ii

AnalisisAnalisisAnalisisAnalisis Keadaan MantapKeadaan MantapKeadaan MantapKeadaan Mantap

Rangkaian Rangkaian Rangkaian Rangkaian SistemSistemSistemSistem TenagaTenagaTenagaTenaga

Sudaryatno Sudirham

6-1

BAB 6

Pembebanan Nonlinier

(Analisis Di Kawasan Waktu)

Penyediaan energi elektrik pada umumnya dilakukan dengan

menggunakan sumber tegangan berbentuk gelombang sinus. Arus yang

mengalir diharapkan juga berbentuk gelombang sinus. Namun

perkembangan teknologi terjadi di sisi beban yang mengarah pada

peningkatan efisiensi peralatan dalam penggunaan energi listrik. Alat-

alat seperti air conditioner, refrigerator, microwave oven, sampai ke

mesin cuci dan lampu-lampu hemat energi makin banyak digunakan dan

semua peralatan ini menggunakan daya secara intermittent. Peralatan

elektronik, yang pada umumnya memerlukan catu daya arus searah juga

semakin banyak digunakan sehingga diperlukan penyearahan arus.

Pembebanan-pembebanan semacam ini membuat arus beban tidak lagi

berbentuk gelombang sinus.

Bentuk-bentuk gelombang arus ataupun tegangan yang tidak berbentuk

sinus, namun tetap periodik, tersusun dari gelombang-gelombang sinus

dengan berbagai frekuensi. Gelombang periodik nonsinus ini

mengandung harmonisa.

6.1. Sinyal onsinus

Dalam pembahasan harmonisa kita akan menggunakan istilah sinyal

nonsinus untuk menyebut secara umum sinyal periodik seperti sinyal gigi

gergaji dan sebagainya, termasuk sinyal sinus terdistorsi yang terjadi di

sistem tenaga.

Dalam Analisis Rangkaian Listrik kita telah membahas bagaimana

mencari spektrum amplitudo dan sudut fasa dari bentuk sinyal nonsinus

yang mudah dicari persamaannya [2]. Berikut ini kita akan membahas

cara menentukan spektrum amplitudo sinyal nonsinus melalui

pendekatan numerik. Cara ini digunakan jika kita menghadapi sinyal

nonsinus yang tidak mudah dicari persamaannya. Cara pendekatan ini

dapat dilakukan dengan bantuan komputer sederhana, terutama jika

sinyal disajikan dalam bentuk kurva hasil dari suatu pengukuran analog.

Dalam praktik, sinyal nonsinus diukur dengan menggunakan alat ukur

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-2

elektronik yang dapat menunjukkan langsung spektrum amplitudo dari

sinyal nonsinus yang diukur.

Penafsiran Grafis Deret Fourier. Pencarian spektrum amplitudo suatu

sinyal periodik y(t) dilakukan melalui penghitungan koefisien Fourier

dengan formula seperti berikut ini.

∫

∫

∫

−

−

−

>ω=

>ω=

=

2/

2/0

0

2/

2/0

0

2/

2/00

0

0

0

0

0

0

0 ; )sin()(2

0 ; )cos()(2

)(1

T

Tn

T

Tn

T

T

ndttntyT

b

ndttntyT

a

dttyT

a

dengan T0 adalah perioda sinyal.

Integral ∫−2/

2/

0

0

)(T

Tdtty adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva y(t)

dengan sumbu-t dalam rentang satu perioda. Jika luas bidang dalam

rentang satu perioda ini dikalikan dengan (1/T0), yang berarti dibagi

dengan T0, akan memberikan nilai rata-rata y(t) yaitu nilai komponen

searah a0.

Integral ∫− ω2/

2/0

0

0

)cos()(T

Tdttnty adalah luas bidang yang dibatasi oleh

kurva )cos()( 0tnty ω dengan sumbu-t dalam rentang satu perioda. Jika

luas bidang ini dikalikan dengan (2/T0), yang berarti dibagi (T0/2), akan

diperoleh an. Di sini T0 harus dibagi dua karena dalam satu perioda T0

terdapat dua kali gelombang penuh berfrekuensi nω0.

Integral ∫− ω2/

2/0

0

0

)sin()(T

Tdttnty adalah luas bidang yang dibatasi oleh

kurva )sin()( 0tnty ω dengan sumbu-x dalam rentang satu perioda. Jika

luas ini dikalikan dengan (2/T0) akan diperoleh bn. Seperti halnya

penghitungan an, T0 harus dibagi dua karena dalam satu perioda T0

terdapat dua kali gelombang penuh berfrekuensi nω0.

Dengan penafsiran hitungan integral sebagai luas bidang, maka

pencarian koefisien Fourier dapat didekati dengan perhitungan luas

6-3

bidang. Hal ini sangat membantu karena perhitungan analitis hanya dapat

dilakukan jika sinyal nonsinus yang hendak dicari komponen-

komponennya diberikan dalam bentuk persamaan yang cukup mudah

untuk diintegrasi.

Prosedur Pendekatan umerik. Pendekatan numerik integral sinyal y(t)

dalam rentang p ≤ t ≤ q dilakukan sebagai berikut.

1. Kita bagi rentang p ≤ t ≤ q ke dalam m segmen dengan lebar masing-masing ∆tk; ∆tk bisa sama untuk semua segmen bisa juga tidak, tergantung dari keperluan. Integral y(t) dalam rentang p ≤ t ≤ q dihitung sebagai jumlah luas seluruh segmen dalam rentang

tersebut. Setiap segmen dianggap sebagai trapesium; sisi kiri suatu

segmen merupakan sisi kanan segmen di sebelah kirinya, dan sisi

kanan suatu segmen menjadi sisi kiri segmen di sebelah kanannya.

Jika sisi kanan segmen (trapesium) adalah Ak maka sisi kirinya

adalah Ak-1, maka luas segmen ke-k adalah

( ) 2/1 kkkk tAAL ∆×+= − (6.1)

Jadi integral f(t) dalam rentang p ≤ x ≤ q adalah

∑∫=

≈m

k

k

q

pLdttf

1

)( (6.2)

2. Nilai ∆tk dipilih sedemikian rupa sehingga error yang terjadi masih berada dalam batas-batas toleransi yang kita terima. Jika sinyal

diberikan dalam bentuk grafik, untuk mencari koefisien Fourier dari

harmonisa ke-n, satu perioda dibagi menjadi tidak kurang dari 10×n segmen agar pembacaan cukup teliti dan error yang terjadi tidak

lebih dari 5%. Untuk harmonisa ke-5 misalnya, satu perioda dibagi

menjadi 50 segmen. Ketentuan ini tidaklah mutlak; kita dapat

memilih jumlah segmen sedemikian rupa sehingga pembacaan

mudah dilakukan namun cukup teliti.

