ANALISIS MODEL MATEMATIKA PERAN PENAMBAHAN …repository.unair.ac.id/54747/8/MPM 77-16 Fit a...

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PERAN PENAMBAHAN MAKANAN

DALAM SISTEM EKO-EPIDEMIOLOGI DENGAN PENYAKIT PADA

PREY

SKRIPSI

FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

2016

ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

i

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PERAN PENAMBAHAN MAKANAN

DALAM SISTEM EKO-EPIDEMIOLOGI DENGAN PENYAKIT PADA

PREY

SKRIPSI

FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

2016



iv

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam

lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi

kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan

sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik

Universitas Airlangga.



vi

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada

Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-Nya, sehingga skripsi yang

berjudul “Analisis Model Matematika Peran Penambahan Makanan dalam

Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada Prey” ini dapat diselesaikan

dengan baik. Shalawat serta salam bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada

junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus sebaik-

baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat manusia.

Keberhasilan penulis dalam menyusun skripsi ini tentunya tidak lepas dari

dukungan berbagai pihak. Oleh karena itu, tak lupa penulis ucapkan terima kasih

kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini.

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:

1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan penulis untuk

menempuh pendidikan tinggi.

2. Direktorat Jendral dan Pendidikan Tinggi yang telah memberikan

beasiswa bidikmisi.

3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika

Universitas Airlangga yang selalu memberikan motivasi.

4. Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si. selaku Koordinator Program Studi S-1

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang

selalu memberikan saran dan motivasi.



vii

5. Auli Damayanti, S.Si., M.Si. selaku dosen wali yang telah memberi

masukan serta saran selama proses pembelajaran.

6. Dr. Fatmawati, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah banyak

memberikan masukan, tenaga, serta nasehat kepada penulis.

7. Dr. Miswanto, M.Si. sebagai pembimbing II yang telah banyak

memberikan arahan, tenaga dan fikiran.

8. Ahmadin, S.Si., M.Si. selaku dosen penguji yang telah memberikan

koreksi serta masukan demi perbaikan skripsi ini.

9. Seluruh dosen Universitas Airlangga yang telah menyampaikan banyak

ilmu kepada penulis.

10. Alm. Bapak dan Ibu tercinta Samsuri dan Safiatun, adik tercinta Firda

Ulfatul Kholida, mas Chairul Anwar beserta keluarga besar saya yang

menjadi sumber motivasi, memberikan kasih sayang, do’a, tenaga, dan

perhatian kepada penulis.

11. Teman-teman tangguh yaitu Ais Fatkhiyah, Anik Zainurrifah, Endrawati,

Alvianita Tri Utami dan teman kos seperjuangan Nisrina, Neni, Mbak

Zizah, Nike, Ria, Dewi, Fatim, Mety, Lintang serta adik kos Ayu, Nuril,

Sri, Binti, Sofi yang memberi dukungan, saling mengajari dalam

membantu penyelesaian skripsi ini.

12. Teman-teman Matematika Angkatan 2012 yang memberikan banyak

inspirasi dan motivasi.

13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini.



viii

Dengan segala kerendahan hati, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih

jauh dari kesempurnaan mengingat keterbatasan pengetahuan yang penulis

peroleh hingga saat ini, namun penulis sudah berupaya agar tidak terjadi

kesalahan pada penulisan ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan

saran yang bersifat membangun guna terciptanya kesempurnaan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak-pihak yang membacanya dan bagi

penulis sendiri.

Surabaya, Juli 2016

Faidah Alimatul Fitriah



ix

Faidah Alimatul Fitriah, 2016, Analisis Model Matematika Peran Penambahan

Makanan dalam Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada Prey.

Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si. dan Dr. Miswanto, M.Si.

Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga,

Surabaya.

ABSTRAK

Eko-epidemiologi adalah ilmu yang mempelajari tentang penyebaran

penyakit menular pada sebuah populasi dalam interaksi di suatu lingkungan.

Sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey menyediakan makanan

alternatif sebagai penambahan makanan untuk predator. Tujuan dari skripsi ini

adalah untuk menganalisis model matematika peran penambahan makanan dalam

sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey serta memperlihatkan peran

dari penambahan makanan pada sistem eko-epidemiologi.

Pada skripsi ini membahas analisis kestabilan dari titik setimbang yang

terdapat pada model dan syarat eksistensinya. Dari analisis model diperoleh empat

titik setimbang yaitu titik setimbang kepunahan 𝐸0 , titik setimbang aksial 𝐸1 , titik setimbang bebas penyakit atau kepunahan prey yang terinfeksi 𝐸2 , dan titik

setimbang koeksistensi prey dan predator 𝐸3 . Titik setimbang 𝐸0 tidak stabil,

sedangkan titik setimbang 𝐸1, 𝐸2, dan 𝐸3 stabil asimtotis dengan syarat tertentu.

Kestabilan lokal dari keempat titik setimbang tersebut dikaji dengan

menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Berdasarkan hasil simulasi numerik

menggambarkan bahwa adanya makanan alternatif sebagai penambahan makanan

yang sesuai dapat memaksimumkan populasi prey yang rentan dan predator serta

meminimumkan prey yang terinfeksi meskipun tingkat infeksinya tinggi.

Penggunaan makanan alternatif sebagai penambahan makanan untuk predator

dengan penyakit pada prey memperkenalkan metode baru non-kimia pada sistem

eko-epidemiologi.

Kata Kunci : Sistem eko-epidemiologi, Prey yang terinfeksi, Penambahan

makanan, Titik setimbang, Kestabilan.



x

Faidah Alimatul Fitriah, 2016, Analysis Mathematical Model Role of Additional

Food in Eco-epidemiological System with Disease in the Prey. This

undergraduate thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Miswanto,

M.Si. Mathematics Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga

University, Surabaya.

ABSTRACT

Eco-epidemiologi is study the spread of infectious diseases in a population

in the interaction in an environment. An eco-epidemiological system with disease

in the prey supplying alternative food be that of additional food to predator. The

aims of this thesis is to analyze mathemathical model role of additional food in

eco-epidemiological system with disease in the prey as well as to show the role

additional food in an eco-epidemiological system.

In this thesis discussed analyze stability of the equilibrium point contained

in the model and condition of existence. Based on the analysis of model, four

equilibriums are obtained. Those are extinction (𝐸0), axial (𝐸1), infected prey

extinction or disease free (𝐸2), and the coexistence between prey and predator

(𝐸3). The 𝐸0 equilibrium is unstable; while 𝐸1, 𝐸2, and 𝐸3 are stable

asymptotically under certain conditions. Local stability of four equilibriums using

Routh-Hurwitz criteria. Based on numerical simulation results illustrate that what

looked like altenative food be that of additional food correspond to can maximize

population susceptible prey and predator as soon as minimize population infected

prey although the level high infection. The use alternative food be that of

additional food for predators to prey disease in introducing new non-chemical

methods in eco-epidemiological system.

Keywords : Eko-epidemiological system, infected prey, Additional food,

Equilibrium, Stability



xi

DAFTAR ISI

LEMBAR JUDUL ............................................................................................... i

LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................... ii

LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................... iii

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ........................................................... iv

SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS .................................. v

KATA PENGANTAR ....................................................................................... vi

ABSTRAK ........................................................................................................ ix

ABSTRACT ....................................................................................................... x

DAFTAR ISI ..................................................................................................... xi

DAFTAR TABEL ........................................................................................... xiv

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xv

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... xvi

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1

1.1 Latar Belakang .............................................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah......................................................................................... 5

1.3 Tujuan ........................................................................................................... 5

1.4 Manfaat ......................................................................................................... 6

1.5 Asumsi .......................................................................................................... 6



xii

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................ 7

2.1 Eko-epidemiologi ......................................................................................... 7

2.2 Model Logistik ............................................................................................. 8

2.3 Model Predator-Prey Lotka Volterra ........................................................... 8

2.4 Model Holling............................................................................................... 9

2.5 Sistem Persamaan Diferensial .................................................................... 11

2.6 Kestabilan Sistem Linier ............................................................................ 13

2.7 Kriteria Routh-Hurwitz ............................................................................... 16

2.4 Bilangan Reproduksi Dasar ........................................................................ 18

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ......................................................... 21

BAB IV PEMBAHASAN ................................................................................ 23

4.1 Analisis Model Matematika Peran Penambahan Makanan dalam Sistem

Eko-Epidemiologi dengan Penyakit pada Prey .......................................... 23

4.1.1 Titik Setimbang Model ....................................................................... 30

4.1.2 Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal ................................................... 35

4.2 Simulasi Model Matematika Peran Penambahan Makanan dalam Sistem

Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada Prey ........................................... 44

BAB V PENUTUP ........................................................................................... 54

5.1 Kesimpulan ................................................................................................. 54

5.2 Saran ........................................................................................................... 55



xiii

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 56

LAMPIRAN



xiv

DAFTAR TABEL

Tabel Judul Tabel Halaman

4.1 Keterangan parameter-parameter yang digunakan pada

model matematika peran penambahan dalam sistem eko-

epidemiologi dengan penyakit pada prey

25

4.2 Keterangan parameter-parameter setelah adanya

perskalaan pada model

29

4.3 Nilai Awal Simulasi Titik Setimbang Koeksistensi 𝐸3 42

4.4

4.5

Nilai Parameter Simulasi Titik Setimbang Koeksisitensi

𝐸3

Nilai parameter simulasi numerik

43

45



xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar Judul Halaman

4.1 Simulasi Bidang Fase 𝑆 − 𝐼 untuk Titik Setimbang

Koeksistensi 𝐸3

43

4.2 Dinamika populasi prey yang rentan untuk 𝛽 = 1,25

dengan 𝛼 = 0, 𝜉 = 0 dan 𝛼 = 0,8, 𝜉 = 0,4

46

4.3 Dinamika populasi prey yang rentan untuk 𝛽 = 0,1

dengan 𝛼 = 0, 𝜉 = 0 dan 𝛼 = 0,8, 𝜉 = 0,4

47

4.4

4.5

4.6

4.7

Dinamika populasi prey yang terinfeksi untuk 𝛽 = 1,25

dengan 𝛼 = 0, 𝜉 = 0 dan 𝛼 = 0,8, 𝜉 = 0,4

Dinamika populasi prey yang terinfeksi untuk 𝛽 = 0,1

dengan 𝛼 = 0, 𝜉 = 0 dan 𝛼 = 0,8, 𝜉 = 0,4

Dinamika populasi predator untuk 𝛽 = 1,25 dengan

𝛼 = 0, 𝜉 = 0 dan 𝛼 = 0,8, 𝜉 = 0,4

Dinamika populasi predator untuk 𝛽 = 0,1 dengan

𝛼 = 0, 𝜉 = 0 dan 𝛼 = 0,8, 𝜉 = 0,4

48

50

51

52



xvi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Judul

1. Analisis Perskalaan

2. Perhitungan Titik Setimbang E0

3. Perhitungan Titik Setimbang E1

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Perhitungan Titik Setimbang E2

Perhitungan Titik Setimbang E3

Perhitungan Basic Reproduction Number

Pencarian Persamaan Karakteritik Titik Setimbang E0




Kode Program untuk Simulasi Bidang Fase dan Grafik Dinamika

Simulasi Dinamika Model Matematika Peran Penambahan Makanan

dalam Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada Prey (𝛼 = 0

dan 𝜉 = 0)

Simulasi Dinamika Model Matematika Peran Penambahan Makanan

dalam Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada Prey (𝛼 = 0.8

dan 𝜉 = 0.4)



1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Hubungan timbal balik antara makhluk hidup dengan makhuk hidup lain serta

dengan benda tak hidup di lingkungannya membentuk ekosistem. Ilmu yang

mempelajari ekosistem disebut ekologi. Ekologi berasal dari dua kata dalam bahasa

Yunani, yaitu oikos dan logos. Oikos artinya rumah atau tempat tinggal, dan logos

artinya ilmu. Istilah ekologi pertama kali dikemukakan oleh Ernst Haeckel. Ekologi

mempelajari bagaimana makhluk hidup dapat mempertahankan kehidupannya dengan

mengadakan hubungan antar makhluk hidup dan dengan benda tak hidup di dalam

tempat hidupnya atau lingkungannya (Syamsuri, 2007).

Pada dasarnya makhluk hidup dan habitatnya tidak dapat dipisahkan satu

dengan yang lain, keduanya saling mempengaruhi. Setiap kelompok makhluk hidup

menetap di tempat tertentu yang dinamakan habitat, seperti daratan, perairan, hutan,

dan sawah (Aryulina, 2004). Antara makhluk hidup yang satu dengan yang lain

terjadi hubungan, baik antara sesama spesies maupun antar spesies, sesama

komponen biotik maupun antara komponen biotik dan abiotik. Hubungan timbal

balik dikenal pula dengan istilah interaksi atau aksi interaksi (Syamsuri, 2007).

Ada beberapa jenis interaksi yang dapat terjadi antar makhluk hidup, yaitu

simbiosis, predasi, dan kompetisi. Predasi merupakan hubungan antara makhluk

hidup yang memangsa (predator) dan makhluk hidup yang dimangsa (prey). Pada



2

predasi umumnya suatu spesies memakan spesies lain, meskipun beberapa hewan

memangsa sesama jenisnya. Pada predasi antar hewan, predator kebanyakan

berukuran lebih besar daripada prey (Aryulina, 2004). Interaksi antar dua populasi

ini sangat penting karena kelangsungan hidup makhluk hidup tergantung pada

keseimbangan lingkungan di sekitarnya. Dengan demikian keseimbangan tersebut

dapat tercapai jika jumlah rata-rata populasi dari mangsa dan pemangsa yang sedang

berinteraksi sesuai dengan ukuran dan proporsinya.

Pada bidang ekologi, eko-epidemiologi sangat penting dalam pemahaman

munculnya penyakit. Bidang tersebut mempelajari mengenai dinamika populasi,

epidemi, dan penyakit yang terinfeksi pada komunitas yang ada di lingkungan

masyarakat. Oleh karena itu dalam pemodelan matematika dikaji berbagai macam

model matematika untuk mengetahui terjadi atau tidaknya suatu epidemi dalam

populasi pada ekologi yang nyata. Hal ini didasarkan pada beberapa sifat spesifik dari

aturan penyebaran penyakit menular dan faktor-faktor sosial yang terkait untuk

membangun model matematika. Faktor penyakit pada sistem predator-prey pertama

kali diperkenalkan oleh Anderson dan Mei. Anderson dan Mei meneliti faktor utama

pengacauan yang terjadi pada interaksi predator-prey serta menemukan studi faktor

pengendalian penyakit tersebut (Sahoo, 2015).

Selama 50 tahun terakhir, pengendalian penyakit sangat bergantung pada

penggunaan bahan kimia seperti fungisida, bakterisida, dan fumigants tanah.

Penggunaan bahan kimia untuk mengendalikan penyakit telah terbukti memiliki efek

samping jangka panjang pada ekosistem yaitu individu yang terinfeksi mencemari



3

lingkungan. Oleh karena itu metode non-kimia pengendalian penyakit menjadi

perhatian besar (Sahoo dan Poria, 2014).

Penggunaan makanan altenatif adalah salah satu yang penting dalam

pengobatan non-kimia untuk pengendalian penyakit dalam sistem eko-epidemiologi.

Beberapa penelitian melakukan penambahan makanan dengan cara adanya makanan

alternatif untuk predator dalam program pengendalian biologis. Sahoo dan Poria

(2013) menyatakan bahwa makanan alternatif untuk predator dalam sistem predator-

prey yang sakit. Sahoo dan Poria memberikan penjelasan bahwa meningkatnya

populasi predator dengan adanya makanan alternatif dapat menghapus infeksi dari

sistem (Sahoo dan Poria, 2013).

Adanya makanan alternatif sebagai penambahan makanan untuk predator

dapat membantu pelestarian predator pada sistem eko-epidemiologi dengan penyakit

pada prey, karena dalam sistem tersebut jumlah prey lebih sedikit daripada jumlah

predator dan predator akan lebih survive jika tedapat lebih dari satu prey. Akibatnya,

predator dapat memangsa makanan alternatif sebagai penambahan makanan yang

telah tersedia sehingga kelestarian populasi predator akan tetap terjaga. Oleh karena

itu, penambahan makanan dengan adanya makanan alternatif dapat memberikan

keseimbangan antara populasi prey dan predator.

Fenomena yang menggambarkan dimana populasi prey terserang penyakit,

dijelaskan oleh Chattopadhyay dan Bairagi (2011), yaitu interaksi antara populasi

burung pelikan (predator) dan ikan tilapia (prey) di Laut Salton, California. Ikan

tilapia tersebut terinfeksi bakteri Avian botulism. Bakteri tersebut membuat tubuh



4

ikan tilapia mengalami kekosongan oksigen. Akibatnya, ikan tilapia yang terinfeksi

akan berenang menuju permukaan air dan menjadi rentan dipredasi oleh burung

pelikan. Apabila burung pelikan memakan ikan tilapia terinfeksi yang masih hidup,

maka mereka akan mengalami keracunan dan mati, karena di dalam jaringan tubuh

ikan tilapia terinfeksi masih terdapat racun botulism yang dihasilkan oleh bakteri

Avian botulism (Chattopadhyay dan Bairagi, 2011).

Para ilmuwan telah mengembangkan model matematika untuk

menggambarkan peran penambahan makanan tersebut. Hal ini ditunjukkan dengan

banyaknya penelitian yang membahas tentang makanan alternatif sebagai peran

penambahan makanan dengan penyakit pada prey. Salah satunya adalah Sahoo dan

Poria (2015) dengan penelitiannya yang berjudul “Effects of additional food in a

delayed predator-prey model”. Pada model tersebut interaksinya bertipe Holling.

Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk mengkaji ulang model

matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan

penyakit pada prey. Dari model tersebut akan dianalisa kestabilan dari titik

setimbang. Materi dalam penelitian ini bukanlah sesuatu yang baru karena diambil

dari jurnal yang berjudul “Role of additional food in eco-epidemiological system with

disease in the prey” yang telah dikembangkan oleh Sahoo pada tahun 2015. Dalam

hal ini, analisis kestabilan titik setimbang digunakan untuk mengetahui peran

penambahan makanan sebagai pengendalian penyakit pada prey.



5

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah penulis uraikan di atas, maka

permasalahan yang akan diselesaikan dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana analisis kestabilan titik setimbang model matematika peran

penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada

prey?

2. Bagaimana simulasi dan interpretasi dari model matematika peran


prey?

1.3 Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah yang telah diuraikan di atas, tujuan dari

penelitian ini adalah:

1. Menganalisis kestabilan titik setimbang model matematika peran penambahan

makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey.

2. Mensimulasikan dan menginterpretasikan model matematika peran


prey.



6

1.4 Manfaat

Beberapa manfaat yang bisa diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Memberikan kontribusi terhadap perkembangan ilmu pengetahuan khususnya

di bidang pemodelan matematika yang terkait dengan bidang biologi terutama

ekologi.

2. Memberikan gambaran kesetimbangan dari peran penambahan makanan

dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey.

3. Dapat digunakan sebagai acuan untuk penelitian selanjutnya.

1.5 Asumsi

Asumsi dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Penyakit menyebar hanya diantara populasi prey dan tidak diwariskan secara

genetik.

2. Mangsa yang rentan menjadi terinfeksi ketika bersentuhan dengan mangsa

yang terinfeksi.



7

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dibahas mengenai model matematika peran penambahan

makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey, oleh karena itu

akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang mendukung pada pembahasan

selanjutnya.

2.1 Eko-epidemiologi

Secara harfiah, epidemiologi berasal dari kata epi (permukaan di atas,

menimpa), demo (orang, populasi, manusia), dan ologi (ilmu tentang) (Efendi dan

Majhfudli, 2009). Dengan demikian, istilah epidemiologi berarti ilmu yang

mempelajari tentang distribusi penyakit pada manusia, serta faktor-faktor resiko atau

masalah kesehatan yang dapat menimbulkan terjadinya kesakitan pada sekelompok

orang atau masyarakat. Menurut WHO pada Regional Commite Meeting ke-42 tahun

1989 di Bandung telah membuat definisi mengenai epidemiologi yaitu ilmu yang

mempelajari distribusi dari peristiwa kesehatan dan peristiwa lainnya yang

berhubungan dengan kesehatan yang menimpa sekelompok masyarakat, dan

menerapkan ilmu tersebut untuk memecahkan masalah-masalah kesehatan (Chandra

2006). Dengan demikian, eko-epidemiologi adalah ilmu yang mempelajari tentang

penyebaran penyakit menular pada sebuah populasi dalam interaki di suatu

lingkungan.



