ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREYrepository.unair.ac.id/29384/1/HALAMAN...
Transcript of ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREYrepository.unair.ac.id/29384/1/HALAMAN...
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREY
YANG TERINFEKSI
SKRIPSI
TYAS WIDYA NINGRUM
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
SURABAYA
2016
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
i
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREY
YANG TERINFEKSI
SKRIPSI
TYAS WIDYA NINGRUM
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
SURABAYA
2016
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
iv
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam
lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi
kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan
sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik
Universitas Airlangga.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
vi
KATA PENGANTAR
Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena
atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga skripsi yang
berjudul “Analisis Model Matematika Predator-Prey dengan Prey yang
Terinfeksi” ini dapat terselesaikan dengan baik. Sholawat serta salam bahagia
semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad
SAW, pemimpin sekaligus sebaik-baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat
manusia.
Ucapan terima kasih disampaikan kepada :
1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis
untuk menuntut ilmu.
2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidkan dan
Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi
Akademik (PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM).
3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs, selaku Kepala Departemen Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga sekaligus dosen
pembimbing II yang selalu memberikan saran dan motivasi.
4. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si., selaku Koordinator Program Studi S-1
Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang selalu
memberikan saran dan motivasi.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
vii
5. Dr.Windarto, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan saran,
motivasi, dan inspirasi dalam perkuliahan dengan penuh kesabaran,
ketelitian, serta keramahan.
6. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa sabar dan
teliti dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, saran, dan waktu serta
motivasi.
7. Dr. Miswanto, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa dengan
sabar memberikan bimbingan berupa arahan dan masukan kepada penulis.
8. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, khususnya Departemen Matematika
yang telah menyampaikan ilmu kepada Penulis tanpa pamrih dan tak kenal
lelah.
9. Kedua orang tua saya yang tercinta, Sudarmanto dan Musriah serta keluarga
besar yang selalu memberikan dukungan, semangat, nasihat dan doa
terbaiknya dalam menyelesaikan skripsi.
10. Suci, Puti, Suti, Agustina, Arthak, Adeisty, Addina, Nabilah, Aryati, Raditya
Rezki yang telah mengajarkan arti sahabat selama ini.
11. Gemilau, Almira, Midah, Dita, dan Adelia yang selalu memberikan
dukungan berupa motivasi, waktu, dan tenaga dalam menyelesikan skripsi.
12. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Program Studi Matematika 2012
atas dukungan dan kebersamaannya selama ini.
13. Serta semua pihak yang tidak dapat Penulis sebutkan seluruhnya yang telah
membantu menyelesaikan skripsi ini.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
viii
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka
bagi pembaca khususnya mahasiswa Universitas Airlangga. Penulis menyadari
bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan proposal ini, sehingga saran
dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk perbaikan penulisan
selanjutnya.
Surabaya, 29 Februari 2016
Tyas Widya Ningrum
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
ix
Tyas Widya Ningrum, 2016, Analisis Model Matematika Predator-Prey
Dengan Prey Yang Terinfeksi, Skripsi ini dibimbing oleh Dr. Fatmawati, M.Si
dan Dr. Miswanto, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Airlangga, Surabaya.
ABSTRAK
Dalam hubungan rantai makanan, kegiatan predasi ini sangat penting
untuk mendukung keberlangsungan hidup tiap-tiap populasi. Kegiatan predasi
yang dilakukan oleh predator tidak hanya memangsa prey yang sehat saja tetapi
juga prey yang terinfeksi. Hal ini dikarenakan bahwa prey terinfeksi akan lebih
mudah dimangsa oleh predator karena tidak membutuhkan waktu dan tenaga
yang lebih banyak.
Tujuan skripsi adalah menganalisis dua model predator-prey dengan prey
yang terinfeksi yakni model pertama adalah model predator-prey dengan prey
yang terinfeksi tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey yang sehat dan
model kedua adalah predator-prey dengan prey yang terinfeksi dengan
memperhatikan pemangsaan pada prey yang sehat. Dari analisis model pertama
diperoleh empat titik setimbang, yakni kepunahan , kepunahan predator , kepunahan prey yang terinfeksi dan koeksistensi prey dan predator . Titik setimbang tidak stabil, sedangkan titik setimbang dan stabil
asimtotis dengan syarat tertentu. Berdasarkan simulasi numerik, ketika ketiga
spesies eksis maka jumlah predator akan meningkat kemudian menurun secara
perlahan karena terinfeksi dari prey terinfeksi dan keterbatasan kawin. Sedangkan
dari analisis model kedua diperoleh empat titik setimbang, yakni kepunahan , kepunahan predator , kepunahan prey yang terinfeksi , dan koeksistensi
prey dan predator . Titik setimbang dan tidak stabil, sedangkan titik
setimbang dan stabil asimtotis dengan syarat tertentu. Berdasarkan simulasi
numerik, ketika ketiga spesies eksis maka jumlah prey sehat dan predator akan
menurun secara perlahan sedangkan jumlah prey terinfeksi akan meningkat
karena tertularnya infeksi pada prey sehat.
