ANALISIS REGRESI DAN KORELASI

Dalam suatu penelitian terkadang ingin diketahui hubungan antara dua peubah (variabel) atau lebih. Dalam mencari hubungan ini terdapat dua permasalahan yaitu :Regresi : hubungan dua peubah atau lebih yang dinyatakan dalam bentuk persamaan.Korelasi : derajat keeratan hubungan dua peubah (variabel) atau lebih.Variabel bebas : XVaribel tak bebas : Y --- tergantung pada variabel bebasnya.

Contoh : bidang pertanian variabel bebas adalah dosis pupuk dan variabel tak bebas adalah produksi.

Hubungan antara tinggi badan dan berat badan mahasiswa untuk variabel bebas adalah variabel yang mudah kita atur / tentukan / dapatkan.

Hubungan antara 2 variabel dapat berbentuk hubungan fungsional dan dapat pula berbentuk hubungan Statistik.

Fungsional ---- Y = f (X) ----- Y = 2 + 4 X Statistik --- setiap ulangan mempunyai

prediksi yang berbeda. Dari fungsi statistik maka kita dapat

menduga bagaimana hubungan kedua variabel tersebut.

Model Regresi : Yi = 0 + 1 Xi + εi y = hasil 0 = intersept / konstanta 1 = koefisien korelasi εi = error/sesatan Untuk mendapatkan model tersebut perlu

menduga ŷ = bo + b1x

Untuk menghitung nilai b0 dan b1 dapat dilakukan dengan : Metode kuadrat terkecil (Least Square Method) ---- menduga

dengan jalan membuat jumlah kuadrat sesatan/error data yaitu ∑εi2 sekecil-kecilnya (menggunakan kalkulus) sehingga didapatkan persamaan normal.

Ŷ = bo + b1X untuk mendapatkan nilai dari persamaan tersebut : ∑YI = ∑bo + ∑b1X1 disederhanakan ∑YI = nbo + ∑b1X1 ------------------------- (1) untuk mendapatkan persamaan kedua, dengan menggunakan

koefisien b1 ∑X1YI = ∑b0X1 + ∑b1X12 disederhanakan : ∑X1YI = b0∑X1 + b1∑X12 ------------------------ (2) persamaan 1 dan 2 dapat diselesaiakan menjadi : ∑XiYi – (∑Xi . ∑Yi)/n b1 = -----------------------

• ∑Xi2 – (∑Xi)2/n

bo = Y – b1X

rumus tersebut dapat pula ditulis :∑xiyi

b1 = -------- ∑xi2

dimana : ∑xiyi = ∑XiYi – (∑Xi . ∑Yi)/n ∑xi2 = ∑Xi2 – (∑Xi)2 /n

harga dari kuadrat error/sesatan : ∑εi2 = ∑{Yi – (b0 + b1Xi)}2

∑εi2 = {∑ Yi2 – (∑Y1)2/n} - {b∑XiYi – (∑Xi)( ∑Yi)/n}

= ∑yi2 - b∑xiyi

untuk menguji hypotesis H0 : β1 = 0 H1 : β1 0

b uji t ---- tb = (√s2

y.x / ∑x2)

(∑xiyi)2

Kuadrat tengah sisa S2y.x = ∑yi

2 – ∑xi2

------------------

n - 2

Selang kepercayaan (100 - )% untuk :

Selang kepercayaan = b t (s2y.x / ∑x2)

Nilai koefisien korelasi (r) = ∑xy (∑xi2)( ∑yi2)

uji F (menggunakan analisis varians)

Jumlah kuadrat (JK) Regresi = b1(∑XY – (∑X. ∑Y)/n) = b1(∑xy) JK Total = ∑Y-(∑Y)2/n = ∑y2

JK sisa = JK total – JK Regresi Sidik ragam ------------------------------------------------------------------ Sumber Derajat JK KT F Hitung F Tabel Keragaman Bebas 5% 1% ------------------------------------------------------------------- Regresi k-1 JK Reg. Galat (k-1)-(n-1) Jk Gal. ------------------------------------------------------------------- Total n – 1 JK Total -------------------------------------------------------------------

KT Regresi = JK Regresi / DB Reg. KT Galat = JK Gal. / DB Galat F hitung = KT Reg. / KT Gal.

