dibahas

mengenai eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan .

Berdasarkan Teorema 3.A.2 dapat disimpulkan bahwa eksistensi penyelesaian

sistem persamaan ini ditentukan oleh sub-penyelesaian terbesarnya.

Diberikan matriks dengan elemen-elemen pada setiap

kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . Sub-penyelesaian terbesar

merupakan calon penyelesaian sistem persamaan yakni vektor

dengan


26

[

]

[ ( )

( )

( )]

[ ( )

( )

( )]

[

* +

* +

* +

]

Selanjutnya didefinisikan matriks „discrepancy‟ dinotasikan dengan dimana

[

]

Catatan bahwa setiap dapat ditentukan dengan mengambil nilai maksimum

dari setiap kolom .

Untuk memprediksi banyaknya penyelesaian persamaan , maka

selanjutnya didefinisikan matriks yang merupakan reduksi matriks

sebagai berikut

[ ] di mana {

Di bawah ini akan diberikan contoh-contoh penyelesaian sistem persamaan

.

Contoh 3.2

Tentukan penyelesaian jika


27

[

], [

], dan [

]

Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks

[

] [

]

[

]

Perhatikan bahwa terdapat elemen bernilai 1 pada tiap baris matriks . Karena

pada tiap kolom matriks pasti terdapat elemen bernilai 1, maka sistem

persamaan pada contoh ini hanya memiliki satu penyelesaian. Elemen-

elemen dari vektor penyelesaian dapat ditentukan dengan mengambil nilai

maksimum dari tiap kolom , yakni:

* +

* +

* +

Dengan demikian, , - merupakan calon penyelesaian sekaligus

menjadi satu-satunya penyelesaian dari sistem persamaan . Hal ini

ditunjukkan sebagai berikut


28

[

] [ ] [

* +

* +

* +

* +

] [

]

Contoh 3.3


[

], [

], dan [

]


[

] [

]

[

]

Perhatikan bahwa terdapat elemen bernilai 1 pada tiap baris matriks . Hal ini

berarti bahwa sistem persamaan pada contoh ini juga hanya memiliki

satu penyelesaian yakni , - . Hal ini ditunjukkan sebagai berikut

[

] [ ] [

* +

* +

* +] [

]

Contoh 3.2 dan 3.3 di atas merupakan contoh sistem persamaan

yang memiliki penyelesaian tunggal baik untuk kasus maupun .

Berikut ini akan diberikan contoh-contoh sistem persamaan yang tidak

memiliki penyelesaian baik untuk kasus , maupun kasus .


29

Contoh 3.4


[

], [

], dan [

]


[

]

[

]

Berdasarkan matriks diperoleh , - . Namun demikian, dari

matriks di atas terlihat bahwa terdapat baris yang tidak memiliki nilai

maksimum yakni baris pertama atau dengan kata lain semua elemen dalam baris

pertama bernilai 0. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan

tidak memiliki penyelesaian. Hal ini diperkuat melalui perhitungan berikut:

[

] [ ] [

* +

* +

* +

* +

] [

] [

]

Dengan demikian, hanya merupakan sub-penyelesaian terbesar dan bukan

merupakan penyelesaian sistem persamaan .


30

Contoh 3.5


[

], [

], dan [

]


[

]

[

]

Berdasarkan matriks diperoleh , - . Namun demikian, dari

matriks di atas terlihat bahwa semua elemen dalam baris pertama bernilai 0.

Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan dalam contoh ini

tidak memiliki penyelesaian. Hal ini juga diperkuat melalui perhitungan berikut:

[

] [ ] [

* +

* +

* +] [

] [

]

Dengan demikian, hanya merupakan sub-penyelesaian terbesar dan bukan

merupakan penyelesaian sistem persamaan .

Contoh 3.6


[

], [

], dan [

]


31


[

]

[

]

Berdasarkan matriks diperoleh , - . Serupa dengan dua contoh

sebelumnya, sistem persamaan dalam contoh ini juga tidak memiliki

penyelesaian karena semua elemen pada baris kedua matriks -nya bernilai 0.

Hal ini ditunjukkan juga melalui perhitungan berikut:

[

] [

] [ * +

* +] [

] [

]

Jadi, sistem persamaan linear tersebut hanya memiliki sub-penyelesaian terbesar

namun tidak mempunyai penyelesaian.

Selanjutnya akan diberikan contoh-contoh sistem persamaan

yang memiliki takhingga banyak penyelesaian baik untuk kasus ,

maupun kasus .

Contoh 3.7


[

], [

], dan [

]



32

[

]

[

]

Berdasarkan matriks diperoleh , - . Selanjutnya akan dicek

apakah memang merupakan penyelesaian dari .

