Aneh Lag Bab 3tak Mw Diprint

7/31/2019 Aneh Lag Bab 3tak Mw Diprint

1/28

39

BAB III

METODE WAVELET THRESHOLDING UNTUK DATA RUNTUN

WAKTU

3.1. Analisis Runtun Waktu Menggunakan Wavelet Thresholding

Misalkan data runtun waktu membentuk model yang akan dilakukanTransformasi Wavelet Diskrit. dinyatakan sebagai hasil estimasi data dan adalah residual yang berdistribusi IID dengan mean nol. adalah matriksorthonormal yang disebut filter yang digunakan untuk mencari koefesienwavelet, yang ditunjukkan adalah vektor kolom dengan panjang , dengan koefesien vektor wavelet dan adalahkoefisien DWT level ke elemen ke pada { , kemudian

maka (3.1.1)Dengan adalah element ke dari masing-masing dan

. Jika dan dilakukan perbandingan kuadrat terhadap dan harusmemenuhi : |||||| ||||||.

Untuk mengestimasi (thresholding) dengan mengikuti pola persamaan(2.6.1) maka diperoleh:

(3.1.3)Dari persamaan (2.6.1) menyatakan pendefinisian koefisien dari detail

dan

koefisien dari aproksimasi dengan dan ,maka dapatdituliskan :

(3.1.4)yang menggambarkan analisis multiresolusi (MRA) , yaitu mendefinisikanderet sebagai jumlah dari sebuah konstanta vektor dan jumlahan koefisien

dengan

.


2/28

40

3.1.1. Langkah-langkah Thresholding

Skema thresholding untuk mengestimasi fungsi D terdiri dari tiga langkah dasar

yaitu:

1.Dihitung koefisien wavelet melalui Transformasi Wavelet Diskrit (DWT)yaituWX.

2.Dibentuk koefisien thresholding W(t), dilakukan sesuai fungsi yangdiinginkan (fungsi soft atau hard thresholding)

3.Diestimasi D melalui TW(t) atau invers dari koefisien DWT yangtelah dithresholding.

3.1.2.Fungsi ThresholdingAda dua jenis fungsi thresholding yaitu:

a. Hard ThresholdingDimana koefisien thresholding menjadi dengan elemennya :

(3.1.5)b.Soft Thresholding

Dimana koefisien thresholding menjadi dengan elemennya : {} (3.1.6)dengan

= ;

merupakan parameter thresholding.

(Percival dan Walden,2000)Visualisasi fungsi Hard Thresholding dan Soft Thresholding dapat dilihat

pada gambar berikut:


3/28

41

a.Plot data Asli b. Plot Hard Thresholding c. Plot Soft ThresholdingGambar 3.1.1. Contoh Plot Hard dan Soft Thresholding

Fungsi Hard thresholding lebih dikenal karena terdapat diskontinyudalam fungsi thresholding sehingga nilai yang berada di atas threshold tidakdisentuh dengan prinsip mereduksi semua koefesien menjadi nol yang nilainya

lebih kecil dari threshold. Sebaliknya, fungsi soft thresholding kontinyuyaitu sejak nilai berada diatas threshold . Motivasi penggunaan softthresholding berasal dari prinsip bahwa noise mempengaruhi seluruh koefisien

wavelet. Juga kekontinyuan dari fungsi soft thresholding membuat kondisi yang

lebih baik untuk alasan statistik.

(Ogden,1997)

3.1.3. Pemilihan Parameter Thresholding

Pada estimasi fungsi dengan metode wavelet thresholding, tingkat kemulusan

estimator ditentukan oleh level resolusi , fungsi thresholding dan parameterthreshold . Namun pemilihan level dan fungsi threshold tidak sedominanpemilihan parameter . Nilai yang terlalu kecil memberikan estimasi fungsiyang sangat tidak mulus (under smooth) sedangkan nilai yang terlalu besarmemberikan estimasi yang sangat mulus (over smooth). Oleh karena itu perlu

dipilih parameter threshold yang optimal untuk mendapatkan fungsi yang optimal.

Untuk memilih nilai threshold optimal, ada dua kategori pemilihan yaitu

memilih satu harga threshold untuk seluruh level resolusi (pemilihan secara

global) dan pemilihan threshold yang tergantung pada level resolusi.