8

2.2 Model Logistik

Teori pertumbuhan populasi dikemukakan pertama kali oleh Malthus pada

tahun 1798. Malthus menuturkan bahwa petumbuhan populasi tumbuh secara

eksponensial dan akhirnya melampaui produksi makanan. Pada 1883, teori ini

disanggah oleh Verhulst. Verhulst menuturkan bahwa pertumbuhan populasi tidak

naik secara eksponensial melainkan dibatasi oleh ukuran dan kesuburan dari daerah

yang menjadi tempat tinggal dari populasi. Sebagai hasilnya populasi semakin

mendekati ke keadaan tetap (steady state). Model seperti ini dinamakan model

logistik yang dinyatakan dalam bentuk

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑟𝑃 1−

𝑃

𝐾 , (2.3)

dengan 𝑃 = 𝑃(𝑡) adalah jumlah populasi pada saat 𝑡, 𝑟 adalah laju pertumbuhan

intrinsik, yaitu nilai yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi. Dalam hal ini

diasumsikan 𝑟 > 0 karena setiap populasi memiliki potensi untuk berkembang biak,

dan 𝐾 menyatakan kapasitas tampung yaitu ukuran maksimum dari suatu populasi

yang dapat diokong oleh suatu lingkungan.

(Hofbauer dan Sigmund, 1998)

2.3 Model Predator-Prey Lotka Volterra

Model predator-prey Lotka-Volterra pertama kali diperkenalkan oleh Alfred

J. Lotka pada tahun 1926. Model tersebut menggambarkan persaingan antara

predator dengan prey. Apabila tidak ada interaksi yang terjadi diantara prey dan



9

predator serta lingkungan tidak membatasi maka populasi prey akan meningkat tak

terbatas yang disebut dengan model pertumbuhan eksponensial. Akan tetapi, populasi

predator akan turun secara eksponensial tanpa adanya prey. Hal ini terjadi karena

prey tersebut adalah makanan utama bagi pemangsa.

Misalkan 𝑥 = 𝑥(𝑡) mewakili total populasi prey pada saat 𝑡 dan 𝑦 = 𝑦(𝑡) mewakili

total populasi predator pada saat 𝑡, maka model predator-prey Lotka Volterra

dinyatakan dalam bentuk

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥𝑦 (2.1)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑐𝑦 + 𝑑𝑥𝑦, (2.2)

dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 adalah konstanta positif, 𝑑𝑥

𝑑𝑡 adalah laju perubahan populasi prey

pada saat 𝑡 dan 𝑑𝑦

𝑑𝑡 adalah laju perubahan populasi predator pada saat 𝑡. Parameter 𝑎

adalah laju pertumbuhan prey ketika tidak ada predator dan 𝑐 adalah laju penurunan

dari predator ketika tidak ada prey, sedangkan – 𝑏𝑥𝑦 adalah laju berkurangnya

populasi prey saat berinteraksi dengan populasi predator dan 𝑑𝑥𝑦 adalah laju

bertambahnya populasi predator saat berinteraksi dengan populasi prey.

(Bacaer, 2011)

2.4 Model Holling

Holling (1959) menurunkan model yang membatasi laju predator menangkap

prey atau laju predasi dari predator. Dalam model ini diasumsikan bahwa predator

menghabiskan waktunya untuk dua aktivitas yaitu:



10

1. Mencari prey

2. Menangani prey yang terdiri dari: mengejar, memangsa, dan mencerna.

Laju konsumsi predator dalam model ini dibatasi waktu. Hal ini terjadi karena

saat jumlah prey berlimpah predator tidak perlu waktu untuk mencari, tetapi tetap

menghabiskan waktu untuk menangani prey.

Total waktu adalah jumlah waktu yang dibutuhkan oleh predator untuk

mencari dan menangani prey yakni

𝑇 = 𝑇𝑠 + 𝑇𝑕 (2.4)

dengan 𝑇𝑠 adalah waktu untuk mencari prey dan 𝑇𝑕 adalah waktu untuk menangani

prey. Diasumsikan bahwa predator menangkap 𝑁 prey selama waktu 𝑇 dengan

𝑁 > 0. Waktu untuk menangani prey sebanding dengan jumlah prey yang tertangkap

𝑇𝑕 = 𝑕𝑁 (2.5)

𝑕 adalah waktu untuk menangani satu prey.

Setelah menghabiskan 𝑇𝑠 untuk mencari, seekor predator menjelajah area

sebanyak 𝑘𝑇𝑠, dengan 𝑘 adalah konstanta positif, 𝑥 adalah populasi prey per unit area

dan 𝑘𝑥𝑇𝑠 yaitu waktu menangkap prey, sehingga

𝑁 = 𝑘𝑥𝑇𝑠 (2.6)

dengan mensubstitusikan persamaan (2.4) dan (2.5) ke persamaan (2.6) diperoleh:

𝑁 = 𝑘𝑥 𝑇 − 𝑇𝑕

⟺𝑁 = 𝑘𝑥 𝑇 − 𝑕𝑁

⟺𝑁 = 𝑘𝑥𝑇 − 𝑘𝑥𝑕𝑁



11

⟺𝑁 + 𝑘𝑥𝑕𝑁 = 𝑘𝑥𝑇

⟺𝑁 1 + 𝑘𝑕𝑥 = 𝑘𝑥𝑇

dari sini jumlah prey per satuan waktu atau laju predasi adalah

𝑁

𝑇=

𝑘𝑥

1+𝑘𝑕𝑥 (2.7)

(Logan, 2006)

2.5 Sistem Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial didefinisikan sebagai persamaan yang mengandung

satu atau lebih variabel dependen dan turunannya yang berhubungan satu atau lebih

variabel independen (Zill dan Cullen, 2009). Model matematika peran penambahan

makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey ini dinyatakan

dalam bentuk sistem persamaan diferensial nonlinier, karena adanya interaksi antar

komponen. Secara umum sistem persamaan diferensial nonlinear sulit ditentukan

secara analitik. Oleh karena itu, digunakan solusi khusus yang biasanya disebut titik

setimbang, sehingga untuk mengetahui dinamika model matematika peran

penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey

dapat diketahui melalui solusi khusus model tersebut. Berikut ini diberikan beberapa

definisi serta teorema yang berhubungan dengan titik setimbang pada sistem

persamaan diferensial adalah sebagai berikut:



12

Definisi 2.1 Sebuah sistem persamaan diferensial linier dapat dinyatakan sebagai:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑥 (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) (2.8)

dengan 𝑥 𝑡 ∈ ℝ𝑛 dinamakan vektor keadaan (state). Penyelesaian dari sistem (2.8)

adalah

𝑥 𝑡 = 𝑒𝐴𝑡𝑥0

dengan

𝑒𝐴𝑡 = 𝐼 + 𝐴𝑡 + 𝐴2𝑡2

2!+⋯+ 𝐴𝑘

𝑡𝑘

𝑘!+⋯ = 𝐴𝑘

𝑡𝑘

𝑘!

∞

𝑘=0

dan 𝑥 𝑡0 = 𝑥0 dinamakan nilai awal dari sistem.

(Bronson dan Costa, 2007)

Definisi 2.2 Sebuah sistem persamaan diferensial orde satu dalam 𝑛 persamaan

dinamakan sebagai sistem autonomous jika sistem tersebut ditulis dalam bentuk

𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑔1(𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛)

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑔2 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛

.

.

.

𝑑𝑥𝑛𝑑𝑡

= 𝑔𝑛 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 ,



13

dengan variabel t tidak muncul secara eksplisit di setiap persamaan diferensial. Jika

variabel t muncul secara eksplisit pada persamaan diferensial maka dinamakan sistem

non-autonomous

(Zill dan Cullen, 2009)

Definisi 2.3 Diberikan sistem persamaan diferensial autonomous, 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥). Titik 𝑥

dikatakan titik setimbang jika memenuhi 𝑓 𝑥 = 0.

(Olsder, 2003)

2.6 Kestabilan Sistem Linier

Setelah didapatkan titik setimbang model, selanjutnya dilakukan analisis pada

titik setimbang model, guna untuk mengetahui dinamika perilaku solusi disekitar titik

setimbang. Solusi khusus disekitar titik setimbang akan diaproksimasi menggunakan

garis linear (linearisasi) yang akan mewakili model dalam bentuk sistem persamaan

diferensial linear menggunakan matriks jacobian. Nilai eigen dari matriks Jacobian

digunakan untuk menganalisis kestabilan dari titik setimbang. Kestabilan tersebut

bersifat lokal karena hanya berlaku disekitar titik setimbang. Berikut ini diberikan

definisi maupun teorema yang berhubungan dengan linearisasi sistem persamaan

diferensial dan kestabilan lokal pada titik setimbang.



14

Definisi 2.4 Diberikan sistem persamaan diferensial autonomous sebagai berikut:

𝑑𝑥1(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑔1(𝑥1,𝑥2 ,… , 𝑥𝑛)

𝑑𝑥2(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑔2 𝑥1,𝑥2 ,… , 𝑥𝑛

.

.

.

𝑑𝑥𝑛(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑔𝑛 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛

Matriks Jacobian dari sistem di atas adalah:

𝜕𝑔1

𝜕𝑥1

𝜕𝑔1

𝜕𝑥2…

𝜕𝑔1

𝜕𝑥𝑛𝜕𝑔2

𝜕𝑥1

𝜕𝑔2

𝜕𝑥2…

𝜕𝑔2

𝜕𝑥𝑛… … ⋱ …𝜕𝑔𝑛𝜕𝑥1

𝜕𝑔𝑛𝜕𝑥2

…𝜕𝑔𝑛𝜕𝑥𝑛

(Zill dan Cullen, 2009)

Definisi 2.5 Jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛, maka vektor tak nol 𝑥 di dalam

ℝ𝑛 dinamakan vektor eigen dari 𝐴 jika 𝐴𝑥 adalah kelipatan skalar dari 𝑥, yaitu:

𝐴𝑥 = 𝜆𝑥

skalar 𝜆 dinamakan nilai eigen dari 𝐴 dan 𝑥 dikatakan vektor eigen yang bersesuaian

dengan 𝜆.

(Anton, 2005)



15

Teorema 2.6 Jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛, maka pernyataan di bawah ini

ekivalen satu sama lain:

a. 𝜆 adalah nilai eigen dari 𝐴.

b. Sistem persamaan 𝜆𝐼 − 𝐴 𝑥 = 0 mempunyai solusi tak trivial.

c. Untuk 𝜆 ∈ ℝ𝑛 maka ada vektor tak nol 𝑥 di dalam ℝ𝑛 sehingga 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥.

d. 𝜆 adalah solusi dari persamaan karakteristik det 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0.

(Anton, 2005)

Definisi 2.7 Sistem 𝑥 = 𝐴𝑥(𝑡) dikatakan stabil asimtotis jika

lim𝑡→∞

𝑥 𝑡 = 0

dengan 𝑥(𝑡) penyelesaian dari sistem tersebut, 𝑥 𝑡 ∈ ℝ𝑛 dan 0 adalah titik

setimbang dari 𝑥 = 𝐴𝑥(𝑡).

(Zill and Cullen, 2009)

Teorema 2.8 Sistem 𝑥 = 𝐴𝑥(𝑡) dikatakan stabil asimtotis jika dan hanya jika semua

nilai eigen dari 𝐴, yakni 𝜆𝑖 𝐴 mempunyai bagian real negatif dan dinotasikan

sebagai 𝑅𝑒(𝜆𝑖(𝐴)) < 0.

(Zill and Cullen, 2009)



16

2.7 Kriteria Routh-Hurwitz

Pada akhir 1800-an, A. Hurwitz dan E.J. Routh menerbitkan sebuah metode

yang menyelidiki tentang stabilitas sistem yang disebut Kriteria Routh Hurwitz.

Metode ini dilakukan untuk menunjukkan tanda bagian rea negatif dari nilai eigen

tanpa menghitung akar-akar persamaan karrakteristik secara langsung.

(Levine, 2000)

Diberikan peramaan karakteristik dengan derajat 𝑛 sebagai berikut:

𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆𝑛−1 + 𝑎2𝜆

𝑛−2 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝜆 + 𝑎𝑛 = 0, (2.9)

dengan koefisien 𝑎𝑖 adalah bagian real, dan 𝑖 = 1,2,3,… , 𝑛. Dari sini dapat dibentuk

matriks 𝐻𝑛 , dengan 𝐻𝑛 adalah matriks Hurwitz yang berisi koefisien 𝑎𝑖 dari

persamaan karakteristik (2.9) yang didefinisikan sebagai berikut:

𝐻𝑛 =

𝑎1 1 0 0 ⋯ 0𝑎3 𝑎2 𝑎1 1 ⋯ 0𝑎5 𝑎4 𝑎3 𝑎2 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎2𝑛−3 𝑎2𝑛−4 𝑎2𝑛−5 𝑎2𝑛−6 ⋯ 𝑎𝑛−2

𝑎2𝑛−1 𝑎2𝑛−2 𝑎2𝑛−3 𝑎2𝑛−4 ⋯ 𝑎𝑛

,

dengan 𝑎𝑗 = 𝑎𝑗 , 𝑗 ≤ 𝑛

0 , 𝑗 > 𝑛 .

Teorema 2.9 Akar-akar dari persamaan karakteristik (2.9) bernilai negatif atau

mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika semua determinan dari matriks

Hurwitz bernilai positif atau

det 𝐻𝑗 > 0, 𝑗 = 1,2,… , 𝑛.

(Merkin, 1997)



17

Berikut ini akan diberikan contoh kriteria Routh-Hurwitz dengan derajat 𝑛 = 3.

Untuk 𝑛 = 3, bentuk persamaan karakteristiknya adalah:

𝜆3 + 𝑎1𝜆2 + 𝑎2𝜆 + 𝑎3 = 0. (2.10)

Dari persamaan (2.10) maka dibentuk matriks Hurwitz sebagai berikut:

𝐻1 = 𝑎1 𝐻2 = 𝑎1 10 𝑎2

𝐻3 = 𝑎1 1 0𝑎3 𝑎2 𝑎1

0 0 𝑎3

Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, akar-akar persamaan (2.10) mempunyai bagian

real negatif jika dan hanya jika det 𝐻1 > 0, det 𝐻2 > 0, dan det 𝐻3 > 0. Dengan

demikian didapatkan kondisi sebagai berikut:

i. det 𝐻1 = 𝑎1 > 0 didapatkan 𝑎1 > 0.

ii. det 𝐻2 = 𝑎1 10 𝑎2

> 0 didapatkan 𝑎1𝑎2 > 0. Karena 𝑎1 > 0 maka

𝑎2 > 0.

iii. 𝑑𝑒𝑡(𝐻3) = 𝑎1 1 0𝑎3 𝑎2 𝑎1

0 0 𝑎3

> 0 sehingga 𝑎1𝑎2𝑎3 − 𝑎32 > 0.

Akibatnya 𝑎3(𝑎1𝑎2 − 𝑎3) > 0, dengan demikian didapatkan dua kondisi yaitu

a. 𝑎3 > 0 dan 𝑎1𝑎2 − 𝑎3 > 0

b. 𝑎3 < 0 dan (𝑎1𝑎2 − 𝑎3) < 0

Untuk kondisi (b) tidak mungkin terjadi, sebab jika 𝑎3 < 0 maka tidak mungkin

𝑎1𝑎2 − 𝑎3 < 0. Dengan demikian akar-akar dari persamaan karakteristik (2.10)

bernilai negatif atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika

𝑎1,𝑎2,𝑎3 > 0 dan 𝑎1𝑎2 − 𝑎3 > 0.



18

2.8 Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan reproduksi dasar, dinotasikan dengan ℛ0, merupakan suatu ukuran

potensi penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar

didefinisikan sebagai nilai harapan banyaknya populasi rentan yang menjadi

terinfeksi selama masa infeksi berlangsung.

Kondisi yang timbul adalah:

1. Jika ℛ0 < 1, maka satu individu yang terinfeksi akan menginfeksi kurang dari

satu indvidu rentan sehingga penyakit akan hilang dari populasi.

2. Jika ℛ0 > 1, maka satu individu terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu

individu rentan, sehingga penyakit akan bertahan dalam populasi.

ℛ0 dalam skripsi ini ditentukan dari nilai eigen taknegatif dengan modulus

terbesar the next generation matriks. Matriks ini merupakan suatu matriks yang

konstruksi dari sub-subpopulasi yang menyebabkan infeksi saja. Untuk model umum

dapat ditulis sebagai berikut:

𝑎 𝑖 = ℱ𝑖 𝑎, 𝑏 − 𝒱𝑖 𝑎, 𝑏 , 𝑖 = 1,2,… ,𝑛

𝑏 𝑗 = 𝑔𝑗 𝑎, 𝑏 , 𝑗 = 1,2,… ,𝑚

maka sistem persamaan diferensial taklinear 𝑥 = 𝑓 𝑥 ,𝑥 ∈ ℝ𝑛 dapat ditulis sebagai

berikut:

𝑎 = (𝑀 −𝐷)𝑎

dengan F dan V adalah matriks-matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 serta



19

𝑀 =𝜕𝑀𝑖

𝜕𝑎𝑗 0, 𝑏0 𝑑𝑎𝑛 𝐷 =

𝜕𝐷𝑖

𝜕𝑎𝑗(0, 𝑏0);

(0,b0) adalah titik tetap tanpa penyakit.

The next generatiom matriks K untuk suatu sistem persamaan diferensial pada

titik tetap tanpa penyakit terbentuk

K=MD-1

Nilai eigen taknegatif dengan modulus terbesar matriks K, yaitu 𝜌(𝑀𝐷−1),

yang nantinya dapat digunakan sebagai nilai ℛ0, sehingga dapat ditulis

𝜌(𝑀𝐷−1 = ℜ0).

(Driessche dan Watmough, 2002)



21

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai

berikut:

1. Melakukan studi literatur melalui buku referensi, jurnal maupun artikel yang

berkaitan dengan model matematika peran penambahan makanan dalam

sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey.

2. Mengkaji model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-

epidemiologi dengan penyakit pada prey.

3. Menganalisis kestabilan model matematika peran penambahan makanan

dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey, dengan langkah-

langkah sebagai berikut:

a. Menentukan titik setimbang dari model matematika peran penambahan

makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey.

b. Menganalisis kestabilan lokal dengan langkah-langkah sebagai berikut:

i. Linearisasi model matematika peran penambahan makanan

dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey

dengan menggunakan matriks Jacobian.

ii. Menentukan sifat kestabilan dari titik setimbang yang telah

diperoleh dari model matematika peran penambahan makanan




22

4. Melakukan simulasi numerik dari model matematika peran penambahan

makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey dengan

menggunakan software pemrograman yaitu MATLAB atau MAPLE.

5. Melakukan interpretasi dari model matematika peran penambahan makanan


6. Menarik kesimpulan dari model matematika peran penambahan makanan

dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey berdasarkan

langkah pertama hingga langkah terakhir.



23

BAB IV

PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas mengenai analisis kestabilan dan simulasi model

matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan

penyakit pada prey. Pertama kali model dianalisis kestabilan dari titik setimbang

yang telah diperoleh. Selanjutnya model tersebut disimulasikan ke dalam sebuah

program MATLAB R2009a untuk mengetahui pengaruh prey dan penambahan

makanan pada predator.

4.1 Analisis Model Matematika Peran Penambahan Makanan dalam

Sistem Eko-Epidemiologi dengan Penyakit pada Prey

Pada bagian ini dijelaskan model matematika peran penambahan makanan

dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey. Model matematika

tersebut mengacu pada model yang dikembangkan oleh Sahoo (2015).

Asumsi yang digunakan dalam pembentukan model matematika peran

penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey

adalah sebagai berikut:

1. Populasi dibagi menjadi tiga subpopulasi, yaitu:

a. Subpopulasi prey suspectible atau rentan terhadap penyakit yang

dinyatakan dengan S.

b. Subpopulasi prey infectious atau terinfeksi dan dapat menularkan

penyakit yang dinyatakan dengan I.