[

] [ ] [

* +

* +

* +

* +

] [

]

Ternyata memang merupakan penyelesaian dari . Akan tetapi, pada

baris kedua dan ketiga matriks terdapat lebih dari satu nilai maksimum atau

dengan kata lain terdapat lebih dari satu elemen bernilai 1 pada kedua baris

tersebut. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan memiliki

takhingga banyak penyelesaian. Selain itu, berdasarkan Teorema 3.A.1 diperoleh

bahwa elemen-elemen dari merupakan batas atas. Karena itu, elemen-elemen

vektor penyelesaian dalam contoh ini harus mememenuhi , dan

. Pada baris pertama dan keempat matriks nampak bahwa nilai

maksimum terdapat pada kolom ke-3 karena itu . Pada baris kedua nilai

maksimum terdapat pada kolom ke-2 dan ke-3 maka terdapat dua kemungkinan

yakni atau . Bila nilai diubah maka akan mempengaruhi

persamaan baris pertama dan keempat. Karena itu, selama maka

persamaan pertama dan keempat akan selalu terpenuhi. Demikian halnya dengan


33

memilih maka persamaan baris akan selalu terpenuhi. Jadi, semua vektor

yang berbentuk , - dengan dan juga memenuhi

sistem persamaan.

Jadi, sistem persamaan dalam contoh ini memiliki takhingga banyak

penyelesaian.

Contoh 3.8


[

], [

], dan [

]


[

]

[

]

Berdasarkan matriks diperoleh , - . Selanjutnya akan dicek

apakah memang merupakan penyelesaian dari .

[

] [ ] [

* +

* +

* +] [

]

Nampak bahwa memang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan

. Akan tetapi, dapat diperiksa bahwa semua yang memenuhi bentuk

, - dengan juga memenuhi sistem persamaan di atas.


34

Jadi, sistem persamaan dalam contoh ini memiliki takhingga banyak

penyelesaian.

Contoh 3.9


[

], [

], dan [

]


[

]

[

]

Berdasarkan matriks diperoleh , - . Selanjutnya ditunjukkan

bahwa juga merupakan penyelesaian dari sistem persamaan yakni:

[

] [

] [ * +

* + ] [

]

Namun demikian, dapat diperiksa bahwa semua yang berbentuk , -

dengan dan juga memenuhi sistem persamaan di atas.

Jadi, sistem persamaan pada contoh ini juga memiliki takhingga

banyak penyelesaian.

Matriks dan berperan dalam menentukan perilaku sistem

persamaan . Berikut ini diberikan teorema mengenai ada atau tidak

adanya (eksistensi) penyelesaian .


35

Teorema 3.B.1

Diberikan sistem persamaan di mana dengan elemen-

elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan .

1. Jika terdapat baris nol pada matriks maka sistem tidak mempunyai

penyelesaian.

2. Jika terdapat paling tidak satu elemen 1 pada tiap baris , maka

adalah penyelesaian dari sistem persamaan .

Bukti:

1. Misalkan baris nol pada matriks adalah baris ke dan andaikan

merupakan penyelesaian dari sistem persamaan , maka

( )

Akibatnya,

.

Dengan demikian, tidak memenuhi persamaan ke- . Hal ini

bertentangan dengan adalah penyelesaian dari sistem persamaan

. Jadi, bukan merupakan penyelesaian dari sistem persamaan

atau sistem persamaan tidak mempunyai

penyelesaian.

2. Akan dibuktikan kontrapositifnya. Andaikan bukan merupakan

penyelesaian dari sistem persamaan . BerdasarkanTeorema 3.A.1

diperoleh


36

Akibatnya,

(

)

Jika bukan merupakan penyelesaian dari , maka terdapat

sedemikian sehingga

(

)

Hal ini ekuivalen dengan

Karena ( ) untuk beberapa , maka tidak ada elemen

dalam baris dari yang bernilai 1.

Teorema 3.B.1 di atas digunakan untuk menentukan eksistensi

penyelesaian sistem persamaan . Namun demikian, eksistensi ini belum

menjelaskan kapan penyelesaiannya tunggal dan kapan penyelesaiannya

taktunggal. Karena itu, untuk menentukan ketunggalan sistem persamaan

diberikan definisi berikut.

Definisi 3.B

Elemen bernilai 1 pada suatu baris dinamakan elemen peubah tetap jika

1. Elemen tersebut merupakan satu-satunya elemen bernilai 1 pada baris

tersebut ( lone-one), atau

2. Elemen tersebut berada pada kolom yang sama dengan lone-one.

Elemen-elemen bernilai 1 lainnya dinamakan elemen-elemen slack.