1.Global ThresholdingGlobal thresholding berarti memilih satu nilai parameter thresholding yangdigunakan untuk seluruh level resolusi

. Ogden (1997) memberikan dua

2 4 6 8 10

-6

-4

-2

0

2

4

6

x

origin

signal

2 4 6 8 10

-6

-4

-2

0

2

4

6

x

hard

thresholding

2 4 6 8 10

-6

-4

-2

0

2

4

6

x

softthresholding


4/28

42

pemilihan threshold yang hanya bergantung pada banyaknya data pengamatan

Nyaitu :

a. Minimax ThresholdSebuah threshold optimal dapat diperoleh berdasarkan ukuran sampel disebut dengan minimax threshold , telah ditabelkan oleh Donoho danJohnstone (1994) sebagai berikut :

Tabel 3.1.1. Nilai Threshold Minimax

N N 2

4

8

16

32

64

128

256

0

0

0

1,200

1,270

1,474

1,669

1,860

512

1024

2048

4096

8192

16384

32768

65536

2,074

2,232

2,414

2,594

2,773

2,952

3,131

3,310

(Ogden,1997)

b.Universal ThresholdMerupakan alternatif lain dalam global thresholding yang digunakan untuk

memilih parameter thresholding, Donoho dan Jhonstons (1994) menyarankan

menggunakan parameter universal threshold jika residual berdistribusiGaussian (IID) multivariate dengan mean nol dan kovarian atau. adalah vektor elemen ke-l dari residual dari persamaan(3.1.1) berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi konstan yaitu : dan ketika , (3.1.6)

Untuk mengecek apakah residual mengikuti proses Gaussian maka

dilakukan Uji Normalitas Residual, Uji Indepedensi Residual, Uji Homogenitas

Variansi. Uji Normalitas Residual digunakan Uji Kolmogorov Smrinov seperti

pada materi ARIMA dan untuk uji homogenitas Variansinya digunakan Uji

Korelasi Rank Spearman yaitu:

Uji Hipotesis :

H0 : Variansi residual konstan

H1 : Variansi residual tidak konstan

Taraf Signifikansi :


5/28

43

Statistik Uji :

.Keterangan : nilai korelasi Rank Spearman selisih antara ranking dengan ranking nilai mutlak || ukuran sampelKriteria Uji :

H0 ditolak jika atau P-value Parameter optimal yang disarankan oleh Donoho dan Jhonston yaitu universalthreshold sebagai berikut :

(3.1.7) harus diestimasi dari data melalui dan adalah ukuran sampel.Ogden (1997) memberikan estimasi berdasarkan koefisien wavelet empiris

pada level resolusi tertinggi

(koefesien wavelet level pertama) dengan

fungsi Median Deviasi Absolut (MAD) yaitu: {} (3.1.8)Jika ukuran sampel (N) besar mengakibatkan variansi sama dengan satu,

maka pemilihan parameter universal threshold adalah .(Percival dan Walden, 2000)

2.Level-Dependent ThresholdingLevel-dependent thresholding berarti memilih parameter bergantung levelresolusi dengan demikian ada kemungkinan perbedaan nilai threshold yang dipilih untuk tiap level resolusi. Jika model (3.3.1) residual tidakberdistribusi Gaussian (non-IID) multivariate dan sebuah merupakan vektorke dari residual dengan variansi tidak konstan dan tidak independen makaparameter threshold optimal yang digunakan adalah Adaptive Threshold.Pemilihan threshold ini didasarkan pada prinsip untuk meminimalkan Stein


6/28

44

Unbiased Risk Estimator (SURE) pada suatu level resolusi. Threshold adapt

untuk himpunan koefisien detail yang beranggotakan koefisiendidefinisikan sebagai :

(3.1.9)dengan

Keterangan : = jumlah koefesien Wavelet pada masing-masing level resolusi

= parameter yang dicoba-coba dalam rentang tertentu

= koefesien Wavelet pada masing-masing level resolusi(Antoniadis dan Bigot, 2003)


7/28

45

3.2.Perbandingan Analisis Data Runtun Waktu antara ARIMA dan WaveletThresholding

Dalam tugas akhir ini akan dilakukan perbandingan analisis data runtun waktu

antara metode ARIMA dan Wavelet Thresholding, Langkah-langkah penyelesaian

kedua metode dapat dijelaskan dalam diagram alir berikut :

a. Diagram alir atau flowchart penyelesaian masalah dengan metode ARIMA

Gambar 3.2.1 Diagram Alir Pengolahan Data dengan Metode ARIMA

Start

Data

Plot Time Series, ACF, PACF

dan Dickey Fuller

Tidak

Differensi atau

Transformasi

Stasioner

Ya

Identifikasi Model

Estimasi Parameter Model

Verifikasi Model

Model dengan

MSE terkecil

End


8/28

46

b. Diagram alir atau flowchart penyelesaian masalah dengan metode waveletthresholding

Gambar 3.2.2 Diagram Alir Pengolahan Data dengan Wavelet Thresholding

Setelah diperoleh hasil terbaik dari metode ARIMA dan Wavelet Thresholding,

kemudian dibandingkan kedua MSE-nya untuk memilih estimasi yang terbaik.

