MODUL MATEMATIKA 1 (MPM 6301)(Materi UTS)

Disusun Oleh:Dra.Mustamina Maulani,M.T.

Juli 2021

MATERI & BUKU REFERENSI

Materi : • SISITEM BILANGAN REAL

• PERTIDAKSAMAAN FUNGSI REAL

• FUNGSI SATU VARIABEL, DOMAIN,

RANGE DAN GRAFIK FUNGSI,

KEKONTINUAN FUNGSI

• DIFERENSIAL

• APLIKASI DIFERENSIAL

• INTEGRAL TAK TENTU

Referensi :• KALKULUS JILID 1, EDISI 9, PURCELL,

ERLANGGA.

• KALKULUS , EDISI 13, THOMAS,

ERLANGGA.

• KALKULUS, KOKO MARTONO ,

ERLANGGA.

• INTEGRAL FUNGSI SATU VARIABEL &

PENERAPANNYA, EDISI 1, MUSTAMINA

MAULANI; LISA SAMURA; CAHAYA

ROSYIDAN, PENERBIT UNIVERSITAS

TRISAKTI

BAB 1PERTIDAKSAMAAN REAL

• Bentuk Umum Pertidaksamaan dalam bilangan real :

A, B, C, D suku banyak/Polinom

Tanda < dapat diganti dengan >, ≤ ,≥• Permasalahan:

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan dengan mencari himpunanjawab bilangan Real (x) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut

LANGKAH MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN

• Dengan rumus aljabar elementer dan urutan, ubahlah bentukpertaksamaan menjadi !(#)

%(#)< 0. dengan P, Q suku banyak.

• Uraikan P dan Q atas faktor linier / kuadrat definit positif• Tentukan tanda pertaksamaan pada garis bilangan• Tentukan himpunan jawabnya dan tampilkan dalam bentuk selang

SELANG DAN HIMPUNAN PERTIDAKSAMAAN

CONTOH SOAL Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut

1. !"#!$% < 2

Jawab : !"#!$% −2 < 0!"#"#(!$%)

!$% < 0"!"()!$% < 0 ( dikali (-))

!$()!$% > 0 ( Buat Garis Bilangan)

HP= { ' ∶ ' < −10 *+*, ' > 4, ' ∈ 0} atau (−∞,−10) ∪ (−4,∞)

2. *!!"+!"#%!$+ ≥ 0

Jawab : *!$( !"#%!$+ ≥ 0 ( Buat Garis bilangan)

HP = "+% ,

"(* ∪ [2,∞)

LATIHAN SOALTentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan soal-soal berikut:

1. 3' + 2 ≤ 10 − 6' < 2' + 5. 6. #!$+! ≥ *!"#

2. !"(!$()!(%"!)"

+$,! < 0. 7. (! +-

.!$% ≥ 3

3. (!!$%)(-"!!)(,!"*)# ≥ 0. 8. !"#!! ≥ !$(

!$*

4. !$(!"# ≥

!!$* 9. x < !$#

! ≤ 2

5. 2 < !!$(! ≤ ' + 3 10. 2' + 1 ≤ '# ≤ 2' + 4

BAB 2FUNGSI SATU VARIABEL

Definisi :Fungsi pada himpunan D ∁. R adalah suatu aturan yang memasangkan setiap unsur di D dengan tepatsatu bilangan real.

Daerah Definisi (Df) dan daerah nilai (Rf) funsgi :Himpunan D dinamakan daerah definisi fungsi, dan himpunan bilangan real yang merupakan pasangandari unsur D dinamakan daerah nilai fungsiJika fungsi ini dinamakan f maka fungsi f dari himpunan D ke R dituliskan sebagai :

f ∶ D → R , y = f(x). Dan y = f(x) dinamakan aturan fungsiDf = {x |f x bilangan real } Dan Rf = {f(x) | x ∈ Df }x = variable bebas dan y variable tak bebas

