ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGArepository.unair.ac.id/29339/5/17 BAB IV.pdftitik setimbang...
Transcript of ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGArepository.unair.ac.id/29339/5/17 BAB IV.pdftitik setimbang...
14
BAB IV
PEMBAHASAN
Pada bab ini dilakukan analisis model penyebaran penyakit AIDS dengan
adanya transmisi vertikal pada AIDS. Dari model matematika tersebut ditentukan
titik setimbang dan kemudian dianalisis kestabilan dari titik setimbang yang
diperoleh.
4.1 Analisis Kestabilan Model Matematika AIDS dengan Transmisi
Vertikal AIDS
Adapun model yang dibahas dalam proposal ini adalah model yang
dibangun oleh Mahato dkk, (2014)yakni model matematika AIDS dengan adanya
transmisi vertikal.Model matematika AIDS ini memberikan penularan Ibu hamil
atau Ibu menyusui yang positif terinfeksi HIV ke anaknya. Ada empat
kompartemen dalam model ini, yakni populasi yang sehat dan rentan tertular
HIV/AIDS (Susceptible), populasi yang terinfeksi HIV tanpa gejala (Exposed),
populasi terinfeksi HIV dengan gejala (Infected ) dan populasi kasus AIDS
(AIDS).
Pada penulisan ini, diberikan beberapa asumsi untuk memodelkan kasus
penyebaran HIV/AIDS dengan transmisi vertikal AIDS, yaitu:
1. Populasi dibagi menjadi empat kompartemen yaitu Susceptible merupakan
pupulasi yang rentan, Exposed merupakan populasi yang terinfeksi HIV tanpa
gejala, Infected merupakan populasi yang terinfeksi HIV dengan gejala, dan
AIDS merupakan populasi penderita AIDS
2. Terdapat faktor penularan ibu hamil maupun ibu menyusui ke anaknya
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
15
3. Laju rekrutmen bertambah dengan Laju Konstan
4. Pada populasi AIDS diisolasi sehingga tidak dapat menularkan ke populasi
yang lain khususnya populasi yang sehat
5. Kematian HIV karena AIDS diperhatikan.
Berikut ini adalah keterangan notasi yang berlaku pada model matematika
AIDS dengan transmisi vertikal AIDS:
Tabel 4.1. Notasi dan Definisi Parameter Model Matematika AIDS dengan
Transmisi Vertikal
NOTASI KETERANGAN β§ Laju kelahiran yang rentan
π(π‘) Populasi yang rentan pada saat t
πΈ(π‘) Populasi yang terinfeksi HIV (tanpa gejala) pada saat t
πΌ(π‘) Populasi yang terinfeksi HIV(dengan gejala) pada saat t
π΄(π‘) Populasi yang terkena AIDS pada saat t
π½ Peluang transmisi penyakit/interaksi dengan individu yang terinfeksi
c Rata-rata interaksi individu per satuan waktu
π(π‘) Populasi total pada saat t π Laju kematian alami πΏ Laju terinfeksi HIV baru ν Laju transmisi penularan vertikal πΎ Laju kematian karena terinfeksi HIV π Laju pengembangan menjadi AIDS π Laju kematian kasus AIDS
Selanjutnya untuk mempermudah penulisan dengan demikian notasi
π π‘ ,πΈ π‘ , πΌ π‘ ,π΄(π‘), dan π π‘ berturut-turut ditulis dengan S,E,I,A, dan N.
Karena notasi S,E,I,A, dan N menyatakan jumlah individu dalam populasi tertentu
pada waktu tertentu sehingga diasumsikan:
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
16
π,πΈ, πΌ,π΄,π β₯ 0
Selain itu, dalam ilmu fisika kelajuan merupakan salah satu besaran turunan yang
tidak bergantung pada arah, sehingga kelajuan termasuk besaran skalar yang
nilainya selalu positif. Dengan demikian, dalam skripsi ini dapat diasumsikan
β§,π½, c,π, πΏ, ν, πΎ, π, dan π merupakan parameter yang menyatakan laju, maka
β§,π½, c,π, πΏ, ν, πΎ, π,π Λ 0.Karena π½,π½π menyatakan probabilitas maka 0 β€ π½ β€ 1,
dan 0 β€ π½π β€ 1.
