Aljabar

www.aidianet.blogspot.com

© Aidia Propitious 1

ALJABAR

(Teori) Pengertian Bentuk Aljabar dan Suku Bentuk Aljabar : 4a, – 5a2b, 2p + 5 , dll. Suku satu : 2p

Suku dua : 2p + 5 Suku tiga : 2p + 5 – 7y2

Bentuk Aljabar : – 7xy Koefisien: – 7 Variabel: xy

Bentuk Aljabar : 12x2 – 9x + 7xy – 8y – 4x2 + 5y Suku sejenis : 12x2 dengan – 4x2 ; – 8y dengan 5y

(Contoh Soal) 1. Tentukan banyak suku pada bentuk aljabar berikut ini!

a. 7a + 8 : 2 suku (7a dan 8)

b. 4a – 5a + 2ab : 2 suku (–a dan 2ab)

c. 3x + 7y + 4 : 3 suku (3x, 7y, dan 4)

d. 2x4 – 5x3 – 4x2 + 7x : 4 suku (2x4, 5x3, 4x2, dan 7x)

e. 4x – 6x + 2y – 5y : 2 suku (–2x dan –3y)

f. 9x3 – 4y2 – 6x3 + 2y2 – 8y : 3 suku (3x3, –2y2, dan 8y)

g. x2 – 5x + 4xy + 8y – 7y2 : 5 suku (x2, 5x, 4xy, 8y, dan 7y2)

h. 6x3 + 2y2 – 5x3 – 3y2 – 4y : 3 suku (x3, –y2, –4y)

2. Tentukan suku–suku sejenis pada bentuk aljabar berikut ini!

a. 6a – 5ab + 12a – 10 : 6a dan 12a

b. 9k + 8m – 4km – 15k + 7km : 9k dan -15k ; –4km dan 7km

c. 7p2 – 8p2q – 11p2 + p2q + 12pq2 : 7p2 dan -11p2 ; –p2q dan p2q

d. 10x3 – 5x3y2 – 4x3 + 15y2 + 8x2y3 – 17y2 : 10x3 dan -4x3 ; 15y2 dan –17y2

Operasi Hitung Aljabar Penjumlahan dan Pengurangan Hanya dapat dilakukan pada suku–suku yang sejenis Hasil penjumlahan dan pengurangan dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan

menyederhanakan suku–suku sejenis

(Contoh Soal) 1. Sederhanakan bentuk–bentuk aljabar berikut ini!

a. 7a + 2a – 4a = 5a



b. 7a – 10a = –3a

c. – 4p + 12p = 8p

d. 8a – 10a + 14a = 12a

e. – 15p + 9p – 18p = –24p

f. 9x + 6y – 10y – 8x = (9x – 8x) + (6y – 10y) = x – 4y

g. – 6y2 – 8y – 14y2 – 9y = (–6y2 – 14y2) + (-8y – 9y) = –20y2 – 17y

h. x2 + 8y2 – 16 + 10x2 – 7y2 + 11 = (x2 + 10x2) + (8y2 – 7y2) + (-16 + 11) = 11x2 + y2 – 5

i. 10x2 – 3xy – 5y2 – 18x2 + 5xy + y2 = (10x2 – 18x2) + (–5y2 + y2) + (–3xy + 5xy) = –8x2 – 4y2 +2xy

2. Tentukan jumlah dari:

a. 5a + 8 dan 8a + 3 = (8a + 5a) + (8 + 3) = 13a + 11

b. 4p – 9q dan 7p + 16q = (4p + 7p) + (–9q + 16q) = 11p + 7p

c. 2a + 8b – 9 dan 9a – 10b + 12 = (2a + 9a) + (8b – 10b) + (–9 + 12) = 11a – 2b + 3

d. 6p – 5q – 2r dan – 8p + 6q + 9r = (6p – 8p) + (–5q + 6q) + (–2r + 9r) = –2p + q + 7r

e. 8x2 + 10x – 21 dan 6x2 – 14x + 18 = (8x2 + 6x2) + (10x – 14x) + (–21 + 18) = 14x2 – 4x - 3

f. 3x2 – 7xy – 2y2 dan – x2 + 6xy + 3y2 = (3x2 – x2) + (–7xy + 6xy) + (–2y2 + 3y2) = 2x2 – xy + y2

g. 2(3x + 5y + 3) dan 4(2y – 3x + 6) = (6x + 10y + 6) + (8y – 6x + 24)

= (6x – 6x) + (10y + 8y) + (6 + 24) = 18y + 30

h. 4(2x2 – 3x + 5) dan 3(4x2 + 2x – 7) = (8x2 – 6x + 20) + (12x2 + 6x - 21) = (8x2 + 12x2) + (-6x + 6x) + (20 – 21) = 20x2 – 1