3. Relasi untuk memperoleh nilai koefisien Fourier menjadi seperti

berikut:

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-4

[ ]

[ ]

[ ]∑ ∑

∑∑

∑∑

=

−−

=

−−

=

−

=∆ω+ω

=

=∆ω+ω

=

=∆+

=

m

k

kbnkkkkn

kanm

k

kkkkn

kam

k

kkk

T

LttnAtnA

Tb

T

LttnAtnA

Ta

T

LtAA

Ta

1 0

1010

0

01

1010

0

0

0

1

1

00

2/2

)sin()sin(2

2/

2

)cos()cos(2

2

1

(6.3)

4. Formula untuk sudut fasa adalah

=ϕ −

n

nn

a

b1tan (6.4)

5. Perlu disadari bahwa angka-angka yang diperoleh pada pendekatan

numerik bisa berbeda dengan nilai yang diperoleh secara analitis.

Jika misalkan secara analitis seharusnya diperoleh a1 = 0 dan b1 =

150, pada pendekatan numerik mungkin diperoleh angka yang

sedikit menyimpang, misalnya a1 = 0,01 dan b1 = 150,2.

6. Amplitudo dari setiap komponen harmonisa adalah 22nnn baA += .

Sudut fasa dihitung dalam satuan radian ataupun derajat dengan

mengingat letak kuadran dari vektor amplitudo seperti telah dibahas

pada waktu kita membahas spektrum sinyal. Persamaan sinyal

nonsinus adalah

)cos()(

1

022

0 ∑∞

=

ϕ−ω++=

n

nnn tnbaaty (6.5)

Berikut ini kita lihat sinyal periodik yang diberikan dalam bentuk kurva

yang tak mudah dicari persamaannya. Prosedur pendekatan numerik

dilakukan dengan membaca kurva yang memerlukan kecermatan. Hasil

pembacaan kita muatkan dalam suatu tabel seperti pada contoh berikut

ini.

6-5

COTOH-6.1:

Carilah komponen searah, fundamental, dan harmonisa ke-3 sinyal

periodik y(t) yang dalam satu perioda berbentuk seperti yang

diperlihatkan dalam gambar di atas. Perhatikan bahwa gambar ini

adalah gambar dalam selang satu periode yang berlangsung dalam

0,02 detik, yang sesuai dengan frekuensi kerja 50 Hz.

Penyelesaian: Perhitungan diawali dengan menetapkan nilai t

dengan interval sebesar ∆t = 0,0004 detik, kemudian menentukan Ak

untuk setiap segmen. Sisi kiri segmen pertama terjadi pada t = 0 dan

sisi kanannya menjadi sisi kiri segmen ke-dua; dan demikian

selanjutnya dengan segmen-segmen berikutnya. Kita tentukan pula

sisi kanan segmen terakhir pada t = T0. Hasil perhitungan yang

diperoleh dimuatkan dalam Tabel-1.1 (hanya ditampilkan sebagian),

dimana sudut fasa dinyatakan dalam satuan radian. Pembulatan

sampai 2 angka di belakang koma.

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0,016

0,018

0,02

y[volt]

t[detik]

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-6

Tabel-6.1. Analisis Harmonisa Sinyal Nonsinus pada Contoh-6.1.

T0 = 0,02 s

∆tk = 0,0004 s Komp.

searah

Fundamental

f0 = 1/T0 = 50 Hz Harmonisa ke-3

t Ak Lka0 Lka1 Lkb1 Lka3 Lkb3

0 50

0,0004 75 0,025 0,025 0,002 0,024 0,006

0,0008 100 0,035 0,034 0,007 0,029 0,019

0,0012 120 0,044 0,042 0,014 0,025 0,035

: : : : : : :

0,0192 -5 -0,006 -0,006 0,002 -0,003 0,005

0,0196 20 0,003 0,003 0,000 0,003 -0,001

0,02 50 0,014 0,014 -0,001 0,014 -0,001

Jumlah Lk 0,398 0,004 1,501 -0,212 0,211

a0 19,90

a1, b1 0,36 150,05

a3, b3 −21,18 21,13

Ampli-1, ϕ1 150,05 1,57

Ampli-3, ϕ3 29,92 -0,78

Tabel ini memberikan

78,0)18,21/13,21(tan

92,2913,21)18,21( 13,21 ;18,21

57,1)36,0/05,150(tan

05,15005,15036,0 05,150 ;36,0

90,19

13

22333

11

22111

0

−=−=ϕ

=+−=⇒=−=

==ϕ

=+=⇒==

=

−

−

Aba

Aba

a

Sesungguhnya kurva yang diberikan mengandung pula harmonisa ke-

dua. Apabila harmonisa ke-dua dihitung , akan memberikan hasil

43,492 =a dan 36,02 −=b

43,49 2 =Aamplitudo dan 01,02 −=ϕ

6-7

Dengan demikian uraian sampai dengan harmonisa ke-3 dari sinyal

yang diberikan adalah

)78,06cos(92,29

)01,04cos(43,49)57,12cos(05,15090,19)(

0

00

+π+

+π+−π+=

tf

tftfty

6.2. Elemen Linier Dengan Sinyal onsinus

Hubungan tegangan dan arus elemen-elemen linier R, L, C, pada sinyal

sinus di kawasan waktu berlaku pula untuk sinyal periodik nonsinus.

COTOH-6.2: Satu kapasitor C mendapatkan tegangan nonsinus

)5,15sin(10)2,03sin(20)5,0sin(100 +ω+−ω++ω= tttv V

(a) Tentukan arus yang mengalir pada kapasitor. (b) Jika C = 30 µF, dan frekuensi f = 50 Hz, gambarkan (dengan bantuan komputer)

kurva tegangan dan arus kapasitor.