Berdasarkan asumsi dan notasi di atas, maka dapat dibentuk diagram
transmisi dari model penyebaran HIV/AIDS dengan adanya transmisi vertikal:
νπΌ
β§ π½πππΌ
π πΏπΈ ππΌ
ππ ππΈ (π + πΎ)πΌ (π + π)π΄
Gambar 4.1. Diagram Transmisi Model Matematika AIDS dengan Transmisi
Vertikal AIDS.
Berdasarkan Gambar 4.1 di atas, maka dapat dibentuk suatu model
matematika AIDS dengan transmisi vertikal AIDS sebagai berikut:
ππ
ππ‘= β§ β
π½πππΌ
πβ ππ (4.1)
ππΈ
ππ‘=
π½πππΌ
πβ ππΈ β πΏπΈ (4.2)
ππΌ
ππ‘= πΏπΈ + νπΌ β π + πΎ + π πΌ (4.3)
ππ΄
ππ‘= ππΌ β π + π π΄ . (4.4)
A I E S
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
17
Pada persamaan (4.1) mempresentasikan laju perubahan populasi yang sehat
atau rentan per satuan waktu bertambah karena adanya laju rekrutmen dari
populasi yang rentan sebesar β§. Kemudian berkurang karena adanya interaksi
populasi yang rentan dengan populasi yang terinfeksi HIV tanpa gejala sebesar
π½πππΌ
πdan berkurang karena adanya kematian alami sebesar ππ.
Pada persamaan (4.2) mempresentasikan laju perubahan populasi yang
terinfeksi HIV tanpa gejala bertambah karena terdapat populasi yang rentan yang
telah berinteraksi dengan populasi yang terinfeksi HIV pada fase Isebesar π½πππΌπ
.
Kemudian berkurang karena adanya kematian alami pada fase E sebesar ππΈ dan
berkurang karena adanya laju terinfeksi HIV dengan munculnya gejala pada fase
E sebesar πΏπΈ.
Pada persamaan (4.3) mempresentasikan laju perubahan populasi HIV
dengan gejala bertambah karena populasi yang terinfeksi HIV dengan gejala
sebesar πΏπΌ serta bertambah karena adanya laju transmisi vertikal sebesar νπΌ.
Kemudian berkurang karena adanya laju kematian yang diakibatkan HIV dengan
muncul gejala sebesar πΎπΌ, berkurang karena adanya kematian alami sebesar π, dan
berkurang karena berkembangnya populasi HIV dengan gejala ke tahap AIDS
sebesarππΌ.
Pada persamaan (4.4) mempresentasikan laju populasi AIDS bertambah
karena laju berkembangnya HIV dengan gejala sebesar π ke tahap AIDS.
Kemudian berkurang karena adanya kematian alami sebesar π dan kematian
akibat AIDS sebesar π.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
18
Selanjutnya, populasi total dinyatakan sebagai π = π + πΈ + πΌ + π΄,
sehingga laju perubahan dari total populasi adalah
ππ
ππ‘= Ξ β ππ β πΎ β ν πΌ β ππ΄
Untuk mempermudah analisis model, Model pada persamaan (4.1) - (4.4)
dapat ditulis ulang menjadi :
ππ
ππ‘= Ξ β ππ β πΎ β ν πΌ β ππ΄ (4.5)
ππΈ
ππ‘=
π½π πβπΈβπΌβπ΄ πΌ
Nβ π + πΏ πΈ (4.6)
ππΌ
ππ‘= πΏπΈ + νπΌ β π + πΎ + π πΌ (4.7)
ππ΄
ππ‘= ππΌ β π + π π΄. (4.8)
Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan dari model di atas.Adapun
langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik setimbang dari
model tersebut.Kemudian titik setimbang yang diperoleh disubstitusikan kedalam
persamaan model yang telah dilinierisasi menggunakan matriks Jacobian.Matriks
Jacobian ini merupakan hampiran linier dari sistem tak linier. Selanjutnya akan
dibentuk persamaan karakteristik untuk mendapatkan nilai eigen. Nilai eigen
tersebut nantinya digunakan untuk menentukan kestabilan dari model tersebut.
Kestabilan model yang dihasilkan diharapkan dapat membantu untuk mengetahui
dinamika perilaku sistem dari model tersebut.
