Apa yang akan Anda Standar KompetensiStandar · PDF file1.1 Melakukan operasi hitung bilangan...

Pengertian Pecahan Dalam kehidupan sehari-hari, pernahkah kamu melihat benda-benda yang telah terbagi menjadi beberapa bagian yang sama? Misal: kue

terbagi menjadi tiga bagian yang sama, semangka dipotong menjadi dua bagian yang sama, kertas terbagi menjadi beberapa bagian yang sama, dan seterusnya. Semua bagian yang sama itu berkaitan dengan pecahan.

Perhatikan gambar berikut!

Apa yang akan Anda Pelajari?

• Bilangan pecahan biasa,

campuran, desimal, persen, dan

permil

• Mengubah bentuk pecahan ke

bentuk yang lain

• Operasi hitung tambah, kurang,

kali, bagi, dan pangkat dengan

melibatkan pecahan serta

mengkait kannya dalam

kehidupan sehari – hari

• Mengubah bilangan pecah an ke

bentuk baku

• Pembulatan bilangan pecah an

Kosa Kata • Bilangan pecahan

• Bentuk dan jenis pecahan

• Operasi pecahan

Kata Kunci • Pecahan permil

• Bentuk baku

• Menaksir hasil operasi pecahan

Standar KompetensiStandar KompetensiStandar KompetensiStandar Kompetensi 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung

bilangan dan penggunaannya dalam

pemecahan masalah

Kompetensi DasarKompetensi DasarKompetensi DasarKompetensi Dasar 1.1 Melakukan operasi hitung bilangan

Bulat

IndikatorIndikatorIndikatorIndikator 1.1.5 Memberikan contoh berbagai bentuk

dan jenis bilangan pecahan

��

Sebuah lingkaran mula - mula dibagi menjadi dua bagian yang sama. Satu

bagian lingkaran dari dua bagian yang sama itu disebut “satu per dua” atau

“seperdua” atau “setengah” dan ditulis “2

1”.

Kedua bagian tersebut masing-masing dibagi dua lagi sehingga menjadi dua bagian

yang sama. Dengan demikian dari sebuah lingkaran diperoleh empat bagian

lingkaran yang sama. Satu bagian lingkaran dari empat bagian yang sama itu

disebut “satu per empat” atau “seperempat” dan ditulis “4

1 ”.

Bilangan 21 dan

41 disebut bilangan pecahan.

Selanjutnya disepakati sebutan “bilangan pecahan” disingkat dengan “pecahan”.

Pada pecahan 21 , 1 disebut pembilang dan 2 disebut penyebut.

Pada pecahan 41 , 1 disebut pembilang dan 4 disebut penyebut.

Kesimpulan :

Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk “b

a ”, dengan a

dan b adalah bilangan bulat, b≠≠≠≠ 0, dan b bukan faktor dari a

disebut bilangan pecahan. Bilangan “a” disebut pembilang, “b”

disebut penyebut.

Mengapa b disyaratkan tidak nol?

Latihan A Di antara bilangan – bilangan ini, manakah yang merupakan bilangan pecahan?

a. 2

1 b.

3

1 c.

3

2− d.

7

3 e.

3

10−

f. 2

10 g.

4

16− h.

3

18 i.

7

6− j.

8

35−

B. Bentuk dan Jenis Pecahan

B.1 Bentuk dan jenis pecahan

Tentu anda masih ingat tentang berbagai bentuk dan jenis pecahan. Sekarang

marilah kita pelajari lebih dalam lagi tentang berbagai bentuk dan jenis pecahan.

1. Pecahan Biasa

Pecahan – pecahan yang berbentuk 11

5,

7

3,

5

2, dan seterusnya adalah contoh dari jenis

pecahan biasa.

Contoh penggunaan pecahan biasa adalah :

• Ana menghabiskan 2

1 liter air.

• Mobil melaju dengan kecepatan 4

3 km per menit.

2. Bilangan Campuran

Pecahan – pecahan yang berbentuk 272

, 14

5 , - 5

8

4 dan seterusnya adalah contoh dari

jenis bilangan Campuran ( gabungan bilangan bulat dan bilangan

pecahan )

3. Bilangan Desimal

Pecahan – pecahan yang berbentuk 0,25 ; 1,125 ; 3,175 ; -2,37 dan seterusnya adalah

contoh dari jenis bilangan Desimal.

4. Persen

Persen artinya perseratus.

Contoh : 100

3 = 3 % ( tiga persen )

5. Permil

Permil artinya perseribu.

Contoh : 1000

65 = 65 ‰ ( enam puluh lima permil )

��

B.2 Menyederhanakan Pecahan dan Menentukan Pecahan yang Senilai

Kamu dapat menulis bentuk paling sederhana dari suatu pecahan dengan

cara membagi pembilang dan penyebut pecahan itu dengan faktor persekutuan

terbesar ( FPB ) dari pembilang dan penyebutnya.

Contoh:

1. Tulislah 2820 dalam bentuk paling sederhana!

FPB dari 20 dan 28 adalah 4.

Jadi bentuk paling sederhana dari pecahan ��

�� adalah

75 .

Untuk menentukan pecahan yang senilai, perhatikan gambar berikut!

Perhatikan bagian yang diarsir dari gambar-gambar berikut dan pecahan-pecahan yang

melambangkannya. Ada berapa bagian pada masing-masing gambar? Ada berapa bagian

yang diarsir? Bilangan pecahan manakah yang melambangkan bagian yang diarsir?

2

1

4

2

6

3

Dari gambar diatas, terlihat bahwa luas daerah yang diarsir adalah sama, sehingga dapat

kita tulis 6

3

4

2

2

1== .

Latihan B

1. Tentukan FPB dari bilangan – bilangan berikut ini!

a. 2 dan 6 b. 4 dan 12 c. 56 dan 72

d. 65 dan 15 e. 70 dan 30

Bagilah pembilang dan

penyebut dengan 4.

2. Sederhanakan pecahan – pecahan berikut ini!

a. 35

25 b.

16

4 c.

45

15

d. 70

35 e.

65

15 f.

72

56

3. Tentukan tiga pecahan yang senilai dengan pecahan – pecahan di bawah ini!

a. 2

1 b.

