Ferianto Raharjo Analisa Numerik Persamaan Diferensial – 1

7. PERSAMAAN DIFERENSIAL PENDAHULUAN Penyelesaian suatu persamaan diferensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial dan juga memenuhi kondisi awal yang diberikan pada persamaan tersebut. Penyelesaian persamaan diferensial secara analitis, biasanya mencari penyelesaian umum yang mengandung konstanta sembarang dan kemudian mengevaluasi konstanta tersebut sedemikian sehingga hasilnya sesuai dengan kondisi awal. Misal suatu persamaan diferensial orde satu:

ydxdy

= (7.1)

Penyelesaian dari persamaan tersebut adalah: y = C.ex (7.2) Untuk mendapatkan penyelesaian tunggal, diperlukan informasi tambahan, misalnya persamaan (7.1) disertai dengan kondisi awal: di x = 0 y(x=0) = 1 (7.3) Substitusi persamaan (7.3) ke persamaan (7.2) memberikan: C = 1 Sehingga penyelesaian tunggal dari persamaan diferensial tersebut adalah: y = ex

Penyelesaian persamaan diferensial dengan metoda numerik dilakukan pada titik-titik yang ditentukan secara berurutan. Untuk mendapatkan hasil yang lebih teliti, maka jarak (interval) antara titik-titik yang berurutan tersebut dibuat semakin kecil. METODA SATU LANGKAH Akan diselesaikan persamaan diferensial dengan bentuk:

)y,x(fdxdy

=

Persamaan tersebut dapat didekati dengan bentuk berikut:

)y,x(fxxyy

xy

dxdy

i1i

i1i =−−

=∆∆

≈+

+

atau yi+1 = yi + f(x,y).(xi+1 – xi) atau yi+1 = yi + Φ.∆x (7.4) dengan Φ adalah perkiraan kemiringan yang digunakan untuk ekstrapolasi dari nilai yi ke yi+1 yang berjarak ∆x, dengan ∆x = x i+1 – xi. Persamaan di atas dapat digunakan untuk menghitung langkah demi langkah nilai y. Semua metoda satu langkah dapat ditulis dalam bentuk umum tersebut, perbedaannya adalah dalam mengestimasi kemiringan Φ.

Ferianto Raharjo Analisa Numerik Persamaan Diferensial – 2

METODA EULER Metoda Euler dapat diturunkan dari deret Taylor,

yi+1 = yi + yi’.∆x + yi’’.! 2

x2∆+…..

Apabila nilai ∆x kecil, maka suku yang mengandung pangkat ≥ 2 menjadi sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga: yi+1 = yi + yi’.∆x (7.5)

Dengan metoda Euler, Φ = yi’ = f(xi, yi), sehingga persamaan (7.5) dapat ditulis menjadi: yi+1 = yi + f(xi, yi).∆x (7.6)

dengan i = 1, 2, 3, ….. Sehingga pada metoda Euler, nilai yi+1 diprediksi dengan menggunakan kemiringan (sama dengan turunan pertama) untuk diekstrapolasi secara linear pada pias ∆x.

Gambar 7.1 Contoh 7.1: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = –2.x3 + 12.x2 – 20.x + 8,5

dengan kondisi awal y(0) = 1, dari x = 0 sampai x = 4 dan ∆x = 0,5. Penyelesaian:

i xi yi f(xi,yi) 0 0,0 1,000 8,50 1 0,5 5,250 1,25 2 1,0 5,875 -1,50 3 1,5 5,125 -1,25 4 2,0 4,500 0,50 5 2,5 4,750 2,25 6 3,0 5,875 2,50 7 3,5 7,125 -0,25 8 4,0 7,000

xi xi+1

E

∆x

yi

yi+1

Ferianto Raharjo Analisa Numerik Persamaan Diferensial – 3

Contoh 7.2: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = y.x

dengan kondisi awal y(2) = 2, dari x = 2 sampai x = 4 dan ∆x = 0,25. Penyelesaian:

i xi yi f(xi,yi) 0 2,00 2,000000 2,828427 1 2,25 2,707107 3,701990 2 2,50 3,632604 4,764848 3 2,75 4,823816 6,039877 4 3,00 6,333785 7,550104 5 3,25 8,221311 9,318669 6 3,50 10,550979 11,368795 7 3,75 13,393177 13,723759 8 4,00 16,824117

METODA HEUN Metoda Heun merupakan modifikasi dari metoda Euler. Modifikasi dilakukan dalam memperkirakan kemiringan Φ. Metoda ini memperkirakan dua turunan pada interval, yaitu pada ujung awal dan ujung akhir. Kedua turunan tersebut kemudian diratakan untuk mendapatkan perkiraan kemiringan yang lebih baik.