Tentukan Domain dan Range fungsi

1. O ' = '# + 2

2. O ' = '# − 4' + 5 , 0 ≤ ' ≤ 3

3. O ' = 1 + 1 − 2'

4. O ' = !!!"(

5. O ' = 4' − '#

6. O ' = %!! "-

7. O ' = ! (! "#)! "(

I Fungsi Elementer: 1. Fungsi Aljabar Suku Banyak ( Polinom) Fungsi Linier Ax + By + C = 0

Pn (x) Fungsi Kuadrat !"! + $" + %Fungsi kubik !"! + $"" + %" + &dst

2. Fungsi Rasional : #$(%)'$(%)

. Dimana P dan G polinom

3. Fungsi Irasional (akar dari fungsi rasional) : % '("). Dimana q(x) fungsi rasional

II Fungsi Transenden :

1. Fungsi Triginometri sinx, cos x, tangen x dst

2. Fungsi Hiperbolik dan invers hiperbolik

Jenis Fungsi

Contoh Fungsi

1. O ' = 2' + 5 Fungsi Linier2. O ' = '# + 4' − 1 Fungsi Kuadrat3. O ' = 4'* − '# + 4' − 10. Fungsi Kubik

4. O ' = !!+! "( Fungsi Rasional

5. O ' = !!$+ Fungsi Irasional

6. O ' = " 3'* − 4' + 1. Fungsi Irasional7. O ' = 3 cos 4' Fungsi Trigonometri8. O ' = 3 STU"(6' Fungsi Trigonometri9. O ' = 3 tgnh '. Fungsi Hiperbolik

OPERASI ALJABAR FUNGSI

• Jika fungsi f(x) dan g(x) terdefinisi pada himpunan D maka :

1. (f + g) (x) = f(x) + g(x)

2. (f - g) (x) = f(x) - g(x)

3. (l f) (x) = l f(x) dimana l anggota real

4. (f g) (x) = f(x) g(x)

5. !" # = !($)

"($) dimana g(x) ≠ 0

• Fungsi dengan banyak persamaan, sebagai contoh :

( ) = +)! , ) < 0

4 − )! , 0 ≤ ) ≤ 2) − 2 , ) ≥ 2

• Fungsi komposisi

( ° 5 ) = ( 5 )Jelaskan dengan contoh

• Fungsi Invers

invers dari fungsi f(x) dituliskan denngan f-1(x)

adalah suatu fungsi tunggal yang terdefinisi

pada Rf dan memenuhi f(f-1 (x) ) = x

first second

13

Grafik Fungsi denganPergeseran Fungsi

Pergeseran Fungsidigunakan untukmenggambarkan grafikfungsi y = f(x+a), y = f(x) + a, X = *O ' dan X= O *'

bisa dilakukanjika grafik dasary = f(x) sudahdiketahui

y = f(x+a)y = f(x) + a X =*O ' X =O *'dapat ditentukan

Grafik dasar yang akan dipakai misalnya:* = ", * = "", * = "!, y = ", y = ln x, y = sin x dan y = cos x

1. Grafik y = f(x) + aDiperoleh dari grafik dasary = f(x) dengan menggeser a satuan ke atas jika a> 0 dan sejauh a kebawah jika a< 0

2. Grafik y = f(x + a)Diperoleh dari grafik dasary = f(x) dengan menggeser a satuan ke a ke kiri jika a> 0 dan sejauh a ke kanan jika a< 0

.. 012345 6 = 78 9

Diperoleh dari grafik dasary = f(x) dengan caramengalikan setiap nilai y dengan !

14

.. 012345 6 = 8 79

Diperoleh dari grafik dasary = f(x) dengan cara membagisetiap nilai x dengan ! ( caraDilatasi)

Pergeseran

Latihan : Gambarkan Grafik fungsiberikut dengan menggunakanpergeseran fungsi

1. * = "" + 42. * = "" − 23. * = (" + 1)"

4. * = (" − 3)"

5. * = − "!

