Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

ANALISIS VARIANS

D

I

S

U

S

U

N

Oleh:

Nama : Ida Ayu Siahaan

NPM : 12150011

Mata kuliah ;Statistika

Prodi : Pendidikan Matematika

Dosen Pengasuh : Drs. Hotman Simbolon, MS

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HKBP NOMMENSEN

PEMATANGSIANTAR

Pengertian analisis Varians

Suatu teknik untuk menguji kesamaam beberapa rata-

rata adalah analisis varians. Andaikan ada K perlakuan A1,

A2,…, Ai,…, Ak yang masing-masing dengan sampel yang

berbeda-beda dengan berturut-turut dengan ukuran atau

banyak pengamatan n1, n2,…, ni,…,nk maka hipotesis untuk

uji kesamaan rata adalah

Ho: N1=N2=N3=…=Ni= …=Nk

Ha : Paling sedikit dua N tidak sama atau cara penulisannya

lain :

kjijiNjNiij ,...,1,,,,

Analisis Varians tidak hanya digunakan dalam satu jenis

atau factor perlakuan ,tetapi dapat lebih darisatu factor

yang masing-masing factor terdiri dari beberapa

perlakuan. Bila perlakuan terdiri dari satu factor maka

disebut klasiikasi eka arah dan apabila terdiri dari dua

factor disebut klasifikasi dwi arah

Dalam analisis varins menyangkut varians dalam

masing-masing perlakuan , varians antar perlakuan, dan

mungkin juga varians interaksi antar perlakuan dari factor

yang satu dengan perlakuan dalam factor yang lain.

Sistem pengujian ntuk klasifikasi eka arah dapat digunakan

menjadi analogi kepada system pengujian untuk dwi arah

atauanalisis varians lannya.

Pada umumnya yang menjadi statistika uji adalah uji F

yang di hitung dari perbandingan antar varians yakni

varians antar perlakuan ataupun interaksi terhadap varians

galat.

Sistem pengujian untuk klasifikasi eka arah dapat di

gunakan menjadi analogi kepada sistem pengujian untuk

dwi arah atau analisis varians lainnya

Klasifikasi EKA ARAH

Tabel pengamatan K sampel acak

Pelakuan A1 A2 ….. Ai ….. Ak

Penagamatan X11 X21 ….. Xi1 ….. Xk1 …..

X12 X22 ….. Xi2 ….. Xk2

….. ….. ….. ….. ….. …..

X1j X2j ….. Xij ….. Xkj

….. ….. ….. ….. ….. …..

X1n X2n ….. Xin ….. Xkn

Total R1 R2 ….. Ri ….. Rk R….

Rataan x 1 x 2 ….. x i ….. x k x …

Populasi N1 N2 ….. Ni ….. Nk N….

Masing-masing perlakuan terdiri dari N Pengamatan ,

sehingga semua pengamatan N=nk

Jika penyimpangan pengamatan ke j pada perlakuan ke i

disimbolkan dengan ij dan penyimpangan populasi

perlakuan ke i dari rataan umum ( grad mean = N =∑Ni/k )

adalah i maka pengamatan dapat ditulis ;

Xij =Ni+ij dan Ni=N+ i atau Xij= N+ i +ij dengan

kendala ∑ i =0 dipenuhi karena i =adalah efek atau

pengeruh perlakuan ke i maka hipotesis dapat ditulis

menjadi :

H0: 1= 2.....= i……= k=0

Ha: Paling sedikit satu i tidak sama dengan 0 atau

penulisan lain

i, i0

Varians masing-masing perlakuan adalah s2

1,s

2

2,….,si

2 ,….,sk

2

dimana

s2

1=

1

1

2

n

ixXijn

j

sedangkan rataan K varians adalah

)1(

)(

)1(

1 1

2

1 1

2

1

2

1

nk

iXXij

nk

iXXij

k

k

i

n

jk

i

n

j

k

i

s

dinamakan varians dalam perlakuan

k

i

n

j

iXXij1 1

2)( Jumlah kuadrat dalam perlakuan disingkat JKD

ataupun JKG (jumlah

kuadrat galat) sehingga dapat ditulis :