Start

Data

Plot Time Series

Transformasi Wavelet

Diskrit

Thresholding

Pemilihan Fungsi

Thresholding

Pemilihan Parameter

Threshold

Invers Hasil

Hasil Estimasi dengan

End


9/28

47

3.3. Contoh PenerapanPada contoh ini digunakan data bulanan tingkat berat ekspor Indonesia dalam

miliar ton dari bulan Januari 2001 sampai September 2011 yang diperoleh dari

situswww.bps.go.id, terdapat pada lampiran 1. Dengan jumlah yaitu sebanyak128 data observasi sehingga j maksimal = 7.3.3.1. Analisis Data Runtun Waktu dengan Metode ARIMA

3.3.1.1. Uji Stasioneritas

Berdasarkan plot time series yang terdapat pada Lampiran 3 terlihat bahwa

data belum stasioner karena mean dan variannya belum konstan. Selain itu juga

dapat dilihat dari Plot Fungsi Autokorelasi garis-garis lagnya menurun secara

eksponensial dan Plot Fungsi Autokorelasi Parsial menunjukkan bahwa ada lag

yang muncul mendekati nilai satu maka dikatakan data belum stasioner.

Uji stasioneritas secara visual cenderung sangat lemah maka perlu

dilakukan uji akar unit Dickey-Fuller dengan bantuan EVIEWS seperti terlihat

dalamLampiran 3. Analisis uji Dickey-Fuller sebagai berikut :

Uji Hipotesis :

H0 : (data tidak stasioner)H1 : (data stasioner)Taraf Signifikansi : Statistik Uji:

0.148872

se

-

Atau nilai Probabilitas

Kriteria Uji :

H0 ditolak jika < nilai statistik DF atau nilai probabilitas Kesimpulan :Dari output uji root Dickey-Fuller diperoleh atau maka H0 diterima. Jadidapat disimpulkan bahwa secara formal data belum stasioner.
http://www.bps.go.id/http://www.bps.go.id/http://www.bps.go.id/http://www.bps.go.id/


10/28

48

Langkah selanjutnya adalah melakukan differensi data satu kali dan

uji stasioneritas kembali baik secara visual maupun formal. Setelah data

didifferensi terlihat pada plot time series pada Lampiran 3 data sudah stasioner

karena mean dan variannya konstan. Selain itu dapat dilihat juga dari plot Plot

Fungsi Autokorelasi dan Plot Fungsi Autokorelasi Parsial menunjukkan bahwa

terdapat lag yang muncul di atas garis standar error maka dikatakan data

stasioner.

Uji stasioneritas secara formal perlu dilakukan untuk mengecek asumsi

stasioneritas data seperti dalam Lampiran 3. Analisis uji Dickey-Fuller

sebagai berikut :

Uji Hipotesis :

H0 : (data tidak stasioner)H1 : (data stasioner)Taraf Signifikansi : Statistik Uji:

-12.94082

se

-

Atau nilai Probabilitas Kriteria Uji :H0 ditolak jika nilai statistik DF atau nilai probabilitas Kesimpulan :

Dari output uji root Dickey-Fuller diperoleh ( 12.94082) atau maka H0 ditolak. Jadidapat disimpulkan bahwa secara formal data sudah stasioner.

Untuk mengetahui apakah model ARIMA yang sesuai dapat dilihat pada

Plot Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial dari data yang sudah

didifferensikan. Dari Plot Fungsi Autokorelasi, rk melebihi batas standar error

terdapat satu lag, sehingga terlihat model MA (1). Sedangkan pada Plot Fungsi

Autokorelasi Parsial, rk muncul tiga buah lag yang melebihi batas standar

error, sehingga terlihat model AR (4).


11/28

49

3.3.1.2.Identifikasi Model

Sehingga identifikasi model awal yang terbentuk adalah ARIMA (4,1,0), ARIMA

(0,1,1), dan ARIMA (4,1,1). Sebelum mengetahui model mana yang terbaik

terlebih dahulu dilakukan overfit atau underfit terhadap semua model antara lain :

ARIMA (3,1,1), ARIMA (3,1,0),ARIMA (2,1,1), ARIMA (2,1,0), ARIMA

(1,1,1), ARIMA (1,1,0).

3.3.1.3.Estimasi Parameter

Setelah kita melakukan identifikasi model maka tahap berikutnya adalah estimasi

model. Estimasi model ini dilakukan untuk menguji apakah koefisien parameter

signfikan atau tidak.

Uji Siginifikansi Parameter

Uji Hipotesis :

H0 : Parameter tidak siginifikan terhadap model

H1 : Parameter siginifikan terhadap model

Taraf Signifikansi : Statistik Uji :

atau P-valueKriteria Uji :

Tolak H0 jika > atau P-value < Dengan n = jumlah pengamatan dan s = jumlah parameter.