Gambar 7.2 Berdasarkan metoda Euler, kemiringan pada ujung awal interval, yi’ = f(xi, yi) (7.7) digunakan untuk ekstrapolasi linear ke nilai yi+1 yi+1

0 = yi + f(xi, yi).∆x (7.8)

Nilai yi+10 dari persamaan (7.8) digunakan untuk memperkirakan kemiringan

pada ujung akhir interval,

xi xi+1

∆x

yi’

yi+1’ 'y

Ferianto Raharjo Analisa Numerik Persamaan Diferensial – 4

yi+1’ = f(xi+1, yi+10) (7.9)

Kemudian dicari kemiringan rerata pada interval dari kedua kemiringan pada persamaan (7.7) dan (7.9).

2)y,x(f)y,x(f

2yy

'y0

1i1iii'

1i'i +++ +

=+

=

Kemiringan rerata tersebut kemudian digunakan untuk ekstrapolasi linear dari yi ke yi+1 dengan menggunakan metoda satu langkah,

yi+1 = yi + Φ.∆x = yi + 2

)y,x(f)y,x(f 01i1iii +++

.∆x (7.10)

Contoh 7.3: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = –2.x3 + 12.x2 – 20.x + 8,5

dengan kondisi awal y(0) = 1, dari x = 0 sampai x = 4 dan ∆x = 0,5. Penyelesaian:

i xi yi f(xi,yi) yi+10 f(xi+1,yi+1

0) 'y

0 0,0 1,0000 8,50 5,250 1,250 4,875 1 0,5 3,4375 1,25 4,063 -1,500 -0,125 2 1,0 3,3750 -1,50 2,635 -1,250 -1,375 3 1,5 2,6875 -1,25 2,063 0,500 -0,375 4 2,0 2,5000 0,50 2,750 2,250 1,375 5 2,5 3,1875 2,25 4,313 2,500 2,375 6 3,0 4,3750 2,50 5,625 -0,250 1,125 7 3,5 4,9375 -0,25 4,813 -7,500 -3,875 8 4,0 3,0000

Contoh 7.4: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = y.x

dengan kondisi awal y(2) = 2, dari x = 2 sampai x = 4 dan ∆x = 0,25. Penyelesaian:

i xi yi f(xi,yi) yi+10 f(xi+1,yi+1

0) 'y

0 2,00 2,0000 2,8284 2,7071 3,7020 3,2652 1 2,25 2,8163 3,7759 3,7603 4,8479 4,3119 2 2,50 3,8943 4,9335 5,1276 6,2272 5,5803 3 2,75 5,2894 6,3246 6,8705 7,8635 7,0941 4 3,00 7,0629 7,9728 9,0561 9,7803 8,8766 5 3,25 9,2820 9,9016 11,7574 12,0012 10,9514 6 3,50 12,0199 12,1344 15,0535 14,5495 13,3420 7 3,75 15,3553 14,6947 19,0290 17,4489 16,0718 8 4,00 19,3733

Ferianto Raharjo Analisa Numerik Persamaan Diferensial – 5

METODA EULER YANG DIMODIFIKASI (POLIGON YANG DIPERBAIKI) Dalam metoda ini, metoda Euler digunakan untuk memprediksi kemiringan nilai y pada titik tengah interval. Untuk itu pertama kali dihitung nilai

21iy + .

21iy + = yi + f(xi,yi).

2x∆

Kemudian nilai tersebut digunakan untuk mengestimasi kemiringan pada titik tengah interval,

= +++ 2

121

21 ii'

i y,xfy

Kemiringan tersebut merupakan perkiraan dari kemiringan rerata pada interval, yang kemudian digunakan untuk ekstrapolasi linear dari xi ke xi+1 dengan menggunakan metoda Euler,

yi+1 = yi +

++ 21

21 ii y,xf .∆x

Gambar 7.3 Contoh 7.5: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = –2.x3 + 12.x2 – 20.x + 8,5

dengan kondisi awal y(0) = 1, dari x = 0 sampai x = 4 dan ∆x = 0,5.

xi xi+1 ∆x

∆x 2

yi’