6. * = − "" + 1

7. * = cos6" , 0 ≤ " ≤

7"

8. * = 1 − sin"

15

9. * = "" + 4x + 610. * = −"" + 2x + 211. * = "" − 6x + 512. * = 2 − sin2" ,−π ≤ " ≤ I

13. * = J"" , " < 0

4 − "", 0 ≤ " ≤ 2" − 2, " > 2

.

second

16

Grafik fungsi yang memuat nilai

mutlak dilakukan dengan cara :

1. Ubahlah bentuk aturan

fungsi menjadi fungsi tanpa

nilai mutlak, dengan sifat nilai

mutlak

2. Menggambarkan fungsi

didalam nilai mutlak, yang

dibawah sumbu x dicerminkan

terhadap sumbu x dan yang

diatas sumbu x tetap

Grafik Fungsi Nilai Mutlak

Latihan : Gambarkan Grafik fungsi nilai mutlak berikut :

1. ' = #& − 22. * # = # ( # - 2)

3. g # = cos #4. p # = #& − 4#

17

Perumusan Masalah NyataDalam Bentuk Fungsi Real

Masalah nyata dengan bentuk fungsi real banyak ditemui. Misalnya :• Tarif Pos bergantung pada berat• Prestasi seseorang bergantung pada potensi, dll

Masalah nyata dengan 2 variable yang saling berkaitan dapat dirumuskan menjadi bentuk fungsidengan 1 variable.

18

6. Perumusan Masalah NyataDalam Bentuk Fungsi Real

Contoh :Sebuah Cermin yang merupakan gabungan dari persegi panjang dan setengah lingkaran berjari-jari r dibagian atasnya, jika keliling cermin adalah 9m, nyatakan luas permukaan cermin sebagai fungsi dari r.

Jawab :Jika jari-jari lingkaran adalah r dan sisi persegi Panjang adalah t.

Keliling Cermin = 2r + 2t + IM = 9 maka 2N = 9 − 2M − IM dan N = 8"− M −

9"IM

Luas Permukaan cermin =L = 2MN + 9"IM

" t. t

O M = 2M (8"− M −

9"IM) + 9

"IM" = 9M − 2 M" − IM"

Jadi O M = 9M − (2 − I)M"

merupakan Luas cermin fungsi dari jari-jari r 2r Scanned by CamScanner

19

Latihan Masalah NyataDalam Bentuk Fungsi Real

1. Sebuah bejana berbentuk kerucut lingkaran tegak terbalik dengan jari-jari lingkaran alas 2 cm dan tinggi200cm. Pada saat tinggi minyak t cm, Tentukan volume minyak dalam bejana sebagai fungsi dari t

2. Volume sebuah kotak berbentuk balok dengan alas bujursangkar adalah 9000cm3. Jika biaya pembuatanbidang alas dan tutup kotak Rp. 200 per cm2 dan bidang sisinya Rp. 25 per cm2, Tentukan biaya total pembuatan kotak sebagai fungsi dari Panjang rusuk alasnya.

BAB 3. KEKONTINUAN

LIMIT SEPIHAK

ü Limit Kiri: lim$→(" * # = 3 , adalah

jika # mendekati 4 dari kiri (# → 4)) maka* # mendekati 3

ü Limit Kanan: lim$→(# * # = 3 , adalah

jika # mendekati 4 dari kanan (# → 4*) maka* # mendekati 3

TEOREMAlim$→( * # = 3 jika dan hanya jika lim$→(" * # = 3 dan

lim$→(#

* # = 3maka * # disebut mempunyai limit di titik x = c.

AKIBATNYA :jika lim$→(" * # ≠ lim

$→(#* # maka tidak mempunyai limit di

titik x = c

KEKONTINUAN FUNGSI

DEFINISI :Fungsi O ' kontinu di titik x = c jika lim

!→0&O ' =

lim!→0'

O ' = O(*)

Akibatnya: jika salah satu syarat tidak dipenuhi makaO ' tidak kontinu / diskontinu.