Keputusan :

Berdasarkan output Final Estimates of Parameters dapat disajikan dalam

tabel sebagai berikut :


12/28

50

Tabel 3.3.1 Uji Siginifikansi untuk Model Runtun WaktuDifferensi Pertama

Model Nilai P-value Keputusan

ARIMA (4,1,1)

1 = 0.190

2 = 0.1043 = 0.331

4 = 0.081

1 = 0.694

c = 0.151

H0 diterima

H0 diterimaH0 diterima

H0 diterima

H0 diterima

H0 diterima

ARIMA (4,1,0)

1 = 0.000

2 = 0.000

3 = 0.190

1 = 0.104

c = 0.140

H0 ditolak

H0 ditolak

H0 diterima

H0 diterima

H0 diterima

ARIMA (3,1,1)

1 = 0.256

2 = 0.244

3 = 0.602

1 = 0.497

c = 0.240

H0 diterima

H0 diterima

H0 diterima

H0 diterima

H0 diterima

ARIMA (3,1,0)

1 = 0.000

2 = 0.000

3 = 0.553

c = 0.2090

H0 ditolak

H0 ditolak

H0 diterima

H0 diterima

ARIMA (2,1,1)

1 = 0.399

2 = 0.164

1= 0.169

c = 0.165

H0 diterima

H0 diterima

H0 diterima

H0 diterima

ARIMA (2,1,0)

1 = 0.000

2 = 0.000

c = 0.231

H0 ditolak

H0 ditolak

H0 diterima

ARIMA (1,1,1)1 = 0.7351= 0.000

c = 0.118

H0 diterimaH0 ditolak

H0 diterima

ARIMA (1,1,0)1 = 0.000

c = 0.364

H0 ditolak

H0 diterima

ARIMA (0,1,1)1= 0.000

c = 0.129

H0 ditolak

H0 diterima


13/28

51

Kesimpulan :

Berdasarkan tabel 3.3.1. dapat diperoleh model terbaiknya yaitu : model

ARIMA (2,1,0), ARIMA (1,1,0), dan ARIMA (0,1,1) dengan masing-

masing konstanta tidak signifikan sehingga dibentuk model baru tanpa

konstannya yaitu model ARIMA (2,1,0) tanpa konstan, ARIMA (1,1,0)

tanpa konstan, dan ARIMA (0,1,1) tanpa konstan yang akan dilakukan

verifikasi modelnya.

3.3.1.3.Verifikasi ModelSetelah mengestimasi model dan melakukan uji signifikansi parameter maka

langkah selanjutnya adalah melakukan uji diagnostik. Dalam suatu runtun

waktu, residual yang dihasilkan oleh model yang signifikan harus mengikuti

proses white noise. Proses white noise merupakan proses stasioner. Proses

dimana artinya residual independen berdistribusi normaldengan mean 0 dan variansi konstan. Untuk mengetahui apakah residual

mengikuti proses white noise maka dilakukan pengujian sebagai berikut :

1. Uji Normalitas Residual.Berdasarkan pada Lampiran 6 maka dapat dikatakan residual semua model

berdistribusi normal karena residual tersebar mengikuti pola garis lurus

sehingga asumsi normalitas residual terpenuhi. Uji secara visual cenderung

lemah sehingga perlu dilakukan uji secara formal yaitu dengan menggunakan

Uji Kolmogorov-Smirnov berikut :

Uji Hipotesis :

H0 : Residual berdistribusi normal

H1 : Residual tidak berdistribusi normalTaraf Signifikansi : Statistik Uji :

D=sup | | atau P-valueKriteria Uji :

Tolak H0 jika atau P-value < Keputusan :


14/28

52

Tabel 3.3.2. Uji Normalitas Residual

Model P-value Keputusan

ARIMA (2,1,0) 0.131 H0 diterima

ARIMA (2,1,0) tanpa konstan 0.030 H0 ditolak

ARIMA (1,1,0) 0.010 H0 ditolak


ARIMA (0,1,1) 0.045 H0 ditolak


Kesimpulan :

Berdasarkan tabel 3.3.2. dari ketiga model tersebut yang memenuhi

asumsi normalitas residual hanya ARIMA (2,1,0) dengan konstan

sehingga dilakukan analisis lebih lanjut untuk model tersebut..

2. Uji Independensi ResidualUji Hipotesis :

H0 : Tidak ada korelasi antar lag (residual independen)

H1 : Ada korelasi residual antar lag (residual dependen)

Taraf Signifikansi : Statistik Uji : Kriteria Uji :

H0 ditolak jika atau P-value dengan m=lag maksimum dan s = jumlah parameter yang diestimasi.

Keputusan :

Tabel 3.3.3. Uji Independensi Residual

Model Lag Df P-value KeputusanARIMA

(2,1,0)

12 9 10.1 0.340 H0 diterima

24 21 27.5 0.154 H0 diterima

36 33 41.9 0.137 H0 diterima

48 45 48.9 0.318 H0 diterima


15/28

53

Kesimpulan

Berdasarkan tabel 3.3.3. model ARIMA (2,1,0) memenuhi asumsi

independensi residual, artinya tidak ada korelasi antar lag.