Penyelesaian:

(a) Hubungan tegangan dan arus kapasitor adalah dt

dvCiC =

Oleh karena itu arus kapasitor adalah

A )07,35sin(50

)37,13sin(60)07,2sin(100

)5,15cos(50

)2,03cos(60)5,0cos(100

)5,15sin(10)2,03sin(20)5,0sin(100

+ωω+

+ωω++ωω=

+ωω+

−ωω++ωω=

+ω+−ω++ω=

tC

tCtC

tC

tCtC

dt

tttdCiC

(b) Kurva tegangan dan arus adalah seperti di bawah ini.

detik

[V]

vC

iC

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 0.005 0.01 0.015 0.02

[A] 5

2,5

0

−5

−2,5

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-8

Kurva tegangan dan arus pada contoh ini merupakan fungsi-fungsi

nonsinus yang simetris terhadap sumbu mendatar. Nilai rata-rata

fungsi periodik demikian ini adalah nol. Pendekatan numerik

memberikan nilai rata-rata

14108,1 −×=rrv V dan 17105 −×=rri A.

ilai Rata-Rata. Sesuai dengan definisi untuk nilai rata-rata, nilai rata-

rata sinyal nonsinus y(t) dengan perioda T0 adalah

∫=T

rr dttyT

Y00

)(1

(6.6)

Nilai rata-rata sinyal nonsinus adalah komponen searah dari sinyal

tersebut.

ilai Efektif. Definisi nilai efektif sinyal periodik y(t) dengan perioda T0

adalah

∫=T

rms dttyT

Y0

2

0

)(1

(6.7)

Dengan demikian maka nilai efektif sinyal sinus y1 = Ym1 sin(ωt + θ) adalah

2)(sin

1 1

0

221

01

mT

mrms

YdttY

TY =θ+ω= ∫ (6.8)

Nilai efektif sinyal nonsinus ∑∞

=

θ+ω+=1

00 )sin()(

n

nmn tnYYty adalah

∫ ∑

θ+ω+=

∞

=

T

n

nmnrms dttnYYT

Y0

2

1

000

)sin(1

Jika ruas kiri dan kanan dikuadratkan, kita dapatkan

∫ ∑

θ+ω+=

∞

=

T

n

nmnrms dttnYYT

Y0

2

1

000

2 )sin(1

atau

6-9

∫

∑

∑

∑

∫ ∑

+

θ+ωθ+ω+

θ+ωθ+ω+

θ+ω

+

θ+ω+=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

T

n

nmnm

n

nmnm

n

nmn

T

n

nmnrms

dt

tnYtY

tnYtY

tnYY

T

dttnYYT

Y

0

3

0202

2

0101

1

00

0

01

0222

00

2

.................................

)sin()2sin(2

)sin()sin(2

)sin(2

1

)(sin1

(6.9)

Melalui kesamaan trigonometri

)cos()cos(sinsin2 β+α−−α=βα b

dan karena Y0 bernilai tetap maka suku ke-dua ruas kanan (6.8)

merupakan penjumlahan nilai rata-rata fungsi sinus yang masing-masing

memiliki nilai rata-rata nol, sehingga suku ke-dua ini bernilai nol. Oleh

karena itu (6.9) dapat kita tulis

∫ ∑

θ+ω+=

∞

=

T

n

nnmrms dttnYYT

Y0

1

0222

02 )(sin

1 (6.10)

atau

∑

∑ ∫∫∞

=

∞

=

+=

θ+ω+=

1

220

10

022

0

20

2

)(sin11

n

nrms

n

T

nnm

t

rms

YY

dttnYT

dtYT

Y

(6.11)

Persamaan (6.11) menunjukkan bahwa kuadrat nilai efektif sinyal non

sinus sama dengan jumlah kuadrat komponen searah dan kuadrat semua

nilai efektif konponen sinus. Kita perlu mencari formulasi yang mudah

untuk menghitung nilai efektif ini. Kita bisa memandang sinyal nonsinus

sebagai terdiri dari tiga macam komponen yaitu komponen searah (y0),

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-10

komponen fundamental (y1), dan komponen harmonisa (yh). Komponen

searah adalah nilai rata-rata sinyal, komponen fundamental adalah

komponen dengan frekuensi fundamental ω0, sedangkan komponen harmonisa merupakan jumlah dari seluruh komponen harmonisa yang

memiliki frekuensi nω0 dengan n > 1. Jadi sinyal nonsinus y dapat dinyatakan sebagai

hyyyy ++= 10

Akan tetapi kita juga dapat memandang sinyal nonsinus sebagai terdiri

dari dua komponen saja, yaitu komponen fundamental dan komponen

harmonisa total di mana komponen yang kedua ini mencakup komponen

searah. Alasan untuk berbuat demikian ini adalah bahwa dalam proses

transfer energi, komponen searah dan harmonisa memiliki peran yang

sama; hal ini akan kita lihat kemudian. Dalam pembahasan selanjutnya

kita menggunakan cara pandang yang ke-dua ini. Dengan cara pandang

ini suatu sinyal nonsinus dinyatakan sebagai

hyyy += 1 (6.12)

dengan )sin( 1011 θ+ω= tYy m

dan ∑=

θ+ω+=k

n

nnmh tnYYy

2

00 )sin( .

Dengan demikian maka relasi (1.11) menjadi

221

2hrmsrmsrms YYY += (6.13)

Dalam praktik, komponen harmonisa yh dihitung tidak melibatkan

seluruh komponen harmonisa melainkan dihitung dalam lebar pita

spektrum tertentu. Persamaan sinyal dijumlahkan sampai pada frekuensi

tertinggi yang ditentukan yaitu kω0; sinyal dengan frekuensi di atas batas frekuensi tertinggi ini dianggap memiliki amplitudo yang sudah cukup

kecil untuk diabaikan.

COTOH-6.2: Suatu tegangan berbentuk gelombang gigi gergaji

memiliki nilai maksimum 20 volt, dengan frekuensi 20 siklus per

detik. Hitunglah nilai tegangan efektif dengan: (a) relasi nilai efektif;

(b) uraian harmonisa.

Penyelesaian:

6-11

(a) Perioda sinyal 0,05 detik dengan persamaan: ttv 400)( = .

Nilai efektif:

V 55,11 3

1600

05,0

1)400(

05,0

105,0

0

305,0

0

2 ≈

== ∫ tdttVrms

(b) Uraian sinyal ini sampai harmonisa ke-7 adalah diberikan dalam

contoh di Bab-3, yaitu

V 7sin909,06sin061,15sin273,1

4sin592,13sin122,22sin183,3sin366,610)(

000

0000

ttt

tttttv

ω−ω−ω−

ω−ω−ω−ω−=

Persamaan ini memberikan nilai efektif tegangan fundamental,

tegangan harmonisa, dan tegangan total sebagai berikut.

V 5,42

366,61 ≈=rmsV

V 5,102

10,2

2

166,310

222 ≈++=hrmsV

V 4,1135,1049,4 22221 ≈+=+= hrmsrmsrms VVV

Contoh ini menunjukkan bahwa sinyal gigi gergaji memiliki nilai

efektif harmonisa jauh lebih tinggi dari nilai efektif komponen

fundamentalnya.