37

Tabel berikut ini akan menunjukkan elemen peubah tetap dari setiap

contoh yang telah diberikan sebelumnya. Elemen yang dilingkari merupakan

elemen peubah tetap

Tabel 2: Elemen Peubah Tetap

Tidak Mempunyai

Penyelesaian

Satu Penyelesaian

Takhingga Banyak

Penyelesaian

Contoh 3.4

[

]

Contoh 3.2

[

]

Contoh 3.7

[

]

Contoh 3.5

[

] Contoh 3.3

[

]

Contoh 3.8

[

]

Contoh 3.6

[

]

Contoh 3.9

[

]

Pada contoh 3.2, semua elemen bernilai 1 merupakan peubah tetap.

Persamaan baris pertama menetapkan elemen , persamaan baris kedua

menetapkan elemen , dan persamaan baris ketiga menetapkan elemen

. Ketika sampai pada persamaan keempat, semua elemen sudah

ditentukan. Setiap elemen yang sudah dipilih tidak dapat diubah karena bila

diubah akan menimbulkan pertidaksamaan pada salah satu dari ketiga baris

sebelumnya.


38

Pada contoh 3.3, semua elemen bernilai 1 juga merupakan peubah tetap.

Persamaan baris pertama menetapkan elemen , persamaan baris kedua

menetapkan elemen , dan persamaan baris ketiga menetapkan elemen

.

Pada contoh 3.7, terdapat elemen slack pada . Persamaan baris

pertama menetapkan elemen . Pada persamaan baris kedua, terdapat dua

kemungkinan untuk memenuhi persamaan yakni atau . Akan tetapi,

nilai sudah ditetapkan sebelumnya yakni sama dengan 3. Jadi, asalkan

maka persamaan baris diatasnya tidak akan berubah. Dengan cara yang sama,

pada persamaan baris ketiga, asalkan maka persamaan baris diatasnya

tidak akan berubah. Sedangkan, pada persamaan baris keempat, elemen

penyelesaiannya sudah ditetapkan oleh persamaan baris pertama. Dengan

demikian, dengan menetapkan dan asalkan serta , maka

persamaan baris akan selalu benar.

Berikut ini diberikan teorema untuk menunjukkan bila mana persamaan

memiliki penyelesaian tunggal dan bilamana penyelesaiannya

taktunggal.

Teorema 3.B.2

Diberikan persamaan matriks dimana dengan elemen-

elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan serta

penyelesaian persamaan ada.


39

1. Jika tiap baris memiliki lone one, maka penyelesaian sistem

persamaan tunggal.

2. Jika terdapat elemen-elemen slack pada , maka sistem memiliki

takhingga banyak penyelesaian.

Bukti:

1. Jika terdapat lone one pada tiap baris , maka terdapat satu elemen

peubah tetap pada tiap baris . Hal ini berarti bahwa tidak akan ada

elemen-elemen slack. Dengan demikian, semua elemen tetap dan

penyelesaian sistem persamaan tunggal.

2. Misalkan adalah salah satu elemen slack pada dan merupakan

penyelesaian dari . Karena tidak tetap, maka tidak terdapat

elemen peubah tetap pada kolom ke dari . Jadi, persamaan dapat

dipenuhi tanpa menggunakan elemen . Dengan demikian, meskipun

nilai menunjukkan nilai maksimum yang mungkin untuk elemen ini,

setiap nilai yang lebih kecil atau sama dengan tidak akan

mempengaruhi eksistensi persamaan baris yang telah ditetapkan.

Sistem persamaan dalam Contoh 3.2 dan 3.3 memiliki

penyelesaian tunggal karena pada tiap baris matriks -nya memiliki lone one.

Sedangkan sistem persamaan dalam Contoh 3.7, 3.8 dan 3.9 memiliki


40

takhingga banyak penyelesaian karena terdapat elemen slack pada matriks -

nya.

Akibat 3.B

Diberikan persamaan matriks di mana dengan elemen-

elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan serta

. Jika penyelesaian persamaan ada maka sistem memiliki

takhingga banyak penyelesaian.

Bukti:

Penyelesaian sistem persamaan ada maka tidak terdapat baris nol pada

matriks Andaikan penyelesaian sistem tunggal maka terdapat lone one pada

tiap baris . Sementara itu, berarti banyaknya persamaan lebih sedikit

daripada banyaknya variabel. Karena itu, pastilah terdapat slack pada matriks

. Hal ini bertentangan dengan penyelesaian sistem tunggal. Jadi, haruslah

sistem memliki takhingga banyaknya penyelesaian.

Pembahasan pada bagian A dan B dalam bab ini ditekankan pada sistem

persamaan dengan dengan elemen-elemen pada setiap

kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . Berikut ini diberikan

penyelesaian sistem persamaan untuk kasus-kasus lain.

Andaikan terdapat * + sedemikian sehingga untuk

setiap * + dan maka berlaku hal-hal berikut


41

1. Jika elemen-elemen pada setiap baris matriks tidak semuanya sama

dengan maka untuk sebarang . Hal ini berangkat dari

fakta bahwa elemen netral merupakan elemen penyerap terhadap operasi

.