3. Kurangkanlah:

a. 7a + 14 dari 9a + 12 = (9a + 12) – (7a + 14) = (9a – 7a) + (12 – 14) = 2a – 2

b. 9a – 10b dari 6a + 15b = (6a + 15b) – (9a – 10b) = (6a – 9a) + (15b + 10b) = –3a + 25b

c. 12p – 7q + 6 dari 15p + 18q – 17 = (15p + 18q – 17) – (12p – 7q + 6) = (15p – 12p) + (18q + 7q) + (–17 – 6) = 3p + 25q – 23

d. – 8p + 10q – 9r dari 4p – 11q – 9r = (4p – 11q – 9r) – (– 8p + 10q – 9r) = (4p + 8p) + (–11q – 10q) + (–9r + 9r) = 12p – 21q

e. 2x2 + 15x – 18 dari 11x2 – 17x + 9xy + 8y2 = (11x2 – 17x + 9xy + 8y2) – (2x2 + 15x – 18) = (11x2 – 2x2) + (–17x – 15x) + 9xy + 8y2 + 18 = 9x2 – 32x + 9xy + 8y2 + 18

f. 4(3x + 5y – 7) dari 3(5x + 4y – 8) = (15x + 12y – 24) – (12x + 20y – 28) = (15x – 12x) + (12y – 20y) + (–24 + 28) = 3x – 8y + 4



g. – 5(4y2 – 2y + 8) dari 4(7y2 + 6y – 5) = (28y2 + 24y – 20) – (–20y2 + 10y – 40) = (28y2 + 20y2) + (24y – 10y) + (–20 + 40) = 48y2 + 14y + 20

Perkalian 1. x(x + k) = x . x + x . k = x2 + kx 2. x(x + y + k) = x . x + x . y + x . k = x2 + xy + kx 3. (x + p) (x + q) = x . x + x . q + p . x + p . q = x2 + (p + q) x + pq 4. (x + p) (x + q + r) = x . x + x . q + x . r + p . x + p. q + p . r = x2 + (p + q + r) x + p (q + r)

(Contoh Soal) 1. a (5a + 2) = 5a2 + 2a

2. 6a (3a2 – 7b) = 18a3 – 42b

3. 2a (5a – 4b + 7ab) = 10a2 – 8ab + 14a2b

4. – 3b (6a2 + 5ab – 4b2) = –18a2b – 15ab2 + 12b3

5. – 2pq (3p2 – 4pq – 7q2) = –6p3q + 12p2q2 + 14pq3

6. (x + 4) (x + 5) = x(x + 5) + 4(x + 5) = x2 + 5x + 4x + 20

= x2 + 9x + 20

7. (x + 8) (x – 7) = x(x – 7) + 8(x – 7) = x2 – 7x + 8x – 56 = x2 +x - 56

8. (3y – 4) (3y – 8) = 3y(3y – 8) – 4(3y – 8) = 9y2 – 24y – 12y + 32

= 9y2 – 36y + 32

9. (6xy – 5) (4xy + 9) = 6xy(4xy + 9) – 5(4xy + 9) = 24x2y2 + 54xy – 20xy – 45 = 24x2y2 + 34xy - 45

10. (10 – 3y) (7 + 3y) = 10(7 + 3y) – 3y(7 + 3y) = 70 + 30y – 21y – 9y2

= 70 + 9y – 9y2

11. (3y2 + 5y) (3y2 – 7y) = 3y2(3y2 – 7y) + 5y(3y2 – 7y) = 9y4 – 21y3 + 15y3 – 35y2 = 9y4 – 6y3 – 35y2

12. (x – 3) (x2 – 2x + 5) = x(x2 – 2x + 5) – 3(x2 – 2x + 5)

= x3 – 2x2 + 5x – 3x2 + 6x – 15 = x3 – 5x2 + 11x - 15

13. (3x – y) (x2 – xy + y2) = 3x(x2 – xy + y2) – y(x2 – xy + y2) = 3x3 – 3x2y + 3xy2 – x2y + xy2 – y3 = 3x3 – 4x2y + 4xy2 – y3

14. (5x – y) (25x2 – 5xy + y2) = 5x(25x2 – 5xy + y2) – y(25x2 – 5xy + y2)

= 125x3 – 25x2y + 5xy2 – 25x2y + 5xy2 – y3 = 125x3 – 50x2y + 10xy2 – y3

15. (4x – 3y) (16x2 – 12xy + 9y2) = 4x(16x2 – 12xy + 9y2) – 3y(16x2 – 12xy + 9y2) = 64x3 – 48x2y + 36xy2 – 48x2y + 36xy2 – 27y3 = 64x3 – 96x2y + 72xy2 – 27y3



Pembagian Hanya dapat dilakukan pada suku–suku yang sejenis Berlaku :

n mnm a a a dan n mnm a a a :