Keadaan setimbang merupakan suatu kondisi ketika perubahan jumlah
subpopulasi tertentu sepanjang waktu adalah nol. Dalam model ini, hal tersebut
terpenuhi saat ππππ‘
=ππΈ
ππ‘=
ππΌ
ππ‘=
ππ΄
ππ‘= 0. (4.9)
Berdasarkan persamaan (4.9) maka dari persamaan (4.5) β (4.8) diperoleh
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
19
Ξ β ππ β πΎ β ν πΌ β ππ΄ = 0 (4.10)
π½π πβπΈβπΌβπ΄ πΌ
Nβ π + πΏ πΈ = 0 (4.11)
πΏπΈ + νπΌ β π + πΎ + π πΌ = 0 (4.12)
ππΌ β π + π π΄ = 0. (4.13)
Kemudian dari persamaan-persamaan di atas diperoleh dua titik setimbang yaitu
titik setimbang non endemik (bebas penyakit) dan titik setimbang endemik.
Titik setimbang bebas penyakit adalah suatu kondisi dimana tidak ada
penyebaran penyakit menular. Titik setimbang ini diperoleh ketika tidak ada
individu yang terinfeksi penyakit dalam populasi πΌ = 0 . Karena tidak ada
individu yang terinfeksi maka mengakibatkan tidak adanya juga individu yang
terinfeksi pada fase exposed dan AIDS πΈ = 0, π΄ = 0 .Titik setimbang bebas
penyakit dapat dinyatakan dengan πΈ0 = π0,πΈ0, πΌ0,π΄0 = (π, 0, 0, 0) sehingga
memenuhi π =Ξ
π. Dengan demikian diperoleh titik setimbang bebas penyakit
sebagai berikut
πΈ0 = π0,πΈ0, πΌ0,π΄0 = (Ξ
π, 0, 0, 0).
Titik setimbang endemik adalah suatu kondisi dimana terdapat
penyebaran penyakit πΌ β 0 . Dengan kata lain titik setimbang endemik ini terjadi
pada saat terdapat populasi yang terinfeksi HIV tanpa gejala, populasi HIV
dengan gejala, dan populasi AIDS, sehingga diperoleh π,πΈ, πΌ,π΄ > 0. Titik
setimbang endemik dapat dinyatakan
πΈ1 = (πβ,πΈβ, πΌβ,π΄β).
Dari persamaan (4.10), (4.12), dan (4.13) diperoleh
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
20
πβ = Ξ
ππΈββ
π+π πΎβν πΏβπΏ2π
π π+π π+πΎ+πβν πΈβ (4.14)
πΌβ =πΏπΈβ
π+πΎ+πβν (4.15)
π΄β =ππΏπΈβ
π+π (π+πΎ+πβν) (4.16)
Berdasarkan persamaan (4.11), maka diperoleh
π½π πβπΈβπΌβπ΄ πΌ
Nβ π + πΏ πΈ = 0
π½ππΌβ 1 +πΈβ
πβ +πΌβ
πβ +π΄β
πβ β π + πΏ πΈβ = 0 (4.17)
Dengan melakukan substitusi persamaan (4.14) β (4.16) ke persamaan
(4.17) maka diperoleh
πΈβ =π΄
π΅
Dengan
π1 = π + πΏ
π2 = π + π
π3 = π + πΎ + π β ν (4.18)
π΄ = Ξ π½ππΏ π2 β πΏ π2 πΎ + π β ν β π2 π3 πΏ + π β ππ(πΏ + πΎ + π)
π΅ = πΏ π1π2 π½π + ν β πΎπ1π2 β πππ1
Berdasarkan dari persamaan β persamaan diatas dapat disimpulkan titik
setimbang endemik dari model matematika AIDS dengan transmisi vertikal yaitu :
πΈ1 = πβ,πΈβ, πΌβ,π΄β dengan :
πβ = Ξ
ππΈββ
π + π πΎ β ν πΏ β πΏ2π
π π + π π + πΎ + π β ν πΈβ
πΈβ =π΄
π΅
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
21
πΌβ =πΏπΈβ
π+πΎ+πβν
π΄β =ππΏπΈβ
π+π π+πΎ+πβν
Untuk syarat titik setimbang πΈ1 eksis jika
πΈβ =Ξ π½ππΏ π2 β πΏ π2 πΎ + π β ν β π2 π3 πΏ + π β ππ(πΏ + πΎ + π)
πΏ π1π2 π½π + ν β πΎπ1π2 β πππ1 > 0
denganπ1,π2,π3 dan π΄, π΅ merujuk pada persamaan (4.18)
Uraian lengkap perhitungan titik setimbang endemik πΈ1 dapat dilihat di
Lampiran 1.