COTOH-6.3: Uraian dari penyearahan setengah gelombang arus sinus

A sin 0ti ω= sampai dengan harmonisa ke-10 adalah:

A )10cos(007.0)8cos(010.0)6cos(018,0

)4cos(042,0 ) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,0)(

000

000

ttt

tttti

ω+ω+ω+

ω+ω+−ω+=

Hitung nilai efektif komponen arus fundamental, arus harmonisa,

dan arus total.

Penyelesaian:

Nilai efektif arus fundamental, arus harmonisa dan arus total

berturut-turut adalah

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-12

354,02

5,01 ==rmsI A

A 5430,

2

007,0

2

01,0

2

018,0

2

042,0

2

212,0318,0

222222

=

+++++=hrmsI

A 5,0354,0354,02222

1 ≈+=+=hrmsrmsrms III

Contoh-6.3 ini menunjukkan bahwa pada penyearah setengah gelombang

nilai efektif komponen fundamental sama dengan nilai efektif komponen

harmonisanya.

COTOH-6.4: Tegangan pada sebuah kapasitor 20 µF terdiri dari dua komponen yaitu tv ω= sin2001 dan tv ω= 15sin2015 . Jika

diketahui frekuensi fundamental adalah 50 Hz, hitunglah: (a) nilai

efektif arus yang diberikan oleh v1; (b) nilai efektif arus yang

diberikan oleh v15; (c) arus efektif total; (d) gambarkan kurva ketiga

arus tersebut sebagai fungsi waktu.

Penyelesaian:

a). Komponen tegangan pertama adalah )100sin(2001 tv π= V. Arus

yang diberikan oleh tegangan ini adalah

ttdtdvi π=ππ×××=×= −− 100cos257,1 100cos1002001020/1020 61

61

Nilai efektifnya adalah: A 89,02

257,11 ==rmsI

b). Komponen tegangan ke-dua adalah )1500sin(2015 tv π= V. Arus

yang diberikan oleh tegangan ini adalah

t

tdtdvi

π=

ππ×××=×= −−

1500cos885,1

1500sin1500201020/10206

156

15

Nilai efektifnya adalah: A 33,12

885,115 ==rmsI

c). Tegangan gabungan adalah

)1500sin(20)100sin(200 ttv π+π=

6-13

Arus yang diberikan tegangan gabungan ini adalah

tt

vvdt

ddtdvi

1500cos885,1100cos257,1

)(1020/1020 15166

+π=

+×=×= −−

Arus ini merupakan jumlah dari dua komponen arus yang

berbeda frekuensi. Kurva arus ini pastilah berbentuk nonsinus.

Nilai efektif masing-masing komponen telah dihitung di

jawaban (a) dan (b). Nilai efektif sinyal non sinus ini adalah

A 60,133,189,0 22215

21 =+=+= rmsrmsrms III

d). Kurva ketiga arus tersebut di atas adalah sebagai berikut.

COTOH-6.5: Arus tti ω+ω= 3sin2,0sin2 A, mengalir pada beban

yang terdiri dari resistor 100 Ω yang tersambung seri dengan induktor 0,5 H. Pada frekuensi 50 Hz: (a) gambarkan kurva

tegangan dan arus beban; (b) tentukan nilai efektif tegangan beban

dan arus beban.

Penyelesaian:

(a) Arus beban adalah tti ω+ω= 3sin2,0sin2 . Tegangan beban

adalah

V 3cos3,0cos3sin20sin200

tttt

dt

diLiRvvv LR

ωω+ωω+ω+ω=

+=+=

Kurva tegangan dan arus beban dibuat dengan sumbu mendatar

dalam detik. Karena frekuensi 50 Hz, satu perioda adalah 0,02

detik.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 detik

A i1 i i15

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-14

(b). Nilai efektif arus beban adalah

A 42,12

2,0

2

2 2223

21 =+=+= rmsrmsrms III

Tegangan beban adalah

V 3cos3,0cos3sin20sin200 ttttv ωω+ωω+ω+ω=

Nilai efektif tegangan beban, dengan ω=100π, adalah

V 272 2

)3,0(20

2

2002222

=ω+

+ω+

=rmsV

6.3. Daya Pada Sinyal onsinus

Pengertian daya nyata dan daya reaktif pada sinyal sinus berlaku pula

pada sinyal nonsinus. Daya nyata memberikan transfer energi netto,

sedangkan daya reaktif tidak memberikan transfer energi netto.

Kita tinjau resistor Rb yang menerima arus berbentuk gelombang

nonsinus

hRb iii += 1

Nilai efektif arus ini adalah 22

12

hrmsrmsRbrms III +=

Daya nyata yang diterima oleh Rb adalah

bhrmsbrmsbRbrmsRb RIRIRIP 221

2 +=×= (6.14)

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 0.005 0.01 0.015 0.02

2

4

0

−2

−4

AV

detik

v

i

6-15

Formulasi (6.14) tetap berlaku sekiranya resistor ini terhubung seri

dengan induktansi, karena dalam bubungan seri demikian ini daya nyata

diserap oleh resistor, sementara induktor menyerap daya reaktif.

COTOH-6.6: Seperti pada contoh-1.5, arus tti ω+ω= 3sin2,0sin2

A mengalir pada resistor 100 Ω yang tersambung seri dengan induktor 0,5 H. Jika frekuensi fundamental 50 Hz: (a) gambarkan

dalam satu bidang gambar, kurva daya yang mengalir ke beban

sebagai perkalian tegangan total dan arus beban dan kurva daya

yang diserap resistor sebagai perkalian resistansi dan kuadrat arus

resistor; (b) hitung nilai daya rata-rata dari dua kurva daya pada

pertanyaan b; (c) berikan ulasan tentang kedua kurva daya tersebut.

Penyelesaian:

(a) Daya masuk ke beban dihitung sebagai: p = v × i

sedangkan daya nyata yang diserap resistor dihitung sebagai: pR =

i2R = vRiR

Kurva dari p dan pR terlihat pada gambar berikut.

(b) Daya rata-rata merupakan daya nyata yang di transfer ke beban.

Daya ini adalah daya yang diterima oleh resistor. Arus efektif

yang mengalir ke beban telah dihitung pada contoh-3.5. yaitu

1,42 A. Daya nyta yang diterima beban adalah

202100)42,1( 22 =×== RIP rmsR W.