(Contoh Soal) 1. 12ab : 3a = 4b

2. 12p5 : 3p2 = 4p3

3. a5b4 : a4b = ab3

4. 8a4b6 : 2a2b2 = 4a2b4

5. (a7 : a4) : a2 = a7 – 4 – 2 = a

6. a7 : (a6 : a2) = a7 – 4 = a3

7. 8x6 : (12x4 : 3x3) = 8x6 : 4x = 2x5

8. (3p3 . 4p4) : 6p5 = 12p7 : 6p5 = 2p2

9. p5q6 : (p4q5 : p2q4) = p5q6 : p2q = p3q5

10. 15p3q5r7 : (pr2 . 5q2r) = 15p3q5r7 : 5pq2r3 = 3p2q3r4

11. (4a2b3 . 5a3b4) : 10a4b4 = 20a5b7 : 10a4b4 = 2ab3

12. 12p6q9r4 : (8p4q2r5 : 2p2q4r4) = 12p6q9r4 : 4p2q-2r = 3p4q7r3

13. 8p3q2r . (15p5q7r4 : 5p2q4r3) = 8p3q2r . 3p3q3r = 24q-1

14. 32x5y8z4 : (2x3y2z . 8xy4z3) = 32x5y8z4 : 16x4y6z4 = 2xy2

15. 27x6y7z4 : (3x2yz3 . 3x2y3z2) = 27x6y7z4 : 9x4y4z5 = 3x2y3z-1

Pemangkatan Perhatikan bentuk berikut ini:

3a2 = 3 . a . a (3a)2 = (3a) . (3a) – (3a)2 = – (3a . 3a)

(– 3a)2 = (– 3a) . (– 3a)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a + b+ c)2 = a2 + b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(Contoh Soal) 1. (4a)2 = 16a2

2. (– 5ab)2 = 25a2b2

3. – (5x2)3 = – (125x6) = – 125x6

4. (– 5p2)3 = – 125p6

5. (5x2y3)4 = 625x8y12



6. (– 3x2)4 = 81x8

7. (10x3y2z)5 = 100000x15y10z5

8. (– x2y4z3)5 = –x10y20z15

9. (3x + y)2 = 9x2 + 6xy + y2

10. (8a – 3b)2 = 64a2 – 48ab + 9b2

11. (3a + b)3 = 27a3 + 3(9a2.b) + 3(3a.b2) + b3

= 27a3 +27a2b +9ab2 + b3

12. (2a – b)3 = 8a3 – 3(4a2.b) + 3(2a.b2) – b3 = 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3

13. (x + y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy – 2xz – 2yz

14. (4p – 3q + 8)2 = 16p2 + 9q2 + 64 – 2(4p.3q) + 2(4p.8) – 2(3q.8) = 16p2 + 9q2 + 64 – 24pq + 64p – 48q

15. (5a2 – 4b2 – 7c2)2 = 25a4 + 16b4 + 49c4 – 2(5a2.4b2) – 2(5a2.7c2) + 2(4b2.7c2)

= 25a4 + 16b4 + 49c4 – 40a2b2 – 70a2c2 + 56b2c2 MENYEDERHANAKAN PECAHAN ALJABAR Pecahan aljabar dapat disederhanakan bila: Memiliki faktor yang sama

Bentuk aljabarnya dapat difaktorkan Penyebut pecahan tidak boleh nol Kadang-kadang harus digunakan lawan dari bentuk aljabar

(Contoh Soal) Sederhanakan pecahan berikut!

1. - - -

2. – - –

3. – – –

4. –

–

–

–

–

5. –

-

-

–

–



PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN Syarat pecahan aljabar dapat ditambah / dikurang adalah penyebutnya harus sama.

(Contoh Soal)

1. 2a

5

2a

a

2a

5 a

2. 3 a

2a

3 a

a

3 a

3a

3 a

2a a

3. 3 x

4

10 x

3

3) (x 10) (x

10) (x 4 3) 3(x

3) (x 10) (x

40 4x 9 3x

3) (x 10) (x

49 7x

4. 2 a

2

4 a

32 2 a

2

4) (a 4) (a

3

4) (a 4) (a

4 2a 3

4) (a 4) (a

2) (a 2 3

4) (a 4) (a

7 2a

5. 3x

y

3x

x

3x

y x

6. 3 x

1

3 x

4

3 x

3

3 x

1 4

7. 3

1) 2(2x

4

1 2x

12

1) 8(2x 1) 3(2x

12

11 10x

12

8 16x 3 6x

8. a a

1

a

122 a) (a a

a

a) (a a

a a) (a2222

22

1) (a a

1

a) (a a

122

PERKALIAN DAN PEMBAGIAN Perkalian adalah mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut Pembagian sama dengan mengalikan pecahan dengan kebalikannya