24

c. Subpopulasi predator yang dapat dinyatakan dengan P.

2. Populasi mangsa yang rentan tumbuh secara logistik dengan tingkat

pertumbuhan intrinsik dan kapasitas pendukung.

3. Diasumsikan bahwa penyakit ini menyebar hanya di antara populasi

mangsa dan tidak diwariskan secara genetik. Populasi yang terinfeksi tidak

sembuh atau menjadi kebal.

4. Mangsa yang rentan menjadi terinfeksi ketika mereka sampai bersentuhan

dengan mangsa yang terinfeksi. Proses kontak diasumsikan mengikuti

kinetika kejadian saturasi (kejenuhan), dengan 𝑊1 mengukur kekuatan

infeksi, 𝐸1 konstanta saturasi (titik jenuh) dan 𝑊2 efek penghambatan.

5. Terdapat makanan alternatif sebagai penambahan makanan untuk Predator

bernilai konstan 𝐴 yang terdistribusi secara merata di habitat.

6. Jumlah pertemuan per predator dengan makanan alternatif sebagai

penambahan makanan sebanding dengan kepadatan makanan alternatif

sebagai penambahan makanan.

7. Proporsionalitas konstan mencirikan kemampuan predator untuk

mengidentifikasi makanan alternatif sebagai penambahan makanan.

Pada Tabel 4.1 berikut merupakan keterangan parameter-parameter yang

digunakan pada model matematika peran penambahan makanan dalam sistem

eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey.



25

Tabel 4.1 Keterangan parameter-parameter yang digunakan pada model

matematika peran penambahan dalam sistem eko-epidemiologi

dengan penyakit pada prey

Parameter Keterangan

𝑆(𝑡) Populasi prey rentan pada saat 𝑡

𝐼(𝑡) Populasi prey terinfeksi pada saat 𝑡

𝑃(𝑡) Populasi predator pada saat 𝑡

𝑅0 Tingkat pertumbuhan intrinsic

𝐾0 Kapasitas pendukung

𝑊1 Kekuatan infeksi

𝐸1 Konstanta saturasi

𝑊2 Efek Penghambatan

𝐴

Biomassa konstan dari makanan alternatif sebagai penambahan

makanan

𝑕1

Waktu penanganan dari predator per kuantitas satuan prey yang

rentan

𝑕2

Waktu penanganan dari predator per kuantitas satuan prey yang

terinfeksi

𝑕3 Waktu penanganan dari predator per kuantitas unit makanan

alternatif sebagai penambahan makanan

𝑒1 Kemampuan predator untuk mendeteksi prey yang rentan

𝑒2 Kemampuan predator untuk mendeteksi prey yang terinfeksi



26

𝑒3

Kemampuan predator untuk mendeteksi makanan alternatif

sebagai penambahan makanan

𝑛1 Nilai gizi prey yang rentan

𝑛2 Nilai gizi prey yang terinfeksi

𝑛3 Nilai gizi makanan alternatif sebagai penambahan makanan

𝐷1 Tingkat kematian prey yang terinfeksi

𝐷2 Tingkat kematian predator

Diasumsikan jumlah populasi bernilai positif maka 𝑠 𝑡 ≥ 0, 𝑖 𝑡 ≥

0, 𝑝 𝑡 ≥ 0. Berdasarkan asumsi dan parameter di atas maka diperoleh model

matematika sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 𝑅0𝑆 1 −

𝑆+𝐼

𝐾0 −

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1+𝑊2𝐼−

𝑒1𝑆𝑃

1+𝑒3𝑕3𝐴+𝑒1𝑕1𝑆 (4.1)

𝑑𝐼

𝑑𝑇=

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1+𝑊2𝐼−

𝑒1𝐼𝑃

1+𝑒3𝑕3𝐴+𝑒2𝑕2𝐼−𝐷1𝐼 (4.2)

𝑑𝑃

𝑑𝑇=

(𝑛1𝑒1𝑆+𝑛3𝑒3𝐴)𝑃

1+𝑒3𝑕3𝐴+𝑒1𝑕1𝑆+

(𝑛2𝑒2𝐼+𝑛3𝑒3𝐴)𝑃

1+𝑒3𝑕3𝐴+𝑒2𝑕2𝐼− 𝐷2𝑃 (4.3)

Persamaan (4.1) menggambarkan tentang laju pertumbuhan mangsa yang

rentan. Populasi mangsa yang rentan bertambah karena pertumbuhan secara

logistik dengan tingkat pertumbuhan intrinsik dan kapasitas pendukung yang akan

berkurang karena adanya interaksi antara mangsa yang rentan dengan mangsa

yang terinfeksi terhadap konstanta saturasi dan efek penghambatan yang

mengikuti fungsi respon Holling tipe II serta berkurang karena adanya interaksi

antara mangsa yang rentan dengan predator yang mengikuti fungsi respon Holling



27

tipe II terhadap biomassa konstan dari makanan alternatif sebagai penambahan

makanan.

Persamaan (4.2) menjelaskan tentang laju pertumbuhan mangsa yang

terinfeksi. Populasi mangsa yang terinfeksi bertambah karena adanya interaksi

antara mangsa yang rentan dengan mangsa yang terinfeksi terhadap konstanta

saturasi dan efek penghambatan yang mengikuti fungsi respon Holling tipe II dan

berkurang karena adanya interaksi antara mangsa yang terinfeksi dengan predator

yang mengikuti fungsi respon Holling tipe II terhadap biomassa konstan dari

makanan alternatif sebagai penambahan makanan serta berkurang karena

kematian alami mangsa yang terinfeksi.

Persamaan (4.3) menjelaskan tentang laju pertumbuhan predator. Populasi

predator bertambah karena adanya kemampuan predator untuk mendeteksi

mangsa yang rentan terhadap nilai gizi dan kuantitas pada makanan alternatif

sebagai penambahan makanan yang mengikuti fungsi respon Holling tipe II dan

bertambah karena adanya kemampuan predator untuk mendeteksi mangsa yang

terinfeksi terhadap nilai gizi dan kuantitas pada makanan alternatif sebagai

penambahan makanan yang mengikuti fungsi respon Holling tipe II serta

berkurang karena kematian alami predator.

Selanjutnya pada persamaan (4.1) – (4.3) dilakukan perskalaan, sehingga

model dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 𝑅0𝑆 1 −

𝑆+𝐼

𝐾0 −

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1+𝑊2𝐼−

𝐴1𝑆𝑃

𝐵1+𝛼1𝜇1𝐴+𝑆 (4.4)

𝑑𝐼

𝑑𝑇=

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1+𝑊2𝐼−

𝐴2𝐼𝑃

𝐵2+𝛼2𝜇2𝐴+𝐼− 𝐷1𝐼 (4.5)



28

𝑑𝑃

𝑑𝑇= 𝐴1𝐶1

(𝑆+𝜇1𝐴)𝑃

𝐵1+𝛼1𝜇1𝐴+𝑆+ 𝐴2𝐶2

(𝐼+𝜇2𝐴)𝑃

𝐵2+𝛼2𝜇2𝐴+𝐼− 𝐷2𝑃, (4.6)

dengan 𝐴1 =1

𝑕1,𝐴2 =

1

𝑕2,𝐵1 =

1

𝑒1𝑕1, 𝐵2 =

1

𝑒2𝑕2,𝛼1 =

𝑛1

𝑛3

𝑕3

𝑕1,𝛼2 =

𝑛2

𝑛3

𝑕3

𝑕2,

𝜇1 =𝑛3

𝑛1

𝑒3

𝑒1, 𝜇2 =

𝑛3

𝑛2

𝑒3

𝑒2,𝐴1𝐶1 =

𝑛1

𝑕1,𝐴2𝐶2 =

𝑛2

𝑕2 .

Untuk mempermudah, diasumsikan 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼, 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇, dan 𝐵1 = 𝐵2.

Oleh karena itu, model di atas direduksikan dengan persamaan diferensial biasa

sebagai berikut,

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 𝑅0𝑆 1 −

𝑆+𝐼

𝐾0 −

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1+𝑊2𝐼−

𝐴1𝑆𝑃

𝐵1+𝛼𝜇𝐴+𝑆 (4.7)

𝑑𝐼

𝑑𝑇=

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1+𝑊2𝐼−

𝐴2𝐼𝑃

𝐵1+𝛼𝜇𝐴+𝐼− 𝐷1𝐼 (4.8)

𝑑𝑃


(𝑆+𝜇𝐴 )𝑃

𝐵1+𝛼𝜇𝐴+𝑆+ 𝐴2𝐶2

(𝐼+𝜇𝐴 )𝑃

𝐵1+𝛼𝜇𝐴+𝐼− 𝐷2𝑃 (4.9)

Kemudian, dari persamaan (4.7) – (4.9) dilakukan perskalaan menggunakan

𝑠 =𝑆

𝐾0, 𝑖 =

𝐼

𝐾0,𝑝 =

𝑃

𝐾0, dan 𝑡 = 𝑅0𝑇, sehingga diperoleh model sebagai berikut:

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑠 1− 𝑠 − 𝑖 −

𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑠𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 (4.10)

𝑑𝑖

𝑑𝑡=

𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑖𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1𝑖 (4.11)

𝑑𝑝

𝑑𝑡=

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉 𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠+

𝜖2 𝑖+𝑐𝜉 𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2𝑝, (4.12)

dengan 𝛽 =𝑊1𝐾0

𝐸1𝑅0, 𝛾 =

𝑊2𝐾0

𝐸1,𝑎 =

𝐴1𝐾0

𝑅0𝐵1, 𝜉 =

𝜇𝐴

𝐵1, 𝑏 =

𝐾0

𝐵1, 𝜂 =

𝐴2𝐾0

𝑅0𝐵1, 𝜖1 =

𝐶1𝐴1𝐾0

𝑅0𝐵1,

𝜖2 =𝐶2𝐴2𝐾0

𝑅0𝐵2, 𝑐 =

𝐵1

𝐾0,𝑑1 =

𝐷1

𝑅0, dan 𝑑2 =

𝐷2

𝑅0 (Lampiran 1).

Dalam ilmu fisika kelajuan merupakan salah satu besaran turunan yang

tidak bergantung pada arah, sehingga kelajuan termasuk besaran skalar yang

nilainya selalu positif. Dengan demikian, dalam model matematika peran



29

penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey,

diasumsikan:

𝛼,𝛽, 𝛾, 𝜖1, 𝜖2, 𝜉, 𝜂, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑1,𝑑2 ≥ 0.

Pada Tabel 4.2 berikut merupakan keterangan parameter-parameter setelah

adanya perskalaan pada model matematika peran penambahan makanan dalam

sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey.

Tabel 4.2 Keterangan parameter-parameter setelah adanya perskalaan pada model

Parameter Keterangan

𝑎 Tingkat serangan pada prey yang rentan

𝑏 Konstanta saturasi sebagian

𝑐

Tingkat konversi pada makanan alternatif sebagai penambahan

makanan

𝑑1 Tingkat kematian alami prey yang terinfeksi

𝑑2 Tingkat kematian alami predator

𝛼 Kualitas makanan alternatif sebagai penambahan makanan

𝛽 Tingkat infeksi prey

𝛾 Efek penghambatan pada prey yang terinfeksi

𝜉 Kuantitas makanan alternatif sebagai penambahan makanan

𝜖1 Tingkat konversi pada prey yang rentan

𝜖2 Tingkat konversi pada prey yang terinfeksi

𝜂 Tingkat serangan pada prey yang terinfeksi



30

4.1.1 Titik Setimbang Model

Karena model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-

epidemiologi dengan penyakit pada prey tersebut berbentuk non linear maka

solusi umum akan sulit dicari, sehingga penulis hanya akan mendapatkan solusi

khusus melalui titik setimbang yang stabil asimtotis. Berikut merupakan

penjelasan mengenai pencarian titik setimbang pada model matematika sistem

eko-epidemiologi dengan mempertimbangkan prey terinfeksi dan makanan

alternatif sebagai penambahan makanan pada predator.

Berdasarkan Definisi 2.3, model matematika di atas akan memiliki titik setimbang

jika memenuhi 𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑑𝑖

𝑑𝑡=

𝑑𝑝

𝑑𝑡= 0, sehingga:

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑠 1− 𝑠 − 𝑖 −

𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑠𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠= 0 (4.13)

𝑑𝑖

𝑑𝑡=

𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑖𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1𝑖 = 0 (4.14)

𝑑𝑝

𝑑𝑡=




1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2𝑖 = 0 (4.15)

Dari persamaan (4.13) – (4.15) didapat:

1. Titik setimbang kepunahan, yakni kondisi ketika populasi prey yang

rentan, prey yang terinfeksi, dan predator dalam kepunahan. Kondisi ini

terjadi ketika 𝑠 = 0, 𝑖 = 0 dan 𝑝 = 0. Dari sini diperoleh titik setimbang

kepunahan 𝐸0 = 𝑠0, 𝑖0,𝑝0 = (0,0,0). Uraian lengkap perhitungan titik

setimbang 𝐸0 dapat dilihat pada Lampiran 2.

2. Titik setimbang aksial, yakni kondisi ketika populasi prey yang rentan

tidak mengalami kepunahan, sedangkan prey yang terinfeksi dan predator

dalam kepunahan. Kondisi ini terjadi ketika 𝑠 ≠ 0, 𝑖 = 0 dan 𝑝 = 0. Jika



31

𝑖 = 0 dan 𝑝 = 0 maka dari persamaan (4.13) diperoleh 𝑠 1− 𝑠 − 𝑖 −

𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑠𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 = 0 sehingga 𝑠 = 1. Dari sini diperoleh titik setimbang

aksial 𝐸1 = 𝑠1, 𝑖1,𝑝1 = (1,0,0). Uraian lengkap perhitungan titik

setimbang 𝐸1 dapat dilihat pada Lampiran 3.

3. Titik setimbang bebas penyakit, yakni kondisi ketika tidak adanya prey

yang terinfeksi. Kondisi ini terjadi ketika 𝑠 ≠ 0, 𝑖 = 0 dan 𝑝 ≠ 0. Jika 𝑖 = 0

maka dari persamaan (4.15) diperoleh

𝑝 𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2 = 0,

sehingga 𝑠 =𝑑2(1+𝛼𝜉 )−𝜖2𝑐𝜉−𝜖1𝑐𝜉

𝜖1−𝑑2𝑏+𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝑏

, sedangkan dari persamaan (4.13)

diperoleh

𝑠 1− 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 = 0,

sehingga 𝑝 =1−𝑠

𝑎 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠 . Dari sini diperoleh titik setimbang bebas

penyakit

𝐸2 = 𝑠2, 𝑖2,𝑝2 = 𝑑2(1+𝛼𝜉 )−𝜖2𝑐𝜉−𝜖1𝑐𝜉


1+𝛼𝜉𝑏

, 0,1−𝑠2

𝑎 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 .

Titik setimbang 𝐸2 eksis jika 𝑠2 < 1 dan 𝑑2(1+𝛼𝜉 )−𝜖2𝑐𝜉−𝜖1𝑐𝜉


1+𝛼𝜉𝑏

> 0 terdapat

dua kondisi yaitu

𝑑2 >𝑐𝜉 (𝜖2+𝜖1)

1+𝛼𝜉 dan 𝜖1 +

𝜖2𝑐𝜉

(1+𝛼𝜉 )𝑏 > 𝑑2𝑏 atau

𝑑2 <𝑐𝜉 (𝜖2+𝜖1)


𝜖2𝑐𝜉

(1+𝛼𝜉 )𝑏 < 𝑑2𝑏 .



32

Selanjutnya, berdasarkan nilai parameter yang telah diketahui dimasukkan

ke dua kondisi tersebut dengan bantuan MAPLE. Sehingga didapat kondisi

yang memenuhi titik setimbang 𝐸2 sebagai berikut:

𝑑2 >𝑐𝜉 (𝜖2+𝜖1)


𝜖2𝑐𝜉

(1+𝛼𝜉 )𝑏 > 𝑑2𝑏.

Oleh karena itu, titik setimbang 𝐸2 eksis jika:

(i) 𝑠2 < 1,

(ii) 𝑑2 >𝑐𝜉 (𝜖2+𝜖1)

1+𝛼𝜉 , dan

(iii) 𝜖1 +𝜖2𝑐𝜉

(1+𝛼𝜉 )𝑏 > 𝑑2𝑏

Uraian lengkap perhitungan titik setimbang 𝐸2 dapat dilihat pada Lampiran 4.

4. Titik setimbang koeksistensi, yakni kondisi ketika populasi prey yang

rentan, prey yang terinfeksi, dan predator hidup berdampingan. Kondisi ini

terjadi jika 𝑠 ≠ 0, 𝑖 ≠ 0 dan 𝑝 ≠ 0. Dari persamaan (4.15) diperoleh

𝑝 𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2 = 0,

Sehingga 𝑖 =𝑑2 1+𝛼𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 −𝜖1 𝑠+𝑐𝜉 −𝜖1 𝑠+𝑐𝜉 𝛼𝜉−𝜖2𝑐𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠

𝜖2 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 −𝑑2𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 +𝜖1 𝑠+𝑐𝜉 𝑏,

sedangkan dari persamaan (4.13) diperoleh

𝑠 1− 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 = 0,

sehingga 𝑝 = 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 1−𝑠−𝑖 1+𝛾𝑖 −𝛽𝑖 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠

𝑎 1+𝛾𝑖 ,

sedangkan dari persamaan (4.14) diperoleh

𝑖 𝛽𝑠

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1 = 0,



33

sehingga 𝑠 = 1+𝛾𝑖

𝛽

𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖+ 𝑑1 . Dari sini diperoleh titik setimbang

koeksistensi 𝐸3 = 𝑠3 , 𝑖3 ,𝑝3 sebagai berikut

𝑠3 = 1+𝛾𝑖3

𝛽

𝜂𝑝3

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖3+ 𝑑1 ,

𝑖3 =𝑑2 1+𝛼𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 −𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 −𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝛼𝜉−𝜖2𝑐𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3

𝜖2 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 −𝑑2𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 +𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝑏,

𝑝3 = 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 1−𝑠3−𝑖3 1+𝛾𝑖3 −𝛽𝑖3 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3

𝑎 1+𝛾𝑖3 .

Titik setimbang 𝐸3 eksis jika

(i) 𝑑2 1+𝛼𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 −𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 −𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝛼𝜉−𝜖2𝑐𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3

𝜖2 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 −𝑑2𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 +𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝑏> 0 dan

(ii) 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 1−𝑠3−𝑖3 1+𝛾𝑖3 −𝛽𝑖3 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3

𝑎 1+𝛾𝑖3 > 0.

Dari sini terdapat dua kondisi yaitu

a. 𝑑2 >𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 1+𝛼𝜉 +𝜖2𝑐𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3

1+𝛼𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 dan

𝜖2 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 +𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝑏

𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 > 𝑑2

atau

𝑑2 <𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 1+𝛼𝜉 +𝜖2𝑐𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3

1+𝛼𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3

dan 𝜖2 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 +𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝑏

𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 < 𝑑2.

Selanjutnya, berdasarkan nilai parameter yang telah diketahui

dimasukkan ke kondisi tersebut dengan bantuan MAPLE. Sehingga

diperoleh kondisi yang memenuhi titik setimbang 𝐸3 sebagai

berikut:

𝑑2 >𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 1+𝛼𝜉 +𝜖2𝑐𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3



𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 > 𝑑2.

b. 1− 𝑠3 − 𝑖3 1 + 𝛾𝑖3 > 𝛽𝑖3 dan 𝑎 1 + 𝛾𝑖3 > 0



34

atau

1− 𝑠3 − 𝑖3 1 + 𝛾𝑖3 < 𝛽𝑖3 dan 𝑎 1 + 𝛾𝑖3 < 0.


dimasukkan ke kondisi tersebut dengan bantuan MAPLE. Sehingga

diperoleh kondisi yang memenuhi titik setimbang 𝐸3 sebagai

berikut:

1− 𝑠3 − 𝑖3 1 + 𝛾𝑖3 > 𝛽𝑖3 dan 𝑎 1 + 𝛾𝑖3 > 0

dengan syarat

1 > 𝑠3 + 𝑖3.