Teorema Tellegen mengharuskan daya ini sama dengan daya

rata-rata yang diberikan oleh sumber, yaitu p = vi. Perhitungan

dengan pendekatan numerik memberikan nilai rata-rata p adalah

-400

-200

0

200

400

600

0 0.005 0.01 0.015 0.02

W p = vi pR = i2R = vRiR

detik

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-16

Prr = 202 W

(c) Kurva pR selalu positif; nilai rata-rata juga positif sebesar 202 W

yang berupa daya nyata. Pada kurva p ada bagian yang negatif

yang menunjukkan adanya daya reaktif; nilai rata-rata kurva p

ini sama dengan nilai rata-rata kurva pR yang menunjukkan

bagian nyata dari daya tampak.

COTOH-6.7: Tegangan nonsinus pada terminal resistor 20 Ω adalah

)5,15sin(10)2,03sin(20)5,0sin(100 +ω+−ω++ω= tttv V

Tentukan arus efektif yang mengalir dan daya nyata yang

diserap resistor.

Penyelesaian:

Arus yang mengalir adalah

)5,15sin(5,0)2,03sin()5,0sin(5 +ω+−ω++ω== tttR

vi A

Nilai efektif masing-masing komponen arus adalah

2

5,0 ;

2

1 ;

2

5531 === rmsrmsrms III

Arus efektif yang mengalir adalah

A 62,32

25,26

2

25,0

2

1

2

25==++=rmsI

Daya nyata yang diserap resistor adalah

W5,262202

25,0

2

1

2

252 =×

++== RIP rmsR

COTOH-6.8: Tegangan nonsinus ttv ω+ω= 3sin10sin100 V, terjadi

pada terminal beban yang terdiri dari resistor 100 Ω tersambung paralel dengan kapasitor 50 µF. Jika frekuensi fundamental adalah 50 Hz, (a) Tentukan persamaan arus total beban; (b) hitung daya

nyata yang diserap beban.

Penyelesaian:

6-17

(a). Arus total (i) adalah jumlah arus yang melalui resistor (iR) dan

kapasitor (iC).

ttR

viR ω+ω== 3sin1,0sin

( )ttdt

dvCiC ωω+ωω×== −

3cos30cos10010506

Arus total beban:

tttti ωω+ω+ω+ω= 3cos0015.0cos005,03sin1,0sin

(b). Arus efektif melalui resistor

A 71,02

1,0

2

1 22

=+=RrmsI

Daya nyata yang diserap beban adalah daya yang diserap

resistor:

W5010071,0 2 =×=RP

6.4. Resonansi

Karena sinyal nonsinus mengandung harmonisa dengan berbagai macam

frekuensi, maka ada kemungkinan salah satu frekuensi harmonisa

bertepatan dengan frekuensi resonansi dari rangkaian. Frekuensi

resonansi telah kita bahas di bab sebelumnya. Berikut ini kita akan

melihat gejala resonansi pada rangkaian karena adanya frekuensi

harmonisa.

COTOH-6.9: Suatu generator 50 Hz dengan induktansi internal 0,025

H mencatu daya melalui kabel yang memiliki kapasitansi total

sebesar 5 µF. Dalam keadaan tak ada beban tersambung di ujung kabel, tentukan frekuensi harmonisa sumber yang akan memberikan

resonansi.

Penyelesaian:

Frekuensi resonansi adalah

4,2828105025,0

11

6=

××==ω

−LCr

Hz 4502

4,2828=

π=rf

Inilah frekuensi harmonisa ke-9.

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-18

COTOH-6.10: Sumber tegangan satu fasa 6 kV, 50 Hz, mencatu

beban melalui kabel yang memiliki kapasitansi total 2,03 µF. Dalam keadaan tak ada beban terhubung di ujung kabel, induktansi total

rangkaian ini adalah 0,2 H. Tentukan harmonisa ke berapa dari

sumber yang akan membuat terjadinya resonansi pada keadaan tak

ada beban tersebut.

Penyelesaian:

Frekuensi resonansi adalah

rad/det 4,15691003,202,0

11

6=

××==ω

−LCr

atau Hz 78,2492

4,1569=

π=rf

Resonansi akan terjadi jika sumber mengandung harmonisa ke-5.

6.5. Pembebanan onlinier Dilihat Dari Sisi Beban

Rangkaian yang akan kita tinjau terlihat pada Gb.6.1. Sebuah sumber

tegangan sinus memberikan arus pada resistor Rb melalui saluran dengan

resistansi Rs dan sebuah pengubah arus p.i., misalnya penyearah;

pengubah arus inilah yang menyebabkan arus yang mengalir di Rb

berbentuk gelombang nonsinus.

Menurut teorema Tellegen,

transfer daya elektrik hanya bisa

terjadi melalui tegangan dan

arus. Namun dalam tinjauan dari

sisi beban ini, Rb hanya melihat

bahwa ada arus yang diterima olehnya. Cara bagaimana arus ini sampai

ke beban tidaklah penting bagi beban.

hRb iii += 1 (6.15)

dengan )sin( 1011 θ+ω= tIi m

∑=

θ+ω+=k

n

nnmh tnIIi

2

00 )sin(

Inilah arus yang diterima oleh Rb.

inonsinus

Rb

p.i. vs + −

Gb.6.1. Pembebanan nonlinier.

Rs

6-19

Daya nyata yang diterima oleh Rb adalah

bhrmsbrmsRb RIRIP 221 += (6.16)

6.6. Pembebanan onlinier Ditinjau Dari Sisi Sumber

Tegangan sumber berbentuk gelombang sinus, yaitu tVv ss 0sinω= .

Daya yang diberikan oleh sumber adalah tegangan sumber kali arus

sumber yang besarnya sama dengan arus beban. Jadi daya keluar dari

sumber adalah

θ+ω+ω+θ+ωω=

=

∑=

k

n

nnss

sss

tnIItVttIV

titvp

2

0001001 )sin(sin )sin(sin

)()(

(6.17)

Suku pertama (6.17) memberikan daya

)2cos(2

cos2

2

)2cos(cos)sin(sin

101

11

101110011

θ+ω−θ=

θ+ω−θ=θ+ωω=

tIVIV

tIVttIVp

ss

sss

(6.18)

Walaupun suku ke-dua dari persamaan ini mempunyai nilai rata-rata nol

akan tetapi suku pertama mempunyai nilai tertentu. Hal ini berarti ps1

memberikan transfer energi netto.

Suku kedua (6.17) memberikan daya

[ ]

20

2

0000

sin)sin(sin

shs

n

nnsssh

pp

ttnIVtIVp

+=

ωθ+ω+ω= ∑∞

= (6.19)

Suku pertama persamaan ini mempunyai nilai rata-rata nol. Suku kedua

juga mempunyai nilai rata-rata nol karena yang berada dalam tanda

kurung pada (6.19) berbentuk fungsi cosinus.