3.3.1.4. Pemilihan Model ARIMA Terbaik

Dari output E-Views 4 dan minitab, setelah dilakukan analisis dengan beberapa

uji asumsi maka data tingkat eksport Indonesia dalam miliar ton memiliki model

terbaik ARIMA (2,1,0) dengan MSE 3.3.2. Analisis Data Runtun Waktu dengan Metode Wavelet Thresholding

Diketahui bahwa data Tingkat Ekspor Indonesia dari bulan Januari 2001 sampai

dengan September 2011 bahwa tidak stasioner (pada analisis sebelumnya). Data

tersebut bisa langsung dianalisis dengan metode wavelet karena dalam metode

wavelet tidak memerlukan asumsi-asumsi yang harus dipenuhi seperti metode

klasik.

Wavelet merupakan alat matematika yang menjadi alternatif untuk analisis

time series. Keunggulan dari analisis wavelet adalah mampu menganalisis data

menjadi komponen yang memiliki frekuensi berbeda melalui translasi

(pergeseran) dan dilatasi (penskalaan) dengan cara mendekomposisikan data.

Sehingga wavelet mampu menyederhanakan dan mengurangi noise (gangguan)

tanpa memperlihatkan penurunan mutu data.

Dalam tugas akhir ini analisis data digunakan metode wavelet

thresholding, seperti telah dijelaskan sebelumnya, data yang tak stasioneritas

tersebut dilakukan DWT (Transformasi Wavelet Diskrit). Di sini filter yang

digunakan dari keluarga orthogonal Daubechies dengan panjang bandwitch 4biasa ditulis dengan . Digunakan data sebanyak atau , dengan levelmaksimal yaitu , namun level yang digunakan hanya sampai level ke-6 , sehingga menghasilkan koefisien DWT yaitu: . (dapat dilihat pada lampiran 7)

Estimasi dengan fungsi soft dan hard thresholding, untuk parameter

threshold (batas ambang) optimalnya yaitu universal threshold, minimax

threshold, adaptive threshold.


16/28

54

Parameter threshold yang digunakan telah optimal sesuai metodenya yang

memiliki kelebihan dan kelemahan masing-masing. Tetapi tugas akhir ini ketiga

metode pemilihan threshold yang disebutkan akan dicobakan, untuk mencari

parameter mana yang terbaik untuk kasus yang diangkat dengan ukuran ketepatan

MSE(Mean Square Error).

Berikut penyelesaian masalah dengan menggunakan tiga metode

pemilihan parameter threshold () optimal tersedia dalam Software R dengan

package wmtsa :

1.Minimax ThresholdPada tugas akhir ini data yang digunakan adalah

sehingga parameter

optimal dengan metode minimax threshold adalah yang diperolehdari tabel 3.1.1. digunakan pada semua level resolusi dan metode ini tidakmensyaratkan data berdistribusi Gaussian atau tidak sehingga dapat langsung

diestimasi sebagai berikut (program terdapat pada lampiran 8):

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

Soft Minimax Level 1

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

Hard Minimax Level 1

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50


0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50


0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50


0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50



17/28

55

Gambar 3.3.1. Plot Soft dan Hard Thresholding Minimax Level Resolusi 1

Sampai 6

Keterangan : : Plot Data asli

: Hasil Thresholding

Tabel 3.3.4. Nilai MSE pada Tiap Fungsi dan Level Thresholding

Level Resolusi Fungsi Thresholding MSE

Pertamasoft 3.918186

hard 4.071956

Keduasoft 5.694302

hard 6.153827

Ketigasoft 7.362951

hard 7.979811

Keempat soft 7.334119hard 7.566342

Kelimasoft 8.2824

hard 8.602822

Keenamsoft 8.748088

hard 7.821032

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50


0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50


0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50


0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50


0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50


0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50



18/28

56

Dari gambar 3.3.1 dengan parameter minimax dengan fungsi soft dan hard

thresholding, pada level resolusi yang berbeda, dapatdiketahui estimasi wavelet

thresholding yang paling mendekati dengan plot data aslinya adalah pada

) yang merupakan estimasi pertama dari soft thresholding dianggapsebagai yang terbaik dan memiliki MSE yang terkecil yaitu 3.918186.2.Universal ThresholdParameter optimal dengan metode universal threshold adalah :

=

Keterangan : diestimasi dari {} Parameter universal threshold digunakan jika residual dari hasil estimasi

berdistribusi Gaussian pada persamaan (3.1.1) asumsi normalitas, independensi

dan variansi konstan harus dipenuhi. Untuk mengetahui apakah residual

mengikuti proses Gausian maka dilakukan pengujian sebagai berikut :

a.Uji Normalitas Residual.Berdasarkan pada Lampiran 9 dengan Uji Kolmogorov-Smirnov dilakukan

uji normalitas residual pada masing-masing level resolusi untuk mengetahuiapakah parameter universal ini bisa digunakan atau tidak sebagai berikut :