Oleh karena itu, titik setimbang 𝐸3 eksis jika:

(i) 𝑑2 >𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 1+𝛼𝜉 +𝜖2𝑐𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3



𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 > 𝑑2, dan

(ii) 1− 𝑠3 − 𝑖3 1 + 𝛾𝑖3 > 𝛽𝑖3 dan 𝑎 1 + 𝛾𝑖3 > 0

dengan syarat 1 > 𝑠3 + 𝑖3.

Uraian lengkap perhitungan titik setimbang 𝐸3 dapat dilihat pada Lampiran 5.

Oleh karena itu, nilai-nilai 𝐸2 dan 𝐸3 tergantung pada kualitas (𝛼) dan (𝜉)

makanan alternatif sebagai penambahan makanan. Eksistensi kondisi 𝐸2 dan 𝐸3

juga tergantung pada 𝛼 dan 𝜉. Setelah diperoleh titik setimbang kepunahan (𝐸0),

aksial (𝐸1), bebas penyakit atau kepunahan prey yang terinfeksi (𝐸2), dan

koeksistensi (𝐸3), selanjutnya dilakukan analisis kestabilan dari masing – masing

titik setimbang.



35

Selanjutnya, ditentukan basic reproduction number yang akan digunakan

untuk parameter ambang batas penentuan kriteria koeksistensi penyakit pada

populasi. Nilai 𝑅0 diperoleh dengan menggunakan metode Van den Driessche.

Dalam kasus ini, hanya memperhatikan kompartemen yang terkena penyakit

sebagai berikut:

i. 𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑠 1− 𝑠 −

𝑎𝑠𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠

𝑑𝑝

𝑑𝑡=


1+𝛼𝜉+𝑏𝑠+𝜖2𝑐𝜉𝑝

1+𝛼𝜉− 𝑑2𝑝

Dari perhitungan, didapatkan nilai 𝑅0𝑝 yaitu 𝑅0

𝑝 =1

𝑑2 𝜖1 1+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉

ii. 𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑠 1− 𝑠 − 𝑖 −

𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖

𝑑𝑖

𝑑𝑡=

𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖− 𝑑1𝑖

Dari perhitungan, didapatkan nilai 𝑅0𝑖 yaitu 𝑅0

𝑖 =𝛽

𝑑1

Perhitungan 𝑅0 secara lengkap dapat dilihat pada Lampiran 6.

4.1.2 Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal

Berdasarkan persamaan (4.10) - (4.12) terlihat bahwa sistem tersebut

merupakan sistem autonomous non linear, maka untuk mendapatkan kestabilan

asimtotis lokal dari model matematika peran penambahan makanan dalam sistem

eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey di titik-titik setimbang 𝐸0 , 𝐸1 , 𝐸2 ,

dan 𝐸3 perlu dilakukan linearisasi dengan menggunakan matriks Jacobian.

Persamaan (4.10) - (4.12) dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variabel 𝑠, 𝑖

dan 𝑝, sehingga persamaan tersebut dapat dinyatakan secara umum:



36

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑓1(𝑠, 𝑖,𝑝)

𝑑𝑖


𝑑𝑝


Berdasarkan Definisi 2.4, maka matriks Jacobian dari persamaan (4.10) – (4.12)

adalah

𝐽 =

1 − 2𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

𝐾−

𝑎𝑝

𝑀+

𝑎𝑠𝑝𝑏

𝑀 2 −𝑠 −𝛽𝑠

𝐾+

𝛾𝛽𝑠𝑖

(𝐾)2 −𝑎𝑠

𝑀

𝛽𝑖

𝐾

𝛽𝑠

𝐾−

𝛽𝑠𝑖

(𝐾)2 −𝜂𝑝

𝑁+

𝜂𝑖𝑝𝑏

(𝑁)2 − 𝑑1 −𝜂𝑖

𝑁

𝜖1𝑝

𝑀−

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉 𝑝𝑏

𝑀 2

𝜖2𝑝

𝑁−

𝜖1 𝑖+𝑐𝜉 𝑝𝑏

𝑁 2

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

𝑀+

𝜖1 𝑖+𝑐𝜉

𝑁− 𝑑2

(4.16)

dengan 𝑀 = 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠,

𝑁 = 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖,

𝐾 = 1 + 𝛾𝑖.

Berdasarkan penjelasan Teorema 2.6, untuk menganalisis kestabilan dari

titik setimbang, dapat dilihat melalui nilai eigen matriks Jacobian model yang

ada. Berikutnya akan dianalisis kestabilan asimtotis lokal dari titik setimbang

𝐸0, 𝐸1, 𝐸2, dan 𝐸3.

A. Kestabilan Asimtotis Lokal pada Titik Setimbang Kepunahan (𝑬𝟎)

Langkah pertama menentukan kestabilan pada titik setimbang 𝐸0 yaitu

dengan mensubstitusikan nilai titik setimbang 𝐸0 = 𝑠0, 𝑖0,𝑝0 = (0,0,0) ke

matriks Jacobian pada (4.16), dengan demikian diperoleh:

𝐽 𝐸0 =

1 0 00 −𝑑1 0

0 0𝜖1𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑2



37

Dari sini diperoleh persamaan karakteristik untuk matriks 𝐽 𝐸0 adalah sebagai

berikut:

𝜆 − 1 𝜆+𝑑1 𝜆 − 𝜖1𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑2 = 0

Dengan demikian diperoleh nilai-nilai eigen dari 𝐽 𝐸0 sebagai berikut:

𝜆1 = 1, 𝜆2 = −𝑑1, 𝜆3 =𝜖1𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑2

Dari matriks Jacobian 𝐽 𝐸0 , diperoleh satu nilai eigen positif yaitu 1. Oleh karena

itu titik setimbang 𝐸0 tidak stabil. Dari sudut pandang biologi, ini menunjukkan

bahwa dalam model ini tidak akan terjadi kepunahan meskipun dalam dunia nyata

semua populasi berpeluang terjadi kepunahan. Uraian lengkap pencarian

persamaan karakteristik dari titik setimbang 𝐸0 bisa dilihat pada Lampiran 7.

B. Kestabilan Asimtotis Lokal pada Titik Setimbang Aksial (𝑬𝟏)

Pada bagian ini ditentukan kestabilan dari titik setimbang 𝐸1 dengan

langkah yang serupa pada bagian A dengan mensubstitusikan 𝐸1 = 𝑠1, 𝑖1,𝑝1 =

(1,0,0). Dengan demikian matriks Jacobian dari titik setimbang 𝐸1 adalah sebagai

berikut:

𝐽 𝐸1 =

−1 −(𝛽 + 1)−𝑎

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏0 𝛽 − 𝑑1 0

0 0𝜖1 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑2


berikut:



38

𝜆 + 1 𝜆 − (𝛽 − 𝑑1) 𝜆 − 𝜖1 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑2 = 0


𝜆1 = −1, 𝜆2 = 𝛽 − 𝑑1, dan 𝜆3 =𝜖1 1+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉− 𝑑2

Dari matriks Jacobian 𝐽 𝐸1 , diperoleh satu nilai eigen negatif 𝜆1 = −1 dan dua

nilai eigen 𝜆2 = 𝛽 − 𝑑1 dan 𝜆3 =𝜖1 1+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉− 𝑑2. Berdasarkan Teorema

2.8, titik setimbang 𝐸1 stabil asimtotis jika :

(i) 𝛽 < 𝑑1 atau 𝑅0𝑖 < 1 dan

(ii) 𝜖1 1+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉< 𝑑2 atau 𝑅0

𝑝 < 1.

Dari sudut pandang biologi, hal ini menunjukkan bahwa akan terjadi kepunahan

pada populasi prey yang terinfeksi dan populasi predator. Uraian lengkap

pencarian persamaan karakteristik dari titik setimbang 𝐸1 bisa dilihat pada

Lampiran 8.

C. Kestabilan Asimtotis Lokal pada Titik Setimbang Bebas Penyakit (𝑬𝟐)


langkah yang serupa pada bagian A dan B. Dengan demikian matriks Jacobian

dari titik setimbang 𝐸2 dan kondisi kesetimbangan adalah sebagai berikut:

𝐽 𝐸2 =

−𝑠2 +𝑎𝑠2𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2−𝑠2(1 + 𝛽) −

𝑎𝑠2

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2

0 𝛽𝑠2 −𝜂𝑝2

1+𝛼𝜉− 𝑑1 0

𝜖1𝑝2

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2−𝜖1 𝑠2+𝑐𝜉 𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2

𝜖2𝑝2

1+𝛼𝜉−

𝜖2𝑐𝜉𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉 20



39

Berdasarkan matrik Jacobian 𝐽 𝐸2 , dapat dibentuk persamaan karakteristik

sebagai brtikut:

det 𝐽 𝐸2 − 𝜆𝐼 = 0.

Dari sini diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut:

𝜆 − 𝛽𝑠2 −𝜂𝑝

2

1 + 𝛼𝜉− 𝑑1 𝜆

2 + 𝑞1𝜆 + 𝑞

2 = 0,

dengan 𝑞1 dan 𝑞2 adalah sebagai berikut:

𝑞1 = 𝑠2 −𝑎𝑠2𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2,

𝑞2 =𝑎𝑠2𝜖1𝑝2

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2−𝑎𝑠2𝜖1 𝑠2+𝑐𝜉 𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 3.

Dengan demikian diperoleh nilai-nilai eigen dari 𝐽 𝐸2 adalah sebagai berikut:

𝜆1 = 𝛽𝑠2 −𝜂𝑝

2

1 + 𝛼𝜉− 𝑑1.

Karena semua parameter bernilai positif dan syarat eksistensi titik setimbang bebas

penyakit, 𝐸2 adalah 𝛽𝑠2 <𝜂𝑝2

1+𝛼𝜉+ 𝑑1, maka cukup jelas bahwa 𝜆1 < 0. Sedangkan

nilai eigen yang lain diperoleh dari akar-akar persamaan karakteristik berikut:

𝜆2 + 𝑞1𝜆+ 𝑞2 = 0.

Menurut kriteria Routh-Hurwitz, persamaan 𝜆2 + 𝑞1𝜆 + 𝑞2 = 0 akan memiliki akar-akar

dengan bilangan real negatif jika dan hanya jika 𝑞1 > 0 dan 𝑞2 > 0. Akan ditentukan

syarat untuk 𝑞1 > 0 dan 𝑞2 > 0 sebagai berikut:

Pandang 𝑞1 = 𝑠2 −𝑎𝑠2𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2> 0

⇔ 𝑠2 1−𝑎𝑝2𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 2 > 0

⇔ 1−𝑎𝑝2𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 2

> 0



40

⇔𝑎𝑝2𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 2

< 1.

Pandang 𝑞2 =𝑎𝑠2𝜖1𝑝2

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2−

𝑎𝑠2𝜖1 𝑠2+𝑐𝜉 𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 3> 0

⇔𝑎𝑠2𝜖1𝑝2

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 2 1−

𝑠2 + 𝑐𝜉 𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 > 0

⇔ 1− 𝑠2 + 𝑐𝜉 𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 > 0

⇔ 𝑠2 + 𝑐𝜉 𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 < 1.

Dari sini dapat disimpulkan bahwa titik setimbang bebas penyakit (𝐸2)

stabil asimtotis jika 𝑎𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2 < 1 dan

𝑠2+𝑐𝜉 𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 < 1. Uraian lengkap pencarian

persamaan karakteristik dari titik setimbang 𝐸2 dan syarat kestabilannya bisa

dilihat pada Lampiran 9. Dari sudut pandang biologi, hal ini menunjukkan bahwa

sistem menjadi bebas penyakit yang artinya tidak ada prey yang terinfeksi.

D. Kestabilan Asimtotis Lokal pada Titik Setimbang 𝑬𝟑


langkah yang serupa pada bagian A, B, dan C. Dengan demikian matriks Jacobian

dari titik setimbang 𝐸3 dan kondisi kesetimbangan adalah sebagai berikut:

𝐽 𝐸3 =


1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 2 −𝑠3 −

𝛽𝑠3

1+𝛾𝑖3+

𝛽𝑠3𝛾𝑖3

(1+𝛾𝑖3)2 −𝑎𝑠3


𝛽𝑖3

1+𝛾𝑖3−

𝛽𝑠3𝑖3𝛾

(1+𝛾𝑖3)2 +𝜂𝑖3𝑝3𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖3 2 −

𝜂𝑖3

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖3𝜖1𝑝3

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3−

𝜖1(𝑠3+𝑐𝜉 )𝑝3𝑏

(1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3)2

𝜖2𝑝3

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖3−

𝜖2(𝑖3+𝑐𝜉 )𝑝3𝑏

(1+𝛼𝜉+𝑏𝑖3)2 0

dengan

𝐴11 = −𝑠3 +𝑎𝑠3𝑝3

𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 2,



41

𝐴12 = −𝑠3 −𝛽𝑠3

1 + 𝛾𝑖3+

𝛽𝑠3𝛾𝑖3

(1 + 𝛾𝑖3)2,

𝐴13 = −𝑎𝑠3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

,

𝐴21 =𝛽𝑖3

1 + 𝛾𝑖3,

𝐴22 = −𝛽𝑠3𝑖3𝛾

(1 + 𝛾𝑖3)2+

𝜂𝑖3𝑝3𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3 2,

𝐴23 = −𝜂𝑖3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3,

𝐴31 =𝜖1𝑝3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

−𝜖1(𝑠3 + 𝑐𝜉)𝑝

3𝑏

(1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3)2,

𝐴32 =𝜖2𝑝3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3−𝜖2(𝑖3 + 𝑐𝜉)𝑝

3𝑏

(1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3)2,

𝐴33 = 0.


berikut:

𝜆3 + 𝛺1𝜆2 + 𝛺2𝜆 + 𝛺3 = 0,

dengan

𝛺1 = − 𝐴11 + 𝐴22 ,

𝛺2 = 𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21 − 𝐴13𝐴31 − 𝐴23𝐴32 ,

𝛺3 = 𝐴11𝐴23𝐴32 − 𝐴12𝐴23𝐴31 − 𝐴13𝐴21𝐴32 + 𝐴13𝐴22𝐴31 .

Titik setimbang koeksistensi (𝐸3) stabil asimtotis jika dan hanya jika akar-

akar dari persamaan karakteristik bernilai negatif. Berdasarkan kriteria Routh-

Hurwitz, persamaan karakteristik tersebut akan memiliki akar-akar yang negatif

jika dan hanya jika memenuhi:



42

a. 𝛺1, 𝛺2, dan 𝛺3 > 0

b. 𝛺1𝛺2 − 𝛺3 > 0

Persamaan 𝛺1, 𝛺2, dan 𝛺3 mengandung banyak parameter yang sulit untuk

disederhanakan. Oleh karena itu, untuk menentukan syarat agar 𝜆𝑖 < 0 untuk

𝑖 = 1,2 dan 3 rumit ditentukan secara manual. Dari sini dilakukan simulasi

numerik untuk menentukan sifat kestabilan dari titik setimbang koeksistensi 𝐸3

menggunakan bidang fase software MATLAB. Kode pogram untuk simulasi

numerik dapat dilihat pada Lampiran 11.

Simulasi ini dilakukan dengan memberi nilai parameter dan tiga nilai awal

yang berbeda untuk masing – masing subpopulasi 𝑆, 𝐼, dan 𝑃 yang dinotasikan

dengan 𝑋0, 𝑋1, dan 𝑋2. Hal ini bertujuan untuk mengetahui kekonvergenan solusi

dari masing – masing nilai awal dan parameter yang digunakan. Berikut ini adalah

tabel untuk nilai awal pada model matematika peran penambahan makanan dalam

sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey. Nilai parameter yang

digunakan merujuk dari jurnal yang ditulis oleh Sahoo (2015) pada Tabel 4.4.

Simulasi ini dilakukan untuk 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 150 hari.

Tabel 4.3 Nilai Awal Simulasi Titik Setimbang Koeksistensi 𝐸3

Nilai Awal 𝑆 𝐼 𝑃 Warna

𝑋0 3,6 2,1 0,18 Biru

𝑋1 3 0,1 0,2 Hijau

𝑋2 2,6 1,2 0,24 Merah



43

Tabel 4.4 Nilai Parameter Simulasi Titik Setimbang Koeksisitensi 𝐸3

Parameter Nilai

Parameter Parameter

Nilai

Parameter

𝑎 3 𝜂 0,4

𝑏 3 𝛾 5

𝑐 0,2 𝑑1 0,08

𝜖1 0,25 𝑑2 0,04

𝜖2 0,2 𝛼 0

𝜉 0 𝛽 1,25

Hasil simulasi untuk melihat sifat kestabilan lokal titik setimbang

koeksistensi 𝐸3 terdapat pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Simulasi Bidang Fase 𝑆 − 𝐼 untuk Titik Setimbang Koeksistensi 𝐸3

Pada Gambar 4.1 merupakan grafik pada ruang dua dimensi dari populasi

𝑆, 𝐼, dan 𝑃 pada model matematika peran penambahan makanan dalam sistem

eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey. Dari gambar tersebut terlihat saat



44

keempat nilai awal tersebut diberikan dan untuk 𝑡 yang semakin besar maka solusi

dari model khususnya 𝑆, 𝐼, dan 𝑃 semua grafiknya cenderung menuju ke suatu

titik yang sama yaitu 𝑆 → 0.1683 dan 𝐼 → 0.07574 atau cenderung konvergen ke

titik setimbang 0.2095, 0.0444, 0.3803 .

Berdasarkan uraian di atas, titik setimbang koeksistensi 𝐸3 = (𝑆3, 𝐼3,𝑃3)

ada dan cenderung stabil asimtotis. Dari sini dapat diidentifikasikan bahwa

populasi prey yang rentan, prey yang terinfeksi, dan predator akan hidup

berdampingan. Oleh karena itu, dapat diamati bahwa kondisi stabilitas untuk

semua titik setimbang tergantung pada parameter 𝛼 dan 𝜉.

4.2 Simulasi Model Matematika Peran Penambahan Makanan dalam

Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada Prey

Pada bab ini disimulasikan model matematika Peran Penambahan

Makanan dalam Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada Prey, dengan

bantuan nilai parameter yang diambil dari beberapa sumber. Hal ini bertujuan

untuk mengetahui perilaku-perilaku dari masing-masing sistem tersebut. Simulasi

ini dilakukan dalam waktu 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 100 hari dengan nilai awal

𝑠 0 , 𝑖 0 ,𝑝 0 = (0.5,0.3,0.2). Pada simulasi ini tingkat infeksi prey 𝛽 ,

kualitas makanan alternatif sebagai penambahan makanan 𝛼 , dan kuantitas

makanan alternatif sebagai penambahan makanan 𝜉 bervariasi. Pada simulasi ini

juga akan ditunjukkan perilaku dinamik dari populasi prey yang rentan, prey yang

terinfeksi, dan predator dalam ketiadaan makanan alternatif sebagai penambahan

makanan yaitu pada saat 𝛼 = 0 dan 𝜉 = 0. Sedangkan saat adanya makanan



45

alternatif sebagai penambahan makanan dipilih 𝛼 = 0,8 dan 𝜉 = 0,4 dengan

tingkat infeksi prey tinggi dan rendah yaitu 𝛽 = 1,25 dan 𝛽 = 0,1. Kode

program simulasi dapat dilihat pada Lampiran 12 tanpa adanya penambahan

makanan dan Lampiran 13 dengan adanya penambahan makanan.

Berikut ini adalah tabel nilai parameter pada model matematika Peran

Penambahan Makanan dalam Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada

Prey yang digunakan untuk simulasi numerik. Nilai parameter yang digunakan

merujuk pada artikel yang ditulis oleh Sahoo (2015).

Tabel 4.5 Nilai parameter simulasi numerik

Parameter Nilai

Parameter Parameter

Nilai

Parameter

𝑎 3 𝜂 0,4

𝑏 3 𝛾 5

𝑐 0,2 𝑑1 0,08

𝜖1 0,25 𝑑2 0,04

𝜖2 0,2

Berikut ini adalah hasil simulasi perilaku dinamik dari populasi prey

rentan untuk 𝛽 = 1,25 dengan 𝛼 = 0, 𝜉 = 0 dan 𝛼 = 0,8, 𝜉 = 0,4.