2. Jika terdapat baris pada matriks dengan semua elemennya sama dengan

maka sistem tidak memiliki penyelesaian. Hal ini ditunjukkan sebagai

berikut. Andaikan baris tersebut adalah baris ke- . Persamaan ke-

berbentuk

( ) * +

Mengingat untuk setiap berlaku

maka ( ) . Dengan kata lain, persamaan baris ke- tidak

terpenuhi. Jadi, sistem tidak memiliki penyelesaian.

Berikut diberikan contoh-contoh untuk mengilustrasikan dua hal di atas.

Contoh 3.10

Diberikan sistem persamaan linear

[

] [ ] [

]

Sistem persamaan ini ekuivalen dengan

{

atau {

atau { ( )

( ) atau

{

sehingga diperoleh .


42

Jadi, semua vektor yang berbentuk , - merupakan penyelesaian sistem

di atas.

Contoh 3.11


[

] [ ] [

]


{

atau {

atau {

Karena maka persamaan baris kedua tidak terpenuhi. Jadi, sistem

persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian.

Selanjutnya, andaikan terdapat * + sedemikian sehingga

untuk setiap * + dan terdapat * + sedemikian

sehingga maka berlaku hal-hal berikut

1. Jika elemen-elemen pada baris ke- matriks tidak semuanya sama

dengan maka sistem tidak memiliki penyelesaian. Hal ini ditunjukkan

sebagai berikut. Karena elemen-elemen pada baris ke- tidak semuanya

sama dengan maka terdapat * + sedemikian sehingga .

Agar persamaan ke- terpenuhi maka haruslah . Namun demikian,

karena terdapat * + sedemikian sehingga maka

persamaan ke- tidak terpenuhi. Jadi, sistem tidak memiliki penyelesaian.


43

2. Jika elemen-elemen pada baris ke- matriks semuanya sama dengan

maka untuk sebarang . Hal ini berangkat dari fakta bahwa

elemen netral merupakan elemen penyerap terhadap operasi .

Berikut diberikan contoh-contoh untuk mengilustrasikan dua hal di atas.

Contoh 3.12


[

] [ ] [

]


{

atau {

atau { ( )

( )

Agar persamaan baris kedua terpenuhi maka haruslah . Namun demikian,

jika maka persamaan baris pertama tidak terpenuhi sebab .

Jadi, sistem di atas tidak memiliki penyelesaian.

Contoh 3.13


[

] [ ] [

]


{

atau {

atau atau

Jadi, semua vektor yang berbentuk , - merupakan penyelesaian sistem

di atas.


44

Kasus selanjutnya adalah andaikan elemen-elemen pada setiap kolom

matriks tidak semuanya sama dengan dan terdapat * +

sedemikian sehingga . Jika maka . Hal ini ditunjukkan

sebagai berikut. Persamaan ke- berbentuk . Karena maka

haruslah .

Contoh 3.13


[

] [ ] [

]


{

atau {

Agar persamaan baris kedua terpenuhi maka haruslah . Akibatnya, .

Jadi, , - merupakan penyelesaian sistem di atas.

C. Penyelesaian Sistem Persamaan dengan Program MATLAB

Bila sistem memuat banyak persamaan, dalam hal ini ukuran matriks

sangat besar maka perhitungan manual dirasa kurang efektif untuk menentukan

penyelesaian sistem persamaan linear . Untuk itu, perlu dibuat program

komputer untuk memudahkan perhitungan. Bahasa program yang akan digunakan

adalah bahasa pemograman komputer MATLAB. Program ini akan menampilkan

penyelesaian sistem persamaan linear . Program secara lengkap diberikan sebagai

berikut dengan nama file solsislinmax.


45

% Program Matlab Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Ax = b % Input: A = matriks max-plus Amxn % b = vektor mx1 % Output: Menampilkan penyelesaian sistem

function x = solsislinmax

% Memasukkan matriks A dan b A = input('Masukkan matriks A(mxn) = '); disp(' ') b = input('Masukkan matriks b(mx1) = '); disp(' ') [m,n]= size (A); [p,q]= size (b); if m == p & q == 1 A1=zeros(1,n); for j = 1:n if A(:,j)== -inf A1(j)=0; else A1(j)=1; end; end; Sum1 = sum(A1); b1=zeros(m,1); for i = 1:m if b(i)== -inf b1(i)=0; else b1(i)=1; end; end; Sum2 = sum(b1); if Sum1 == n & Sum2 == m for i = 1:m for j = 1:n D(i,j)= -b(i)+ A(i,j); end; end; xj = max(D); xc = -xj'; R = zeros(m,n); for j = 1:n for i = 1:m if D(i,j)== xj(j) R(i,j) = 1; else R(i,j) = 0; end; end; end;