'y21i+

Ferianto Raharjo Analisa Numerik Persamaan Diferensial – 6

Penyelesaian:

i xi yi f(xi,yi) 21iy +

++ 21

21 ii y,xf

0 0,0 1,0000 8,50 3,125000 4,218750 1 0,5 3,1094 1,25 3,421875 -0,593750 2 1,0 2,8125 -1,50 2,437500 -1,656250 3 1,5 1,9844 -1,25 1,671875 -0,468750 4 2,0 1,7500 0,50 1,875000 1,468750 5 2,5 2,4844 2,25 3,046875 2,656250 6 3,0 3,8125 2,50 4,437500 1,593750 7 3,5 4,6094 -0,25 4,546875 -3,218750 8 4,0 3,0000

Contoh 7.6: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = y.x

dengan kondisi awal y(2) = 2, dari x = 2 sampai x = 4 dan ∆x = 0,25. Penyelesaian:

i xi yi f(xi,yi) 21iy +

++ 21

21 ii y,xf

0 2,00 2,0000 2,828427 2,353553 3,260025 1 2,25 2,8150 3,775046 3,286887 4,305821 2 2,50 3,8915 4,931697 4,507924 5,573366 3 2,75 5,2848 6,321892 6,075040 7,086184 4 3,00 7,0563 7,969137 8,052491 8,867785 5 3,25 9,2733 9,896928 10,510411 10,941671 6 3,50 12,0087 12,128757 13,524808 13,331332 7 3,75 15,3415 14,688107 17,177560 16,060255 8 4,00 19,3566

METODA RUNGE-KUTTA Metoda Runge-Kutta memberikan ketelitian hasil yang lebih besar dan tidak memerlukan turunan dari fungsi. Bentuk umum dari metoda Runge-Kutta adalah yi+1 = yi + Φ(xi,yi,∆x).∆x (7.11) dengan Φ(xi,yi, ∆x) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada interval. Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum Φ = a1.k1 + a2.k2 + ….. + an.kn (7.12) dengan a adalah konstanta dan k adalah: k1 = f(xi,yi) k2 = f(xi+p1.∆x, yi+q11.k1.∆x) k3 = f(xi+p2.∆x, yi+q21.k1.∆x+q22.k2.∆x) (7.13) M kn = f(xi+pn.∆x, yi+qn-1,1.k1.∆x+qn-1,2.k2.∆x+…..+ qn-1,n-1.kn-1.∆x)

Ferianto Raharjo Analisa Numerik Persamaan Diferensial – 7

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan. Ada beberapa tipe metoda Runge-Kutta yang tergantung pada nilai n yang digunakan. Untuk n = 1, yang disebut metoda Runge-Kutta orde satu,

Φ = a1.k1 = a1.f(xi,yi) untuk a1 = 1, maka yi+1 = yi + f(xi, yi).∆x

yang sama dengan metoda Euler. METODA RUNGE-KUTTA ORDE 2 Metoda Runge-Kutta orde 2 mempunyai bentuk yi+1 = yi + (a1.k1 + a2.k2).∆x (7.14) dengan k1 = f(xi,yi) k2 = f(xi+p1.∆x, yi+q11.k1.∆x) nilai a1, a2, p1 dan q11 dievaluasi dengan menyamakan persamaan (7.14) dengan deret Taylor orde 2, yang mempunyai bentuk

yi+1 = yi + f(xi,yi).∆x + f’(xi,yi).2x2∆

(7.15)

dengan f’(xi,yi) dapat ditentukan dari aturan rantai (chain rule)

f’(xi,yi) = xy

yf

xf

∂∂

∂∂

+∂∂

(7.16)

Substitusi persamaan (7.16) ke persamaan (7.15)

yi+1 = yi + f(xi,yi).∆x +

∂∂

∂∂

+∂∂

xy

yf

xf

.2x2∆

(7.17)

Di dalam metoda Runge-Kutta ini dicari nilai a1, a2, p1 dan q11 sedemikian sehingga persamaan (7.14) ekivalen dengan persamaan (7.17). Untuk itu digunakan deret Taylor untuk mengembangkan k2. Deret Taylor untuk fungsi dengan dua variabel,

g(x+r,y+s) = g(x,y)+r.xg

∂∂

+s. yg

∂∂

+…..