46

Gambar 4.2 Dinamika populasi prey yang rentan untuk 𝛽 = 1,25.

Pada Gambar 4.2 menggambarkan dinamika populasi prey yang rentan

untuk tingkat infeksi pada prey 𝛽 = 1,25 tanpa penambahan makanan dan dengan

adanya penambahan makanan. Dari Gambar 4.2 menunjukkan perbedaan antara

jumlah populasi prey yang rentan tanpa penambahan makanan dan adanya

penambahan makanan. Pada Gambar 4.2 terdapat sumbu X yang menyatakan

waktu (t) dan sumbu Y yang menyatakan populasi s. Jumlah populasi prey yang

rentan tanpa adanya penambahan makanan mula-mula mengalami penurunan

hingga 5,82% pada hari ke-10 karena adanya tingkat infeksi mangsa dan tingkat

serangan pada prey yang rentan kemudian mengalami kenaikan hingga 20,84%

pada hari ke-30 karena adanya kelahiran. Setelah itu jumlah populasi mengalami

penurunan hingga 15,66% pada hari ke-48 kemudian mengalami kenaikan hingga

16,91% pada hari ke-100. Jumlah populasi prey yang rentan ketika adanya

penambahan makanan mula-mula mengalami penurunan hingga 3,57% pada hari

ke-16 karena adanya tingkat infeksi mangsa dan tingkat serangan pada prey yang



47

rentan kemudian mengalami kenaikan hingga 18,82% pada hari ke-41 karena

adanya kelahiran pada populasi prey yang rentan. Setelah itu jumlah populasi

mengalami penurunan hingga 6,22% pada hari ke-70 dan mengalami kenaikan

hingga 13,85% pada hari ke-100.

Berikut ini adalah hasil simulasi perilaku dinamik dari populai prey yang

rentan untuk 𝛽 = 0,1 dengan 𝛼 = 0, 𝜉 = 0 dan 𝛼 = 0,8, 𝜉 = 0,4.

Gambar 4.3 Dinamika populasi prey yang rentan untuk 𝛽 = 0,1.

Pada Gambar 4.3 menggambarkan dinamika populasi prey yang rentan

untuk tingkat infeksi pada prey 𝛽 = 0,1 tanpa penambahan makanan dan adanya

penambahan makanan. Dari Gambar 4.3 menunjukkan perbedaan antara jumlah

populasi prey yang rentan tanpa penambahan makanan dan adanya penambahan

makanan. Pada Gambar 4.3 terdapat sumbu X yang menyatakan waktu (t) dan

sumbu Y yang menyatakan populasi s. Jumlah populasi prey yang rentan tanpa

penambahan makanan mula-mula mengalami penurunan hingga 18,73% pada hari

ke-8 karena adanya tingkat infeksi mangsa dan tingkat serangan pada prey yang



48

rentan kemudian mengalami kenaikan hingga 30,74 pada hari ke-100 karena

adanya kelahiran. Jumlah populasi prey yang rentan ketika adanya penambahan

makanan mula-mula mengalami penurunan yang signifikan hingga 6,004% pada

hari ke-49 karena adanya tingkat infeksi mangsa dan tingkat serangan pada prey

yang rentan kemudian mengalami kenaikan hingga 14,04% pada hari ke-82

karena adanya kelahiran setelah itu populasi mengalami penurunan hingga

10,08% pada hari ke-100.

Dari Gambar 4.2 dan Gambar 4.3 dapat disimpulkan bahwa populasi prey

yang rentan terjadi penurunan dengan adanya penambahan makanan dikarenakan

adanya tingkat infeksi mangsa dan tingkat serangan pada prey yang rentan dan

terjadi kenaikan dikarenakan kelahiran walaupun terdapat makanan alternatif

sebagai penambahan makanan.

Berikut ini adalah hasil simulasi perilaku dinamik dari populasi prey yang

terinfeksi untuk 𝛽 = 1,25 dengan 𝛼 = 0, 𝜉 = 0 dan 𝛼 = 0,8, 𝜉 = 0,4.

Gambar 4.4 Dinamika populasi prey yang terinfeksi untuk 𝛽 = 1,25.



49

Pada Gambar 4.4 menggambarkan dinamika populasi prey yang terinfeksi

untuk tingkat infeksi prey 𝛽 = 1,25 tanpa penambahan makanan dan adanya


populasi prey yang terinfeksi tanpa penambahan makanan dan adanya


waktu (t) dan sumbu Y yang menyatakan populasi i. Jumlah populasi prey yang

terinfeksi tanpa penambahan makanan mula-mula mengalami kenaikan hingga

32,39% pada hari ke-1 karena adanya tingkat infeksi prey kemudian mengalami

penurunan hingga 7,12% pada hari ke-22 karena adanya tingkat serangan pada

prey yang terinfeksi dan kematian alami. Setelah itu jumlah populasi prey yang

terinfeksi mengalami kenaikan hingga 9,98% pada hari ke-38 kemudian jumlah

populasi prey yang terinfeksi mengalami penurunan hingga 7,35% pada hari ke-

100. Jumlah populasi prey yang terinfeksi ketika adanya penambahan makanan

mula-mula mengalami kenaikan hingga 33,79% pada hari ke-2 karena adanya

tingkat infeksi prey kemudian mengalami penurunan hingga 2,26% pada hari ke-

35 karena adanya tingkat infeksi prey dan tingkat serangan pada prey yang rentan.

Setelah itu jumlah populasi mengalami kenaikan hingga 3,27% pada hari ke-48

kemudian mengalami penurunan hingga 0,12% pada hari ke-100 karena adanya

tingkat serangan pada prey yang terinfeksi dan kematian alami.

Berikut ini adalah hasil simulasi perilaku dinamik dari populasi prey yang

terinfeksi untuk 𝛽 = 0,1 dengan 𝛼 = 0, 𝜉 = 0 dan 𝛼 = 0,8, 𝜉 = 0,4.



50

Gambar 4.5 Dinamika populasi prey yang terinfeksi untuk 𝛽 = 0,1.

Pada Gambar 4.5 menggambarkan dinamika populasi prey yang terinfeksi

untuk tingkat infeksi prey 𝛽 = 0,1 tanpa penambahan makanan dan adanya


populasi prey yang terinfeksi tanpa penambahan makanan dan adanya


waktu (t) dan sumbu Y yang menyatakan populasi i. Pada gambar tersebut

perbedaannya tidak begitu terlihat karena jumlah populasi prey yang terinfeksi

tanpa penambahan makanan hampir sama dengan jumlah populasi prey yang

terinfeksi dengan adanya penambahan makanan. Jumlah populasi prey yang

terinfeksi tanpa penambahan makanan dan adanya penambahan makanan

mengalami penurunan karena adanya tingkat serangan pada prey yang terinfeksi

dan kematian alami hingga akhir pengamatan.



51

Dari Gambar 4.4 dan Gambar 4.5 dapat disimpulkan bahwa sistem

menjadi bebas penyakit ketika adanya makanan alternatif sebagai penambahan

makanan walaupun tingkat prey yang terinfeksi cukup tinggi.

Berikut ini adalah hasil simulasi perilaku dinamik dari populasi predator

untuk 𝛽 = 1,25 dengan 𝛼 = 0, 𝜉 = 0 dan 𝛼 = 0,8, 𝜉 = 0,4.

Gambar 4.6 Dinamika populasi predator untuk 𝛽 = 1,25.

Pada Gambar 4.6 menggambarkan dinamika populasi predator untuk

tingkat infeksi prey 𝛽 = 1,25 tanpa penambahan makanan dan adanya


populasi predator tanpa penambahan makanan dan adanya penambahan makanan.

Pada Gambar 4.6 terdapat sumbu X yang menyatakan waktu (t) dan sumbu Y

yang menyatakan populasi p. Jumlah populasi predator tanpa penambahan

makanan mula-mula mengalami kenaikan hingga 22,71% pada hari ke-8 karena

adanya tingkat konversi pada prey yang rentan dan terinfeksi kemudian

mengalami penurunan hingga 20,65% pada hari ke-24 karena adanya kematian



52

alami dan mengalami kenaikan hingga 22,99% pada hari ke-100. Jumlah populasi

predator ketika adanya penambahan makanan mula-mula mengalami kenaikan

hingga 33,32% pada hari ke-60 karena adanya tingkat konversi pada prey yang

rentan dan terinfeksi kemudian mengalami penurunan hingga 31,3% pada hari ke-

85 kemudian mengalami kenaikan hingga 32,27% pada hari ke-100.

Berikut ini adalah hasil simulasi perilaku dinamik dari populasi predator

untuk 𝛽 = 0,1 dengan 𝛼 = 0, 𝜉 = 0 dan 𝛼 = 0,8, 𝜉 = 0,4.

Gambar 4.7 Dinamika populasi predator untuk 𝛽 = 0,1 .

Pada Gambar 4.7 menggambarkan dinamika populasi predator untuk

tingkat infeksi prey 𝛽 = 0,1 tanpa penambahan makanan dan adanya penambahan

makanan. Dari Gambar 4.7 menunjukkan perbedaan antara jumlah populasi

predator tanpa penambahan makanan dan adanya penambahan makanan. Pada

Gambar 4.7 terdapat sumbu X yang menyatakan waktu (t) dan sumbu Y yang

menyatakan populasi p. Jumlah populasi predator tanpa penambahan makanan

mula-mula mengalami kenaikan hingga 23,78% pada hari ke-14 karena adanya

tingkat konversi pada prey yang rentan dan terinfeksi kemudian mengalami



53

penurunan hingga 23,08% pada hari ke-100 karena adanya kematian alami.

Jumlah populasi predator ketika adanya penambahan makanan mula-mula

mengalami kenaikan hingga 34,77% pada hari ke-32 karena adanya tingkat

konversi pada prey yang rentan dan terinfeksi kemudian mengalami penurunan

hingga 31,4% pada hari ke-68 karena adanya kematian alami. Setelah itu jumlah

populasi mengalami kenaikan hingga 33,84% pada hari ke-100.

Dari Gambar 4.6 dan Gambar 4.7 dapat disimpulkan bahwa populasi

predator terjadi penurunan karena adanya kematian alami dari predator walaupun

adanya makanan alternatif sebagai penambahan makanan.



54

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1. Dari hasil analisis model matematika peran penambahan makanan dalam

sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey mempunyai empat

titik setimbang, yaitu:

i. Titik setimbang kepunahan 𝐸0 = (0,0,0) yang bersifat tidak stabil

asimtotis.

ii. Titik setimbang aksial 𝐸1 = (1,0,0) yang bersifat stabil asimtotis

jika 𝛽 < 𝑑1 dan 𝜖1 1+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉< 𝑑2 atau 𝑅0

𝑖 < 1 dan 𝑅0𝑝 < 1.

iii. Titik setimbang bebas penyakit 𝐸2 = 𝑠2, 𝑖2, 𝑝2 sebagai berikut:

𝑠2 =𝑑2(1+𝛼𝜉)−𝜖2𝑐𝜉−𝜖1𝑐𝜉


1+𝛼𝜉𝑏

𝑖2 = 0

𝑝2 =1−𝑠2

𝑎 1 + 𝛼𝜉+ 𝑏𝑠2

yang bersifat stabil asimtotis jika 𝑎𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2 < 1 dan

𝑠2+𝑐𝜉 𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 < 1.

iv. Titik setimbang koeksistensi 𝐸3 = 𝑠3, 𝑖3, 𝑝3 sebagai berikut:

𝑠3 = 1+𝛾𝑖3

𝛽

𝜂𝑝3

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖3+ 𝑑1

𝑖3 =𝑑2 1+𝛼𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 −𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 −𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝛼𝜉−𝜖2𝑐𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3

𝜖2 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 −𝑑2𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 +𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝑏



55

𝑝3 = 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 1−𝑠3−𝑖3 1+𝛾𝑖3 −𝛽𝑖3 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3

𝑎 1+𝛾𝑖3

cenderung stabil asimtotis karena semua grafiknya cenderung

menuju ke suatu titik yang sama yaitu 𝑆 → 0.1683 dan 𝐼 → 0.07574

atau cenderung konvergen ke titik 0.2095, 0.0444, 0.3803 .

2. Berdasarkan hasil simulasi secara numerik terlihat bahwa kualitas dan

kuantitas tinggi makanan alternatif sebagai penambahan makanan

memiliki kemampuan membuat sistem eko-epidemiologi dengan penyakit

pada prey yang terinfeki menjadi bebas penyakit untuk tingkat infeksi

yang cukup tinggi. Akibatnya, tingkat pertumbuhan spesies predator akan

meningkat dengan pasokan kualitas dan kuantitas makanan alternatif

sebagai penambahan makanan yang tinggi dan predator menangkap

populasi prey yang terinfeksi pada tingkat yang lebih cepat daripada prey

yang rentan. Oleh karena itu, populasi prey yang terinfeksi menjadi sangat

kecil pada tahap tertentu dan akibatnya infeksi tidak dapat menyebar pada

tahap itu dan sistem tersebut menjadi bebas penyakit.

5.2 Saran

Sebaiknya pada penelitian selanjutnya dapat mengkaji lebih dalam model

dinamika sistem eko-epidemiologi dengan adanya faktor-faktor lain yang dapat

mengurangi jumlah prey yang terinfeksi selain adanya makanan alternatif sebagai

penambahan makanan pada predator seperti penambahan makanan pada predator

dengan kontrol agar penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi

dengan penyakit pada prey menjadi optimal.



56

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H., 2005, Aljabar Linier Elementer, Erlangga, Jakarta.

Aryulina D., 2004, Biologi Jilid 1, Erlangga, Jakarta.

Bacaer, N., 2011, A Short History of Mathematical Population Dynamics, Ninth

Edition, Springer London Dordrecht Heidelberg, New York.

Bronson, R., dan Costa G.B., 2007, Differential Equation, The Mc Grow-Hill

Companies, Inc., New Jersey.

Chandra, B., 2006, Ilmu Kedokteran Pencegahan dan Komunitas, Jakarta: Buku

Kedokteran EGC.

Chattopadhyay, J. & Bairagi, N., 2011, Pelicans at risk in Salton Sea an eco-

epidemiological study, Ecological Modelling, Vol 136 page 103 – 112.

Efendi, F dan Majhfudli., 2009, Keperawatan Kesehatan Komunitas Teori dan

Praktik dalam Keperawatan, Jakarta: Salemba Medika.

Hofbauer, J. dan Sigmund, K., 1998, Evolutionary Games and Population

Dynamics.Cambridge University Press, New York.

Levine, W.S., 2000, Control System Fundamentals, Florida: CRC PRESS LLC.

Logan, J.D., 2006. A First Course of Differential Equations, University of

Nebraska at Lin Coln, USA.

Merkin. D.R., 1997, Introduction to the Theory of Stability, Springer, New York.

Olsder, G. J., 2003, Mathematical SistemTeory second edition, Delft University

Pers, Netherlands.



57

Sahoo,B. dan Poria, S., 2013. Disease Control in a Food Chain Model Supplying

Alternative Food, Applied Mathematical Modelling, Vol 37 page 5653 –

5663.

Sahoo, B. dan Poria, S., 2014. Effects of Additional Food on an Ecoepidemic

Model with Time Delay on Infection, Applied Mathematics and

Computation, Vol 245 page 17 – 35.

Sahoo, B. 2015. Role of Additional Food in Eco-epidemiological System with

Disease in the Prey, Applied Mathematics and Computation, Vol 259 page

61 – 79.

Sahoo, B. dan Poria, S., 2015. Effects of Additional Food in a Delayed Predator–

Prey Model, Math. Biosci, Vol 261 page 62 – 73.

Syamsuri, I., 2007, Biologiuntuk SMA Kelas X Semester 2 Jilid 1B, Erlangga,

Jakarta.

Driessche dan Watmough. 2002. Reproduction numbers and subthreshold

endemic equilibria for compartmental models of disease transmission,

Mathematical Biosciences, Vol 180 page 29 – 48.

Zill, D.G., dan Cullen, M.R., 2009, Differential Equations with Boundary-Value

Problem, seventh edition, Nelson Education Ltd, Canada.



Lampiran 1 - 1

Lampiran 1: Analisis Perskalaan

Pada persamaan (4.1) sampai (4.3) dilakukan perskalaan menggunakan

𝐴1 =1

ℎ1,𝐴2 =

1

ℎ2,𝐵1 =

1

𝑒1ℎ1,𝐵2 =

1

𝑒2ℎ2,𝛼1 =

𝑛1

𝑛3

ℎ3

ℎ1,𝛼2 =

𝑛2

𝑛3

ℎ3

ℎ2,

𝜇1 =𝑛3

𝑛1

𝑒3

𝑒1, 𝜇2 =

𝑛3

𝑛2

𝑒3

𝑒2,𝐴1𝐶1 =

𝑛1

ℎ1,𝐴2𝐶2 =

𝑛2

ℎ2 . Dari perrsamaan (4.1) dapat ditulis

dalam bentuk sebagai berikut,

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 𝑅0𝑆 1 −

𝑆 + 𝐼

𝐾0 −

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

𝑒1𝑆𝑃

1 + 𝑒3ℎ3𝐴 + 𝑒1ℎ1𝑆

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 𝑅0𝑆 1 −

𝑆 + 𝐼

𝐾0 −

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

𝑒1𝑆𝑃

1 + 𝑒3ℎ3𝐴 + 𝑒1ℎ1𝑆× 𝑛1

𝑛3.

1ℎ1

𝑛3

𝑛1.

1𝑒1

𝑛1

𝑛3.

1ℎ1

𝑛3

𝑛1.

1𝑒1

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 𝑅0𝑆 1 −

𝑆+𝐼

𝐾0 −

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1+𝑊2𝐼−

𝑛1𝑛3

.1

ℎ1

𝑛3𝑛1

.1

𝑒1 𝑒1𝑆𝑃

𝑛1𝑛3

.1

ℎ1

𝑛3𝑛1

.1

𝑒1 +

𝑛1𝑛3

.1

ℎ1

𝑛3𝑛1

.1

𝑒1 𝑒3ℎ3𝐴+

𝑛1𝑛3

.1

ℎ1

𝑛3𝑛1

.1

𝑒1 𝑒1ℎ1𝑆

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 𝑅0𝑆 1 −

𝑆 + 𝐼

𝐾0 −

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

1ℎ1

𝑆𝑃

1𝑒1ℎ1

+ 𝑛1

𝑛3.ℎ3

ℎ1 𝑛3

𝑛1.𝑒3

𝑒1 𝐴 + 𝑆

Akibatnya,

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 𝑅0𝑆 1 −

𝑆 + 𝐼

𝐾0 −

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

𝐴1𝑆𝑃

𝐵1 + 𝛼1𝜇1𝐴 + 𝑆

Dari persamaan (4.2) dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut,

𝑑𝐼

𝑑𝑇=

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

𝑒1𝐼𝑃

1 + 𝑒3ℎ3𝐴 + 𝑒2ℎ2𝐼− 𝐷1𝐼

𝑑𝐼

𝑑𝑇=

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

𝑒1𝐼𝑃

1 + 𝑒3ℎ3𝐴 + 𝑒2ℎ2𝐼× 𝑛2

𝑛3.

1ℎ2

𝑛3

𝑛2.

1𝑒2

𝑛2

𝑛3.

1ℎ2

𝑛3

𝑛2.