Setelah didapatkan titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang
endemik, selanjutnya dianalisis kestabilan lokal dari masing β masing titik
setimbang tersebut. Kestabilan lokal disekitar dua titik setimbang dapat membantu
untuk mengetahui dinamika perilaku sistem pada model matematika AIDS dengan
transmisi vertikal AIDS.
Berdasarkan persamaan (4.10) β (4.13) terlihat bahwa sistem tersebut
merupakan sistem autonomous nonlinear.Untuk menguji kestabilan asimtotis
lokal dari titik-titik setimbang bebas penyakit dan endemik perlu dilakukan
linierisasi dengan menggunakan matriks Jacobian.
Misalkan sistem autonomous dari model matematika AIDS dengan
transmisi vertikal AIDS didefinisikan sebagai berikut:
ππ
ππ‘= Ξ β ππ β πΎ β ν πΌ β ππ΄ = π¦1(π,πΈ, πΌ,π΄) (4.19)
ππΈ
ππ‘=
π½π πβπΈβπΌβπ΄ πΌ
Nβ π + πΏ πΈ = π¦2 (π,πΈ, πΌ,π΄) (4.20)
ππΌ
ππ‘= πΏπΈ + νπΌ β π + πΎ + π πΌ = π¦3 (π,πΈ, πΌ,π΄) (4.21)
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
22
ππ΄
ππ‘= ππΌ β π + π π΄ = π¦4 (π,πΈ, πΌ,π΄). (4.22)
Berdasarkan Definisi 2.3, matriks Jacobian dari persamaan (4.19) β (4.22)
adalah
π½=
ππ¦1
ππ
ππ¦1
ππΈ
ππ¦1
ππΌππ¦2
ππ
ππ¦2
ππΈ
ππ¦2
ππΌππ¦3
ππππ¦4
ππ
ππ¦3
ππΈππ¦4
ππΈ
ππ¦3
ππΌππ¦4
ππΌ
ππ¦1
ππ΄ππ¦2
ππ΄ππ¦3
ππ΄ππ¦4
ππ΄
.
Dari sini diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut
π½=
βπ 0 β πΎ β ν π½πΆπΌ(π΄+πΈ)
π2 +π½πΆπΌπ΄
π
π½πΆπΌπΈ
π2 βπ1 π½πΆ 1 β πΈ
πβ
2πΌ
πβ
π΄
π
00
πΏ0
βπ3
π
βππ½πΆπΌ
π
0βπ2
. (4.23)
dengan π1, π2, dan π3 merujuk pada persamaan (4.18).
Untuk menganalisis kestabilan dari suatu sistem dapat ditentukan dari nilai
eigen matriks Jacobian model. Berikut analisis kestabilan asimtotis lokal dari titik
setimbang bebas penyakit πΈ0 dan titik setimbang endemik πΈ1 .
a. Kestabilan Lokal di Titik Setimbang Bebas Penyakit (π¬π)
Matriks Jacobian pada persamaan (4.23) dievaluasi pada titik setimbang
bebas penyakit HIV/AIDS πΈ0 = Ξ
π, 0,0,0 adalah
π½πΈ0=
βπ 0 ν β πΎ0 βπ1 π½πΆ 00
πΏ0
βπ3
π
βπ00
βπ2
.
dengan π1, π2, π3 merujuk pada persamaan (4.18).
Berdasarkan matrik Jacobiantersebut, dapat dibentuk suatu persamaan
karakteristik dari matriks π½πΈ0sebagai berikut:
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
23
det ππΌ β π½πΈ0 = 0yaitu:
β (π + π) π + π2 π2 + π1π + π2 = 0 (4.24)
dengan
π1 = (π1 + π3)
π2 = π1π3 β πΏπ½πΆdan π1, π2, π3 merujuk pada persamaan (4.18)
Berdasarkan persamaan karakteristik (4.24) maka didapat nilai eigen
sebagai berikut
π1 = βπ
π2 = βπ2 = β(π + π).
Berdasarkan Teorema 2.2 agar titik setimbang bebas penyakit (πΈ0) stabil
asimtotis jika dan hanya jika persamaan karakteristik (4.24) mempunyai akar-akar
yang negatif. Karena laju kematian alami π dan laju kematian karena AIDS π
bernilai positif , maka jelas bahwa π1 < 0 dan π2 < 0
Sedangkan nilai eigen yang lain diperoleh dari akar persamaan
π2 + π1π + π2 = 0 (4.25)
Selanjutnya akan ditentukan syarat agar persamaan (4.25) memiliki akar-
akar yang negatif. Tanda dari nilai eigen yang merupakan akar dari persamaan
(4.25) tidak mudah ditentukan, sehingga digunakan kriteria Routh Hurwitz.