3

1 c.

3

2− d.

7

3 e.

7

6−

C. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk yang Lain

Misal kamu mempunyai 28 liter minyak. Kamu diminta mengisikan semua

minyak itu pada 8 kaleng. Jika isi tiap kaleng harus sama, berapa liter harus diisikan

pada tiap kaleng?

Jawab:

828 ← Tulislah pembagian itu dalam bentuk pecahan

�

�

��

�� ← Bagilah 28 dengan 8

213

843 = ←←←← Nyatakan sisa pembagian sebagai suatu pecahan dan

sederhanakanlah!

Jadi, setiap kaleng harus diisi dengan 2

13 liter minyak.

C.2 Mengubah Bilangan Campuran ke Pecahan Biasa

Untuk memahaminya, kerjakan lab mini berikut :

−

��

IndikatorIndikatorIndikatorIndikator 1.1.6 Mengubah bentuk pecahan ke bentuk yang lain.

Fara mempunyai kue tar 4

32 bagian. Tulislah bagian kue tar itu dalam bentuk pecahan

biasa.

Penyelesaian :

4

11

4

342

4

32 =

+=

x

��

��

� � ��

�� 411 ��

� �� !�� "��#��

�� !� ��$��

�

�� !�� !��

�� !�� !��

� �� #�� !� ��41 ��%��

�� 411 ��

� � ��

� � �

� �� !��

&�� '��

� � � � �

� � � � �

� (�� !� ��411 ��

��

�� #��!�� !�� )�

�� #��!�� !�� )�

�� *��!��411 )�

Bilangan ( ) ( )

3

7

3

16

3

123

3

12

−=

+−=

+−=−

x

Kesimpulan :

• Bilangan c

ba , jika diubah ke pecahan biasa diperoleh dari

( )

c

bca .......

• Bilangan -c

ba , jika diubah ke pecahan biasa diperoleh dari

( )

c

bca .......−

Latihan C.1 dan C.2 1. Ubahlah pecahan berikut ke bilangan campuran.

a. 5

17 b. 7

13 c. 527

d. 1237 e. -

421 f. -

5

16

2. Ubahlah menjadi pecahan biasa.

a. 434 b.

433 c.

16153 d. -

413

C.3 Mengubah Pecahan biasa atau Bilangan Campuran Ke Bilangan Desimal

dan Sebaliknya

C.3.1 Pecahan Biasa atau Bilangan Campuran Ke Bilangan Desimal

Untuk mengubah pecahan biasa atau bilangan campuran ke bilangan

decimal diperoleh dengan pembagian seperti biasa (membagi pembilang dengan

penyebut).

Contoh :

1. Ubahlah 43 menjadi bilangan desimal.

Jawab :

43

75,0

0

2

2

82

304

Jadi, 43 = 0,75

2. Ubahlah 15

4 menjadi bilangan desimal.

Jawab :

266,0

1

9

10

9

10

03

4015

Jadi 154 = 62,0

Aturan Pembulatan:

• Jika 0,266 dibulatkan sampai satu desimal, menjadi 0,3 ( 2 berubah menjadi

3, karena angka di kanannya yaitu 6 lebih atau sama dengan 5)

• Jika 0,266 dibulatkan sampai dua desimal, menjadi 0,27 ( 6 berubah menjadi

7, karena angka di kanannya yaitu 6 lebih atau sama dengan 5)

• Jika 0,725 dibulatkan sampai satu desimal, menjadi 0,7 ( 7 tetap, karena

angka di kanannya yaitu 2 kurang dari 5).

• Jika 0,725 dibulatkan sampai dua desimal, menjadi 0,73 ( 2 berubah menjadi

3, karena angka di kanannya yaitu 5 lebih atau sama dengan 5).

Latihan C.3.1

Ubahlah ke bilangan desimal.

a. 41 b.

203 c.

54 d.

4515 e.

86

f. 5

17 g. 421 h.

5

16 i.

509 j.

65

Angka 6

berulang.

C.3.2 Bilangan Desimal Ke Pecahan Biasa atau Bilangan Campuran

Seorang tukang kayu ingin melobangi sebuah kayu dengan diameter tidak

lebih dari 0,7 inci, sedangkan bor yang tersedia ukurannya tertulis dalam bentuk

pecahan seperti 12

7,

8

5,

10

7dan . Ukuran bor manakah yang dapat digunakan oleh

tukang tersebut? Untuk menjawab permasalahan di atas, tentunya anda harus

mengubah ukuran bor tadi menjadi bentuk desimal.

Setelah dihitung dengan kalkulator ternyata 10

7 = 0,7 ;

8

5 = 0,625 ; 12

7 = 0,583

sehingga bor yang dapat dipakai adalah bor yang berukuran 8

5 dan 12

7 ( mengapa

demikian ?)

Untuk mengubah bilangan desimal ke pecahan biasa atau bilangan campuran

dapat dikerjakan dengan cara sebagai berikut.

Contoh :

Ubahlah menjadi pecahan biasa atau campuran!

a. 0,5 = 10

5 ( satu angka di belakang koma, artinyaa persepuluh ) jika disederhanakan

menjadi 2

1

b. 0,12 = 25

3

100

12=

c. 2,003 = 1000

32

d. 0,66666 ….. = 6,0 = ……. dapat dikerjakan dengan cara berikut:

Misal x = 0,66666 …. 10 x = 6,66666 …. 10x = 6,66666 …. x = 0,66666 …. – 9x = 6

3

2

9

6==x

Karena x = 0,66666 ….. = 6,0 = 3

2

e. 2,121212 ….. = 12,2 = ……. dapat dikerjakan dengan cara berikut:

Jadi 2,121212 ….. = 12,2 = 33

42

Ubahlah menjadi pecahan biasa atau campuran!

3,125125 … = .................