Merupakan salah satu suatu taksiran tak bias untuk

2 .selajutnya telah di ketahui bahwa

nx

atau 2 =n 2

x

Sedangkan 2

x di duga dengan S 2

x

k

j

i

k

xx

1 1 sehingga

k

i

i

k

xxn

1

2

1 dinamakan varians antar perlakuan =S 2

1 n

nk

i

i xx

1

= jumlah kuadrat antar perlakuan dapat S 2

1 =1K

JKA

Uji F di cari dengan f =perlakuandalamians

perlakuanantarians

var

var

F=2

2

1

S

S = 1

)1/(

NKJKG

KJKA adalah peubah acak f dengan derajat

kebebasan(K-1) jadi H O ditolak jika

F hit > F a : (k-1) V s k(n-1)

Uji kebebasa klasifikasi ke arah

aH : 0...............321 ki

H a paling sedikit satu i tidak sama dengan nol atau

penulisan lain

ii , 0

Tabel Aalisis Varians untu klasifikasi Eka arah

Sumber

Variansi

Derajat

Kebebasan

Jumlah

kwadrat

Rataan

Kuadrat

F Hit Ho Tolak

Bila F

Hit

Perlakuan K-1 JKA 2

21

S

S >f k-

1,k(n-1)

Galat K(n-1) JKG )1( nk

JKG

∑ Kn-1 JKT

1

2

1

K

JKAs

Teori Identitas jumlah kuadrat

JKT=JKA+JKG

Bukti:

JKT=

n

j 1

k

i 1

( X ij - x ....) 2 =

n

j 1

k

i 1

2

_..... iiji xxxx

=

n

j 1

k

i 1

( X ij - x ....) 2 +2 ( .......xx 211 iijijij xxxxxx

=

n

j 1

k

i 1

( X ij - x ....) 2 +2

n

j 1

k

i 1

iiji xxxx _.....

+

n

j 1

k

i 1

( X ij - x ....) 2 ,suku ke dua =0 (buktikan)

=

n

j 1

k

i 1

( X ij - x ....) 2 +

n

j 1

k

i 1

( X ij - x ....) 2

= n

k

i 1

( X ij - x ....) 2 +

n

j 1

k

i 1

( X ij - x ....) 2

= JKA+ JKG

Tabel banyak ikan yang ditangkap dalam 5 menit ( banyak

pengamatan tidak sama )

Jenis umpan

A B C D E F

9 4 2 2 6

8 6 8 3 3 5

8 7 6 7 4 9

9 4 5 5 4

8 2

Total 25 34 23 17 15 20 134

Rataan 8,33 6,8 5,75 4,25 3 6,67 5,58

Jawab :

Hipotesis Ho : N1= N2= N3= N4= N5= N6

Ha : i j, Ni Nj, i,j=1,….,6

Taraf signifikasi 0,05 sehingga daerah kritis

F>f0,05 ; 5,18 =2,77

Perhitungan :

JKT = 92+6

2+8

2+….+5

2+9

2 –(134

2/ 24) = 125,833

JKA = 252

/3 + 342

/5 + 232

/4 + 172

/4 + 152

/5 + 202

/3 –

1342 /24

= 74,21

JKG = 125,83-74,21 = 51,623

dbA = 5, dbG = 24-6=18

RKA = 74,21/5 = 14,842

RKG = 51,623/18 = 2,868

fhit = 14,842/2,868 = 5,175

Kesimpulan fhit = 5,175>2,77 maka Ho ditolak

Tabel analisis variansnya

Sumber

variansi

Derajat

kebebas

an

Jumla

h

kuadr

at

Rataa

n

kuadr

at Fhit

Ho tolak bila

Fhit

Perlaku

an 5 74,21

14,88

42

5,17

5

>F0,05;5,18

=2,7 Galat 18

51,62

3 2,868

Total 23

125,8

33

URAIAN MATERI

8.3.UJI RATAAN KLASIFIKASI DWI ARAH

Tabel pengamatan klasifikasi Dwi arah tanpa interaksi

Faktor ∑ Rataan Populasi

A B1 B2 …. Bj …. Bb

A1 X11 X12 …. X1j …. X1b T1 x .1 NA1

A2 X21 X22 …. X2j …. X2b T2 x .2 NA2

A3 X31 X32 …. X3j …. X3b T3 x .3 NA3

…. …. …. …. …. …. …. …. …. ….