Berdasarkan Teorema 2.3. syarat agar akar persamaan (4.25) bernilai negatif atau
mempunyai bagian real negatif jika π1 > 0 dan π2 > 0.
Pandang π1 = (π1 + π3), dengan π1 = π + πΏdan π3 = π + πΎ + π β ν.
Dari sini diperoleh
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
24
π1 = 2π + πΎ + πΏ + π β ν
= 2π + πΎ + πΏ + π (1 β π 1)
dengan π 1 =ν
2π+πΎ+πΏ+π..
Dari uraian di atas didapati bahwa syarat untuk π1 > 0jika π 1 < 1.
Selanjutnya, akan diberikan syarat agar π2 > 0.
π2 = π + πΏ π + πΎ + π β ν(π + πΏ) β πΏπ½πΆ
= π + πΏ π + πΎ + π (1 β π 0)
dengan π 0 =πΏπ½πΆ+ν(π+πΏ)
π+πΏ π+πΎ+π .
Dari uraian di atas didapati bahwa syarat untuk π2 > 0jika π 0 < 1, dengan π 0 dan
π 1 merupakan bilangan reproduksi dasar yakni menyatakan rata-rata banyaknya
kasus baru dari individu yang terinfeksi penyakit menular terhadap individu yang
rentan. Bilangan reproduksi dasar ini dapat dijadikan tolak ukur terjadi atau
tidaknya penyakit menular.
Berdasarkan uraian di atas dapat dibentuk sebuah teorema terkait
kestabilan dari titik setimbang bebas penyakit sebagai berikut
Teorema 4.1 Titik setimbang bebas penyakit πΈ0 = Ξ
π, 0,0,0 pada model
matematika AIDS dengan transmisi vertikal AIDS akan stabil asimtotis jika
memenuhi π 0 < 1dan π 1 < 1.
Teorema 4.1 dapat diartikan bahwa setiap individu yang terinfeksi HIV
dapat menularkan penyakit HIV kepada rata-rata kurang dari satu penderita baru
sehingga penyakit HIV dapat dieliminasi jika π 0 < 1 dan π 1 < 1.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
25
b. Kestabilan Lokal di titik Setimbang Endemik (π¬π)
Setelah diperoleh analisis kesatabilan lokal untuk titik setimbang non
endemik selanjutnya akan dianalisis kestabilan lokal untuk titik setimbang
endemik. Dengan langkah yang sama seperti diatas sehingga matriks Jacobian di
titik setimbang πΈ1 = πβ,πΈβ, πΌβ,π΄β adalah sebagai berikut:
π½πΈ1=
βπ 0 β πΎ β ν
π1 βπ2 π3
00
πΏ0
βπ3
π
βππ½π πΌβ
πβ
0βπ2
,
denganπ1,π2,π3 merujuk pada persamaan (4.18).
Kemudian berdasarkan matriks tersebut, dapat dibentuk persamaan karakteristik
π½πΈ1 dengan menggunakan det ππΌ β π½πΈ1
= 0, sehingga diperoleh persamaan
karakteristik dari matriks π½πΈ1 adalah
βΊ (π + π)(π + π2) π2 + (π2+π3)π + πΏπ3 = 0
βΊ (π + π)(π + π2) π2 + π·1π + π·2 = 0 (4.26)
dengan
π1 =π½ππΌ(π΄β + πΈβ)
πβ2+π½ππΌπ΄β
πβ
π2 =π½ππΌβπΈβ
πβ2+ π1
π3 = π½π 1 β πΈβ
πββ
2πΌβ
πββπ΄β
πβ
π·1 =π½ππΌβπΈβ
πβ+ π1+ π3
π·2 = πΏπ½π 1 β πΈβ
πββ
2πΌβ
πββπ΄β
πβ .
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
26
Berdasarkan uraian di atas, untuk mengetahui kestabilan dari titik setimbang
endemik πΈ1 secara analitik melalui analisis nilai eigen dari persamaan (4.26) sulit
dilakukan karena melibatkan koefisien persamaan karakteristik yang rumit.