46

Berikut ini diberikan hasil eksekusi untuk beberapa contoh soal yang telah

diberikan pada bagian sebelumnya

c = zeros(m,1); for i = 1:m if R(i,:)== 0 c(i)= 0; else c(i)= 1; end end; Sum3 = sum(c); if Sum3 < m x = '{}'; else x = xc; end

%Menampilkan Penyelesaian Sistem disp('Matriks A = '),disp(A) disp('Matriks b = '),disp(b) disp('Matriks D = '),disp(D) disp('Matriks R = '),disp(R) disp('Penyelesaian sistem adalah '), disp('x = ') disp(x) else disp('Elemen-elemen tiap kolom matriks A tidak

semuanya -inf dan elemen-elemen matriks b semuanya

berhingga') end; % Peringatan sistem persamaan tidak dapat diselesaikan else disp('Ordo matriks A dan b tidak sesuai') end;


47

Contoh 3.2

Masukkan matriks A(mxn) = [1 6 11; 4 1 2; 8 -1 0; 10 5 12]

Masukkan matriks b(mx1) = [12; 5; 8; 13]

Matriks A =

1 6 11

4 1 2

8 -1 0

10 5 12

Matriks b =

12

5

8

13

Matriks D =

-11 -6 -1

-1 -4 -3

0 -9 -8

-3 -8 -1

Matriks R =

0 0 1

0 1 0

1 0 0

0 0 1

Penyelesaian sistem adalah

x =

0

4

1


48

Contoh 3.4

Masukkan matriks A(mxn) = [1 6 11; 4 1 2; 8 -1 0; 10 5 12]

Masukkan matriks b(mx1) = [14; 6; 8; 13]

Matriks A =

1 6 11

4 1 2

8 -1 0

10 5 12

Matriks b =

14

6

8

13

Matriks D =

-13 -8 -3

-2 -5 -4

0 -9 -8

-3 -8 -1

Matriks R =

0 0 0

0 1 0

1 0 0

0 0 1


x =

{}


49

Contoh 3.9

Masukkan matriks A(mxn) = [1 6 11;4 1 2;8 -1 0;10 5 12]

Masukkan matriks b(mx1) = [14;5;3;15]

Matriks A =

1 6 11

4 1 2

8 -1 0

10 5 12

Matriks b =

14

5

3

15

Matriks D =

-13 -8 -3

-1 -4 -3

5 -4 -3

-5 -10 -3

Matriks R =

0 0 1

0 1 1

1 1 1

0 0 1


x =

-5

4

3


50

BAB IV

APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS

DALAM MASALAH RAMP HANDLING PESAWAT

A. Ramp Handling

Ramp handling merupakan kegiatan penanganan pesawat yang dilakukan di

ramp area atau apron yakni suatu pelataran yang ada di bandara, saat jeda waktu

antara pesawat block-on (yakni saat ganjalan pesawat dipasang dan pesawat dalam

posisi berhenti) hingga pesawat block-off (yakni saat ganjalan dilepas dan pesawat

bersiap menuju landasan pacu). Waktu antara pesawat block-on dan pesawat

block-off ini dikenal dengan istilah ground time. Keberlangsungan kegiatan ramp

handling berada dalam pengawasan dari satuan unit khusus yang dikenal dengan

istilah ramp dispatcher. Setiap petugas ramp dispatcher bertanggung jawab untuk

mengawasi dan mengkoordinasi segala aktivitas ramp berkaitan dengan

keberangkatan ataupun kedatangan pesawat. Secara umum, aktivitas-aktivitas

yang dilakukan dalam ramp handling adalah sebagai berikut

1. Maintenance merupakan kegiatan pemeriksaan/pemeliharaan kondisi

pesawat, termasuk kebersihan tempat duduk dan pantry.

2. Fueling/Refueling merupakan kegiatan pengisian bahan bakar pesawat.

3. Loading/Unloading berkaitan pelaksanaan bongkar muat barang/bagasi.

4. Aircraft Cleaning berkaitan dengan kegiatan membersihkan kabin pesawat

dan kamar kecil.


51

5. Catering berkaitan dengan penyediaan konsumsi bagi para penumpang

selama penerbangan.

Menurut Widadi (2001), penanganan pesawat di bandara dibedakan atas dua

cara yakni turnaround arrangement dan transit arrangement. Turnaround

arrangement adalah penanganan bagi pesawat yang mendarat di kota tujuan akhir

(destination) sedangkan transit arrangement adalah penanganan bagi pesawat

yang mendarat di kota persinggahan atau transit. Penanganan pesawat ini

dilakukan pada tempo waktu yang sudah ditentukan yakni sesuai dengan ground

time agar sesuai dengan jadwal penerbangan (departure time).