1𝑒2 − 𝐷1𝐼

𝑑𝐼

𝑑𝑇=

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1+𝑊2𝐼−

𝑛2𝑛3

.1

ℎ2

𝑛3𝑛2

.1

𝑒2 𝑒1𝐼𝑃

𝑛2𝑛3

.1

ℎ2

𝑛3𝑛2

.1

𝑒2 +

𝑛2𝑛3

.1

ℎ2

𝑛3𝑛2

.1

𝑒2 𝑒3ℎ3𝐴+

𝑛2𝑛3

.1

ℎ2

𝑛3𝑛2

.1

𝑒2 𝑒2ℎ2𝐼

− 𝐷1𝐼



Lampiran 1 - 2

𝑑𝐼

𝑑𝑇=

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

1ℎ2

𝐼𝑃

1𝑒2ℎ2

+ 𝑛2

𝑛3.ℎ3

ℎ2 𝑛3

𝑛2.𝑒3

𝑒2 𝐴 + 𝐼

− 𝐷1𝐼

Akibatnya,

𝑑𝐼

𝑑𝑇=

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

𝐴2𝐼𝑃

𝐵2 + 𝛼2𝜇2𝐴 + 𝐼− 𝐷1𝐼

Dari persamaan (4.3) dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut,

𝑑𝑃

𝑑𝑇=

(𝑛1𝑒1𝑆 + 𝑛3𝑒3𝐴)𝑃

1 + 𝑒3ℎ3𝐴 + 𝑒1ℎ1𝑆+

(𝑛2𝑒2𝐼 + 𝑛3𝑒3𝐴)𝑃

1 + 𝑒3ℎ3𝐴 + 𝑒2ℎ2𝐼− 𝐷2𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑇=

(𝑛1𝑒1𝑆+𝑛3𝑒3𝐴)𝑃

1+𝑒3ℎ3𝐴+𝑒1ℎ1𝑆×

𝑛1𝑛3

.1

ℎ1

𝑛3𝑛1

.1

𝑒1

𝑛1𝑛3

.1

ℎ1

𝑛3𝑛1

.1

𝑒1

+(𝑛2𝑒2𝐼+𝑛3𝑒3𝐴)𝑃

1+𝑒3ℎ3𝐴+𝑒2ℎ2𝐼×

𝑛2𝑛3

.1

ℎ2

𝑛3𝑛2

.1

𝑒2

𝑛2𝑛3

.1

ℎ2

𝑛3𝑛2

.1

𝑒2 − 𝐷2𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑇=

𝑛1

ℎ1 𝑆 +

𝑛1

ℎ1

𝑛3

𝑛1.𝑒3

𝑒1 𝐴 𝑃

1𝑒1ℎ1

+ 𝑛1

𝑛3.ℎ3

ℎ1 𝑛3

𝑛1.𝑒3

𝑒1 𝐴 + 𝑆

+

𝑛2

ℎ2 𝐼 +

𝑛2

ℎ2 𝑛3

𝑛2.𝑒3

𝑒2 𝐴 𝑃

1𝑒2ℎ2

+ 𝑛2

𝑛3.ℎ3

ℎ2 𝑛3

𝑛2.𝑒3

𝑒2 𝐴 + 𝐼

− 𝐷2𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑇=

𝑛1

ℎ1 𝑆 +

𝑛3

𝑛1.𝑒3

𝑒1 𝐴 𝑃

1𝑒1ℎ1

+ 𝑛1

𝑛3.ℎ3

ℎ1 𝑛3

𝑛1.𝑒3

𝑒1 𝐴 + 𝑆

+ 𝑛2

ℎ2 𝐼 +

𝑛3

𝑛2.𝑒3

𝑒2 𝐴 𝑃

1𝑒2ℎ2

+ 𝑛2

𝑛3.ℎ3

ℎ2

𝑛3

𝑛2.𝑒3

𝑒2 𝐴 + 𝐼

− 𝐷2𝑃

Akibatnya,

𝑑𝑃

𝑑𝑇=𝐴1𝐶1 𝑆 + 𝜇1𝐴 𝑃

𝐵1 + 𝛼1𝜇1𝐴 + 𝑆+𝐴2𝐶2 𝐼 + 𝜇2𝐴 𝑃

𝐵2 + 𝛼2𝜇2𝐴 + 𝐼− 𝐷2𝑃

Untuk mempermudah, pada persamaan (4.4) – (4.6) anggap bahwa 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼,

𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇, dan 𝐵1 = 𝐵2. Oleh karena itu, model di atas direduksikan dengan

persamaan diferensial biasa sebagai berikut,



Lampiran 1 - 3

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 𝑅0𝑆 1 −

𝑆 + 𝐼

𝐾0 −

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

𝐴1𝑆𝑃

𝐵1 + 𝛼𝜇𝐴 + 𝑆

𝑑𝐼

𝑑𝑇=

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

𝐴2𝐼𝑃

𝐵1 + 𝛼𝜇𝐴 + 𝐼− 𝐷1𝐼

𝑑𝑃


(𝑆 + 𝜇𝐴)𝑃

𝐵1 + 𝛼𝜇𝐴 + 𝑆+ 𝐴2𝐶2

(𝐼 + 𝜇𝐴)𝑃

𝐵1 + 𝛼𝜇𝐴 + 𝐼− 𝐷2𝑃

Pada persamaan (4.7) sampai (4.9) dilakukan perskalaan menggunakan

𝑠 =𝑆

𝐾0, 𝑖 =

𝐼

𝐾0,𝑝 =

𝑃

𝐾0 dan 𝑡 = 𝑅0𝑇. Dengan 𝛽 =

𝑊1𝐾0

𝐸1𝑅0, 𝛾 =

𝑊2𝐾0

𝐸1,𝑎 =

𝐴1𝐾0

𝑅0𝐵1, 𝜉 =

𝜇𝐴

𝐵1, 𝑏 =

𝐾0

𝐵1, 𝜂 =

𝐴2𝐾0

𝑅0𝐵1, 𝜖1 =

𝐶1𝐴1𝐾0

𝑅0𝐵1, 𝜖2 =

𝐶2𝐴2𝐾0

𝑅0𝐵2, 𝑐 =

𝐵1

𝐾0, 𝑑1 =

𝐷1

𝑅0, dan 𝑑2 =

𝐷2

𝑅0.

Dari persamaan (4.7) dan berdasarkan sifat aturan rantai, maka diperoleh:

𝑑𝑆

𝑑𝑇= 𝑅0𝑆 1 −

𝑆 + 𝐼

𝐾0 −

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

𝐴1𝑆𝑃


𝑑𝑆

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑇= 𝑅0𝑆 1 −

𝑆 + 𝐼

𝐾0 −

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

𝐴1𝑆𝑃


𝑑(𝑠𝐾0)

𝑑𝑡𝑅0 = 𝑅0𝑠𝐾0 1 −

𝑠𝐾0 + 𝑖𝐾0

𝐾0 −

𝑊1𝑠𝐾0𝑖𝐾0

𝐸1 + 𝑊2𝑖𝐾0−

𝐴1𝑠𝐾0𝑝𝐾0

𝐵1 + 𝛼𝜇𝐴 + 𝑠𝐾0

𝑅0𝐾0

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑅0𝑠𝐾0 1 − 𝑠 − 𝑖 −


𝐸1 1 +𝑊2𝑖𝐾0

𝐸1 −

𝐴1𝑠𝐾0𝑝𝐾0

𝐵1 1 +𝛼𝜇𝐴𝐵1

+𝑠𝐾0

𝐵1

Akibatnya,

𝑑𝑠

𝑑𝑡=𝑅0𝑠𝐾0 1 − 𝑠 − 𝑖

𝑅0𝐾0−

𝑊1

𝑅0𝐾0

𝑠𝐾0𝑖𝐾0

𝐸1 1 +𝑊2𝑖𝐾0

𝐸1 −

𝐴1

𝑅0𝐾0

𝑠𝐾0𝑝𝐾0

𝐵1 1 + 𝛼𝜇𝐴𝐵1

+ 𝑠𝐾0

𝐵1

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑠 1 − 𝑠 − 𝑖 −

𝑊1𝐾0

𝐸1𝑅0

𝑠𝑖

1 +𝑊2𝐾0

𝐸1𝑖 −𝐴1𝐾0

𝑅0𝐵1

𝑠𝑝

1 + 𝛼𝜇𝐴𝐵1

+ 𝑠𝐾0

𝐵1

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑠 1 − 𝑠 − 𝑖 −

𝛽𝑠𝑖

1 + 𝛾𝑖−

𝑎𝑠𝑝

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠




Lampiran 1 - 4

𝑑𝐼

𝑑𝑇=

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

𝐴2𝐼𝑃


𝑑𝐼

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑇=

𝑊1𝑆𝐼

𝐸1 + 𝑊2𝐼−

𝐴2𝐼𝑃


𝑑(𝑖𝐾0)

𝑑𝑡𝑅0 =


𝐸1 + 𝑊2𝑖𝐾0−

𝐴2𝑖𝐾0𝑝𝐾0

𝐵1 + 𝛼𝜇𝐴 + 𝑖𝐾0−𝐷1𝑖𝐾0

𝑅0𝐾0

𝑑𝑖

𝑑𝑡=


𝐸1 1 +𝑊2𝑖𝐾0

𝐸1 −

𝐴2𝑖𝐾0𝑝𝐾0


+𝑖𝐾0

𝐵1 − 𝐷1𝑖𝐾0

Akibatnya,

𝑑𝑖

𝑑𝑡=

𝑊1

𝑅0𝐾0

𝑠𝐾0𝑖𝐾0

𝐸1 1 +𝑊2𝑖𝐾0

𝐸1 −

𝐴2

𝑅0𝐾0

𝑖𝐾0𝑝𝐾0


+𝑖𝐾0

𝐵1 −𝐷1𝑖𝐾0

𝑅0𝐾0

𝑑𝑖

𝑑𝑡=𝑊1𝐾0

𝐸1𝑅0

𝑠𝑖

1 +𝑊2𝐾0

𝐸1𝑖 −𝐴2𝐾0

𝑅0𝐵1

𝑖𝑝

1 +𝛼𝜇𝐴𝐵1

+𝑖𝐾0

𝐵1

−𝐷1

𝑅0𝑖

𝑑𝑖

𝑑𝑡=

𝛽𝑠𝑖

1 + 𝛾𝑖−

𝜂𝑖𝑝

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖− 𝑑1𝑖


𝑑𝑃


(𝑆 + 𝜇𝐴)𝑃

𝐵1 + 𝛼𝜇𝐴 + 𝑆+ 𝐴2𝐶2



𝑑𝑃

𝑑𝑡

𝑑𝑡


𝑆 + 𝜇𝐴 𝑃

𝐵1 + 𝛼𝜇𝐴 + 𝑆+ 𝐴2𝐶2



𝑑(𝑝𝐾0)

𝑑𝑡𝑅0 = 𝐴1𝐶1

𝑠𝐾0 + 𝜇𝐴 𝑝𝐾0

𝐵1 + 𝛼𝜇𝐴 + 𝑠𝐾0+ 𝐴2𝐶2

𝑖𝐾0 + 𝜇𝐴 𝑝𝐾0

𝐵1 + 𝛼𝜇𝐴 + 𝑖𝐾0− 𝐷2𝑝𝐾0

𝑅0𝐾0

𝑑𝑝

𝑑𝑡= 𝐴1𝐶1

𝑠𝐾0 + 𝜇𝐴 𝑝𝐾0𝐾0

𝐾0


+𝑠𝐾0

𝐵1

+ 𝐴2𝐶2

𝑖𝐾0 + 𝜇𝐴 𝑝𝐾0𝐾0

𝐾0


+𝑖𝐾0

𝐵1 − 𝐷2𝑝𝐾0

Akibatnya,



Lampiran 1 - 5

𝑑𝑝

𝑑𝑡=𝐴1𝐶1

𝑅0𝐾0

𝑠𝐾0 + 𝜇𝐴 𝑝𝐾0𝐾0

𝐾0


+ 𝑠𝐾0

𝐵1

+𝐴2𝐶2

𝑅0𝐾0

𝑖𝐾0 + 𝜇𝐴 𝑝𝐾0𝐾0

𝐾0


+ 𝑖𝐾0

𝐵1 −𝐷2𝑝𝐾0

𝑅0𝐾0

𝑑𝑝

𝑑𝑡=𝐴1𝐶1𝐾0

𝑅0𝐵1

𝑠𝐾0 + 𝜇𝐴

𝐾0 𝑝


+ 𝑠𝐾0

𝐵1

+𝐴2𝐶2𝐾0

𝑅0𝐵1

𝑖𝐾0 + 𝜇𝐴

𝐾0 𝑝


+ 𝑖𝐾0

𝐵1

−𝐷2

𝑅0𝑝

𝑑𝑝


𝑅0𝐵1

𝑠𝐾0

𝐾0+𝜇𝐴𝐾0

𝐵1

𝐵1 𝑝


+ 𝑠𝐾0

𝐵1

+𝐴2𝐶2𝐾0

𝑅0𝐵1

𝑖𝐾0

𝐾0+𝜇𝐴𝐾0

𝐵1

𝐵1 𝑝


+ 𝑖𝐾0

𝐵1

−𝐷2

𝑅0𝑝

𝑑𝑝


𝑅0𝐵1

𝑠 +𝜇𝐴𝐵1

𝐵1

𝐾0 𝑝


+ 𝑠𝐾0

𝐵1

+𝐴2𝐶2𝐾0

𝑅0𝐵1

𝑖 +𝜇𝐴𝐵1

𝐵1

𝐾0 𝑝


+ 𝑖𝐾0

𝐵1

−𝐷2

𝑅0𝑝

𝑑𝑝

𝑑𝑡=𝜖1 𝑠 + 𝑐𝜉 𝑝

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠+𝜖2 𝑖 + 𝑐𝜉 𝑝

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖− 𝑑2𝑝



Lampiran 2 - 1

Lampiran 2: Perhitungan Titik Setimbang (𝑬𝟎)

Titik setimbang kepunahan, yakni kondisi ketika populasi prey yang rentan, prey

yang terinfeksi, dan predator dalam kepunahan. Kondisi ini terjadi ketika

𝑠 = 0, 𝑖 = 0 dan 𝑝 = 0.

Dari persamaan (4.13) didapatkan:

𝑠 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑠𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠= 0 ⇔ 𝑠 1 − 𝑠 − 𝑖 −

𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 = 0

Dari sini diperoleh:

𝑠 = 0 atau 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠= 0

Karena populasi prey yang rentan mengalami kepunahan, maka 𝑠 = 0.

Kemudian mensubstitusikan 𝑠 = 0 ke persamaan (4.14)

𝛽𝑠𝑖

1 + 𝛾𝑖−

𝜂𝑖𝑝

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖− 𝑑1𝑖 = 0

⇔𝛽(0)𝑖

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑖𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1𝑖 = 0

⇔ 𝑖 −𝜂𝑝

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖− 𝑑1 = 0


𝑖 = 0 atau −𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1 = 0

Maka didapatkan 𝑖 = 0 yang artinya populasi prey yang terinfeksi mengalami

kepunahan.

Kemudian mensubstitusikan 𝑠 = 0 dan 𝑖 = 0 ke persamaan (4.15)

𝜖1 𝑠 + 𝑐𝜉 𝑝

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠+𝜖2 𝑖 + 𝑐𝜉 𝑝

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖− 𝑑2𝑖 = 0



Lampiran 2 - 2

⇔𝜖1 0 + 𝑐𝜉 𝑝

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏(0)+

𝜖2 0 + 𝑐𝜉 𝑝

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏(0)− 𝑑2(0) = 0

⇔𝜖1𝑐𝜉𝑝

1 + 𝛼𝜉+

𝜖2𝑐𝜉𝑝

1 + 𝛼𝜉= 0

⇔ 𝑝 𝜖1𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 = 0


𝑝 = 0 atau 𝜖1𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉= 0

Maka didapatkan 𝑝 = 0 yang artinya populasi predator mengalami kepunahan.

Sehingga didapatkan titik setimbang 𝐸0 = 𝑠0, 𝑖0,𝑝0 = 0,0,0 .



Lampiran 3 - 1

Lampiran 3: Perhitungan Titik Setimbang Aksial (𝑬𝟏)

Titik setimbang aksial, yakni kondisi ketika populasi prey yang terinfeksi dan

predator dalam kepunahan. Kondisi ini terjadi ketika 𝑠 ≠ 0, 𝑖 = 0 dan 𝑝 = 0.


𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑖𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1𝑖 = 0 ⇔ 𝑖

𝛽𝑠

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1 = 0


𝑖 = 0 atau 𝛽𝑠

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1 = 0

Karena populasi prey yang terinfeksi mengalami kepunahan, maka 𝑖 = 0.





1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2𝑝 = 0 ⇔ 𝑝

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2 = 0


𝑝 = 0 atau 𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2 = 0

Karena populasi predator mengalami kepunahan, maka 𝑝 = 0.

Kemudian mensubstitusikan 𝑖 = 0 dan 𝑝 = 0 ke persamaan (4.13)

𝑠 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑠𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠= 0 ⇔ 𝑠 1 − 𝑠 − 𝑖 −

𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 = 0


𝑠 = 0 atau 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝


Dengan demikian didapatkan dua kondisi, yaitu:

i. Untuk kondisi 𝑠 = 0

Kondisi ini diabaikan, sebab prey yang rentan tidak mengalami

kepunahan yaitu 𝑠 ≠ 0.



Lampiran 3 - 2

ii. Untuk kondisi 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝


1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝


⇔ 1 − 𝑠 − 𝑖 =𝛽𝑖

1+𝛾𝑖+

𝑎𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠

⇔ 1 − 𝑠 − (0) =𝛽(0)

1+𝛾(0)+

𝑎(0)

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠

⇔ 1 − 𝑠 = 0

⇔ 𝑠 = 1

Sehingga didapatkan titik setimbang 𝐸1 = 𝑠1, 𝑖1,𝑝1 = (1,0,0)



Lampiran 4 - 1

Lampiran 4: Perhitungan Titik Setimbang Bebas Penyakit (𝑬𝟐)

Titik setimbang bebas penyakit, yakni kondisi ketika tidak adanya prey yang

terinfeksi. Kondisi ini terjadi ketika 𝑠 ≠ 0, 𝑖 = 0 dan 𝑝 ≠ 0.


𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑖𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1𝑖 = 0 ⇔ 𝑖

𝛽𝑠

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1 = 0



1+𝛾𝑖−

𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1 = 0

Karena populasi prey yang terinfeksi mengalami kepunahan, maka 𝑖 = 0.

Kemudian mensubstitusikan 𝑖 = 0 ke persamaan (4.15)




1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2𝑝 = 0 ⇔ 𝑝

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2 = 0




𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2 = 0


i. Untuk kondisi 𝑝 = 0

Kondisi ini diabaikan, sebab predator tidak mengalami kepunahan

yaitu 𝑝 ≠ 0.

ii. Untuk kondisi 𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2 = 0

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2 = 0

⇔𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠= 𝑑2 −

𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖


1+𝛼𝜉+𝑏𝑠= 𝑑2 −

𝜖2 (0)+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏(0)



Lampiran 4 - 2


1+𝛼𝜉+𝑏𝑠= 𝑑2 −

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉

⇔ 𝜖1 𝑠 + 𝑐𝜉 = (𝑑2 −𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉) (1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠)

⇔ 𝜖1 𝑠 + 𝑐𝜉 = 𝑑2 + 𝑑2𝛼𝜉 + 𝑑2𝑏𝑠 −𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉−

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝛼𝜉 −

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝑏𝑠

⇔ 𝜖1𝑠 + 𝜖1𝑐𝜉 = 𝑑2 + 𝑑2𝛼𝜉 + 𝑑2𝑏𝑠 −𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉−

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝛼𝜉 −

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝑏𝑠

⇔ 𝜖1𝑠 − 𝑑2𝑏𝑠 +𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝑏𝑠 = 𝑑2 + 𝑑2𝛼𝜉 −

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉−

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝛼𝜉 − 𝜖1𝑐𝜉

⇔ 𝑠(𝜖1 − 𝑑2𝑏 +𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝑏) = 𝑑2(1 + 𝛼𝜉) −

𝜖2𝑐𝜉

(1+𝛼𝜉 )(1 + 𝛼𝜉) − 𝜖1𝑐𝜉

⇔ 𝑠(𝜖1 − 𝑑2𝑏 +𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝑏) = 𝑑2(1 + 𝛼𝜉) − 𝜖2𝑐𝜉 − 𝜖1𝑐𝜉

⇔ 𝑠 =𝑑2(1+𝛼𝜉 )−𝜖2𝑐𝜉−𝜖1𝑐𝜉


1+𝛼𝜉𝑏

Kemudian mensubstitusikan 𝑖 = 0 dan 𝑠 =𝑑2(1+𝛼𝜉 )−𝜖2𝑐𝜉−𝜖1𝑐𝜉


1+𝛼𝜉𝑏

ke persamaan

(4.13)

𝑠 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑠𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠= 0 ⇔ 𝑠 1 − 𝑠 − 𝑖 −

𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 = 0


𝑠 = 0 atau 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝



i. Untuk kondisi 𝑠 = 0

Kondisi ini diabaikan, sebab prey yang rentan tidak mengalami

kepunahan yaitu 𝑠 ≠ 0.

ii. Untuk kondisi 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝




Lampiran 4 - 3

1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝


⇔𝑎𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠= 1 − 𝑠 − 𝑖 −

𝛽𝑖

1+𝛾𝑖

⇔ 𝑎𝑝 = 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖 (1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠)

⇔ 𝑝 = 1−𝑠−𝑖 −

𝛽𝑖

1+𝛾𝑖 (1+𝛼𝜉+𝑏𝑠)

𝑎

⇔ 𝑝 = 1−𝑠−(0) −

𝛽 (0)

1+𝛾(0) (1+𝛼𝜉+𝑏𝑠)

𝑎

⇔ 𝑝 = 1−𝑠 (1+𝛼𝜉+𝑏𝑠)

𝑎

Sehingga didapatkan titik setimbang

𝐸2 = 𝑠2, 𝑖2,𝑝2 = 𝑑2(1+𝛼𝜉 )−𝜖2𝑐𝜉−𝜖1𝑐𝜉


1+𝛼𝜉𝑏

, 0 , 1−𝑠2 (1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2)

𝑎 .