Uji Hipotesis :

H0 : Residual berdistribusi normal

H1 : Residual tidak berdistribusi normal

Taraf Signifikansi : Statistik Uji :D=sup | | atau P-valueKriteria Uji :

Tolak H0 jika atau P-value Keputusan :


19/28

57

Tabel 3.3.5. Uji Normalitas Residual

Level Resolusi Fungsi P-value Keputusan

Pertama

soft 0.03184 H0 ditolak

hard 0.05213 H0 diterima

Keduasoft 0.3886 H0 diterima


Ketigasoft 0.9647 H0 diterima


Keempatsoft 0.607 H0 diterima


Kelimasoft 0.1612 H0 diterima


Keenamsoft 0.06265 H0 diterima


Kesimpulan :

Berdasarkan tabel 3.3.5. semua level resolusi telah memenuhi asumsi

normalitas residual kecuali pada resolusi pertama dengan fungsi soft

thresholding.

b. Uji Independensi ResidualUji Hipotesis :

H0 : Tidak ada korelasi antar lag (residual independen)

H1 : Ada korelasi residual antar lag (residual dependen)

Taraf Signifikansi :

Statistik Uji : Kriteria Uji :

H0 ditolak jika atau P-value dengan m=lagmaksimum dan s = jumlah parameter yang diestimasi.

Keputusan :


20/28

58

Tabel 3.3.6 Uji Independensi Residual

Level Resolusi Fungsi Lag P-value Keputusan

Pertama

SoftThresholding

12

H0 ditolak

24 H0 ditolak36 H0 ditolak48 H0 ditolak

Hard

Thresholding

12 8.7 H0 ditolak24 4.9 H0 ditolak36 9.3 H0 ditolak48 3.4 H0 ditolak

Kedua

SoftThresholding

12 H0 ditolak24

H0 ditolak

36 H0 ditolak48 0.00062 H0 ditolakHard

Thresholding

12 H0 ditolak24 H0 ditolak36 6. H0 ditolak48 H0 ditolak

Ketiga

SoftThresholding

12 H0 diterima24

H0 diterima

36 H0 diterima48 H0 diterimaHard

Thresholding

12 H0 diterima24 H0 diterima36 H0 diterima48 H0 diterima

Keempat

Soft

Thresholding

12 0.005951 H0 ditolak

24

H0 ditolak

36 H0 ditolak48 H0 ditolakHard

Thresholding

12 H0 diterima24 0.05222 H0 diterima

36 0.06422 H0 diterima


Soft

Thresholding

12 0.000627 H0 ditolak

24 0.003978 H0 ditolak

36

H0 ditolak

48 0.0006228 H0 ditolak


21/28

59

Kelima

Hard

Thresholding




48 0.1569 H0

diterima

Keenam

Soft

Thresholding

12 H0 ditolak24 H0 ditolak36 H0 ditolak48 2 H0 ditolak

Hard

Thresholding





Kesimpulan

Berdasarkan tabel 3.3.6. diketahui pada fungsi soft thresholding pada

level resolusi ketiga dan fungsi hard thresholding pada level resolusi

ketiga,keempat, kelima dan keenam memenuhi asumsi independensi

residual sedangkan sisanya tidak memenuhi.

c. Uji Homogenitas VariansiBerdasarkan padaLampiran 9 dengan Uji Rank Korelasi Spearman dilakukan

uji homogenitas variansi (variansi konstan) sebagai berikut :Uji Hipotesis :

H0 : Variansi residual konstan

H1 : Variansi residual tidak konstan

Taraf Signifikansi : Statistik Uji :

Kriteria Uji :

H0 ditolak jika atau P-value Keputusan


22/28

60

Tabel 3.3.7. Uji Variansi Konstan

Level Resolusi Fungsi P-value Keputusan

Pertamasoft

H0 ditolak

hard H0 ditolakKedua soft H0 ditolakhard H0 ditolak

Ketigasoft 2.7 H0 ditolakhard 2.7 H0 ditolak

Keempatsoft 1.7 H0 ditolakhard 9.6 H0 ditolak

Kelimasoft 2.5 H0 ditolakhard 6.9

H0 ditolak

Keenam soft 2.2 H0 ditolakhard 2.1 H0 ditolakKesimpulan

Berdasarkan tabel 3.3.6 diketahui semua level resolusi dengan fungsi soft

maupun hard thresholding variansinya tidak konstan.