Latihan C.3.2

Ubahlah menjadi pecahan biasa atau campuran dalam bentuk paling sederhana!

a. 0,08 = …. b. 0,45 c. 0,025

d. 0,650 e. 4,25 f. 3,065

g. 5,25 h. 3,2 i. 12,3

C.4 Mengubah Pecahan Ke Persen dan Sebaliknya

C.4.1 Mengubah pecahan ke persen

Untuk mengubah pecahan ke persen ada 2 cara yaitu:

a. Mengubah penyebutnya menjadi 100

Contoh:

===100

20

205

201

5

1

x

x20%

b. Mengalikan pecahan itu dengan 100%

Contoh:

Misal x = 2,121212 ….. 100 x = 212,1212 …. 100x = 212,1212 …. x = 2,1212 ….. –

99x = 210

33

42

99

122

99

210===x

a. 7

2

7

2= x 100% = 0

000

7

428

7

200= atau sama dengan 28,571%

b. 0,354 = 0,354 x 100% = 35,4%

C.4.2 Mengubah persen ke pecahan

Contoh:

a. 30% = 10

3

100

30=

b. 25% = 4

1

100

25=

c. 122

1% =

8

1

200

25

2

250

0 ==

C.5 Mengubah Pecahan Ke Permil dan Sebaliknya

C.5.1 Mengubah pecahan ke permil

Contoh:

a. 000

000 4001000

5

2

5

2== x

b. 000

000 7501000

4

3

4

3== x

c. 000

000 14001000

5

7

5

21 == x

C.5.2 Mengubah permil ke pecahan

Contoh:

a. 1000

33 00

0 =

b. 40

3

1000

7575 00

0 ==

c. 4000

101

100000

2525

1000

25,2525,25 00

0 ===

Latihan C.4 dan C.5 1. Ubahlah pecahan – pecahan berikut ini menjadi bentuk persen!

a. 2019 b.

507 c.

41 d.

81 e.

2003

f. 509 g.

208 h.

103 i.

3012 j.

252

2. Ubahlah pecahan – pecahan berikut ini menjadi pecahan biasa atau bilangan

campuran dalam bentuk yang paling sederhana!

a. 15% b. 75% c. 88% d. 1,8%

3. Ubahlah bentuk permil berikut menjadi pecahan biasa dalam bentuk yang paling

sederhana!

a. 25 � b. 73 � c. 82 � d. 6,8 �

4. Ubahlah pecahan – pecahan berikut ini menjadi bentuk permil!

a. 20

3 b.

50

34 c.

150

18 d.

250

23

5. Sebanyak 35% dari anggota suatu kelompok mengatakan bahwa hobinya adalah

mebaca. Berapa persen yang tidak hobi membaca?

6. Fahmi mempunyai tali yang panjangnya 1 meter. Tali itu dipotong menjadi dua

bagian. Panjang salah satu bagiannya adalah 0,55 meter. Nyatakan panjang setiap

panjang tali itu dalam bentuk pecahan biasa

D. Membandingkan dan Mengurutkan Pecahan

D.1 Membandingkan Pecahan

a. Membandingkan pecahan yang penyebutnya sama.

Perhatikan kedua model pecahan berikut.

Dari model-model tersebut, dapatkah kamu

simpulkan bahwa 65 >

64 ? Mengapa?

Perhatikan juga bahwa seperenaman dapat

dipandang sebagai satuan baru.

65 berarti 5 seperenaman, dan

64 berarti 4

seperenaman.

Manakah yang lebih besar antara 5 seperenaman dengan 4 seperenaman?

Dari uraian di atas jelas bahwa 65 >

64 .

65

64

��

Jadi untuk membandingkan beberapa pecahan yang penyebutnya sama, cukup

dengan membandingkan pembilangnya. Jika pembilang lebih besar maka pecahannya

juga lebih besar.

b. Membandingkan pecahan yang penyebutnya berbeda.

Marilah kita mulai dengan membandingkan 21 dan

31 .

Kita tahu bahwa 21 senilai dengan

63 dan

31 senilai dengan

62 . Keempat pecahan

tersebut dapat dimodelkan seperti berikut.

senilai dengan senilai dengan Pecahan manakah yang lebih besar?

Tampak bahwa 21 >

31 dan

63 >

62 , sebab

21 =

63 dan

31 =

62 .

Jadi, suatu cara membandingkan pecahan adalah dengan

menyatakan pecahan-pecahan itu sebagai pecahan yang

penyebutnya sama kemudian membandingkan pembilang-

pembilangnya. Dalam proses ini dapat digunakan

kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-

penyebut pecahan.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

21

31

63

62

Catatan

Dalam pengukuran, agar

besarnya ukuran dapat di

bandingkan maka satuan

nya harus disamakan

dulu. Demikian halnya

dalam membandingkan

pecahan, penyebut-penye

butnya harus disamakan

terlebih dahulu.

Contoh:

Gunakan tanda <, =, atau > untuk membandingkan 31 dan

72 .

Tahap I : Menentukan KPK dari penyebutnya yaitu KPK dari 3 dan 7

Kelipatan dari 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 , 24

Kelipatan dari 7: 7, 14, 21 , 28

KPK dari 3 dan 7 adalah 21, sebab 21 adalah bilangan terkecil

yang habis dibagi 3 dan dibagi 7.

Tahap II : Menentukan pecahan yang senilai dengan 31 dan pecahan

yang senilai dengan 72 dengan menggunakan KPK pada

Tahap I sebagai penyebut.

31 =

21... , sehingga

217

31 =

72 =

21... , sehingga

216

72 =

Tahap III : Membandingkan pecahan yang penyebutnya sama pada Tahap II

Membandingkan pembilang dari 217 dan

216 .

Karena 7 > 6 maka 217 >

216 .

Sehingga dapat disimpulkan bahwa 72

31 > .

D.2 Mengurutkan Pecahan dan Menentukan Letaknya pada Garis Bilangan

Perhatikan contoh berikut:

1. Urutkan nilai pecahan – pecahan 43 ,

21

, dan 8

1 serta tentukan letaknya pada garis

bilangan!

Penyelesaian:

KPK dari 4, 2, dan 8 adalah 8

43 =

8

6

24

23=

x

x Sehingga urutan dari yang terkecil ke yang

21 =

8

4

42

41=

x

x terbesar adalah:

8

1 =

8

1

18

11=

x

x

8

1 <

8

4 <

8

6 atau

8

1 <

21 <

43

Jika digambarkan pada garis bilangan adalah sebagai berikut:

Urutkan nilai pecahan – pecahan 4

5, 1

21

, dan 8

9 serta tentukan letaknya pada garis

bilangan!