Dengan demikian penentuan kestabilan dengan kriteria Routh-Hurwitz juga sulit
untuk dilakukan.Oleh karena itu, kestabilan lokal titik setimbang πΈ1 dianalisis
secara numerik menggunakan software MATLAB. Berikut adalah asumsi
parameter yang digunakan :
Tabel 4.2 Parameter model matematika AIDS dengan adanya transmisi vertikal
Parameter Nilai Satuan β§ 10 Per tahun π½ 0.5 1 orang per tahun c 10 - π 0.2 Per tahun πΏ 0.8 Per tahun ν 0.2 Per tahun πΎ 0.01 Per tahun π 0.9 Per tahun π 0.8 Per tahun
Simulasi yang dilakukan dengan menggunakan metode bidang fase dengan
memberikan tiga nilai awal untuk variabelN, E, I, A yang berbeda untuk
mengetahui letak kekonvergenan solusi dari tiap-tiap nilai awal parameter yang
diberikan. Berikut adalah nilai awal yang diberikan:
Tabel 4.3 Parameter Nilai Awal
Nama No Nilai Satuan Jumlah populasi awal π(0)
1 1000 Orang 2 800
3 500 Jumlah populasi awal πΈ(0)
1 750 Orang
2 650
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
27
3 300 Jumlah populasi awal πΌ(0)
1 300 Orang 2 200
3 100 Jumlah populasi awal π΄(0)
1 50 Orang 2 10
3 1 Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 4.2 di atas diperoleh nilai dari
titik setimbang πΈ1 = (35, 9, 8, 6). Berikut ini adalah gambar dari bidang fase
model matematika AIDS dengan adanya transmisi vertikal.
Gambar 4.2 Grafik Bidang Fase π π‘ dan πΌ π‘ untuk Titik Setimbang Endemik
Pada Gambar 4.2 grafik bidang fase tersebut dapat diketahui bahwa
semuanya konvergen ke titik 35, 8 . Berdasarkan nilai parameter yang
digunakan π 0 =πΏπ½πΆ+ν π+πΏ
π+πΏ π+πΎ+π = 4.2198 > 1
Berdasarkan uraian diatas maka dapat dibentuk dugaan atau konjektur
sebagai berikut :
Konjektur 4.1 Titik setimbang endemik πΈ1 = πβ,πΈβ, πΌβ,π΄β pada model
matematika AIDS dengan adanyaTransmisi vertikal akan ada dan stabil asimtotis
lokal jika π 0 =πΏπ½πΆ+ν π+πΏ
π+πΏ π+πΎ+π > 1
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
28
4.2 Simulasi Numerik Model Matematika AIDS dengan adanya Transmisi
Vertikal
4.2.1 Simulasi dan Interpretasi Model
Pada subbab ini disimulasikan model matematika AIDS dengan adanya
transmisi vertikal.Hal tersebut dilakukan untuk mengetahui perilaku dari
subpopulasi pada model tersebut.Simulasi ini dilakukan dalam waktu π‘ = 50
tahun, dengan nilai awal π 0 ,πΈ 0 , πΌ 0 ,π΄ 0 = 200,150,40,20 . Berikut ini
adalah hasil simulasi untuk subpopulasi N, E, I, A.
Gambar 4.3 Dinamika Populasi AIDS dengan Transmisi Vertikal untuk
Kasus π 0 < 1.
Pada Gambar 4.3 terlihat bahwa laju transmisi πsemakin besardan laju
transmisi πΈ semakin kecil. Hal ini dikarenakan tidak adanya interaksi antara π
dengan πΌ. Oleh karena itu, kondisi ini menunjukan tidak terjadi endemik di dalam
populasi.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI
29
Selanjutnya akan diberikan hasil simulasi untuk model matematika AIDS
dengan transmisi vertikal ketika π 0 > 1dalam waktu π‘ = 10 tahun,dengan nilai
awal π 0 ,πΈ 0 , πΌ 0 ,π΄ 0 = 1000,750,200,50 dan nilai parameter yang
diperbesar yaitu π½ = 0.5, π = 10, dan πΏ = 0.8.
Gambar 4.4Dinamika Populasi AIDS dengan Transmisi Vertikal untuk Kasus
π 0 > 1.
Pada Gambar 4.4 terlihat bahwa laju transmisi populasi total (π)semakin
kecil. Hal ini dikarenakan laju transmisi HIV dengan gejala (πΌ) semakin besar.
Oleh karena itu, kondisi ini menunjukan terjadi endemik di dalam populasi.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN MODEL... RIZKA RACHMAWATI