Setelah residual dianalisis untuk mengetahui apakah berdistribusi Gaussian

(normal) dengan mean nol dan variansi konstan .Analisis untuk asumsi normalitas digunakan metode Kolmogorov Smirnovdengan hasil semua level resolusi berdistribusi Gaussian kecuali pada levelresolusi pertama dengan fungsi soft thresholding.

Analisis untuk asumsi indepedensi residual digunakan uji Ljung-Box

dengan hasil fungsi soft thresholding pada level resolusi ketiga dan fungsi hard

thresholding pada level resolusi ketiga,keempat, kelima dan keenam memenuhi

asumsi independensi residual sedangkan sisanya tidak memenuhi

Analisis untuk asumsi variansi konstan digunakan uji Korelasi Rank

Spearman dengan hasil semua variansi tidak konstan. Berdasarkan uji yang telah

dilakukan terhadap residual dari hasil estimasi tidak berdistribusi IID maka

parameter universal threshold tidak bisa digunakan dan alternative penggantinya

adalah Adaptive threshold yang tidak mengasumsikan residualnya berdistribusi

IID.


23/28

61

3.Adapitve ThresholdAdapitve threshold adalah metode pemilihan threshold optimal yangberbeda-beda di tiap level resolusi yang berdasarkan nilai minimal dari SURE,

metode ini hanya berlaku untuk fungsi soft thresholding dan mensyaratkan

residual dari hasil estimasi wavelet thresholding tidak berdistribusi

Gaussian(non-IID). Nilai SURE dan threshold Adaptive dengan bantuan

Software R adalah:

a. Pada level resolusi pertama nilai SURE-nya adalah 62.43799,60.95267, 59.57841, 59.42883, 58.17989, 56.84549, 60.15993,

58.50630, 57.04048, 61.59035, 60.66998, 66.29687, 64.56366,

75.58181, 81.28552, 85.05097, 90.03939, 91.06175, 95.66040,

120.66313, 119.03283, 122.69552, 145.11525, 148.27007, 160.16271,

158.61135 ,163.68460, 163.78391, 167.82771, 168.87947, 170.33278,

194.40896, 196.51964, 195.32402, 199.89312, 224.01216, 226.41340,

236.34377, 244.12847, 249.54631, 248.51365, 250.87293, 249.92796,

258.62728, 277.87813, 277.25806, 296.35338, 299.09874, 298.81137,

321.34046, 323.01153, 343.52215, 356.69216, 366.52840, 382.99167,

385.78745, 455.67844, 477.71364, 481.32315, 483.09902, 490.88320,

496.57246, 499.33623, 560.40066 dan SURE terkecil yaitu 56.84549

terletak pada koefisien wavelet dengan nilai 0.2814951, yang menjadi

parameter threshold adaptive level pertama.

b. Pada level resolusi kedua nilai SURE-nya adalah 30.03772,31.57924, 32.37120, 32.32245, 31.78551, 31.60590, 39.13404,

37.36413, 38.57883, 39.90197, 40.35585, 43.60083, 44.72521,

48.45289, 47.64225, 52.52913, 52.46532, 51.19119, 59.42147,58.63732, 73.61238, 104.00150, 128.1444, 148.60532, 175.66205,

181.76869, 216.36406, 220.16970, 267.15849, 266.51833, 271.28686,

334.31719 dan SURE terkecil yaitu 30.03772 terletak pada koefisien

wavelet dengan nilai 0.03433075, yang menjadi parameter threshold

adaptive level kedua.

c. Pada level resolusi ketiga nilai SURE-nya adalah 14.06952,17.60220, 31.88997, 32.82356, 45.04598, 45.01133, 69.68333,


24/28

62

75.24553, 88.37732, 105.95683, 130.89783, 132.20187, 134.87005,



adaptive level ketiga.

d. Pada level resolusi keempat nilai SURE-nya adalah 40.80675,96.32413, 868.28077, 2983.91298, 40.80675 dan SURE terkecil yaitu

40.80675terletak pada koefisien wavelet dengan nilai , yangmenjadi parameter threshold adaptive level keempat.

e. Pada level resolusi kelima nilai SURE-nya adalah 11.10746,15.19176, 24.96749, 26.55638, 63.18195, 233.29707, 235.89960,



adaptive level kelima.

f. Pada level resolusi keenam nilai SURE-nya adalah 3683.856,3695.398 dan SURE terkecil yaitu 3683.856 terletak pada koefisien


adaptive level keenam.