( ) ( ) ∑∞

=

θ+ω−−θ+ω+=

2

00 )1(cos)1(cos2

n

nnn

s tntnI

Vy

yang memiliki nilai rata-rata nol. Hal ini berarti bahwa psh tidak

memberikan transfer energi netto.

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-20

Jadi secara umum daya yang diberikan oleh sumber pada pembebanan

nonlinier dapat kita tuliskan sebagai terdiri dari dua komponen, yaitu

shss ppp += 1 (6.20)

Dari dua komponen daya ini hanya komponen fundamental, ps1, yang

memberikan transfer energi netto. Dengan kata lain hanya ps1 yang

memberikan daya nyata, yaitu sebesar

1111

1 coscos2

θ=θ= rmssrmss

s IVIV

P (6.21)

dengan θ1 adalah beda susut fasa antara vs dan i1. Sementara itu Psh

merupakan daya reaktif.

Menurut teorema Tellegen, daya nyata yang diberikan oleh sumber harus

tepat sama dengan daya yang diterima oleh beban. Daya nyata yang

diterima oleh Rb adalah PRb , jadi daya nyata yang diberikan oleh sumber,

yaitu Ps1, haruslah diserap oleh Rb dan Rs.

6.7. Kasus Penyearah Setengah Gelombang

Sebagai contoh dalam pembahasan pembebanan nonlinier ini, kita akan

mengamati penyearah setengah gelombang. Dengan penyearah ini, sinyal

sinus diubah sehingga arus mengalir setiap setengah perioda. Rangkaian

penyearah yang kita tinjau terlihat pada Gb.6.2.a.

a).

b).

Gb.6.2. Penyearah setengah gelombang dengan beban resistif.

vs

is

iR

pR 0 0 90 180 270 360 450 540 630 720

Vs

−Vs

vs

iR pR pR ωt [o]

vs R vR

6-21

Arus penyearah setengah gelombang mempunyai nilai pada setengah

perioda pertama (yang positif); pada setengah perioda ke-dua, ia bernilai

nol. Uraian fungsi ini sampai dengan harmonisa ke-6adalah

V )6cos(018,0 )4cos(042,0

) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,0)(

00

00

ω+ω+

ω+−ω+×=

tt

ttIti m (6.22)

Dalam rangkaian yang kita tinjau ini hanya ada satu sumber yang

mencatu daya hanya kepada satu beban. Pada waktu dioda konduksi,

arus sumber selalu sama dengan arus beban, karena mereka terhubung

seri; tegangan beban juga sama dengan tegangan sumber karena dioda

dianggap ideal sedangkan resistor memiliki karakteristik linier dan

bilateral. Pada waktu dioda tidak konduksi arus beban maupun arus

sumber sama dengan nol. Gb.6.2.b. memperlihatkan bahwa hanya kurva

tegangan sumber yang merupakan fungsi sinus; kurva arus dan daya

merupakan fungsi nonsinus.

Pada persamaan (6.22) arus fundamental dinyatakan dalam fungsi

cosinus yaitu

)57,1cos(5,0 01 −ω= tIi m

Fungsi ini tidak lain adalah pergeseran 1,57 rad atau 90o ke arah positif

dari fungsi cosinus yang ekivalen dengan fungsi sinus

)sin(5,0 01 tIi m ω=

Pernyataan i1 dalam fungsi sinus ini sesuai dengan pernyataan bentuk

gelombang tegangan yang juga dalam fungsi sinus. Dengan pernyataan

yang bersesuaian ini kita dapat melihat beda fasa antara keduanya;

ternyata dalam kasus penyearah setengah gelombang ini, arus

fundamental sefasa dengan tegangan sumber.

COTOH-6.11: Sebuah sumber dengan resistansi dan induktansi

internal yang dapat diabaikan mencatu beban resistif melalui

penyearah setengah gelombang. Tegangan sumber adalah

V sin380 0tvs ω= dan resistansi beban Rb adalah 3,8 Ω. Hitung daya nyata yang diterima oleh beban dan daya nyata yang diberikan

oleh sumber.

Penyelesaian:

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-22

Tinjauan Di Sisi Beban. Nilai puncak arus adalah 380/3,8 = 100 A.

Persamaan arus sampai harmonisa ke-enam menjadi

A )6cos(8,1 )4cos(2,4

) 2cos(2,21)57,1cos(508,31)(

00

00

ω+ω+

ω+−ω+=

tt

ttti

yang memberikan arus-arus efektif pada beban

A; 31,35 2

8,1

2

2,4

2

2,218,31

A; 2

50

2222

1

=+++=

=

bhrms

rmsb

I

I

Daya yang diterima beban adalah

( ) kW 5,9 W94888,3221

2 ≈=×+== bhrmsrmsbbrms IIRIP

Tinjauan Di Sisi Sumber. Tegangan sumber adalah

tvs 0sin380 ω= . Komponen arus fundamental yang diberikan oleh

sumber adalah sama dengan arus fundamental beban

ttii Rbs 0011 sin50)57,1cos(50 ω=−ω== A

dengan nilai efektif 2/501 =srmsI A

Tak ada beda fasa antara tegangan sumber dan arus fundamentalnya.

Daya dikeluarkan oleh sumber adalah

kW 5,92

50

2

380rms 1rms 1 =×== sss IVP

Hasil perhitungan dari kedua sisi tinjauan adalah sama. Daya yang

diberikan oleh komponen fundamental sebagai fungsi waktu adalah

( )

( ) ( ) kW 2cos(119 2cos(12

50380

2cos(12

00

01

1

tt

tIV

p ss

ω−=ω−×

=

ω−=

Gb.6.3 memperlihatkan kurva ps1 pada Contoh-2.1 di atas. Kurva ps1

bervariasi sinusoidal namun selalu positif dengan nilai puncak 19 kW,

6-23

dan nilai rata-rata (yang merupakan daya nyata) sebesar setengah dari

nilai puncak yaitu 9,5 kW.

Kurva daya yang dikontribusikan oleh komponen searah, ps0 yaitu suku

pertama (6.19), dan komponen harmonisa psh2 yaitu suku ke-dua

persamaan (6.19), juga diperlihatkan dalam Gb.6.3. Kurva kedua

komponen daya ini simetris terhadap sumbu waktu yang berarti memiliki

nilai rata-rata nol. Dengan kata lain komponen searah dan komponen

harmonisa tidak memberikan daya nyata.

Gb.6.3. Kurva komponen daya yang diberikan sumber.