Latihan D 1. Urutkan pecahan – pecahan beruk mulai dari yang nilainya terkecil sampai terbesar.

a. 72

, 4

5 ,

8

4 b.

64

, 31

,

c. 6

51,

4

31,

3

21 d. 2

72

, 24

5 , 2

8

4

2. Urutkan pecahan – pecahan beruk mulai dari yang nilainya terkecil sampai terbesar.

a. 0,65 ; 0,605 ; 0,6 ; 0,645 b. 0,673 ; 0,68 ; 0,609 ; 0,69

3. Urutkanlah bilangan-bilangan berikut dari terkecil ke terbesar.

a. 87 ; 0,8;

119 ; 0,87 b. 1,65;

321 ;

531 ; 1,7 c.

1213 ; 3,1;

513 ;

2013

4. Ali berlari sejauh 431 km, Budi berlari sejauh

1071 km. Siapakah yang berlari

lebih jauh?

0

8

1

8

4

8

6 1

20

8

5. Aan, Beben, dan Cicin adalah calon ketua OSIS di suatu SMP. Dalam

pemungutan suara Aan mendapat 8

3 dari jumlah seluruh siswa yang memilih.

Beben mendapat 72 , sedangkan Cicin mendapat

41 , dan sisanya tidak sah.

Siapakah yang terpilih menjadi ketua OSIS?

6. Saya adalah sebuah pecahan dengan bentuk paling sederhana. Pembilang dan

penyebutku adalah bilangan prima yang berselisih dua. Jumlah dari pembilang dan

penyebutku sama dengan 12. Berapakah saya?

E. Operasi Pecahan

E.1 Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan

E.1.1 Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama

Ida dan Ita membeli roti yang telah dipotong

menjadi 8 bagian yang sama. Sambil duduk di

halaman rumah, Ida makan 81 roti itu dan Ita makan

83 . Berapa bagian roti yang telah dimakan oleh

mereka? Untuk membantu menjawab pertanyaan ini, marilah kita mengerjakan

Lab Mini berikut.

��

IndikatorIndikatorIndikatorIndikator 1.1.7 Menyelesaikan operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi bilangan pecahan.

��

�� "�� &��

"��'�

%��81 ��

83 ��

� �� +�� !��

��"��,��

� � � �

� � � �

� -�� "��

��!� ��81 ��(��"��!��"��

!�� !� ��83 ��

��

�� !�� !�� "��)�

�� *�� !�� !� �� !��!�� !��

��"��)�

�� %��"�� !��

��!� ��!��!�� !�� "��)��

Dari Lab Mini, kita ketahui bahwa

81 +

83 =

84 atau

21 .

Jadi dari cerita tentang Ida dan Ita dapat disimpulkan bahwa Ida dan Ita

telah makan 21 dari roti yang telah dibelinya.

Cobalah kamu melakukan kegiatan Lab Mini untuk menentukan 61 +

63 dan

51 +

53 .

Contoh:

1. Tentukanlah jumlah dari 53 dan

54 .

53 +

54 =

543 +

= 57

= 521

E.1.2 Penjumlahan Pecahan yang Penyebutnya Berbeda

Azam membaca sebuah buku cerita tentang Abu

Nawas. Dua hari yang lalu, Azam membaca 41 dari isi

buku itu. Hari ini Azam melanjutkan membaca 32 dari isi

buku itu. Berapa bagian dari isi buku ceritera yang telah

dibaca oleh Azam?

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kamu perlu menjumlahkan pecahan yang

penyebutnya berbeda.

Kamu dapat menggunakan model pecahan untuk penjumlahan tersebut.

Contoh:

1. Berapa bagian dari isi buku itu yang telah dibaca oleh Azam?

53 +

54

521

1444442444443

6447448 64748

Kesimpulan :

Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama adalah dengan cara ……

…………………………………………………………………………………….

Jumlahkan 41 dan

32 .

41 +

32 =

1211 atau

41 +

32 =

123 +

128 =

12

83 + =

1211

Jadi Azam telah membaca 1211 bagian isi buku ceritera tersebut.

2. Tentukanlah hasil dari 72

41 + .

Jawab:

KPK dari 4 dan 7 adalah 28.

28x4

x1

41 7==

7

7 ← Tentukan KPK dari 4 dan 7.

28x7

x2

72 8==

4

4 ← Tulislah pecahan dengan penyebut sama.

28

7 +

28

8 =

2815 ← Jumlahkan pembilang.

E.1.3 Penjumlahan Bilangan Campuran

Jika pecahan – pecahan yang dijumlahkan adalah bilangan campuran,

maka cara yang digunakan untuk menyelesaikan bisa dengan menggunakan salah

satu dari 2 cara berikut:

1. Menghitung bagian bilangan bulat dan pecahannya secara terpisah.

2. Dengan mengubah bilangan campuran itu menjadi pecahan biasa.

Contoh:

1. Tentukan hasil dari 213

4315 +

Jawab:

213

4315 + = ...... dapat diselesaikan dengan 15 + 3 = 18

dan 43

+ 21 =

43

+ 4

2 =

4

5

←Tentukan model pecahan untuk

menyatakan jumlah.

←←←← Gunakan model pecahan untuk 32

.

←←←← Gunakan model pecahan untuk 4

1 .

Jadi hasilnya = 18 + 4

5 =

4518

= 18 + 411

= 4119

213

4315 + =

4

119

4

77

4

14

4

63

22

27

14

163

2

7

4

63==+=+=+

x

x

x

x

E.1.4 Pengurangan Pecahan yang Penyebutnya Sama

Totok menemukan 85 pizza di meja makan. Dia

makan 81 pizza tersebut. Berapakah pizza yang belum di

makan Totok?

Jawab:

815

81

85 −=−

= 21atau

84

Jadi, pizza yang belum dimakan adalah 21 .

Mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama caranya sama dengan

menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama. Misal di meja tersedia

tigaperempat bagian semangka. Kemudian kamu makan seperempat bagian.

Berapa bagian semangka yang masih tersisa?