Dengan cara tersebut persamaan k2 dapat ditulis dalam bentuk

f(xi+p1.∆x+q11.k1.∆x) = f(xi,yi)+p1.∆x.xf

∂∂

+q11.k1.∆xyf

∂∂

+0(∆x2)

Bentuk di atas dan persamaan k1 disubstitusikan ke persamaan (7.14),

yi+1=yi+[a1.f(xi,yi)+a2.f(xi,yi)].∆x+

∂∂

+∂∂

yf

).y,x(f.q.axf

.p.a ii11212 .∆x2+0(∆x2)

(7.18) Dengan membandingkan persamaan (7.17) dan (7.18) dapat disimpulkan bahwa kedua persamaan akan ekivalen jika, a1 + a2 = 1 a2.p1 = ½ (7.19) a2.q11 = ½

Ferianto Raharjo Analisa Numerik Persamaan Diferensial – 8

Sistem persamaan di atas mengandung 4 bilangan yang tidak diketahui, sehingga tidak bisa diselesaikan. Untuk itu salah satu bilangan yang tidak diketahui ditentukan, dan kemudian dicari ketiga bilangan lainnya. Dianggap a2 ditetapkan, sehingga persamaan (7.19) dapat diselesaikan,

a1 = 1 – a2

p1 = q11 = 2a.2

1

Karena nilai a2 dapat dipilih sembarang, maka akan terdapat banyak metoda Runge-Kutta orde 2. METODA HEUN Apabila a2 dianggap ½, maka a1 = ½ dan p1 = q11 = 1. Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke persamaan (7.14) akan menghasilkan yi+1 = yi + (½.k1 + ½.k2).∆x (7.20) dengan k1 = f(xi,yi) k2 = f(xi+∆x, yi+k1.∆x) dengan k1 adalah kemiringan pada awal interval dan k2 adalah kemiringan pada akhir interval. Dengan demikian metoda Runge-Kutta orde 2 ini sama dengan metoda Heun. Contoh 7.7: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = –2.x3 + 12.x2 – 20.x + 8,5

dengan kondisi awal y(0) = 1, dari x = 0 sampai x = 4 dan ∆x = 0,5. Penyelesaian:

i xi yi k1 k2 0 0,0 1,0000 8,50 1,25 1 0,5 3,4375 1,25 -1,50 2 1,0 3,3750 -1,50 -1,25 3 1,5 2,6875 -1,25 0,50 4 2,0 2,5000 0,50 2,25 5 2,5 3,1875 2,25 2,50 6 3,0 4,3750 2,50 -0,25 7 3,5 4,9375 -0,25 -7,50 8 4,0 3,0000

Contoh 7.8: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = y.x

dengan kondisi awal y(2) = 2, dari x = 2 sampai x = 4 dan ∆x = 0,25.

Ferianto Raharjo Analisa Numerik Persamaan Diferensial – 9

Penyelesaian: i xi yi k1 k2 0 2,00 2,0000 2,828427 3,701990 1 2,25 2,8163 3,775914 4,847861 2 2,50 3,8943 4,933479 6,227183 3 2,75 5,2894 6,324615 7,863498 4 3,00 7,0629 7,972819 9,780327 5 3,25 9,2820 9,901579 12,001177 6 3,50 12,0199 12,134384 14,549543 7 3,75 15,3553 14,694713 17,448910 8 4,00 19,3733

METODA POLIGON YANG DIPERBAIKI Apabila a2 dianggap 1, maka a1 = 0 dan p1 = q11 = ½. Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke persamaan (7.14) akan menghasilkan yi+1 = yi + k2.∆x (7.21) dengan k1 = f(xi,yi) k2 = f(xi+½.∆x, yi+½.k1.∆x) Contoh 7.9: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = –2.x3 + 12.x2 – 20.x + 8,5

dengan kondisi awal y(0) = 1, dari x = 0 sampai x = 4 dan ∆x = 0,5. Penyelesaian:

i xi yi k1 k2 0 0,0 1,0000 8,50 4,2188 1 0,5 3,1094 1,25 -0,5938 2 1,0 2,8125 -1,50 -1,6563 3 1,5 1,9844 -1,25 -0,4688 4 2,0 1,7500 0,50 1,4688 5 2,5 2,4844 2,25 2,6563 6 3,0 3,8125 2,50 1,5938 7 3,5 4,6094 -0,25 -3,2188 8 4,0 3,0000

Contoh 7.10: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = y.x

dengan kondisi awal y(2) = 2, dari x = 2 sampai x = 4 dan ∆x = 0,25.