Titik setimbang 𝐸2 eksis jika 𝑠2 < 1 dan 𝑑2(1+𝛼𝜉 )−𝜖2𝑐𝜉−𝜖1𝑐𝜉


1+𝛼𝜉𝑏

> 0 terdapat dua

kondisi yaitu

(i) 𝑑2 1 + 𝛼𝜉 − 𝜖2𝑐𝜉 − 𝜖1𝑐𝜉 > 0 dan 𝜖1 − 𝑑2𝑏 +𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝑏 > 0.

Dengan demikian

𝑑2 1 + 𝛼𝜉 − 𝜖2𝑐𝜉 − 𝜖1𝑐𝜉 > 0

⇔ 𝑑2 1 + 𝛼𝜉 > 𝜖2𝑐𝜉 + 𝜖1𝑐𝜉

⇔ 𝑑2 >𝜖2𝑐𝜉+𝜖1𝑐𝜉

1+𝛼𝜉

⇔ 𝑑2 >𝑐𝜉 𝜖2+𝜖1

1+𝛼𝜉 dan

𝜖1 − 𝑑2𝑏 +𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉𝑏 > 0



Lampiran 4 - 4

⇔ 𝜖1 +𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉𝑏 > 𝑑2𝑏

atau

(ii) 𝑑2 1 + 𝛼𝜉 − 𝜖2𝑐𝜉 − 𝜖1𝑐𝜉 < 0 dan 𝜖1 − 𝑑2𝑏 +𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝑏 < 0.

Dengan demikian

𝑑2 1 + 𝛼𝜉 − 𝜖2𝑐𝜉 − 𝜖1𝑐𝜉 < 0

⇔ 𝑑2 1 + 𝛼𝜉 < 𝜖2𝑐𝜉 + 𝜖1𝑐𝜉

⇔ 𝑑2 <𝜖2𝑐𝜉+𝜖1𝑐𝜉

1+𝛼𝜉

⇔ 𝑑2 <𝑐𝜉 𝜖2+𝜖1

1+𝛼𝜉 dan

𝜖1 − 𝑑2𝑏 +𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉𝑏 < 0

⇔ 𝜖1 +𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉𝑏 < 𝑑2𝑏


dimasukkan pada kondisi tersebut dengan bantuan MAPLE. Sehingga

didapat kondisi yang memenuhi sebagai berikut:

𝑑2 >𝑐𝜉 𝜖2+𝜖1


𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝑏 > 𝑑2𝑏

dengan nilai 0,04 > 0 dan 0,25 > 0,12.



Lampiran 5 - 1

Lampiran 5: Perhitungan Titik Setimbang Koeksistensi 𝑬𝟑

Titik setimbang koeksistensi, yakni kondisi ketika populasi prey yang rentan, prey

yang terinfeksi, dan predator hidup berdampingan. Kondisi ini terjadi jika

𝑠 ≠ 0, 𝑖 ≠ 0 dan 𝑝 ≠ 0.

Dari persamaan (4.15) didapatkan;




1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2𝑝 = 0 ⇔ 𝑝

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2 = 0




𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2 = 0

Untuk 𝑝 ≠ 0, maka 𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2 = 0

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑2 = 0

⇔𝜖2 𝑖+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖= 𝑑2 −

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠

⇔ 𝜖2 𝑖 + 𝑐𝜉 = 𝑑2 −𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖

⇔ 𝜖2 𝑖 + 𝑐𝜉 = 𝑑2 + 𝑑2𝛼𝜉 + 𝑑2𝑏𝑖 −𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠−

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠𝛼𝜉 −

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠𝑏𝑖

⇔ 𝜖2𝑖 + 𝜖2𝑐𝜉 = 𝑑2 + 𝑑2𝛼𝜉 + 𝑑2𝑏𝑖 −𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠𝛼𝜉 −

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠𝑏𝑖

⇔ 𝜖2𝑖 − 𝑑2𝑏𝑖 +𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠𝑏𝑖 = 𝑑2 + 𝑑2𝛼𝜉 −

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠𝛼𝜉 − 𝜖2𝑐𝜉

⇔ 𝑖(𝜖2 − 𝑑2𝑏 +𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠𝑏) = 𝑑2(1 + 𝛼𝜉) −

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠(1 + 𝛼𝜉) − 𝜖2𝑐𝜉

⇔ 𝑖(𝜖2 − 𝑑2𝑏 +𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠𝑏) = 1 + 𝛼𝜉 𝑑2 −

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 − 𝜖2𝑐𝜉

⇔ 𝑖 = 1+𝛼𝜉 𝑑2−

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠 −𝜖2𝑐𝜉

𝜖2−𝑑2𝑏+𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠𝑏



Lampiran 5 - 2

⇔ 𝑖 =𝑑2 1+𝛼𝜉 −

𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠 1+𝛼𝜉 −𝜖2𝑐𝜉

𝜖2−𝑑2𝑏+𝜖1 𝑠+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠𝑏

⇔ 𝑖 =𝑑2 1+𝛼𝜉 (1+𝛼𝜉+𝑏𝑠)−𝜖1 𝑠+𝑐𝜉 1+𝛼𝜉 −𝜖2𝑐𝜉(1+𝛼𝜉+𝑏𝑠)

𝜖2 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 −𝑑2𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 +𝜖1 𝑠+𝑐𝜉 𝑏

⇔ 𝑖 =𝑑2 1+𝛼𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 −𝜖1 𝑠+𝑐𝜉 −𝜖1 𝑠+𝑐𝜉 𝛼𝜉−𝜖2𝑐𝜉(1+𝛼𝜉+𝑏𝑠)

𝜖2 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 −𝑑2𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 +𝜖1 𝑠+𝑐𝜉 𝑏


𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑖𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1𝑖 = 0 ⇔ 𝑖

𝛽𝑠

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1 = 0



1+𝛾𝑖−

𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1 = 0

Untuk 𝑖 ≠ 0, maka 𝛽𝑠

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1 = 0

𝛽𝑠

1+𝛾𝑖−

𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖− 𝑑1 = 0

⇔𝛽𝑠

1+𝛾𝑖=

𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖+ 𝑑1

⇔ 𝛽𝑠 = 𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖+ 𝑑1 1 + 𝛾𝑖

⇔ 𝑠 = 1+𝛾𝑖

𝛽

𝜂𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖+ 𝑑1


𝑠 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑠𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠= 0 ⇔ 𝑠 1 − 𝑠 − 𝑖 −

𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 = 0


𝑠 = 0 atau 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝


Untuk 𝑠 ≠ 0, maka 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝


1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖−

𝑎𝑝




Lampiran 5 - 3

⇔𝑎𝑝

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠= 1 − 𝑠 − 𝑖 −

𝛽𝑖

1+𝛾𝑖

⇔ 𝑎𝑝 = 1 − 𝑠 − 𝑖 −𝛽𝑖

1+𝛾𝑖 (1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠)

⇔ 𝑝 =(1+𝛼𝜉+𝑏𝑠)

𝑎 1 − 𝑠 − 𝑖 −

𝛽𝑖

1+𝛾𝑖

⇔ 𝑝 =(1+𝛼𝜉+𝑏𝑠) 1−𝑠−𝑖

𝑎−

(1+𝛼𝜉+𝑏𝑠)𝛽𝑖

𝑎(1+𝛾𝑖)

⇔ 𝑝 = 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠 1−𝑠−𝑖 1+𝛾𝑖 −(1+𝛼𝜉+𝑏𝑠)𝛽𝑖

𝑎(1+𝛾𝑖 )

Sehingga didapatkan titik setimbang 𝐸3 = 𝑠3, 𝑖3,𝑝3 sebagai berikut:

𝑠3 = 1+𝛾𝑖3

𝛽

𝜂𝑝3

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖3+ 𝑑1 ,

𝑖3 =𝑑2 1+𝛼𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 −𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 −𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝛼𝜉−𝜖2𝑐𝜉(1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3)

𝜖2 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 −𝑑2𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 +𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝑏,

𝑝3 = 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 1−𝑠3−𝑖3 1+𝛾𝑖3 −(1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3)𝛽𝑖3

𝑎(1+𝛾𝑖3).

Titik Setimbang 𝐸3 eksis jika

(i) 𝑑2 1+𝛼𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 −𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 −𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝛼𝜉−𝜖2𝑐𝜉(1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3)

𝜖2 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 −𝑑2𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 +𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝑏> 0 dan

(ii) 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 1−𝑠3−𝑖3 1+𝛾𝑖3 −(1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3)𝛽𝑖3

𝑎(1+𝛾𝑖3)> 0

Dari sini terdapat dua kondisi yaitu

a. 𝑑2 1 + 𝛼𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 − 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 − 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝛼𝜉 −

𝜖2𝑐𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 > 0 dan 𝜖2 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 − 𝑑2𝑏 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 +

𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝑏 > 0.

Dengan demikian

𝑑2 1 + 𝛼𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 − 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 − 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝛼𝜉

− 𝜖2𝑐𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 > 0



Lampiran 5 - 4

⇔ 𝑑2 1 + 𝛼𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

> 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 + 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝛼𝜉 + 𝜖2𝑐𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

⇔ 𝑑2 >𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 +𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝛼𝜉+𝜖2𝑐𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3

1+𝛼𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3

dan

𝜖2 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 − 𝑑2𝑏 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 + 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝑏 > 0

⇔ 𝜖2 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 + 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝑏 > 𝑑2𝑏 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

⇔𝜖2 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 + 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝑏

𝑏 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 > 𝑑2

atau

𝑑2 1 + 𝛼𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 − 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 − 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝛼𝜉 −

𝜖2𝑐𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 < 0 dan 𝜖2 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 − 𝑑2𝑏 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 +

𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝑏 < 0.

Dengan demikian

𝑑2 1 + 𝛼𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 − 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 − 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝛼𝜉

− 𝜖2𝑐𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 < 0

⇔ 𝑑2 1 + 𝛼𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

< 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 + 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝛼𝜉 + 𝜖2𝑐𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

⇔ 𝑑2 <𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 + 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝛼𝜉 + 𝜖2𝑐𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

1 + 𝛼𝜉 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

dan

𝜖2 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 − 𝑑2𝑏 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 + 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝑏 < 0

⇔ 𝜖2 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 + 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝑏 < 𝑑2𝑏 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

⇔𝜖2 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 +𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝑏

𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 < 𝑑2.



Lampiran 5 - 5

b. 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 1 − 𝑠3 − 𝑖3 1 + 𝛾𝑖3 − 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 𝛽𝑖3 > 0 dan

𝑎 1 + 𝛾𝑖3 > 0.

Dengan demikian

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 1 − 𝑠3 − 𝑖3 1 + 𝛾𝑖3 > 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 𝛽𝑖3

⇔ 1 − 𝑠3 − 𝑖3 1 + 𝛾𝑖3 > 𝛽𝑖3

dan

𝑎 1 + 𝛾𝑖3 > 0

atau

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 1 − 𝑠3 − 𝑖3 1 + 𝛾𝑖3 − 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 𝛽𝑖3 < 0 dan

𝑎 1 + 𝛾𝑖3 < 0.

Dengan demikian

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 1 − 𝑠3 − 𝑖3 1 + 𝛾𝑖3 < 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 𝛽𝑖3

⇔ 1 − 𝑠3 − 𝑖3 1 + 𝛾𝑖3 < 𝛽𝑖3

dan

𝑎 1 + 𝛾𝑖3 < 0.

Selanjutnya, berdasarkan nilai parameter yang telah diketahui dimasukkan

ke kondisi tersebut dengan bantuan MAPLE. Sehingga diperoleh kondisi

yang memenuhi sebagai berikut:

(i) 𝑑2 >𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 +𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝛼𝜉+𝜖2𝑐𝜉 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3



𝑏 1+𝛼𝜉+𝑏𝑠3 > 𝑑2

dengan nilai 0,04 > 0,03 dan 0,098 > 0,04.

(ii) 1 − 𝑠3 − 𝑖3 1 + 𝛾𝑖3 > 𝛽𝑖3 dan 𝑎 1 + 𝛾𝑖3 > 0

dengan nilai 0,91 > 0,05 dan 3,66 > 0 serta dengan syarat 1 > 𝑠3 + 𝑖3.



Lampiran 6 - 1

Lampiran 6: Perhitungan Basic Reproduction Number

Ditentukan basic reproduction number yang akan digunakan untuk

parameter ambang batas penentuan kriteria koeksistensi penyakit pada populasi.

Nilai 𝑅0 diperoleh dengan menggunakan metode Van den Driessche. Dalam

kasus ini, hanya memperhatikan kompartemen yang terkena penyakit sebagai

berikut:

i. Misalkan 𝑥 = 𝑝 𝑇 sehingga persamaan dapat ditulis sebagai

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐹(𝑥) − 𝑍(𝑥)

dengan

𝐹 𝑥 =𝜖1 𝑠+𝑐𝜉 𝑝


𝜖2𝑐𝜉𝑝

1+𝛼𝜉, dan 𝑍 𝑥 = 𝑑2𝑝.

Misalkan 𝔽 dan ℤ adalah turunan 𝐹(𝑥) dan 𝑍(𝑥) terhadap 𝑝, maka

diperoleh

𝔽 =𝑑𝐹 𝑥

𝑑𝑝=

𝜖1 𝑠 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉

dan

ℤ =𝑑𝑍(𝑥)

𝑑𝑝= 𝑑2

karena diketahui titik setimbang kedua 𝐸2 = 𝑠2, 𝑖2, 𝑝2 = 1,0,0 ,

sehingga 𝔽 =𝜖1 𝑠+𝑐𝜉


𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉=

𝜖1 1+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉



Lampiran 6 - 2

Dengan demikian,

𝑅0𝑝 = 𝐾 = 𝔽ℤ−1 =

1

𝑑2(𝜖1 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉)

ii. Misalkan 𝑥 = 𝑖 𝑇 sehingga persamaan dapat ditulis sebagai

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐹(𝑥) − 𝑍(𝑥)

dengan

𝐹 𝑥 =𝛽𝑠𝑖

1+𝛾𝑖, dan 𝑍 𝑥 = 𝑑1𝑖.

Misalkan 𝔽 dan ℤ adalah turunan 𝐹(𝑥) dan 𝑍(𝑥) terhadap 𝑖, maka

diperoleh

𝔽 =𝑑𝐹 𝑥

𝑑𝑖=

𝛽𝑠 1 + 𝛾𝑖 − 𝛽𝑠𝑖𝛾

(1 + 𝛾𝑖)2

dan

ℤ =𝑑𝑍(𝑥)

𝑑𝑖= 𝑑1

karena diketahui titik setimbang kedua 𝑠2, 𝑖2, 𝑝2 = 1,0,0 ,

sehingga 𝔽 = 𝛽.

Dengan demikian,

𝑅0𝑖 = 𝐾 = 𝔽ℤ−1 =

𝛽

𝑑1



Lampiran 7 - 1

Lampiran 7: Pencarian Persamaan Karakteristik Titik Setimbang 𝑬𝟎

Subtitusikan titik setimbang 𝐸0 pada matriks Jacobian sehingga diperoleh

𝐽 𝐸0 =

1 0 00 −𝑑1 0

0 0𝜖1𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑2

Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks di atas dengan langkah-langkah

sebagai berikut :

det 𝜆𝐼 − 𝐽 𝐸0 = 0

⇔

𝜆 0 00 𝜆 00 0 𝜆

−

1 0 00 −𝑑1 0

0 0𝜖1𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉+

𝜖2𝑐𝜉1 + 𝛼𝜉

− 𝑑2

= 0

⇔

𝜆 − 1 0 00 𝜆 + 𝑑1 0

0 0 𝜆 − 𝜖1𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉+


− 𝑑2 = 0

Dari sini diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut :

𝜆 − 1 𝜆 + 𝑑1 𝜆 − 𝜖1𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉+


− 𝑑2 = 0


𝜆1 = 1, 𝜆2 = −𝑑1, 𝜆3 =𝜖1𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑2

Dari matriks Jacobian 𝐽 𝐸0 , diperoleh satu nilai eigen positif yaitu 1. Oleh karena

itu titik setimbang 𝐸0 tidak stabil.



Lampiran 8 - 1

Lampiran 8: Pencarian Persamaan Karakteristik Titik Setimbang 𝑬𝟏

Subtitusikan titik setimbang 𝐸1 pada matriks Jacobian sehingga diperoleh

𝐽 𝐸1 =

−1 −(𝛽 + 1)−𝑎

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏0 𝛽 − 𝑑1 0

0 0𝜖1 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏+

𝜖2 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑2


sebagai berikut :


⇔

𝜆 0 00 𝜆 00 0 𝜆

−

−1 −(𝛽 + 1)

−𝑎1 + 𝛼𝜉 + 𝑏

0 𝛽 − 𝑑1 0

0 0𝜖1 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏+

𝜖2 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑2

= 0

⇔

𝜆 + 1 (𝛽 + 1)𝑎

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏0 𝜆 − 𝛽 − 𝑑1 0

0 0 𝜆 − 𝜖1 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏+

𝜖2 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑2

= 0


𝜆 + 1 𝜆 − 𝛽 − 𝑑1 𝜆 − 𝜖1 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏+

𝜖2 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑2 = 0


𝜆1 = −1, 𝜆2 = 𝛽 − 𝑑1, dan 𝜆3 =𝜖1 1+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉 +𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉− 𝑑2

Dari matriks Jacobian 𝐽 𝐸1 , diperoleh satu nilai eigen negatif 𝜆1 = −1 dan dua

nilai eigen 𝜆2 = 𝛽 − 𝑑1 dan 𝜆3 =𝜖1 1+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉 +𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉− 𝑑2. Titik setimbang 𝐸1 stabil

asimtotis jika :



Lampiran 8 - 2

(i) 𝜆2 < 0

⇔ 𝛽 − 𝑑1 < 0

⇔ 𝛽 < 𝑑1 atau

𝛽 < 𝑑1

⟺𝛽

𝑑1< 1

⟺ 𝑅0𝑖 < 1 dan

(ii) 𝜆3 < 0

⇔𝜖1 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑2 < 0

⇔𝜖1 1+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉 +𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉< 𝑑2 atau

𝜖1 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉< 𝑑2

⇔1

𝑑2 𝜖1 1 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 < 1

⇔ 𝑅0𝑝 < 1



Lampiran 9 - 1

Lampiran 9: Pencarian Persamaan Karakteristik Titik Setimbang Bebas

Penyakit (𝑬𝟐)

Titik setimbang bebas penyakit (𝐸2), yakni 𝑠 ≠ 0, 𝑖 = 0, dan 𝑝 ≠ 0.

𝐸2 = 𝑠2, 𝑖2, 𝑝2 = 𝑑2(1+𝛼𝜉 )−𝜖2𝑐𝜉−𝜖1𝑐𝜉

𝜖1−𝑑2𝑏−𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉𝑏

, 0,1−𝑠2

𝑎 1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 .