Lebih lanjut, Widadi menambahkan penanganan pesawat di bandara udara,

baik turnaround arrangement maupun transit arrangement menganut sistem yang

sama. Perbedaannya terletak pada lama waktu penanganannya. Penanganan

transit arrangement biasanya lebih pendek dibanding turnaround arrangement.

Hal ini disebabkan karena pada transit arrangement terdapat perbedaan dalam

hal-hal tertentu, yaitu:

1. Kabin tidak dibersihkan seluruhnya.

2. Awak pesawat (crew) biasanya tidak diganti.

3. Penumpang transit tidak turun ke ruang transit.

4. Kadangkala konsumsi untuk penumpang sudah tersedia di dalam pesawat,

kecuali jika ada penambahan penumpang pada saat-saat terakhir.

Prosedur penanganan pesawat di bandara udara antara satu jenis pesawat

dengan jenis pesawat yang lain tidak sama. Hal ini tergantung tipe pesawat,


52

kondisi pesawat, jarak yang akan ditempuh pesawat, serta banyaknya penumpang.

Namun, secara umum lama ground time untuk keperluan turnaround arrangement

adalah 40 menit sampai 1 jam sedangkan untuk transit arrangement memerlukan

minimal 25 menit untuk penerbangan domestik dan sekitar 1 jam untuk

penerbangan internasional (Bazargan, 2004).

B. Aplikasi Sistem Persamaan dalam Masalah Ramp Handling

Berdasarkan penjelasan di atas nampak bahwa kegiatan ramp handling

merupakan salah satu masalah sinkronisasi yang merupakan salah satu

karakteristik DES. Dalam masalah sinkronisasi, kejadian-kejadian (events) terjadi

secara simultan dan harus selesai pada batas waktu yang ditentukan (deadline).

Rangkaian kegiatan ramp handling dilakukan secara simultan dan harus selesai

pada waktu yang ditentukan sehingga ketepatan jadwal tercapai.

Misalkan di suatu bandara terdapat tiga pesawat yakni pesawat A, B dan C

telah tiba di gate-nya masing-masing. Pesawat-pesawat tersebut membutuhkan

penanganan sebelum penerbangan berikutnya. Penanganan yang dibutuhkan

berupa refueling, maintenance, food service dan luggage service. Masing-masing

pesawat membutuhkan waktu yang berbeda untuk refueling dan food service

(terkait dengan jarak tempuh penerbangan selanjutnya), maintenance (tergantung

apakah ada masalah dalam penerbangan selanjutnya atau tergantung pada usia

pesawat terbang tersebut), dan luggage service (berkaitan dengan jarak tempuh

dan banyaknya penumpang). Ketiga pesawat tersebut akan ditangani sekaligus

dengan asumsi bahwa tim yang bertugas memadai dan peralatan yang dibutuhkan

pun memadai. Berikut ini diberikan matriks yang berisi waktu yang diperlukan


53

Gate 1

Gate 2

Gate 3

untuk penanganan pesawat per kegiatan penanganan (waktu kegiatan dalam

menit).

[

]

Contoh 4.1

Ketiga pesawat memiliki ground time berturut-turut , ,

menit. Akan dicari waktu mulai paling lambat untuk kegiatan , , , dan

sedemikian sehingga kegiatan terakhir sudah selesai pada waktu keberangkatan

pesawat. Masalah ini dapat diformulasikan dalam bentuk sistem persamaan

aljabar max-plus sebagai berikut.

[

] [

] [ ]

Dalam hal ini kita akan mencari vektor . Hasil eksekusi program MATLAB untuk

sistem ini diberikan sebagai berikut

Masukkan matriks A(mxn) = [25 10 35 15;15 45 15 20;25 15 20 15]

Masukkan matriks b(mx1) = [45;50;55]

Matriks A =

25 10 35 15

15 45 15 20

25 15 20 15

Matriks b =

45

50

55


54

Matriks D =

-20 -35 -10 -30

-35 -5 -35 -30

-30 -40 -35 -40

Matriks R =

1 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 0


t =

{}

Berdasarkan matriks dan teorema 3.B.1 maka sistem tidak memiliki

penyelesaian. Vektor , - bukan merupakan penyelesaian sebab

[

] [

] [ ] [

]

Meskipun bukan merupakan penyelesaian yang tepat untuk sistem

persamaan di atas, bukan berarti pesawat akan mengalami delay. Akan tetapi,

tidak terpenuhinya persamaan ketiga disebabkan karena penanganan pesawat di

gate 3 selesai lebih awal. Penyelesaian seperti ini disebut sebagai penyelesaian

tak ideal.