Ai Xi1 Xj2 …. Xij …. Xib Ti x .i NAi

…. …. …. …. …. ….

Aa Xa1 Xa2 …. Xaj …. Xab Ta x .a NAa

Total T.1 T.2 …. T.j …. T.b T..

Rataan x .1 x 2 …. x .j …. x .b x …

Populasi NB1 NB2 …. NBj …. NBb N

Analisis tanpa interaksi

U.8.4 Analisis varians dwiarah tanpa interaksi

Hipotesis

HoA: NA1=NA2=NA3=….=NAa

HaA: ij, NAi NAj, i j, i,j=1,….,a

HoB: NB1=NB2=NB3=….=NBa

HaB: ij, NBi NBj, i j, i,j=1,….,b

Tabel analisis variansi klasifikasi Dwiarah

Sumber

variansi

Derajat

kebebasan

Jumlah

kuadrat

Rataan

kuadrat Fhit

Ho tolak bila

Fhit

A A-1 JKA

1

2

k

JKAS A

2

2

S

S A > f ;a-1,

(a-1)(b-1)

B B-1 JKB

1

2

k

JKBSB

2

2

S

S B > f ;b-1,

(a-1)(b-1)

Galat (a-1)(b-1) JKG

dbG

JKGS 2

Total Ab-1 JKT

2

1 1

2

1

2

1

2

1 1

..........

a

i

b

j

b

j

a

i

a

i

b

j

XjXXiXijXXijaXiXbXXij

Untuk mempermudah perhitungan maka digunakan

T.8.5

JKBJKAJKTJKG

ab

TaTXjXaJKB

ab

TbTXXbJKA

ab

TXijXXijJKT

b

j

j

a

i

a

i

a

i

a

i

b

j

a

i

b

j

....

../..

....

2

1

2

2

1

2

1

21

2

1

1

2

1 1

2

2

1 1

T.8.4 Teorema identitas jumlah kuadrat

JKT = JKA+ JKB+ JKG

Analisis Dwi arah dengan interaksi

Perbedaan dengan tanpa interaksi adalah penambahan analisis efek yang

disebabkan leh kedua factor bersama-sama ( interaksi ). Apakah ada perbedaan efek antara

satu sel dengan sel yang lain misalnya AB11 dengan AB43 dan lain sebagainya

Jadi dalam analisis ini dikenal dua aspek perlakuan

a. Efek Utama ( main Efect ) Khusus antar perlakuan dalam factor A, dan khusus antar

perlakuan dalam factor B.

b. Efek interaksi A dan B

Frekuensi objek dalam sel (n) biasanya disebut replikasi atau ulangan

a

i

b

j

n

k

jijk

a

i

b

j

jiij

b

j

j

a

i

i

a

i

b

j

a

k

ijk

YXXXXXn

XXanXXbnxX

1 1

2

1

1

2

1 1

2

1

2

1

..

2

1 1 1

.......

........