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kamu perlu melakukan pengurangan

pecahan seperti berikut.

4

2

4

13

4

1

4

3=

−=−

Catatan :

411

41

44

45 =+=

E.1.5 Pengurangan Pecahan yang Penyebutnya Tidak Sama

Untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya tidak sama caranya dengan

menyamakan penyebutnya.

Contoh:

1. 10

1

10

6

10

7

5

3

10

7=−=−

2. 28

9

28

21

28

12

4

3

7

3−=−=−

E.1.6 Pengurangan Bilangan Campuran

Jika pecahan – pecahan yang dikurangkan adalah bilangan campuran,

maka cara yang digunakan untuk menyelesaikan bisa dengan menggunakan salah

satu dari 2 cara berikut:

1. Menghitung bagian bilangan bulat dan pecahannya secara terpisah.

2. Dengan mengubah bilangan campuran itu menjadi pecahan biasa.

Contoh:

1. Tentukan hasil dari 316 -

214

Jawab:

316 -

214 =

626 -

634

= 685 -

634

= 651

Ingat:

626 = 5 +

621 =

685 .

Kesimpulan :

Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama adalah dengan cara …….

……………………………………………………………………………………..

Jadi 316 -

214 =

651 .

316 -

214 =

6

51

6

11

6

27

6

38

32

39

23

219

2

9

3

19==−=−=−

x

x

x

x

2. Hitunglah 316 - ( -

214 )

Jawab:

316 - ( -

214 ) =

6

510

6

65

6

27

6

38

32

39

23

219

2

9

3

19

2

9

3

19==+=+=+=�

�

��

�−−

x

x

x

x

Latihan E.1

1. Hitunglah dan tulislah setiap jawabanmu dalam bentuk yang paling sederhana.

a. 117

113 + b.

72

76 − c.

85

83 + d.

94

94 −

f. 41

107 − g.

54

83 + h.

41

65 + i.

21

65 −

2. Ani membeli dua buah semangka di pasar, semangka pertama beratnya 43 kg dan

semangka kedua beratnya 42 kg. Berapa kelebihan berat semangka pertama

dibandingkan dengan semangka kedua?

3. Tentukanlah hasil penjumlahan berikut!

a. 3218 + b. 2

613 + c.

433

518 +

d. 1612

8311 + e.

438

1219 + f.

2

111

12

1115 +

4. Tentukanlah hasil pengurangan berikut!

a. 3

218 − b. 2

6

13 − c.

4

33

5

18 −

d. 16

12

8

311 − e.

4

38

12

19 − f.

2111

121115 −

5. Tentukan hasil dari .5

16

3

22

5

43

3

15 −−+

6. Pertanyaan Terbuka. Tulislah dua pecahan campuran yang apabila dijumlahkan

menghasilkan bilangan Bulat!

7. Pertanyaan Terbuka. Tulislah dua bilangan campuran jika di jumlahkan tidak selalu

merupakan bilangan campuran!

E.2 Perkalian dan Pembagian Pecahan

E.2.1 Mengalikan Pecahan dengan Pecahan.

Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan dapat menggunakan model luas.

Adapun kata “dari” yang dimaksud adalah “kali atau x”

Contoh:

Perhatikan permasalahan berikut:

Bu Ifa mempunyai kebun 4

3 ha, dari kebun

bu Ifa tersebut ditanami jagung. Berap hektar

kebun bu Ifa yang ditanami jagung?

Penyelesaian:

Kebun bu Ifa yang ditanami jagung adalah

dari 4

3 atau

2

1 x

4

3, untuk

menghitungnya dapat digunakan permodelan

seperti gambar berikut:

Kebun bu Ifa 4

3 ha (daerah arsiran)

Bagilah daerah yang diarsir itu menjadi 2 sama besar, seperti gambar berikut.

Ternyata ada 3 bagian dari 8 bagian yang sama sehingga 2

1 x

4

3 =

8

3

Dari contoh di atas dapat disimpullkan bahwa:

Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, kalikanlah pembilang-pembilangnya dan

kalikanlah …

Jika pembilang dari pecahan pertama dan penyebut dari pecahan yang lain mempunyai

factor persekutuan, maka Anda dapat menyederhanakan sebelum mengalikan.

Contoh: 5

4

8

3 1

2x =

5

1

2

3x

= 10

3

E.2.2 Perkalain Bilangan Cacah dengan Pecahan

Perhatikan permasalahan berikut:

1. Misalkan ibu mempunyai 5 kg beras, dan 3

1 dari beras itu akan diberikan kepada

fakir miskin. Berapa kg beras yang akan diberikan kepada fakir miskin?

penyelesaian:

Permasalahan di atas jika ditulis dalam matematika adalah sebagai berikut:

3

1 dari 5 atau

3

1 x 5 = 5 x

3

1

= 3

1 +

3

1 +

3

1 +

3

1+

3

1

= 3

5

= 1 3

2

Arsiran rangkap menunjukkan ½ dari ¾

Jadi beras yang diberikan kepada fakir miskin adalah 1 3

2 kg

2. 6 x 4

3 =

4

3 x

4

3 x

4

3 x

4

3 x

4

3 x

4

3 =

4

18

Jika kita amati dari kedua contoh tadi, antara lain:

5 x 3

1 =

3

5 atau

3

5

3

1

1

5=x

6 x 4

3 =

4

18 atau

4

18

4

3

1

6=x

Apa yang dapat Anda simpulkan tentang perkalian bilangan Cacah dengan pecahan?

E.2.3 Perlkalian Bilangan Campuran

Untuk mengalikan bilangan campuran, Anda dapat menggunakan model luasan

seperti berikut:

Contoh:

1. Tentukan nilai 13

22

2

1x

1 1 3

2

2

1

2

1

2

1

6

2

1 2

1 1 1 1

3

2

1 2

1 x 2

3

2 = 1 + 1 +

3

2 +

2

1 +

2

1 +

6

2

= 2 + 3

2 + 1 +

6

2

Kesimpulan: Untuk mengalikan bilangan Cacah dengan pecahan, terlebih dahulu

bilangan Cacah diubah ke dalam pecahan yang penyebutnya .....…,

kemudian melakukan perkalian bilangan pecahan dengan pecahan

seperti biasa.