Ferianto Raharjo Analisa Numerik Persamaan Diferensial – 10

Penyelesaian: i xi yi k1 k2 0 2,00 2,0000 2,828427 3,260025 1 2,25 2,8150 3,775046 4,305821 2 2,50 3,8915 4,931697 5,573366 3 2,75 5,2848 6,321892 7,086184 4 3,00 7,0563 7,969137 8,867785 5 3,25 9,2733 9,896928 10,941671 6 3,50 12,0087 12,128757 13,331332 7 3,75 15,3415 14,688107 16,060255 8 4,00 19,3566

METODA RALSTON Apabila a2 dianggap 2/3, maka a1 = 1/3 dan p1 = q11 = 3/4. Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke persamaan (7.14) akan menghasilkan yi+1 = yi + (1/3.k1 + 2/3.k2).∆x (7.22) dengan k1 = f(xi,yi) k2 = f(xi+3/4.∆x, yi+3/4.k1.∆x) Contoh 7.11: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = –2.x3 + 12.x2 – 20.x + 8,5

dengan kondisi awal y(0) = 1, dari x = 0 sampai x = 4 dan ∆x = 0,5. Penyelesaian:

i xi yi k1 k2 0 0,0 1,0000 8,50 2,5820 1 0,5 3,2773 1,25 -1,1523 2 1,0 3,1016 -1,50 -1,5117 3 1,5 2,3477 -1,25 0,0039 4 2,0 2,1406 0,50 1,8945 5 2,5 2,8555 2,25 2,6602 6 3,0 4,1172 2,50 0,8008 7 3,5 4,8008 -0,25 -5,1836 8 4,0 3,0313

Contoh 7.12: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = y.x

dengan kondisi awal y(2) = 2, dari x = 2 sampai x = 4 dan ∆x = 0,25.

Ferianto Raharjo Analisa Numerik Persamaan Diferensial – 11

Penyelesaian: i xi yi k1 k2 0 2.00 2.0000 2.828427 3.479659 1 2.25 2.8156 3.775474 4.575459 2 2.50 3.8928 4.932573 5.898865 3 2.75 5.2870 6.323228 7.473408 4 3.00 7.0595 7.970939 9.322602 5 3.25 9.2776 9.899199 11.469950 6 3.50 12.0141 12.131499 13.938945 7 3.75 15.3483 14.691320 16.753071 8 4.00 19.3647

METODA RUNGE-KUTTA ORDE 3 Metoda Runge-Kutta orde 3 diturunkan dengan cara yang sama dengan orde 2 untuk nilai n=3. Hasilnya adalah 6 buah persamaan dengan 8 bilangan yang tidak diketahui. Oleh karena itu 2 bilangan tidak diketahui harus ditetapkan untuk mendapatkan 6 bilangan tidak diketahui lainnya. Hasil yang biasa digunakan adalah yi+1 = yi + 1/6.(k1 + 4.k2 + k3).∆x (7.23) dengan k1 = f(xi,yi) k2 = f(xi+1/2.∆x, yi+1/2.k1.∆x) k3 = f(xi+∆x, yi–k1.∆x+2.k2.∆x) Contoh 7.13: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = –2.x3 + 12.x2 – 20.x + 8,5

dengan kondisi awal y(0) = 1, dari x = 0 sampai x = 4 dan ∆x = 0,5. Penyelesaian:

i xi yi k1 k2 k3 0 0,0 1,0000 8,50 4,2188 1,25 1 0,5 3,2188 1,25 -0,5938 -1,50 2 1,0 3,0000 -1,50 -1,6563 -1,25 3 1,5 2,2188 -1,25 -0,4688 0,50 4 2,0 2,0000 0,50 1,4688 2,25 5 2,5 2,7188 2,25 2,6563 2,50 6 3,0 4,0000 2,50 1,5938 -0,25 7 3,5 4,7188 -0,25 -3,2188 -7,50 8 4,0 3,0000

Ferianto Raharjo Analisa Numerik Persamaan Diferensial – 12

Contoh 7.14: Selesaikan persamaan

=dxdy

f(x,y) = y.x

dengan kondisi awal y(2) = 2, dari x = 2 sampai x = 4 dan ∆x = 0,25. Penyelesaian:

i xi yi k1 k2 k3 0 2,00 2,0000 2,828427 3,260025 3,846714 1 2,25 2,8215 3,779376 4,310406 5,019853 2 2,50 3,9065 4,941219 5,583392 6,427530 3 2,75 5,3108 6,337403 7,102439 8,093128 4 3,00 7,0958 7,991371 8,890996 10,040046 5 3,25 9,3289 9,926567 10,972509 12,291696 6 3,50 12,0834 12,166432 13,370422 14,871498 7 3,75 15,4384 14,734407 16,108174 17,802877 8 4,00 19,4788