Selanjutnya pengujian dilakukan sebagai U.8.2

U.8.5 Analisis Varians Dwiarah dengan Interaksi

Hipotesis :

HoA: NA1=NA2=NA3=….=NAa

HaA: ij, NAi NAj, i j, i,j=1,….,a

HoB: NB1=NB2=NB3=….=NBa

HaB: ij, NBi NBj, i j, i,j=1,….,a

HoAB: NAB11=NAB12=NAB13=….=NABab

HaAB: ijkl, NABij NABkl, ij kl, i,k=1,….,a , j,l=1,……,b

T.8.6 Teorema identitas jumlah kuadrat

JKT=JKA+JKB+JKAB+JKG

Tabel analisis varians untuk klasifikasi dwiarah dengan interaksi

Sumber

Variansi

Derajat

Kebebasan

Jumlah

Kuadrat

Rataan

Kuadrat

F Hit Ho Tolak

Bila F Hit

A A-1 JKA

1

2

k

JKAS A

> f ;a-1,ab(n-1)

B B-1 JKB

1

2

k

JKBSB

2

2

S

S B > f ;a-1,b-1,ab(n-1)

AB (a-1)(b-1) JKAB

abAB

JKABS AB 2

2

2

S

S AB > f ;a-1,(a-1)(b-1),ab(n-1)

Galat (a-1)(b-1) JKG

Total Ab-1 JKT

T.8.7.

JKT = abn

TXXX

a

i

b

j

n

k

ijk

a

i

b

j

n

k

ijk

.......)(

2

1 1 1

2

1 1 1

2

JKA = abn

TbnTXiXbn

a

i

i

a

i

...)/(......)...(

2

1

2

1

2

JKB = abn

TanTXjXan

a

i

j

b

j

...)/(......)...(

2

1

2

1

2

JKAB= 2

1 1

....)...( XjXXXna

i

b

j

iij

= abn

T

an

T

bn

T

n

Tb

j

j

a

i

i

a

i

b

j

ij...2

1

2

1

2

1 1

2

JKB = JKT-JKA-JKB-JKAB

2

2

S

S A

dbG

JKGS 2

8.4.UJI KESAMAAN BEBERAPA VARIANS

Misalkan K sampel acak dari poplasi normal saling bebas dengan ukuran n1,n2,…,nk,

k

i

in1

=N dan varians berturut-turut 222

21 ,....,, kSSS

KN

Sn

S

k

igab

1

211

2

)1(

Katakanlah :

k

i

gab SnSKNa1

211

2 log)1(log)( dan

KNnK

hk

i i

1

1

1

)1(3

11

1

h = Faktor koreksi

Uji yang sering dilakukan uji bartlet b=2,3026 h

q merupakan peubah acak ( namakan B )

yang mempunyai sebaran hampiran khi kuadrat dengan derjat bebas K-1

U.8.6 Uji kesamaan Varians, dengan uji bartlet

Hipotesis:

H0 : 222

21̀ ....... k

Ha : tidak semua varians sama

Dengan taraf signifikansi , daerah kritik B> 21

b=2,3026 ( g/h )

U.8.7 Uji bartlet menggunakan sebaran bartlet

Hipotesis :

H0 : 222

21̀ ....... k

Ha : tidak semua varians sama

2

)(

1

12

gab

KNk

l

ni

i

S

S

b

b= Merupakan nilai peubah acak B sebaran Bartlet, sehingga untuk taraf

signifikansi

a) n1=n2=….=nk=n, Daerah kritik adalah B< bk ( ;n), dimana p[b<bk ( ;n)]=

b) Ukuran sampel tidak sama , daerah kritik B< bk( ;n1,n2,….,nk), dimana

bk( ;n1,n2,….,nk) =N

nibnik

k

k1

);(

Uji varians menurut Cochran

Uji varians yang lebih sederhana dari uji bartlet adalah uji cochran uji ini menunjukkan

porsi suatu varians dari jumlah seluruh varians sampel, sehingga tampak apakah suatu

varians jauh lebih besar dari pada lainnya . Pemakaian terbatas hanya untuk ukuran sampel

yang sama n1=n2=……=nk=n.