Berikut hasil estimasinya (program terdapat pada lampiran 10) :

Gambar 3.3.2. Plot Soft Thresholding Adaptive Level Resolusi 1 Sampai 6

Keterangan : : Plot Data asli

: Hasil Thresholding

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

Soft Adaptive Level 1

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50


0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50


0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50


0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50


0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

20

30

40

50



25/28

63

Tabel 3.3.8. Nilai MSE pada Tiap Fungsi dan Level Thresholding

Level Resolusi Fungsi Thresholding MSE

Pertama Soft 4.093113

Kedua Soft 3.946578Ketiga Soft 6.250947

Keempat Soft 5.462676

Kelima Soft 5.591824

Keenam Soft 8.934713

Dari gambar 3.3.2. dengan parameter threshold optimal Adaptive

Threshold dengan fungsi soft thresholding dapat dianalisis bahwa plot

mendekati data aslinya terdapat pada level resolusi pertama dan kedua. Untuk

mengetahui yang terbaik dari kedua estimasi dibandingkan MSE yang terkecil

yaitu 3.946578 dengan parameter adalah 0.03433075 yang terdapat padaestimasi fungsi soft thresholding pada level resolusi kedua.

Hasil dari ketiga metode pemilihan parameter optimal maka dihasilkan

estimasi yang terbaik yaitu :

a. Untuk metode minimax threshold yang terbaik adalah estimasi fungsi softthresholding pada level resolusi pertama dengan nilai MSEyaitu.

b. Untuk metode universal threshold tidak bisa digunakan karena residualnyatidak berdistribusi Gaussian.

c. Untuk metode adaptive threshold yang terbaik adalah estimasi fungsi softthresholding pada level resolusi kedua dengan nilai MSE yaitu.

Dari pernyataan diatas memperlihatkan bahwa dengan parameter optimalminimax threshold pada level resolusi pertama dengan fungsi soft thresholding memberikan estimasi data runtun waktu data ekspor Indonesia yangterbaik karena menghasilkan MSE yang terkecil.


26/28

64

3.3.3.Membandingkan Kebaikan Estimasi antara ARIMA dan AnalisisWavelet Thresholding

Gambar 3.3.3 Plot Gabungan Data Asli, Fits ARIMA (2,1,0), dan Wavelet

Thresholding Dari Gambar 3.3.3, diketahui pendekatan dengan Wavelet Thresholding danARIMA cukup mendekati data asli. Untuk lebih memperkuat keyakinan, maka

digunakan ukuran kebaikan model berdasarkan nilai MSE. Analisis runtun waktu

dengan Wavelet Thresholding mempunyai MSE terkecil dengan parameter

threshold minimax di level yaitu sebesar . Dalam lampiran 6,diperoleh MSE model ARIMA (2,1,0) sebesar . Sehingga analisis runtunwaktu dengan Wavelet Thresholding menghasilkan estimasi model data runtun

waktu yang lebih baik dibanding ARIMA untuk contoh kasus tersebut.


27/28

65

BAB IV

KESIMPULAN

Berdasarkan pada pembahasan dari bab-bab sebelumnya dapat diambil

kesimpulan sebagai berikut :

1. Penggunaan metode ARIMA dalam estimasi data nonstasioner,memiliki kelemahan karena adanya beberapa asumsi yang harus

terpenuhi, sedangkan untuk metode Wavelet yang merupakan metode

tanpa parameter dan tanpa asumsi sebagaimana metode ARIMA.

2. Dalam analisis runtun waktu dengan Wavelet Thresholding adabeberapa langkah yaitu Transformasi Wavelet Diskrit, kemudian

mereduksi koefisien wavelet dengan fungsi Soft dan Hard

Thresholding dengan parameter threshold yang optimal. Pada tugas

akhir ini parameter optimal yang digunakan yaitu : Minimax

Threshold, Universal Threshold dan Adaptive Threshold.


28/28

66

DAFTAR PUSTAKA

Antoniadis,A. and Bigot, J. 2003. Wavelet Estimators in Nonparametric

Regression: A Comparative Simulation Study. Nicosia :University Joseph Fourier.

Anton, H. 1995.Aljabar Linear Elementer. Edisi kelima. Jakarta : Erlangga.

Box, G.E.P., Jenkins, G.M., and Reissel. G.C. 1994. Time Series Analysis

Forecasting and Control, 3rd edition, Englewood Cliffs : Prentice Hall.

Bruce, A. and Gao, HY. 1996.Applied Wavelet Analysis with S-PLUS. New York

: Springer-Verlag.

Makridakis, S, Wheelwright, S.C., and McGee, V.E. 1999. Jilid 1 edisi kedua,

Terjemahan Ir. Hari Suminto, Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta : Bina

Rupa Aksara.

Nason, G.P. 2006. Wavelet Methods in Statistics with R. Springer. Bristol:

University Walk.

Odgen, R.T. 1997. Essential Wavelets for Statistical Application and Data

Analysis. Boston :Birkhauser.

Percival, D.B. & Walden, A.T. 2000. Wavelet Methods for Time Series analysis,

1stpublished. New York : Cambridge University Press.

http://bps.go.id/ekspor indonesia

Aneh Lag Bab 3tak Mw Diprint

Documents

Transcript of Aneh Lag Bab 3tak Mw Diprint