Konfirmasi logis kita peroleh sebagai berikut. Seandainya tidak ada

penyearah antara sumber dan beban, arus pada resistor akan mengalir

sefasa dan sebentuk dengan gelombang tegangan sumber. Daya yang di

keluarkan oleh sumber dalam keadaan ini adalah

kW )2cos1(382

0cos2cos38000

sin38000sin

00

02

02

tt

ttIVp sss

ω+=+ω

=

ω=ω=

Dalam hal penyearahan setengah gelombang, arus hanya mengalir setiap

setengah perioda. Oleh karena itu daya yang diberikan oleh sumber

menjadi setengahnya, sehingga

kW )2cos1(19 0tp gelsetengah ω+= , dan inilah ps1.

COTOH-6.12: Sebuah sumber dengan resistansi dan induktansi

internal yang diabaikan, mencatu beban resistif melalui kabel

dengan resistansi 0,2 Ω dan penyearah setengah gelombang. Tegangan sumber adalah V sin380 0tvs ω= dan resistansi beban R

adalah 3,8 Ω. Hitung daya yang diterima oleh beban.

t [det]

W ps0

ps1

psh2

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

0 0.005 0.01 0.015 0.02

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-24

Penyelesaian:

Rangkaian sistem ini adalah seperti berikut

Tinjauan Di Sisi Beban. Nilai puncak arus adalah

A 952,08,3

380=

+=mI

Persamaan arus sampai harmonisa ke-6 menjadi

A )6cos(71,1)4cos(09,4

)2cos(14,20)57,1cos(5,4721,30

)6cos(018,0 )4cos(042,0

) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,095)(

00

00

00

00

tt

tt

tt

ttti

ω+ω+

ω+−ω+=

ω+ω+

ω+−ω+×=

Nilai efektif arus fundamental dan arus harmonisa total adalah

A 54,332

71,1

2

09,4

2

14,2021,30

A; 33,592

5.47

2222

1

=+++=

==

hrms

rms

I

I

Daya yang diterima Rb adalah

W85638,3)54,3359,33( 222 =×+== brmsRb RIP

Tinjauan Di Sisi Sumber. Tegangan sumber dan arus fundamental

sumber adalah

V sin380 0tvs ω=

A sin5,47)57,1cos(5,47 001 ttii Rbs ω=−ω==

vs=380sinω0t Rb=3,8Ω Rs=0,2Ω

6-25

Tidak ada beda fasa antara vs dan is1. Daya nyata yang diberikan oleh

sumber adalah

W90252

5,47

2

3800coso

1 =×== rmssrmss ivP

Daya ini diserap oleh beban dan saluran. Daya yang diserap saluran

adalah

W7,450 )55,336,33(02,0

)(02,002,0

22

221

2

=+×=

+×=×= hrmsrmssrmssaluran iiiP

Perbedaan angka perhitungan PRb dengan (Ps – Psaluran) adalah

sekitar 0,2%.

6.8. Perambatan Harmonisa

Dalam sistem tenaga, beban pada umumnya bukanlah beban tunggal,

melainkan beberapa beban terparalel. Sebagian beban merupakan beban

linier dan sebagian yang lain merupakan beban nonlinier. Dalam keadaan

demikian ini, komponen harmonisa tidak hanya hadir di beban nonlinier

saja melainkan terasa juga di beban linier; gejala ini kita sebut

perambatan harmonisa. Berikut ini akan kita lihat gejala tersebut pada

suatu rangkaian yang mendekati situasi nyata. Gb.6.4. memperlihatkan

rangkaian yang dimaksud.

Gb.6.4. Sumber mencatu beban paralel linier dan nonlinier.

Tegangan sumber berbentuk sinusoidal murni tVv sms 0sinω= .

Sumber ini mencatu beban melalui saluran yang memiliki resistansi Rs.

Beban yang terhubung di terminal A-B (terminal bersama), terdiri dari

beban linier Ra dengan arus ia dan beban Rb yang dialiri arus nonlinier ib = ib1 + ibh dengan ib1 adalah komponen fundamental dari ib dan ibh adalah

komponen harmonisa total dari ib.

vs Rb Ra

ia ib=ib1+ibh

is

Rs

A

B

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-26

Pada rangkaian sederhana ini, di sisi beban kita lihat bahwa aplikasi

Hukum Arus Kirchhoff di simpul A, yaitu simpul bersama dari kedua

beban, memberikan

0)(//)( 1 =+++− bhbaAssA iiRvRvv

dan dari sini kita peroleh

)( 1 bhbas

ass

as

aA ii

RR

RRv

RR

Rv +

+−

+= (6.23)

Jadi sebagai akibat pembebanan nonlinier di suatu beban menyebabkan

tegangan di terminal-bersama juga mengandung harmonisa. Akibat

selanjutnya adalah bahwa arus di beban lain yang terhubung ke terminal-

bersama ini juga mengandung harmonisa.

)( 1 bhbas

s

as

s

a

Aa ii

RR

R

RR

v

R

vi +

+−

+== (6.24)

Sementara itu di sisi sumber, dengan tegangan sumber berbentuk sinus

tVv sms 0sinω= , keluar arus yang mengandung harmonisa yaitu

)(

)()(

1

11

bhbas

a

as

s

bhbbhbas

s

as

s

bas

iiRR

R

RR

v

iiiiRR

R

RR

v

iii

+

++

+=

++++

−+

=

+=

(6.25)

Adanya komponen harmonisa pada arus sumber dan beban yang

seharusnya merupakan beban linier dapat menyebabkan penambahan

penyerapan daya pada saluran. Hal ini akan kita bahas kemudian.

COTOH-6.13: Sebuah sumber tegangan 50 Hz, V sin240 0tv ω=

memiliki resistansi dan induktansi internal yang diabaikan. Sumber

ini mencatu beban resistif Ra = 5 Ω melalui saluran yang memiliki resistansi 1Ω. Sebuah beban resistif lain yaitu Rb = 5 Ω dengan penyearah setengah gelombang dihubungkan paralel dengan Ra.

Hitunglah: (a) daya nyata yang diserap Ra sebelum Rb dan

penyearah dihubungkan; (b) daya nyata yang diserap Rb sesudah Rb

dan penyearah dihubungkan; (c) daya nyata yang diserap Ra sesudah

6-27

Rb dan penyearah dihubungkan; (d) daya nyata yang diserap saluran

Rs; (e) daya nyata yang diberikan sumber; (f) bandingkan daya nyata

yang diberikan oleh sumber dan daya nyata yang diserap oleh bagian

rangkaian yang lain.

Penyelesaian:

(a) Sebelum Rb dan penyearah dihubungkan, rangkaian adalah

seperti di bawah ini.