U.8.8 Uji Cohran

Hipotesis

H0 : 222

21̀ ....... k

Ha : tidak semua varians sama

G=

k

i

i

i

S

terbesarS

1

2

2

Dengan taraf signifikasi 1 Daerah kritik G>g ;k,n

EVALUASI

1.Diketahui ada 4 kelas siswa, tiap kelas banyak muridnya sama, sedang belajar ahasa

inggris. Masing-masing kelas diajar oleh seorang guru dan tiap guru menggunakan metoda

mengajar yang berbeda, sebut A,B,C, dan D. Nilai hasil ujian akhir proses belajar untuk tiap

metoda, rata-ratanya sbb :

Metoda A B C D

Rata-rata 67,3 76,5 56,9 63,7

Maka hitunglah varians dari nilai rata-rata tersebut

Jawab :

Anggap rata-rata ini sebagai data biasa lalu hitung variansnya.

Diperoleh varians antar kelompok A,B,C, dan D. Besarnya dihitung sebagai berikut.

Karena tiap kelas banyak muridnya sama maka rata-rata untuk keempat rata-rata itu:

¼(67,3+76,5+56,9+63,7)=66,1

Jumlah kuadrat-kuadrat dikoreksi yaitu setiap data dikurangi rata-ratanya lalu dikuadratkan

dan kemudian dijumlahkan adalah

( 67,3-66,1 )2 + ( 76,5-66,1 )2 + ( 56,9-66,1 )2 + ( 63,7-66,1 )2 = 200

Bagi oleh derajat kebebasannya ialah banyak kelompok dikurangi satu jadi 4-1=3 diperoleh

varians antar kelompok A,B,C, dan D ialah sebesar 66,67.

2.Varians tinggi 24 mahasiswa dalam pertandingan bola yang dipilih acak dari 50 orang.Tentukan

dalam koefisien kepkercayaan 95% selang kepercayaan untuk varians tinggi mahasiswa untuk

pertandingan bola.

Penyelesaian :

Dik. : Ukuran sampel n = 24.

S2 = 50.

= 1 –

= 1 – 95%

= 0,05.

Dit. : 2

2

x = ½; n – 1 dan x2 = ½ (1 + j); n -1

= ½ . 0,05; 24 – 1 = ½ (1 + 0,05); 24 – 1

= 0,25; 23 = 0,975; 23

x2 0,025; 23 = 11,7 x2 0,975; 23 = 38,1

sehingga

1.38

1

7.

1 22

2 Sn

n

Sn

1.38

50124

7.11

50124 2

18,3029,98 2

3.Suatu ujian teori probabilitas yang dilakukan diberikan kepada 40 orang siswa dan 60 mahasiswa.

Mahasiswi dapat rataan skors 5 dari 70 mahasiswa. Tentukan 95% selang kepercayaan selisih rataan

skor mahasiswi dengan mahasiswa apabila melalui pengalaman bahwa simpangan bakuk skor untuk

mahasiswi adalah 8 dan mahasiswa 10.

Penyelesaian :

Dik. : n1 = 60.

n2 = 40.

1x = 70.

2x = 55.

= 95%.

Jadi taksiran untuk 1 - 2 adalah 21 xx = 70 – 55 = 25.

a. 1 = 10, 2 = 8.

Sehingga menaksir selisih rataan :

Z½ = 0,475 = 1,96

2

2

2

1

2

12121

2

2

2

1

2

121

21

21

n

S

n

SZxx

n

S

n

SZxx

40

64

60

10096,125

40

64

60

10096,125 21

26,396,12526,396,125 21

538,2862,21 21

4.Dari soal no.2 carilah simpangan baku populasi tidak diketahui tetapi mahasiswi dan mahasiswa

berasal dari satu populasi dan simpangan baku mahasiswa adalah 8 dan maka siswa adalah 10.

Penyelesaian :

Dik. : S1 = 10

S2 = 8

V = n1 + n2 – 2

= 60 + 40 – 2

= 98.

t½ (1 + ); V = t0,975; 98 = 1,98

S2 =

2

11

21

2

22

2

21

nn

SnSn

=

24060

814010160 22

= 98

24965900

= 85,67

21

52121

21

321

11);1(

11);1(

21

21

nnVtxx

nnVtxx

40

1

60

167,85.98,125

40

1

60

167,85.98,125 21

34,5934,9 21

S E K I A N…..