Jika * # = 62 − # , # < −35 ,−3 ≤ # < 2#& − 2 , # ≥ 2

Tentukanlah: a. Gambar grafik f(x).

b. Apakah * # mempunyai limit di titik x = -3

c. Apakah * # kontinu di titik x = -3

d. Apakah f(x) kontinu di titik x = 2

SOAL LATIHAN

• Jika * # = 6<# + 3> , # < −210 ,−2 ≤ # < 4

2<# + 5># , # ≥ 4Tentukanlah nilai a dan b sehingga fungsi * # kontinu di semua titik.

• Jika * # =3 + # ,−4 < # ≤ −2(# + 1)& , −2 < # < 4

# + 10 , # ≥ 4

Tentukanlah: a. Gambar grafik f(x). b. Apakah * # kontinu di titik x = - 2c. Apakah * # mempunyai limit di titik x = 4

LATIHAN SOAL

1. Tentukan konstanta a dan b agar fungsi berikut kontinu pada R :

! " = $AB1CDB EF , " < '

' − )". , " ≥ '

2. Tentukan konstanta a dan b agar fungsi berikut kontinu pada R :

! " = $," − - , " < .)". , " = .- "F − . , " > .

BAB 4.DIFERENSIAL

vMisalkan fungsi # = % & terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat titik C.

vTurunan dari fungsi # = % & , ditulis #& = %& & , maka definisiturunan

#& = %& & = '(

'#= lim

∆#→+

, #-∆# .,(#)

∆#, jika limit ada

TABEL DIFERENSIAL DASARUNTUK FUNGSI EKSPLISIT # = % &

( = * + (! = *! +

)$ :)$%&

;' ;'

ln ) 1)

?@: ) AB? )AB? ) −?@: )

tan ) ?;A! )," ," ln a

-.+ + sec + tan +

Cosec x −67-.6 + 6789: +

TEOREMA

Jika fungsi % & dapat diturunkan di titik x=c makaturunan/ diferensial kiri sama dengan turunan /diferensialkanan di titik x=c, sehingga berlaku

%& + ada jika %.& + = %-& +

Teorema diatas dapat digunakan untuk membuktikan apakah suatu fungsi mempunyai turunan disuatutitik atau didaerah definisinya

ATURAN DIFERENSIAL FUNGSI EKSPLISIT

Jika u = u(x) dan v = v(x) masing-masing fungsi dalam variable bebas x maka berlaku :

vJika # = ,. . maka #& = ,&. + .&,vJika # = ,. .. 0 maka #& = ,&. 0 + ,.&0 +, . 0&

vJika # = ?

@maka #& = ?!@.@!?

@"vAturan Rantai (diferensial untuk fungsi

komposisi) :Jika # = %(2 & ) maka '(

'#= '(

',

',

'A

'A

'#

DIFERENSIALUNTUKFUNGSIIMPLISIT

vBentuk umum Fungsi Implisit adalah :

Z ', X = 0 , dimana X = X(')vMasalah :

Menentukan 232! dengan menggunakan diferensial fungsi yaitu

diferensial total sebagai berikut:454! [' +

4543 [X = 0

4543 [X = − 45

4! ['

maka 232! = − 454! /

4543

CONTOH SOAL

Tentukan +,+$ dari soal di bawah ini (fungsiimplisit) :

%-& + ()* 3% + 4& = &,

Jawab: %-& + ()* 3% + 4& − &, = 0

./

.$ = 3%&& + 3 012& 3% + 4&

./

., = %-& + 4 012& 3% + 4& − 24*&+,+$ = − -$(,*- 01(( -$*2,

$),*2 01(( -$*2, )&34,

Tentukan %&%' dari soal berikut (Fungsi Implisit) :

1. QRS0! − (&)'5$(+ 50 = 2

2. 30 = TUS"*(30 + 4V)

3. V = +,(.'&5$))0125((')