= 3 + 3

2 +

6

2 = 3 +

6

4 +

6

2

= 3 + 6

6 = 3 + 1 = 4

Jadi, 1 2

1 x 2

3

2 = 4

Cara lain,

Ubah dulu bilangan campuran menjadi pecahan biasa, sebagai berikut:

1 2

1 x 2

3

2 = 4

6

24

3

8

2

3==x

Contoh 2.

Penghasilan ibu setiap bulan adalah 1 2

1 juta rupiah, dari penghasilan tersebut

5

1 nya

dipergunakan untuk membayar pembantu, berapa rupiah yang dipergunakan untuk

membayar pembantu?

Penyelesaian:

5

1 dari 1

2

1 =

5

1 x 1

2

1

= 5

1 x

10

3

2

3=

Jadi, uang yang dipergunakan untuk membayar pembantu adalah 10

3 juta, atau

10

3 x 1.000.000,00 = Rp 300.000,00

E.2.4 Pembagian Pecahan

E.2.4.1 Invers Perkalian dan Kebalikan dari Suatu Bilangan.

Sebelum mempelajari tentang pembagian pecahan, terlebih dahulu kita pelajari

tentang invers perkalian atau kebalikan dari suatu bilangan, karena kebalikan suatu

bilangan erat kaitannya dengan pembagian pecahan.

Juka sebuah bilangan dikalikan bilangan yang lain dan hasilnay sama dengan 1,

maka bilangan yang satu adalah merupakan invers perkalian atau kebalikan dari bilangan

yang lain.

Perhatikan contoh berikut:

2 x 2

1 = 1 Hal itu menunjukkan bahwa 2 adalah kebalikan dari

2

1

3

1 x 3 = 1 Hal itu menunjukkan bahwa

3

1 adalah kebalikan dari 3

5

3 x

3

5 = 1 Hal itu menunjukkan bahwa

5

3 adalah kebalikan dari

3

5

Sekarang tentukan kebalikan dari bilangan-bilangan berikut:

5, 9

4,

7

3,

3

1,6,

7

1 −−

E.2.4.2 Pembagian Bilangan Pecahan

Perhatikan uraian berikut:

a. 4 x 2

1 =

2

14 x =

2

4 = 4 : 2

Jadi, 4 : 2 = 4 x 2

1 (apa hubungannya 2 dengan

2

1?)

b. 5 x 3

1 =

3

15 x =

3

5 = 5 : 3

Jadi, 5 : 3 = 5 x 3


3

1?)

c. 7 x 5

1 =

5

17 x =

5

7= 7 : 5

Jadi, 7 : 5 = 7 x 5


5

1?)

Dari uaraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk membagi suatu bilangan dengan

bilangan lain sama dengan mengalikan bilangan itu dengan kebalikan bilangan yang lain,

dapat ditulis a : b = a x b

1, untuk b ≠ 0

Contoh:

1. 8 : 2

1 = 8 x

1

2=

1

16 = 16

2. 3

2 x 2 =

3

2 x

2

1=

3

2

6

2=

3. 5

3 : (

7

2−) =

5

3 x (

2

7−) =

10

21−= -2

10

1

E. 2.5 Pembagian Bilangan Campuran

Untuk membagi bilangan campuran, terlebih dahulu bilangan campuran itu diubah dalam

bentuk pecahan biasa.

Contoh:

1. 1 3

2: 2

5

3 =

3

5 :

5

13

= 3

5 x

13

5 =

39

25

2. Siti mempunyai 4 2

1 kg apel, apel itu dibagi rata kepada 5 orang temannya. Berapa

kg apel yang diterima masing-masing anak?

Penyelesaian:

4 2

1 : 5 =

2

9: 5

= 2

9 x

5

1

Jadi masing-masing anak mendapat bagian 10

9kg, atau

10

9x 1000 g = 900 g

LATIHAN E.2

1. Tentukan hasil dari perkalian berikut:

a. 4

3− x (

5

2−) = …

b. 3

13 x

2

12 = …

c. 4

12− x

3

13 = …

d. 3

23− x (

4

11− ) = …

e. 9

8 x

9

3 = …

f. -0,002 x 4,3 = …

g. 0,5 x 0,12 = …

h. -0,05 x (-1,3) = ...

2. Sekitar10

7 dari berat badan manusia terdiri dari air. jika berat seseorang 75 kg. Berapa

kg kandungan airnya?

3. Sebuah papan tulis berbentuk persegi panjang ukuran panjang 1 4

3 m dan lebar 1

3

1

m. Tentukan luas papan tulis tersebut?

4. Pak Sudirman seorang peternak ayam, beliau ingin menetaskan telur sebanyak 2500

butir. Ternyata telur yang menetas hanya 85% dari seluruh telur. Berapa butir telur

yang tidak menetas?

5. Untuk membuat satu pasang baju seragam Pemda diperlukan 2 2

1 m kain. Jika

seorang penjahit ingin membuat 15 pasang seragam, berapa m kain yang diperlukan?

6. Tentukan hasil dari setiap pembagian berikut:

a. 9

8 :

9

3 = …

b. 6

5 :

7

1 = …

c. 3

5− :

4

6 = …

d. 3

7− :

5

8− = …

e. 5− : 2

1 = …

f. 2

1 : 7 = …

g. 3

21− : 4− = …

h. 5 : 4

32− = …

i. 0,5 : 5 = …

j. -0,05 : 0,1 = …

k. 6,25 : -5 = …

l. -125,5 : -0,5 = …

7. Ibu mempunyai tali 15 m. tali tersebut akan dipotong-potong sepanjang 2 2

1

meteran, berapa banyak potongan tali yang terjadi?

8. Untuk membuat 1 kue pudak diperlukan 4

1 butir kelapa , jika kelapa yang tersedia

10 butir, berapa pudak yang dapat dibuat?

9. Rian membeli 8 2

1kg salak, salak tersebut akan dibagikan kepada 42 orang

temannya secara merata. Jika 1 kg salak rata-rata isinya 20 buah, berapa buah

salak bagian masing-masing anak?