Kata Kunci : Model predator-prey, prey terinfeksi, titik setimbang, kestabilan.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
x
Tyas Widya Ningrum, 2016, Analysis of Mathematical Model of Predator-Prey
using Infected Prey, this thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si and Dr.
Miswanto, M.Si, Department of Mathematics, Faculty of Science and
Technology, University of Airlangga, Surabaya.
ABSTRACT
In a food chain, predation is incredibly important for the survival of each
population. Predation is not only targeting a healthy prey, but also an infected
prey; as an infected prey requires less time and energy to be preyed. This is
because that would be more easily infected prey eaten by predators because it
does take time and more energy .
The aims of this thesis is to analyze two predator-prey models using
infected prey are predator-prey model using infected prey without taking healthy
prey into account and on predator-prey model while taking healty prey into
account. Based on the analysis of first model, four equilibriums are obtained.
Those are extinction (E0), predator extinction (E1), infected prey extinction (E2),
and the coexistence between prey and predator (E3). The E0 equilibrium is
unstable; while E1, E2, E3 are stable asymptotically under certain conditions. Based
on numerical simulation , when the three species exist , the number of predators
will increase and then decrease slowly because infected from infected prey and
mating constraints. Furthermore based on the second model, four equilibriums are
obtained. Those are extinction (F0), predator extinction (F1), infected prey
extinction (F2), and the coexistence between prey and predator (F3). The F0 and F3
equilibriums are unstable; while F1 and F2 equilibriums are asymptotically stable
under certain conditions. Based on numerical simulation, when the three species
exist , the number of healthy prey and predators will decline slowly , while the
number of infected prey will increase because of transmission of infection in
healthy prey .
Keyword: Predator-prey model, equilibrium, infected model, stability
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
xi
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR JUDUL ......................................................................................... i
LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................. ii
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI ............................................ iii
LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ....................................... iv
SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS ................................ v
KATA PENGANTAR..................... ................................................................ vi
ABSTRAK ....................................................................................................... ix
ABSTRACT ..................................................................................................... x
DAFTAR ISI.. .................................................................................................. xi
DAFTAR TABEL ............................................................................................ xiv
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xv
DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xvi
BAB I PENDAHULUAN ........................................................................... 1
1.1. Latar Belakang ................................................................................. 1
1.2. Rumusan Masalah ............................................................................ 3
1.3. Tujuan .............................................................................................. 4
1.4. Manfaat ............................................................................................ 4
1.5. Batasan Masalah .............................................................................. 5
BAB II TINJUAN PUSTAKA ............................................................... 6
2.1. Eco-Epidemiologi ............................................................................ 6
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
xii
2.2. Sistem Persamaan Diferensial ......................................................... 6
2.3. Analisis Kestabilan Linier ............................................................... 9
2.4. Kriteria Routh-Hurwitz .................................................................... 11
2.5. Model Lotka Voltera Predator-Prey (Pemangsa-Mangsa) ............. 13
2.6. Efek Allee ........................................................................................ 13
2.7. Model Holling .................................................................................. 14
BAB III METODE PENELITIAN ............................................................... 16
BAB IV PEMBAHASAN .............................................................................. 18
4.1.Model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada
prey rentan 18
4.1.1 Titik Setimbang Model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan 21
4.1.2 Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal ..................................... 25
4.1.3 Simulasi Numerik .................................................................. 32
4.2 Model predator-prey dengan memperhatikan pemangsaan pada
prey rentan 35
4.2.1 Titik Setimbang Model predator-prey dengan memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan 37
4.2.2 Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal ..................................... 42
4.2.3 Simulasi Numerik .................................................................. 46
BAB V PENUTUP ........................................................................................ 50
5.1. Kesimpulan ....................................................................................... 50
5.2. Saran ................................................................................................ 51
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
xiii
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 52
LAMPIRAN
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel Judul Halaman
4.1 Deskripsi variabel dan parameter dalam model
matematika predator-prey dengan prey yang terinfeksi 19
4.2 Nilai parameter model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan. 24
4.3 Nilai awal variabel model pertama 30
4.4 Nilai parameter model predator-prey dengan memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan 41
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar Judul Halaman
4.1 Grafik bidang fase dan pada
titik setimbang 30
4.2 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang
kepunahan predator 32
4.3 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang
kepunahan prey terinfeksi 33
4.4 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang
koeksistensi 34
4.5 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang
kepunahan predator 47
4.6 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang
kepunahan prey terinfeksi 48
4.7 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan
pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang
koeksistensi 49
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.
xvi
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul Lampiran
1 Perhitungan titik setimbang koeksistensi
2 Kode program Matlab grafik bidang fase koeksistensi
3 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model predator-
prey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang kepunahan
predator
4 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model predator-
prey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang kepunahan prey
terinfeksi
5 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model predator-
prey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang koeksistensi
6 Perhitungan titik setimbang koeksistensi
7 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model predator-
prey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang kepunahan
predator
8 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model predator-
prey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang kepunahan prey
terinfeksi
9 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model predator-
prey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang koeksistensi
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... TYAS WIDYA N.