Contoh 4.2

Bagian Departure Control memutuskan untuk menjadwal ulang waktu lepas

landas (take-off) dari ketiga pesawat karena pesawat di gate 1 dan 2 membutuhkan

waktu penanganan yang lebih panjang. Ground time ketiga pesawat secara

berturut-turut dalam , , menit. Sistem persamaaannya

berbentuk


55

[

] [

] [ ]

Hasil eksekusi program MATLAB untuk sistem ini diberikan sebagai berikut

Masukkan matriks A(mxn) = [25 10 35 15;15 45 15 20;25 15 20 15]


Matriks A =

25 10 35 15

15 45 15 20

25 15 20 15

Matriks b =

50

55

45

Matriks D =

-25 -40 -15 -35

-40 -10 -40 -35

-20 -30 -25 -30

Matriks R =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 1


t =

20

10

15

30

Berdasarkan matriks dan berdasarkan teorema 3.B.2 maka sistem

memiliki takhingga banyak penyelesaian dan merupakan salah satu penyelesaian

sistem. Semua vektot yang berbentuk , - dengan dan

juga merupakan penyelesaian sistem. Dalam hal ini, waktu mulai paling

lambat untuk kegiatan perawatan dan layanan makanan sudah pasti dan tidak

dapat diubah. Sedangkan waktu mulai untuk kegiatan pengisian bahan bakar dan


56

layanan bagasi bisa lebih awal tanpa mempengaruhi penyelesaian. Kehadiran

lebih dari satu elemen 1 pada baris ketiga matriks mengindikasi bahwa kegiatan

pengisisan bahan bakar dan layanan bagasi selesai dalam waktu bersamaan.

Contoh-contoh yang diberikan di atas mengikuti contoh dalam tesis Maria

Andersen (2002). Penanganan pesawat hanya dibatasi pada empat kegiatan yakni

pengisian bahan bakar, perawatan, layanan makanan, dan layanan bagasi. Berikut

diberikan contoh rangkaian kegiatan ramp handling secara lebih rinci.

Contoh 4.3

Terdapat tiga pesawat yakni pesawat model 767-200, 767-200ER dan 767-300

yang tiba di gatenya masing-masing dan memerlukan penanganan turnaround

sebelum penerbangan selanjutnya. Lama ground time ketiga pesawat secara

berturut-turut , , menit. Akan dicari waktu mulai paling

lambat untuk setiap kegiatan penanganan sedemikian sehingga kegiatan terakhir

sudah selesai pada waktu keberangkatan pesawat. Diasumsikan bahwa tim

bertugas dalam kegiatan penanganan memadai. Tabel kegiatan ramp handling

ketiga pesawat diberikan sebagai berikut.


57

Tabel 3: Kegiatan ramp handling

No Nama Kegiatan

Waktu yang

Diperlukan

Pesawat 767-

200 (menit)

Waktu yang

Diperlukan

Pesawat 767-

200ER

(menit)

Waktu yang

Diperlukan

Pesawat

767-300

(menit)

1 Unloading & loading

bulk compartment 26 31 36

2 Fuel airplane 18 30 18

3 Service toilet 12 12 12

4 Service potable water 7 7 10

5 Service galleys 21 21 26

6 Service cabin 13,5 18,5 14,5

7 Loading AFT

compartment 10 10 14

8 Loading FWD

compartment 12 6 16

Berdasarkan tabel di atas, maka dapat dibentuk sistem persamaaan

sebagai berikut

[

]

[ ]

[ ]


58

Penyelesaian sistem ini dapat dicari dengan menggunakan program yang telah dibuat sebelumnya dengan sedikit modifikasi. Hasil

eksekusi program diberikan sebagai berikut:

Masukkan matriks A(mxn) = [26 18 12 7 21 13.5 10 12;31 30 12 7 21 18.5 10 6;36 18 12 10 26 14.5 14 16]


Matriks A =

26.0000 18.0000 12.0000 7.0000 21.0000 13.5000 10.0000 12.0000

31.0000 30.0000 12.0000 7.0000 21.0000 18.5000 10.0000 6.0000

36.0000 18.0000 12.0000 10.0000 26.0000 14.5000 14.0000 16.0000

Matriks b =

40

40

45

Matriks D =

-14.0000 -22.0000 -28.0000 -33.0000 -19.0000 -26.5000 -30.0000 -28.0000

-9.0000 -10.0000 -28.0000 -33.0000 -19.0000 -21.5000 -30.0000 -34.0000

-9.0000 -27.0000 -33.0000 -35.0000 -19.0000 -30.5000 -31.0000 -29.0000

Matriks R =

0 0 1 1 1 0 1 1

1 1 1 1 1 1 1 0

1 0 0 0 1 0 0 0


59


t =

9.0000

10.0000

28.0000

33.0000

19.0000

21.5000

30.0000

28.0000

Kolom-kolom matrks menyatakan jenis kegiatan ramp handling berturut dari nomor 1 sampai 9. Dalam hal ini, akan

ditentukan waktu mulai paling lambat untuk setiap jenis kegiatan. Berdasarkan matriks dan berdasarkan teorema 3.B.2 maka sistem

memiliki takhingga banyak penyelesaian dan t merupakan salah satu penyelesaian sistem persamaan di atas. Karena tidak

terdapat elemen peubah tetap pada matriks maka semua elemen vektor berupa variabel bebas. Semua vektor yang berbentuk