10. Berfikir kritis: Apakah 2 3

2 x 4

2

1lebih dari atau kurang dari 10. jelaskan

bagaimana cara Anda menjawab pertanyaan ini tanpa mengalikan seperti pada

contoh.

F. Operasi Hitung Pangkat yang Melibatkan Pecahan

Pada pembelajaran operasi pangkat bilangan bulat, tentu Anda masih ingat tentang

sifat-sifat operasi perpangkatan. Sama halnya pada bilangan bulat, pada bilangan

pecahan juga ada operasi hitung pangkat.

Contoh:

1. [3

2]2 =

3

2 x

3

2 =

33

22

x

x=

2

2

3

2

jadi [3

2]2 =

2

2

3

2

2. [5

3−]2 =

( )2

2

5

3− =

25

9

3. [5

3−]3 =

( )2

3

5

3− = …

Kesimpulan: jika a, b anggota bilangan bulat, b ≠ 0, maka [b

a]2 =

...

...

b

a

��

4. [4

3]2 x [

4

3]3 =

44

33

x

x x

444

333

xx

xx =

44444

33333

xxxx

xxxx=

5

5

4

3

jadi [4

3]2 x [

4

3]3 = [

4

3]2+3

5.

3

2]3

2[

]3

2[

−

−

=

]3

2[]

3

2[

]3

2[]

3

2[]

3

2[

−−

−−−

x

xx

= [3

2−]1

Jadi

3

2]3

2[

]3

2[

−

−

= [3

2−]3-2 = [

3

2−]1

6. {[4

3]2}3 = [

4

3]2 x [

4

3]2 x [

4

3]2

= 4

3x

4

3x

4

3x

4

3x

4

3x

4

3

= [4

3]6

Jadi, {[4

3]2}3 = [

4

3]2x3

LATIHAN F

Tentukan hasil dari:

1. a. ]5

3[ 2 b. ]

3

2-[ 2 c. ]

b

a[ 3

Kesimpulan: Untuk a, b anggota bilangan bulat, b ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, berlaku:

a. ]b

a[

m x ]

b

a[

n = ]b

a[

…

b. n

m

]b

a[

]b

a[

= ]b

a[ …

c. [ ]b

a[

m ]n = ]b

a[

…

d. ]3

13[ 3 e. ]

2

12[− 3 f. ]

2

14[− 4

2. a. 5

6

]5

2[

]5

2[

−

−

= … b. [[3

1−]2]3 = … c.

5

7

]7

5[

]7

5[

−

−

= …

3. a. (0,4)2 b. (-3,5)3 c. (-1,5)2

G. Pengertian Bentuk Baku

Misalkan dalam mata pelajaran sains terdapat pernyataan sebagai berikut:

a. Kecepatan cahaya adalah 300.000.000.000 mm/s.

b. Masa proton adalah 0,000000000000000000000167 g

Bagaimana Anda membaca kedua bilangan tersebut? Tentunya Anda mengalami

kesulitan. Kadang-kadang penulisan bilangan-bilangan di atas sering salah karena

kurang teliti dalam mengamati banyaknya nol. Untuk mengatasi kesulitan membaca

ataupun menulis bilangan-bilangan seperti di atas, maka digunakan suatu model

penulisan bilangan yang disebut bentuk baku.

Bentuk baku adalah cara yang singkat untuk menuliskan bilangan yang sangat besar

atau sangat kecil.

Bentuk baku suatu bilangan dinyatakan dengan a 10n dengan n bilangan bulat

1 < a < 10

G.1 Bentuk Baku Suatu Bilangan

Sebelum membahas cara menuliskan suatu bilangan ke bentuk baku , perhatikan

bilangan-bilangan berpangkat berikut ini!

105 = 100000 ( ada 5 angka 0 di sebelah kanan angka 1)


103 = 1000 ( …………………………………………)

102 = … ( …………………………………………)

101 = … ( …………………………………………)


10-1 = 10

1= 0,1 ( ada 1 angka 0 di sebelah kiri angka 1)

��

10-2 = 100


10-3 = 310


10-4 = 410


10-5 = 510


Ada dua macam penulisan bilangan dalam bentuk baku (notasi ilmiyah) yaitu:

1. bentuk baku bilangan lebih dari 10

2. bentuk baku bilangan yang kurang dari 1

G.1.1 Bentuk Baku Bilangan yang Lebih dari 10

Bentuk baku atau notasi ilmiyah untuk bilangan yang lebih ari 10 adalah a x 10n

dengan n anggota bilangan bulat positif, dan 1 < a < 10

Contoh kaitan dengan dunia nyata.

1. Jarak antara bumi dan bulan adalah 406.800 km. Nyatakan jarak tersebut dalam

bentuk baku!

Penyelesaian:

406.800 = 4,068 x 100000

5 tempat = 4,068 x 105

2. Kecepatan gelombang elektromagnetik dalam ruang hampa adalah 300000000000

mm/detik. Nyatakan kecepatan tersebut dalam bentuk baku!

Penyelesaian:

300000000000 = 3,0 x 100000000000

11 tempat = 3 x 1011

G 1.2 Bentuk Baku Bilangan antara 0 dan 1

Bentuk baku atau notasi ilmiyah dari bilangan antara 0 dan 1 adalah a x 10n

dengan n anggota bilangan bulat negative, 1 < a < 10

Contoh kaitan dengan dunia nyata

1. Massa molekul air diperkirakan 0,00000000000000000003 gram. Nyatakan massa

molekul air tersebut dalam bentuk baku!

Penyelesaian:

0,00000000000000000003 = 3,0 x 10-20

20 tempat

Massa proton adalah 0,000000000000000000000167 gram. Nyatakan massa

proton tersebut dalam bentuk baku.

Penyelesaian:

0,000000000000000000000167 = 1,67 x 10-24

24 tempat

G.2 Pembulatan Bilangan Pecahan

Pada pembulatan bilangan desimal dapat dilihat dari angka di belakang

bilangan yang akan dubulatkan, jika angka di belakangnya lebih dari atau sama

dengan 5, maka angka di depannya bertambah satu, jika angka di belakangnya kurang

dari 5 maka angka di depannya tetap.