F hitung untuk menguji hypotesis H0 : β1 = 0 H1 : β1 = 0 Jika F hit. > F tabel, maka H0 ditolak, H1 diterima Jika F hit. F tabel, maka H0 diterima, H1 ditolak Berarti benar β1 = 0 Jika β1 = 0 maka berarti tidak ada hubungan

(garis) berarti sejajar dengan sumbu X.

Xmax

Ŷmin

Ŷmax

Xmin

Δx

(X, Y)

Δy Δy b= ---- Δx

Ŷ=b0 + b1X

X

Garis yang diperoleh melalui kuadrat terkecil yaitu yang meminimkan jumlah kuadrat semua simpangan vertikal

Gambar Simpangan-simpangan vertikal dimana jumlah kuadratnya diminimumkan pada metode kuadrat terkecil.

Penerapan perhitungan regresi linier

Tabel Hasil gabah dan Dosis N pada tanaman padi (Diambil dari Gomez dan Gomez )

--------------------------------------------------------------------------------------Dosis N Hasil GabahKg.ha-1 (X) kg.ha-1 (Y)

--------------------------------------------------------------------------------------0 423050 5442100 6661150 7150

--------------------------------------------------------------------------------------Total 300 (∑X) 23483 (∑Y)--------------------------------------------------------------------------------------

∑x2 = ∑X2 – (∑X)2 /n = 12500

∑xy = ∑XYi– (∑X. ∑Y)/n = 249475

X rata-rata (X) = 75 Y rata-rata (Y) = 5870

∑xy ∑XYi– (∑X. ∑Y)/n 249475b = -------- = -------------------- = --------- = 19.96

∑x2 ∑X2 – (∑X)2 /n 12500

bo = Y – b1X b0 = 5870.75 – (19.96) = 4375

Penduga regresi Ŷ = bo + b1X

Ŷ = 4375 + 19.96 X

Ŷmax = bo + b1(Xmax) = 4374 + 19.96 (0) = 4374 kg.ha-1.

Ŷmin = bo + b1(Xmin) = 4374 + 19.96 (150) = 7368 kg.ha-1.

0 50 150100Dosis N (kg.ha-1)

Ŷmax= 7368

Ŷmin=4374

8000

7000

6000

5000

4000

Ŷ=4375 + 19.96 Xr = 0.98

(X, Y)

Gambar Pendugaan regresi linier antara hasil gabah (Y) dan dosis N.

Uji beda nyata βb 19.96

tb = --------------- = -------------------- = 7.94* (berbeda nyata) (√s2

y.x / ∑x2) (√ 78.921 / 12500)

(∑xiyi)2 (249475)2

S2y.x = ∑yi2 – ∑xi2 5136864 - 12500

---------------------- = --------------------------------------- = 78.921 n – 2 4 – 2

t tabel 5%, db 2 = 4.303 dan t tabel 1%, db 2) = 9.925

Nilai tb lebih besar dari t tabel (5%) dan lebih kecil dari t tabel (1%), menunjukkan bahwa respons linier hasil padi berubah dengan dosis N dalam rentang 0 sampai 150 kg.ha-1 berbeda nyata pada taraf nyata 5%.

Uji F

Sidik ragam-------------------------------------------------------------------------SK DB JK KT F hit Ftab5% -------------------------------------------------------------------------Regresi 1 4979521 4979521 63.29* 18.51Galat 2 157343 786715-------------------------------------------------------------------------Total 3 5136864-------------------------------------------------------------------------

JK Regresi= b1(∑xy)= b1∑XYi– (∑X. ∑Y)/n= 19.96 (249475) = 4979521

JK Total = ∑ yi2 = ∑ Yi2 – (∑Y1)2/n = 5136864

JK Galat = JK total – JK Reg. = 157343

Selang kepercayaan (100 - )% untuk :

Selang kepercayaan (100 - )% untuk :

Selang kepercayaan = b t.05 (s2y.x / x2)

= 19.96 4.303 (78.921 / 12500)

= 19.96 10.81

= (9.15 ; 30.77)

Kenaikan hasil gabah untuk setiap kenaikan 1 kg ha-1 pupuk nitrogen yang digunakan dalam rentang 0 sampai 150 kg ha-1 diharapkan antara 9,15 kg ha-1 dan 30.77 kg ha-1 pada selang kepercayaan 95%.

Koefisien korelasi (r)

∑xy Nilai koefisien korelasi (r) = ------------------------

(∑xi2) (∑yi2) 249475 = --------------------- = 0.98 (12500)(5136864)

Pustaka Gomez K.A., dan A. A. Gomez. 1983.