(Contoh Soal)

1. 2a

6b

3b

2a

a

4

b3a

12ab2

2. 2 b

3b

b

a

2 b

3a

2) (b b

3ab

3. 3 a

a

a

9 a2

3 a 3) (a a

3) (a 3) (a a

4. 4ab

8b 2b

16 b

a 2

2 4) (b 2

1

4) (b 4) 4ab(b

4) (b 2ab



5. 6

4a :

3

2a 2

a

1

12a

12a

4a

6

3

2a22

6. 3 a

2a :

2 a

a

2) (a 2a

3) (a a

2a

3 a

2 a

a

4 2a

3 a

2) (a 2a

3) (a a

7. 3 3a

4a :

1 a

a

1) (a 4a

3) (3a a

4a

3 3a

1 a

a

4

3

1) (a 4a

1) (a 3a

8. 3 b

8ab 8b :

9 b2

2b

8ab 8b

3 b

9 b2

2b

3) (b 3) (b a) (1 8b

3) (b 2b

3) (b a) (1 4

1

FAKTORISASI

menyatakan bentuk penjumlahan suku–suku menjadi bentuk perkalian faktor–faktor.

Hukum Distributif

a.c a.b c) (b a

(Contoh Soal) 1. 4a + 8 = 4 (a) + 4 (2) = 4 (a + 2)

2. 9p3 + 18p5 = 9p3 (1) + 9p3 (2p2) = 9p3 (1 + 2p2)

3. 4x2y + 6xy2 – 8x2y2 = 2xy (2x) + 2xy (3y) + 2xy (– 4xy) = 2xy (2x + 3y – 4xy)

4. p (p + q) – 2q (p + q) = (p + q) (p) + (p + q) (– 2q) = (p + q) (p – 2q)

5. 2a – 2b + ac – bc = 2 (a – b) + c (a – b) = (a – b) (2 + c)

Bentuk x2 + 2y + y2 dan x2 – 2xy + y2

Suku pertama & suku ketiga bentuk kuadrat Suku tengah hasil kali 2 terhadap akar kuadrat suku pertama & akar kuadrat suku ketiga

(Contoh Soal) 1. a2 + 10a + 25 = (a)2 + 2 (a) (5) + (5)2 = (a + 5)2

2. x2 – 18x + 81 = (x)2 – 2 (9) (x) + (9)2 = (x – 9)2

3. 4a2 + 12ab + 9b2 = (2a)2 + 2 (2a) (3b) + (3b)2 = (2a + 3b)2

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 x2 – 2xy + y2 = (x – y)2



4. 16x2 – 56xy + 49y2 = (4x)2 – 2 (4x) (7y) + (7y)2 = (4x – 7y)2

Selisih Kuadrat

(Contoh Soal) 1. a2 – 9 = a2 – 32 = (a + 3) (a – 3)

2. 25x2 – 36y2 = (5x)2 – (6y)2 = (5x – 6y) (5x + 6y)

3. 25x2 – 9(x–y)2 = (5x)2 – [3(x – y)]2 = (5x – 3[x – y]) (5x + 3[x – y])

= (5x – 3x + 3y) (5x + 3x – 3y) = (2x + 3y) (8x – 3y)

4. x4 – 16y4 = (x2)2 – (4y2)2 = (x2 – 4y2) (x2 + 4y2)

5. 3x4 – 243 = 3 (x4 – 81) = 3 [(x2)2 – (9)2] = 3 (x2 – 9) (x2 + 9) Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1

(Contoh Soal) 1. x2 + 10x + 16 16 = 2 x 8 dan 10 = 2 + 8 (x + 2) (x + 8)

2. x2 – 9x + 18 18 = – 3 x – 6 dan – 9 = – 3 + – 6 (x – 3) (x – 6)

3. p2 – 9pq – 10q2 – 10q2 = – 10q x 1q dan – 9q = – 10q + 1q (p – 10q) (p + q)

Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1

(Contoh Soal) 1. 6x2 – 11x + 3 6 . 3 = 18 = – 2 x – 9 dan – 11 = – 2 + – 9 (3x – 1) (2x – 3)

2. 12x2 – 17xy – 5y2 12 . 5y2 = 60y2 = – 12y x – 5y dan – 17y = – 12y + – 5y

(12x – 5y) (x – y)

3. 9x2 + 14xy – 8y2 9 . 8y2 = – 72y2 = 18y x – 4y dan 14y = 18y + – 4y

(9x – 4y) (x + 2y)

y) - (x y) (x y x 22

x2 + bx + c = (x + p) (x + q) dengan c = p . q dan b = p + q

ax2 + bx + c = ax2 + (p + q)x + c dengan p . q = a . c dan b = p + q

Aljabar

Education

Transcript of Aljabar