, - dengan , , , , , , , dan juga merupakan

penyelesaian sistem. Kehadiran lebih dari satu elemen 1 pada tiap baris matriks mengindikasi bahwa kegiatan yang bersesuaian

dengan kolom di mana elemen-elemen bernilai 1 itu ada selesai dalam waktu bersamaan. Namun demikian, karena kegiatan loading

dilakukan setelah kegiatan unloading selesai maka dipilih dan . Penyelesaian sistem menjadi

, - .


60

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan-pembahasan sebelumnya, maka dapat diambil

kesimpulan sebagai berikut

1. Sub-penyelesaian terbesar merupakan vektor terbesar yang

memenuhi sistem . Diberikan matriks dengan

elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan

. Sub-penyelesaian terbesar merupakan calon penyelesaian sistem

persamaaan dengan

( )

untuk setiap * + dan * +.

2. Serupa dalam aljabar biasa, sistem persamaan dalam aljabar

max-plus dapat mempunyai penyelesaian dan dapat pula tidak mempunyai

penyelesaian. Diberikan matriks dengan elemen-elemen pada

setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . Sistem

persamaan tidak mempunyai penyelesaian bila terdapat baris nol

dalam matriks dan mempunyai penyelesaian bila terdapat paling tidak

satu elemen 1 pada tiap baris dalam matriks dan penyelesaiannya

adalah . Sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian bila

terdapat elemen peubah tetap pada setiap baris matriks dan mempunyai


61

takhingga banyak penyelesaian bila terdapat elemen slack dalam matriks

.

3. Sistem persamaan dalam aljabar max-plus dapat diterapkan

dalam masalah ramp handling pesawat di bandara yakni untuk menentukan

waktu mulai paling lambat untuk setiap aktivitas ramp handling sehingga

semua aktivitas tersebut telah selesai pada waktu keberangkatan pesawat.

B. Saran

Adapun saran-saran yang dapat penulis berikan bagi penelitian selanjutnya

adalah sebagai berikut

1. Sistem persamaan linear yang dibahas dalam penelitian ini hanya terbatas

pada semiring aljabar max-plus. Penelitian selanjutnya dapat mengkaji

sistem persamaan linear atas semiring aljabar min-plus.

2. Aplikasi sistem persamaan dalam penelitian ini dibatasi pada

masalah ramp handling pesawat di bandara. Penelitian selanjutnya dapat

mengkaji aplikasi lain dalam aktivitas bandara seperti penjadwalan

penerbangan pesawat.

3. Program MATLAB yang telah dibuat baru sebatas menampilkan eksistensi

penyelesaian. Penelitian selanjutnya dapat menambahkan ketunggalan

penyelesaian sistem.

4. Penelitian ini hanya mengkaji sistem persamaan berbentuk atas

aljabar max-plus. Peneltian selanjutnya dapat mengkaji sistem persamaan

dalam bentuk lain seperti .


62

DAFTAR PUSTAKA

Andersen, Maria H. 2002. Max-Plus Algebra: Properties and Applications.

Master of Science in Mathematics‟ Thesis. Laramie, WY .

Bazargan, Massoud. 2004. Airline Operations and Scheduling. Asghate

Publishing Company: USA.

Butkovič, Peter. 2010. Max Linear System: Theory and Algorithm.London:

Springer.

Farlow, Kasie G. 2009. Max-Plus Algebra. Master‟s thesis Virginia Polytechnic

Institute and State University. Virginia: Virginia Polytechnic Institute and

State University.

Rudhito, M. Andy. 2003. Sistem Linear Max-Plus Waktu Invariant. Tesis.

Yogyakarta: Universitas Gajah Mada.

Subiono. 2013. Aljabar Max-Plus dan Terapannya. Surabaya: Institut Teknologi

Sepuluh November.

Suwarno, FX Widadi A. 2001. Tata Operasi Darat. Jakarta: PT Gramedia

Widiasarana Indonesia.

http://www.boeingfrontiers.com/assets/pdf/commercial/airports/acaps/767sec5.pd

f diakses pada tanggal 20 Mei 2015.


http://www.boeingfrontiers.com/assets/pdf/commercial/airports/acaps/767sec5.pdf

http://www.boeingfrontiers.com/assets/pdf/commercial/airports/acaps/767sec5.pdf

SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS DAN … · A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Aljabar...

Documents

Transcript of SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS DAN … · A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Aljabar...