Statistical Procedures for Agriculture Research. John Wiley & Sons, Inc. Canada.

Lampiran Koefisien ortogonal polinomial-----------------------------------------------------------------------------T Degree T1 T2 T3 T4 T5 T6

∑Ci of polynomial-----------------------------------------------------------------------------3 Linier -1 o +1 2

Quadratic +1 -2 +1 64 Linier -3 -1 +1 +3 20

Quadratic +1 -1 -1 +1 4Cubic -1 +3 -3 +1 20

5 Linier -2 -1 0 +1 +2 10Quadratic +2 -1 -2 -1 +2 14Cubic -1 +2 0 -2 +1 10Quartic +1 -4 +6 -4 +170

6 Linier -5 -3 -1 +1 +3 +5 70Quadratic +5 -1 -4 -4 -1 +5 84Cubic -5 +7 +4 -4 -7 +5 180Quartic +1 -3 +2 +2 -3 +128Quintic -1 +5 -10 +10 -5 +1 252

Perlakuan yang merupakan tingkatan taraf yang dinyatakan dengan besaran (bersifat kuantitatif) pada percobaan, ingin diketahui apakan responnya bersifat linier, kuadratik, kubik atau lainnya.

Dilakuan penguraian perlakuan kedalam tingkat-tingkat respons linier, kuadratif, kubic dan lainnya. Pada perlakuan yang mempunyai taraf sama dapat digunakan tabel koefisien ortogonal (Lampiran ).

Jumlah kuadrat dari perlakuan yang akan ditentukan responnya diuraikan berdasarkan menjadi linier, kuadratik, kubik dan seterusnya. Demikian pula derajat bebasnya.

Lampiran Sidik Ragam RAL Sidik ragam ------------------------------------------------------------------ SK DB JK KT F hit. ------------------------------------------------------------------ Perl. t-1 JK Perl Galat t(r-1) Jk Gal. ------------------------------------------------------------------ Total tr – 1 JK Total ------------------------------------------------------------------

RAK Sidik ragam ------------------------------------------------------------------ SK DB JK KT F hit. ------------------------------------------------------------------ Kelompok r-1 JK Kel. Perl. t-1 JK Perl Galat (t-1)(r-1) Jk Gal. ------------------------------------------------------------------ Total tr – 1 JK Total ------------------------------------------------------------------

Faktorial A X B dalam RAL Sidik ragam ------------------------------------------------------------------ SK DB JK KT F hit. ------------------------------------------------------------------ Perl. ab-1 JK Perl A a-1 JK A B b-1 JK B AXB (a-1)(b-1) JK AXB Galat ab(r-1) Jk Gal. ------------------------------------------------------------------ Total abr – 1 JK Total ------------------------------------------------------------------

Faktorial A X B dalam RAK Sidik ragam ------------------------------------------------------------------ SK DB JK KT F hit. ------------------------------------------------------------------ Kelompok r-1 JK Kelompok Perl. ab-1 JK Perl A a-1 JK A B b-1 JK B AXB (a-1)(b-1) JK AXB Galat (ab-1)(r-1) Jk Gal. ------------------------------------------------------------------ Total abr – 1 JK Total ------------------------------------------------------------------

Rancangan Petak Terpisah (Split Plot Design) A X B ------------------------------------------------------------------ SK DB JK KT F hit. ------------------------------------------------------------------ Kelompok r-1 JK Kelompok Petak Utama (A) a-1 JK A Galat (a) (r-1)(a-1) JK Galat a Anak Petak (B) b-1 JK B PU X AP (AXB)(a-1)(b-1) JK AXB Galat (b) a(r-1)(b-1) Jk Gal. ------------------------------------------------------------------ Total abr – 1 JK Total ------------------------------------------------------------------

Rancangan Petak Berjalur (Strip Plot Design) A X B ------------------------------------------------------------------ SK DB JK KT F hit. ------------------------------------------------------------------ Kelompok r-1 JK Kelompok Faktor datar (A) a-1 JK A Galat (a) (r-1)(a-1) JK Galat a Faktor tegak (B) b-1 JK B Galat (b) (r-1)(a-1) JK Galat (b) A X B (a-1)(b-1) JK AXB Galat (c) (r-1)(a-1)(b-1) Jk Galat (c) ------------------------------------------------------------------ Total abr – 1 JK Total ------------------------------------------------------------------