Contoh:

a. 3,34500 = 3,35 (sampai dua tempat desimal)

b. 7,68480 = 7,68 (sampai dua tempat desimal)

c. 13,02449 = 13,024 (sampai tiga tempat desimal)

LATIHAN G.

1. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku dengan pembulatan

sampai satu tempat desimal!

a. 364000000 b. 5000000000 c. 465700000

2. Nyatakan bilangan-bilangan ini dalam bentuk baku dengan pembulatan sampai

dua tempat desimal!

a. 60080000000 b. 345390000000 c. 2585100050000

3. Tulislah setiap bentuk baku berikut dalam bentuk umum!

a. 6 x 10-8 b. 1,345 x 109 c. 5,028 10-5 d. 6,981 x 107

4. Nyatakan masing-masing pernyataan berikut ini dalam bentuk baku!

a. massa electron = 0,00000000000000000000000091091 kg

b. massa matahari = 1330000000 km3

5. Satu liter sama dengan 106 mm kubik (mm3). Dalam 1 mm3 darah terdapat 5 x 106

sel darah merah. Tulislah bentuk baku banyak sel darah merah dalam 2 liter darah

manusia!

H Menaksir Operasi Hitung Bilangan Pecahan

H.1. Menaksir Hasil Jumlah dan Selisih dengan menggunakan Pendekatan

Bilangan Cacah

Contoh:

Taksirlah hasil penjumlahan dan pengurangan bilangan-bilangan ini!

a. 54

3 + 2

8

5= … b. 200

5

1 - 125

3

2= …

Penyelesaian:

a. Bilangan cacah yang terdekat dengan 54

3 adalah 6

Bilangan cacah yang terdekat dengan 28

5 adalah 3

Jadi, hasil dari 54

3 + 2

8

5≈ 9

b. Bilangan cacah yang terdekat dengan 2005

1 adalah 200


2 adalah 126

Jadi, hasil dari 2005

1 - 125

3

2≈ 74

H.2 Menaksir Hasil Kali dengan Menggunakan Pendekatan Bilangan Cacah

Contoh:

a. 55

3 x 2

2

1= … b. 118

5

3 x 48

2

1= …

Penyelesaian:


3 adalah 6


1 adalah 3

�

Jadi, hasil dari 55

3 x 2

2

1 ≈ 6 x 3

≈18

Menaksir hasil perkalian pecahan jika bilangannya ratusan, untuk menghindari

perhitungan , maka kita bisa menggunakan kelipatan 10 terdekat.

Misalnya pada contoh 1187

2 x 48

2

1= …


2 adalah 118


1 adalah 49

Maka kita masih menghitung 118 x 49 = 5782. Jadi hasilnya mendekati 5782.

untuk menghindari penghitungan kita bisa menggunakan kelipatan 10 terdekat.

Yaitu: Kelipatan 10 terdekat dari 1187

2adalah 120

Kelipatan 10 terdekat dari 482

1adalah 50

Jadi, 1187

2 x 48

2

1 = 120 x 50

= 6000

H.3 Menaksir Hasil Bagi dengan Pendekatan Bilangan Cacah atau Kelipatan 10

Contoh:

Taksirlah hasil operasi pembagian berikut!

a. 3450

41 : 6

3

1= ... b. 102

10

7 : 19

10

6= ...

Penyelesaian:


41 adalah 35


1 adalah 6

Jadi, 3450

41 : 6

3

1 = 35 : 6

= 5 6

5

Taksirlah dengan menggunakan kelipatan 10 terdekat

b. Taksirlah untuk yang b dengan menggunakan pendekatan bilangan cacah dan

kelipatan 10 terdekat.

LATIHAN H

Taksirlah hasil operasi hitung bilangan-bilangan berikut!

1. 73

1 + 5

4

3= ...

2. 143

2 + 25

5

4= ...

3. 418

5 - 34

7

3= ...

4. 234 - 255

2= ...

5. 454

2 x 15

5

1= ...

6. 2006

5 x 45

4

3= ...

7. 124

3 : 3

5

1= ...

8. 5157

4 : 125

2

1= ...

SOAL LATIHAN KD 2.2

1. Pecahan-pecahan berikut ini senilai dengan 7

3, kecuali ....

a. 14

6 b.

35

15 c.

49

21 d.

47

39

2. Pecahan berikut yang nilainya diantara 4

3 dan

8

5 adalah ....

a. 3

1 b.

2

1 c.

16

11 d.

5

4

3. Pecahan ,6

5,

3

2dan

7

5 disusun dalam urutan naik adalah ....

a. 3

2,

6

5, dan

7

5 b.

3

2,

7

5, dan

6

5 c.

6

5,3

2, dan

7

5 d.

6

5,

7

5, dan

3

2

4. Bentuk pecahan yang paling sederhana dari 0,0075 adalah ....

a. 000.10

75 b.

000.1

75 c.

400

5 d.

40

3

5. Bentuk decimal dari 37

15 dengan pembulatan sampai tiga tempat desimal adalah

....

a. 0,405 b. 0,406 c. 0,450 d. 0,454

6. 3

18 % dinyatakan sebagai pecahan biasa menjadi ....

a. 25

1 b.

12

1 c.

25

3 d.

4

1

7. Pecahan 8

5 dinyatakan dalam bentuk persen menjadi ....

a. 62,5% b. 58% c. 12,5% d. 6,25%

8. Pecahan 8

3 dinyatakan dalam bentuk permil menjadi ....

a. 250� b. 300� c. 375� d. 625�

9. ....4

35

8

31 =+

a. 4 2

1 b. 4

8

3 c. 5

8

1 d. 7

8

1

10. ....6

51

8

36 =−

a. 4 6

1 b. 4

24

13 c. 5

24

11 d. 5

24

13

11. ....2

11:

4

3

5

41 =x

a. 2

1 b.

20

11 c.

30

17 d.

10

9

12. Hasil dari ....3

23

2

=��

�

��

��

��

��

�−

a. 243

32− b.

729

64 c.

243

32 d. -

729

64

Apa yang akan Anda Standar KompetensiStandar · PDF file1.1 Melakukan operasi hitung bilangan...

Documents

Transcript of Apa yang akan Anda Standar KompetensiStandar · PDF file1.1 Melakukan operasi hitung bilangan...