Berdasarkan kondisi kesetimbangan, diperoleh:

𝑠2 1 − 𝑠2 − 𝑖2 −𝛽𝑠2𝑖2

1 + 𝛾𝑖2−

𝑎𝑠2𝑝2

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2= 0

⟺ 𝑠2 1 − 𝑠2 − 𝑖2 −𝛽𝑖2

1+𝛾𝑖2−

𝑎𝑝2

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠2 = 0

⟺ 𝑠2 ≠ 0 maka 1 − 𝑠2 − 𝑖2 −𝛽𝑖2

1+𝛾𝑖2−

𝑎𝑝2

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠2= 0

⟺ 1 − 𝑠2 =𝑎𝑝2

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2

𝛽𝑠2𝑖2

1 + 𝛾𝑖2−

𝜂𝑝2𝑖2

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖2− 𝑑1𝑖2 = 0

⟺ 𝑖2 𝛽𝑠2

1 + 𝛾𝑖2−

𝜂𝑝2

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖2− 𝑑1 = 0

⟺ 𝑖2 = 0 maka 𝛽𝑠2

1+𝛾𝑖2−

𝜂𝑝2

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑖2− 𝑑1 ≠ 0

𝜖1 𝑠2 + 𝑐𝜉 𝑝2

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2+

𝜖2 𝑖2 + 𝑐𝜉 𝑝2

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖2− 𝑑1𝑝2 = 0

⟺ 𝑝2 𝜖1 𝑠2 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2+

𝜖2 𝑖2 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖2− 𝑑1 = 0

⟺ 𝑝2 ≠ 0 maka 𝜖1 𝑠2+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠2+

𝜖2 𝑖2+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑖2− 𝑑1 = 0

⟺𝜖1 𝑠2 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉− 𝑑1 = 0



Lampiran 9 - 2

⟺𝜖1 𝑠2 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2+

𝜖2𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉= 𝑑1

Matriks 𝐽 dievaluasi pada titik setimbang 𝐸2, sehingga diperoleh:

𝐽 𝐸2 =

1 − 2𝑠2 −𝑎𝑝2

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2+

𝑎𝑠2𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2−𝑠2 1 + 𝛽 −

𝑎𝑠2



1+𝛼𝜉− 𝑑1 0

𝜖1𝑝2


𝜖1 𝑠2+𝑐𝜉 𝑝2𝑏


𝜖2𝑝2

1+𝛼𝜉−


1+𝛼𝜉 2

𝜖1 𝑠2+𝑐𝜉


𝜖2𝑐𝜉

1+𝛼𝜉− 𝑑2

Berdasarkan kondisi kesetimbangan, maka

𝐽 𝐸2 =


1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2−𝑠2(1 + 𝛽) −

𝑎𝑠2



1+𝛼𝜉− 𝑑1 0

𝜖1𝑝2




𝜖2𝑝2

1+𝛼𝜉−


1+𝛼𝜉 20


sebagai berikut :


⇔

𝜆 − −𝑠2 +

𝑎𝑠2𝑝2𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 2 𝑠2(1 + 𝛽)

𝑎𝑠2

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2

0 𝜆 − 𝛽𝑠2 −𝜂𝑝2

1 + 𝛼𝜉− 𝑑1 0

−𝜖1𝑝2

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2+

𝜖1 𝑠2 + 𝑐𝜉 𝑝2𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 2−

𝜖2𝑝2

1 + 𝛼𝜉+


1 + 𝛼𝜉 2𝜆

= 0


𝜆 − 𝛽𝑠2 −𝜂𝑝2

1+𝛼𝜉− 𝑑1 𝜆 𝜆 − −𝑠2 +

𝑎𝑠2𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2 − 𝑎𝑠2

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 −

𝜖1𝑝2



1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2 = 0



Lampiran 9 - 3

⇔ 𝜆 − 𝛽𝑠2 −𝜂𝑝2

1+𝛼𝜉− 𝑑1 𝜆 𝜆 + 𝑠2 −

𝑎𝑠2𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2 −

𝑎𝑠2

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 −

𝜖1𝑝2



1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2 = 0

⇔ 𝜆 − 𝛽𝑠2 −𝜂𝑝2

1+𝛼𝜉− 𝑑1 𝜆2 + 𝜆𝑠2 − 𝜆

𝑎𝑠2𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2+

𝑎𝑠2𝜖1𝑝2

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2−

𝑎𝑠2𝜖1𝑝2𝑏 𝑠2+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 3 = 0

⇔ 𝜆 − 𝛽𝑠2 −𝜂𝑝2

1+𝛼𝜉− 𝑑1 𝜆2 + 𝜆 𝑠2 −

𝑎𝑠2𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2 +

𝑎𝑠2𝜖1𝑝2

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2−

𝑎𝑠2𝜖1𝑝2𝑏 𝑠2+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 3 = 0

⇔ 𝜆 − 𝛽𝑠2 −𝜂𝑝

2

1 + 𝛼𝜉− 𝑑1 𝜆2 + 𝜆𝑞1 + 𝑞2 = 0,

dengan

𝑞1 = 𝑠2 −𝑎𝑠2𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2,

𝑞2 =𝑎𝑠2𝜖1𝑝2

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2−


1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 3.

Dengan demikian diperoleh nilai-nilai eigen dari 𝐽 𝐸2 adalah sebagai berikut:

𝜆1 = 𝛽𝑠2 −𝜂𝑝

2

1 + 𝛼𝜉− 𝑑1.

Sedangkan nilai eigen yang lain diperoleh dari akar-akar persamaan karakteristik

berikut:

𝜆2 + 𝑞1𝜆 + 𝑞2 = 0.



Lampiran 9 - 4

Menurut kriteria Routh-Hurwitz, persamaan 𝜆2 + 𝑞1𝜆 + 𝑞2 = 0 akan memiliki akar-akar

dengan bilangan real negatif jika dan hanya jika 𝑞1 > 0 dan 𝑞2 > 0. Akan ditentukan

syarat untuk 𝑞1 > 0 dan 𝑞2 > 0 sebagai berikut:

Pandang 𝑞1 = 𝑠2 −𝑎𝑠2𝑝2𝑏

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2> 0

⇔ 𝑠2 1 −𝑎𝑝2𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 2 > 0

⇔ 1 −𝑎𝑝2𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 2

> 0

⇔𝑎𝑝2𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 2

< 1.

Pandang 𝑞2 =𝑎𝑠2𝜖1𝑝2

1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 2−


1+𝛼𝜉+𝑏𝑠2 3> 0

⇔𝑎𝑠2𝜖1𝑝2

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 2 1 −

𝑠2 + 𝑐𝜉 𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 > 0

⇔ 1 − 𝑠2 + 𝑐𝜉 𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 > 0

⇔ 𝑠2 + 𝑐𝜉 𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠2 < 1.



Lampiran 10 - 1

Lampiran 10: Pencarian Persamaan Karakteristik Titik Setimbang

Koeksistensi (𝑬𝟑)

Titik setimbang bebas penyakit (𝐸3), yakni 𝑠 ≠ 0, 𝑖 ≠ 0, dan 𝑝 ≠ 0.

𝐸3 = 𝑠3, 𝑖3, 𝑝3 sebagai berikut:

𝑠3 = 1+𝛾𝑖3

𝛽

𝜂𝑝3

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑖3+ 𝑑1 ,

𝑖3 =𝑑2 1+𝛼𝜉 1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠3 −𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 −𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝛼𝜉−𝜖2𝑐𝜉 1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠3

𝜖2 1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠3 −𝑑2𝑏 1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠3 +𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉 𝑏,

𝑝3 = 1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠3 1−𝑠3−𝑖3 1+𝛾𝑖3 −𝛽𝑖3 1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠3

𝑎 1+𝛾𝑖3

Berdasarkan kondisi kesetimbangan, diperoleh:

𝑠3 1 − 𝑠3 − 𝑖3 −𝛽𝑠3𝑖3

1 + 𝛾𝑖3−

𝑎𝑠3𝑝3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3= 0

⟺ 𝑠3 1 − 𝑠3 − 𝑖3 −𝛽𝑖3

1+𝛾𝑖3−

𝑎𝑝3

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠3 = 0

⟺ 𝑠3 ≠ 0 maka 1 − 𝑠3 − 𝑖3 −𝛽𝑖3

1+𝛾𝑖3−

𝑎𝑝3

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠3= 0

⟺ 1 − 𝑠3 − 𝑖3 =𝛽𝑖3

1 + 𝛾𝑖3+

𝑎𝑝3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

𝛽𝑠3𝑖3

1 + 𝛾𝑖3−

𝜂𝑝3𝑖3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3− 𝑑1𝑖3 = 0

⟺ 𝑖3 𝛽𝑠3

1 + 𝛾𝑖3−

𝜂𝑝3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3− 𝑑1 = 0

⟺ 𝑖2 ≠ 0 maka 𝛽𝑠3

1+𝛾𝑖3−

𝜂𝑝3

1+𝛼𝜉+𝑏𝑖3− 𝑑1 = 0

⟺𝛽𝑠3

1 + 𝛾𝑖3=

𝜂𝑝3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3+ 𝑑1 = 0



Lampiran 10 - 2

𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉 𝑝3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3+

𝜖2 𝑖3 + 𝑐𝜉 𝑝3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3− 𝑑1𝑝3 = 0

⟺ 𝑝3 𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3+


1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3− 𝑑1 = 0

⟺ 𝑝3 ≠ 0 maka 𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉


𝜖2 𝑖3+𝑐𝜉

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑖3− 𝑑1 = 0

⟺𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3+


1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3− 𝑑1 = 0

⟺𝜖1 𝑠3 + 𝑐𝜉

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3+


1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3= 𝑑1

Matriks 𝐽 dievaluasi pada titik setimbang 𝐸3, sehingga diperoleh:

𝐽 𝐸3 =

1 − 2𝑠3 − 𝑖3 −𝛽𝑖3

1+𝛾𝑖3−

𝑎𝑝3


𝑎𝑠3𝑝3𝑏

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠3 2−𝑠3 −

𝛽𝑠3

1+𝛾𝑖3+

𝛽𝑠3𝑖3𝛾

(1+𝛾𝑖3)2 −𝑎𝑠3

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠3

𝛽𝑖3

1+𝛾𝑖3

𝛽𝑠3

1+𝛾𝑖3−

𝛽𝑠3𝑖3𝛾

(1+𝛾𝑖3)2 −𝜂𝑝3

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑖3+

𝜂𝑖3𝑝3𝑏

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑖3 2− 𝑑1 −

𝜂𝑖3

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑖3

𝜖1𝑝3

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠3−

𝜖1(𝑠3+𝑐𝜉 )𝑝3𝑏

(1+𝛼𝜉 +𝑏𝑠3)2

𝜖2𝑝3

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑖3−

𝜖2(𝑖3+𝑐𝜉 )𝑝3𝑏

(1+𝛼𝜉 +𝑏𝑖3)2

𝜖1 𝑠3+𝑐𝜉


𝜖2(𝑖+𝑐𝜉 )

1+𝛼𝜉 +𝑏𝑖− 𝑑2

Berdasarkan kondisi kesetimbangan, maka

𝐽 𝐸3

=


1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 2

−𝑠3 −𝛽𝑠3

1 + 𝛾𝑖3

+𝛽𝑠3𝛾𝑖3

(1 + 𝛾𝑖3)2−

𝑎𝑠3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

𝛽𝑖3

1 + 𝛾𝑖3

−𝛽𝑠3𝑖3𝛾

(1 + 𝛾𝑖3)2+

𝜂𝑖3𝑝3𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3 2

−𝜂𝑖3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3

𝜖1𝑝3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

−𝜖1(𝑠3 + 𝑐𝜉)𝑝3𝑏

(1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3)2

𝜖2𝑝3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3

−𝜖2(𝑖3 + 𝑐𝜉)𝑝3𝑏

(1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3)20

dengan

𝐴11 = −𝑠3 +𝑎𝑠3𝑝3

𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3 2,

𝐴12 = −𝑠3 −𝛽𝑠3

1 + 𝛾𝑖3

+𝛽𝑠3𝛾𝑖3

(1 + 𝛾𝑖3)2,

𝐴13 = −𝑎𝑠3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

,



Lampiran 10 - 3

𝐴21 =𝛽𝑖3

1 + 𝛾𝑖3

,

𝐴22 = −𝛽𝑠3𝑖3𝛾

(1 + 𝛾𝑖3)2+

𝜂𝑖3𝑝3𝑏

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3 2,

𝐴23 = −𝜂𝑖3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3

,

𝐴31 =𝜖1𝑝3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3

−𝜖1(𝑠3 + 𝑐𝜉)𝑝

3𝑏

(1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑠3)2,

𝐴32 =𝜖2𝑝3

1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3

−𝜖2(𝑖3 + 𝑐𝜉)𝑝

3𝑏

(1 + 𝛼𝜉 + 𝑏𝑖3)2,

𝐴33 = 0.


sebagai berikut :


⇔

𝜆 − 𝐴11 −𝐴12 −𝐴13

−𝐴21 𝜆 − 𝐴22 −𝐴23

−𝐴31 −𝐴32 𝜆 = 0


𝜆 − 𝐴11 [(𝜆 − 𝐴22) 𝜆 −𝐴23𝐴32] + 𝐴12 −𝐴21𝜆−𝐴23𝐴31 − 𝐴13 𝐴21𝐴32 − 𝜆 − 𝐴22 −𝐴31 = 0

⟺ 𝜆 − 𝐴11 𝜆2 − 𝜆𝐴22−𝐴23𝐴32 + 𝐴12 −𝐴21𝜆−𝐴23𝐴31 − 𝐴13 𝐴21𝐴32 + 𝜆𝐴31 − 𝐴22𝐴31 = 0

⇔ 𝜆3 − 𝜆2𝐴22−𝜆𝐴23𝐴32 − 𝜆2𝐴11 + 𝜆𝐴11𝐴22 + 𝐴11𝐴23𝐴32 − 𝜆𝐴12𝐴21 − 𝐴12𝐴23𝐴31 − 𝐴13𝐴21𝐴32 −

𝜆𝐴13𝐴31 + 𝐴13𝐴22𝐴31 = 0

⇔ 𝜆3 − (𝐴11 + 𝐴22)𝜆2+(𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21 − 𝐴13𝐴31−𝐴23𝐴32)𝜆 + (𝐴11𝐴23𝐴32 − 𝐴12𝐴23𝐴31 −

𝐴13𝐴21𝐴32 + 𝐴13𝐴22𝐴31 = 0


berikut:

𝜆3 + 𝛺1𝜆2 + 𝛺2𝜆 + 𝛺3 = 0,



Lampiran 10 - 4

dengan

𝛺1 = − 𝐴11 + 𝐴22 ,

𝛺2 = 𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21 − 𝐴13𝐴31 − 𝐴23𝐴32 ,

𝛺3 = 𝐴11𝐴23𝐴32 − 𝐴12𝐴23𝐴31 − 𝐴13𝐴21𝐴32 + 𝐴13𝐴22𝐴31 .

Titik setimbang koeksistensi (𝐸3) stabil asimtotis jika dan hanya jika akar-

akar dari persamaan karakteristik bernilai negatif. Berdasarkan kriteria Routh-

Hurwitz, persamaan karakteristik tersebut akan memiliki akar-akar yang negatif

jika dan hanya jika memenuhi:

a. 𝛺1, 𝛺2, dan 𝛺3 > 0

b. 𝛺1𝛺2 − 𝛺3 > 0

Persamaan 𝛺1, 𝛺2, dan 𝛺3 mengandung banyak parameter yang sulit untuk

disederhanakan. Oleh karena itu, untuk menentukan syarat agar 𝜆𝑖 < 0 untuk

𝑖 = 1,2 dan 3 rumit ditentukan secara manual. Dari sini dilakukan simulasi

numerik untuk menentukan sifat kestabilan dari titik setimbang koeksistensi 𝐸3

menggunakan bidang fase software MATLAB. Kode pogram untuk simulasi

numerik dapat dilihat pada Lampiran 11.



Lampiran 11 - 1

Lampiran 11: Kode Program untuk Simulasi Bidang Fase dan Grafik Model

Matematika Peran Penambahan Makanan dalam Sistem Eko-

epidemiologi dengan Penyakit pada Prey

Kode Program untuk Pendefinisian Variabel

function xdot=bidang_fase_E3(t,x) global gamma a alpha xi b d1 d2 epsilon1 epsilon2 c eta beta;

xdot=zeros(3,1); xdot(1)=x(1)*(1-x(1)-x(2))-(beta*x(1)*x(2))/(1+gamma*x(2))-

(a*x(1)*x(3))/(1+alpha*xi*+b*x(1)); xdot(2)=(beta*x(1)*x(2))/(1+gamma*x(2))-

(eta*x(2)*x(3))/(1+alpha*xi+b*x(2))-d1*x(2); xdot(3)=(epsilon1*(x(1)+c*xi)*x(3))/(1+alpha*xi+b*x(1))+(epsilon2*

(x(2)+c*xi)*x(3))/(1+alpha*xi+b*x(2))-d2*x(3); end

Program Utama

clc; close all; clear all; global gamma a alpha xi b d1 d2 epsilon1 epsilon2 c eta beta; gamma=5; a=3; alpha=0; xi=0; b=3; d1=0.08; d2=0.04; epsilon1=0.25; epsilon2=0.2; c=0.2; eta=0.4; beta=1.25;

[t1,x1]=ode45(@bidang_fase_E3,[0 150],[3.6 2.1 0.18]); [t2,x2]=ode45(@bidang_fase_E3,[0 150],[3 0.1 0.2]); [t3,x3]=ode45(@bidang_fase_E3,[0 150],[2.6 1.2 0.24]);

figure (1) plot(x1(:,1),x1(:,2),x2(:,1),x2(:,2),x3(:,1),x3(:,2)); legend('[3.6 2.1 0.18]','[3 0.1 0.2]','[2.6 1.2 0.24]') xlabel('s(t)'); ylabel('i(t)');



Lampiran 11 - 2

figure (2) plot(x1(:,3),x1(:,2),x2(:,3),x2(:,2),x3(:,3),x3(:,2)); legend('[3.6 2.1 0.18]','[3 0.1 0.2]','[2.6 1.2 0.24]') xlabel('p(t)'); ylabel('i(t)');



Lampiran 12 - 1

Lampiran 12: Simulasi Dinamika Model Matematika Peran Penambahan

Makanan dalam Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit

pada Prey (𝜶 = 𝟎 dan 𝝃 = 𝟎)

1. Membuat fungsi Skripsi.m dengan M-file sebagai berikut:

function xdot=Skripsi(t,x) xdot=zeros(3,1); gamma=5; a=3; alpha=0; xi=0; b=3; d1=0.08; d2=0.04; epsilon1=0.25; epsilon2=0.2; c=0.2; eta=0.4;

global beta xdot(1)=x(1)*(1-x(1)-x(2))-(beta*x(1)*x(2))/(1+gamma*x(2))-




2. Membuat M-file baru untuk memplot fungsi Skripsi.m sebagai berikut:

clc; global beta beta0=[1.25;0.1]; x0=[0.5 0.3 0.2]; t=[0 100]; n=length(beta0);

for i=1:n beta=beta0(i,1); [t,x]=ode45('Skripsi',t,x0); figure(i) plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3)) legend('s','i','p') ylabel('Populasi') xlabel('t') end



Lampiran 13 - 1

Lampiran 13: Simulasi Dinamika Model Matematika Peran Penambahan

Makanan dalam Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit

pada Prey (𝜶 = 𝟎,𝟖 dan 𝝃 = 𝟎,𝟒)

1. Membuat fungsi Skripsi.m dengan M-file sebagai berikut:

function xdot=Skripsi(t,x) xdot=zeros(3,1); gamma=5; a=3; alpha=0.8; xi=0.4; b=3; d1=0.08; d2=0.04; epsilon1=0.25; epsilon2=0.2; c=0.2; eta=0.4;

global beta xdot(1)=x(1)*(1-x(1)-x(2))-(beta*x(1)*x(2))/(1+gamma*x(2))-




2. Membuat M-file baru untuk memplot fungsi Skripsi.m sebagai berikut:

clc; global beta beta0=[1.25;0.1]; x0=[0.5 0.3 0.2]; t=[0 100]; n=length(beta0);

for i=1:n beta=beta0(i,1); [t,x]=ode45('Skripsi',t,x0); figure(i) plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3)) legend('s','i','p') ylabel('Populasi') xlabel('t') end



ANALISIS MODEL MATEMATIKA PERAN PENAMBAHAN …repository.unair.ac.id/54747/8/MPM 77-16 Fit a...

Documents

Transcript of ANALISIS MODEL MATEMATIKA PERAN PENAMBAHAN …repository.unair.ac.id/54747/8/MPM 77-16 Fit a...