Arus efektif yang mengalir dari sumber, daya nyata yang

diserap Ra dan Rs , serta daya nyata yang diberikan sumber

adalah

A 28,28)15/()2/240( =+=RarmsI

W4000528,28 2 =×=RaP ; W800128,28 2 =×=RsP

RsRas PPP +==×= W 48002/24028,28

(b) Setelah Rb dan penyearah dihubungkan, rangkaian menjadi

Untuk menghitung iRb kita buat rangkaian ekivalen Thévenin

terlebih dulu di terminal A-B.

V sin200sin24051

500 ttvsTh ω=ω×

+= ;

Ω=+×

= 833,0 51

51sThR

Setelah Rb dihubungkan pada rangkaian ekivalen Thévenin,

rangkaian menjadi

is

Rs=1Ω

A

B

Ra = 5Ω vs=

240sinω0t

vs Rb Ra

ia iRb=

iRb1+iRbh

is

Rs

A

B

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-28

Nilai maksimum arus iRb adalah

A 29,345833,0

200=

+=RbmI

Arus yang melalui Rb menjadi

)6cos(62,0)4cos(47,1

)2cos(27,7)57,1cos(14,179,10

)6cos(018,0)4cos(042,0

)2cos(212,0)57,1cos(5,0318,029,34

00

00

00

00

tt

tt

tt

ttiRb

ω+ω+

ω+−ω+=

ω+ω+

ω+−ω+×=

Dari sini kita peroleh

A 1.122/62,02/47,12/27,79,10

A 12,122

14,17

2222

1

=+++=

==

Rbhrms

rmsRb

I

I

Daya yang diserap Rb adalah

W14705)1.1212,12( 22 ≈×+=RbP

(c) Untuk menghitung daya yang diserap Ra setelah Rb

dihubungkan, kita kembali pada rangkaian semula. Hukum Arus

Kischhoff untuk simpul A memberikan

Rbs

s

asARb

a

A

s

sA iR

v

RRvi

R

v

R

vv−=

+⇒=++

− 110

isTh

0,833Ω

A

B

5Ω vsTh = 200sinω0t

ib=ib1+ibh

6-29

( )

AhAbh

bh

bhbas

ass

as

aA

vvit

itt

iiRR

RRv

RR

Rv

−=−ω=

+ω××

−ω×=

++

−+

=

10

00

1

V 6

5sin71,185

sin14,176

15sin240

6

5

)(

V 32,1312

71,1851 ==⇒ rmsAV

)6cos(51,0)4cos(23,1)2cos(06,609,9

)6cos(62,0)4cos(47,1

)2cos(27,79,10

6

5

6

5

000

00

0

ttt

tt

tiv bhAh

ω+ω+ω+=

ω+ω+

ω+×=×=

V 09,102

51,0

2

23.1

2

06,609,9

2222 =+++=⇒ AhrmsV

Daya yang diserap Ra adalah

W34695

09,10

5

32,1312222

1 =+=+=a

Ahrms

a

rmsARa

R

V

R

VP

(d) Tegangan jatuh di saluran adalah

V sin29,54sin71,185sin240 000

11

ttt

vvv Ass

ω=ω−ω=

−=∆

→ V 39,382

29,541 ==∆ rmssV

→ V 09,10==∆ Ahrmsshrms VV

Daya yang diserap saluran adalah

W1575 1

09,10

1

39,382222

1 =+=∆

+∆

=s

shrms

s

rmssRs

R

V

R

VP

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-30

(e) Tegangan sumber adalah

V sin240 0tv ω=

Arus fundamental sumber adalah

A sin29,54 01

1 tR

vi

s

ss ω=

∆=

Daya nyata yang diberikan sumber

W65152

29,54

2

24011 =×==

RIVp rmsssrmss

(f) Bagian lain rangkaian yang menyerap daya nyata adalah Rs,

Ra, dan Rb. Daya nyata yang diserap adalah

W6512146834691575 =++=++= RbRaRsRtotal PPPP

Hasil ini menunjukkan bahwa daya nyata yang diberikan

sumber sama dengan daya nyata yang diserap oleh bagian lain

dari rangkaian (perbedaan angka adalah karena pembulatan-

pembulatan).

6.9. Ukuran Distorsi Harmonisa

Hadirnya harmonisa dalam sistem, menimbulkan dampak negatif. Oleh

karena itu kehadirannya perlu dibatasi. Untuk melakukan pembatasan

diperlukan ukuran-ukuran kehadiran armonisa.

Crest Factor. Crest factor didefinisikan sebagai

efektif nilai

puncak nilai =factorcrest

Total Harmonic Distortion (THD). THD digunakan sebagai ukuran

untuk melihat berapa besar pengaruh keseluruhan adanya harmonisa

terhadap sinyal sinus. Pengaruh keseluruhan harmonisa diperbandingkan

terhadap komponen fundamental, karena komponen fundamental-lah

yang memberikan transfer energi nyata.

6-31

Untuk tegangan nonsinus, THD didefinisikan sebagai

rms

hrmsV

V

VTHD

1

= (6.26)

Untuk arus nonsinus, THD didefinisikan sebagai

rms

hrmsI

I

ITHD

1

= (6.27)

COTOH-6.14: Arus penyearahan setengah gelombang dengan nilai

puncak arus 100 A, memiliki sampai harmonisa ke-enam sebagi

A )6cos(8,1 )4cos(2,4

) 2cos(2,21)57,1cos(508,31)(

00

00

ω+ω+

ω+−ω+=

tt

ttti

Hitunglah crest factor dan THDI.

Penyelesaian: Telah dihitung nilai efektif arus dalam contoh soal

tersebut

A 31,35 2

8,1

2

2,4

2

2,218,31

A; 2

50

2222

1

=+++=

=

bhrms

rmsb

I

I

Nilai efektif arus adalah

A 7,4931,352/50 22 =+=rmsI

Crest factor adalah: 22,49

100.. ==fc ;

THDI adalah: 12/50

31,35

1

≈==rms

hrmsI

I

ITHD atau 100%

Crest factor dan THD hanyalah tergantung bentuk dan tidak tergantung

dari nilai mutlak arus. Angka yang sama akan kita peroleh jika nilai

puncak arus hanya 1 ampere. Hal ini dapat dimengerti karena persamaan

arus secara umum adalah

Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 6-32

ϕ−ω+= ∑

=

maksn

n

nnm tnAAIti

1

00 )cos()(

sehingga dalam perhitungan Irms, I1rms, dan Ihrms faktor Im akan

terhilangkan.