7/25/2019 AA VEKTOR

1/8

TOPIK : VEKTOR

Pengertian: vektor adalah sesuatu (entitas) yang disifatkan dengan besar atau nilai dan arah.

Umumnya, vektor berupa besaran fisika, seperti kecepatan, perpindahan, medan listrik dan

sebagainya.

Penyajian (besaran) vektor. Paling tidak dikenal tiga cara untuk menyajikan atau menyatakan

suatu vektor. Pertama dengan gambar anak anah. Dalam penyajian dengan gambar anak

panah, anjang anak anah menyatakan besar vektor dan arah anak anah menyatakan

arah vektor. Pada cara penyajian ini hendaklah betulbetul diperhatikan dalam menggambarkan

anjang anak anah, harus proporsional, khususnya jika ada lebih dari satu vektor. !ontoh :

"isal : v ; v=4, m#s.

F ; F=3 $.

%ambar &. Penyajian vektor dengan gambar anak panah.

Penyajian vektor yang kedua adalah dengan menyatakan besar dan arahnya secara

berurutan. Dalam bentuk lambing dinyatan dengan

A=A ^A . (&)

Pada penyajian seperti ini, A menyatakan vektor atau besarannya, Amenyatakan besar atau

nilai vektor A yang sering ditulis sebagai A=|A| , dan

^A menyatakan arah vektor

A .^A disebut vektor satuanpada arah vektor A , dan dalam kenyataan atau praktiknya

dapat berupa kata atau kaliamat, seperti 'timur, 'vertikal ke atas '* oterhadap hori+ontal dsb.

A ; A=4

C ; C=5

E ; E=5N/CB ; B=3

7/25/2019 AA VEKTOR

2/8

Z

Z

Y

Y

X

X

Untuk vektor satuan dalam ruang ada araharah khusus, seperti, ^x atau i , r dll.

!ontoh : gaya F=10

neton arah timur, percepatan gravitasig= &* m#s-vertikal ke

baah. Dalam beberapa masalah diperlukan ungkapan vektor satuan sebagai

^A=A

A . (-)

Penyajian vektor yang ketiga, dinyatakan dalam komonen!komonen arah ruang, tergantung

pada sistem koordinat yang digunakan. Dalam sistem koordinat kartesis, secara umum dituliskan

sebagai

A=Ax ^x+Ay^y+Az^z , ()

dan dalam sistem koordinat bola adalah

V=Vr r+V +V . ()

/ika suatu vektor A dinyatakan dalam komponenkomponen arah ruang, besar vektor

dihitung dengan persamaan

A=Ax2+Ay

2+Az

2=A r

2+A

2+A

2

, (0)

dan arahnya dinyatakan dengan sudutsudut arah seperti ditunjukkan oleh %ambar -.

=cos1 (Ax /A ) 1 sudut antara arah A dengan arah sumbu 2 (3a)

=cos1 (Ay /A ) 1 sudut antara arah A dengan arah sumbu 4 (3b)

=cos1 (Az/A ) 1 sudut antara arah A dengan arah sumbu 5. (3c)

7/25/2019 AA VEKTOR

3/8

%ambar -. 6udutsudut arah vektor.

Penjumlahan Vektor. 7asil jumlahan dari dua vektorA dan B yang dinyatakan dengan

gambar anak panah, ada (tiga) cara seperti dilukiskan pada %ambar - (b), (c) dan (d).

(a) (b)

(c) (d)

%ambar . Penjumlahan dua vector dalam penyajian gambar anak panah.

"umlahan dua vektor yang disajikan dalam besar dan arah . 6ebutlah diberikan dua vektor

A=A ^A danB=A B . 8ni berarti telah diketahui besar masingmasing vektor dan sudut

7/25/2019 AA VEKTOR

4/8

cb

a

antara arah kedua vektor, sebagaimana terlukis pada %ambar (a). "enggunakan rumus cosinus

dalam segitiga, perhatikan %ambar (b),

c2

=a2

+b2

2abcos , (9)

Dapat diperoleh nilainilai |A+B| , A dan B sebagai

|A+B|=A2+B2+2AB cos (a)

A= A+B cos

A2+B2+2ABcos (b)

B= B+Acos

A2+B2+2AB cos . (c)

(a) (b)

%ambar . Penjumlahan vektor, besar dan arah.

Penjumlahan vektor dengan enyajian dalam komonen!komonen arah ruang.

Penjumlahan vektor dalam komponenkomponen arah ruang dapat dilakukan benyak vektor

sekaligus, berbeda dengan penyajian dengan gambar anak panah maupun dengan besar dan arah.

7asil jumlahan dari nbuah vektor, masingmasing dinyatakan sebagai

7/25/2019 AA VEKTOR

5/8

V1=V

1x ^x+V1y y+V1z^z

V2=V

2x ^x+V2y y+V2z^z

Vn=Vnx^x+Vny y+Vnz^z .

adalah

R=V1+V

2++Vn=

i

Vi=Rx ^x+Ry y+Rz^z (;)

dengan

Rx=V1x+V2x++Vnx=i

Rix (&*a)

Ry=V1y+V2y++Vny=i

R iy (&*b)

Rz=V1z+V2z++Vnz=i

Riz. (&*c)

Dalam jumlahan vektor dengan penyajian ini, besar vektor hasil jumlahan (resultan) dihitung

dengan aturan umum persamaan (0)

R=Rx2+Ry

2+Rz

2

, (&&)

arahnya dinyatakan dengan sudutsudut arah

R=co s1

(Rx

R) < R=co s1

(Ry

R) < R=co s1

(Rz

R) . (&-)

=perasi jumlahan vector sebagaimana diuraikan di atas memiliki sifatsifat

7/25/2019 AA VEKTOR

6/8

& >omutatif : B+A=A+B (&a)

- ?sosiatif : A+(B+C)=(A+B )+C (&b)

Distributif : c (A+B )=c A+c B # ($%&)

Perkalian vektor. =perasi perkalian antara dua vektor ada dua jenis, yakni perkalian dot

(skalar)dan perkalian silang'kros (vektor).

Perkalian dot antara dua buah vektor diperjanjikan atau didefinisikan sebagai

A B AB cos , (&)

di mana 1 sudut apit antara arah vector A dan vector B . 7asil perkalian dot antara

dua vektor berupa skalar, makanya disebut juga perkalian skalar. Dengan definisi seperti

persamaan (&) diperoleh hasil perkalian dot antara vektorvektor satuan ruang sebagai berikut

^x ^x=y y=^z ^z=1 < ^x y=^x ^z= ^y ^z=0 . (&0)

>emudian, menggunakan sifatsifat persamaan (&0), hasil perkalian dot dari dua vector yang

dinyatakan dalam komponenkomponen arah ruang (kartesis) adalah

A B=Ax Bx+Ay By+AzBz=B A . (&3)

>elihatan baha perkalian dot antara - vektor bersifat komut, urutannya dibalik hasil sama.

Perkalian kros'silang'vektor. Perkalian kros#silang#vektor antara dua vektor A dan B

didefinisikan sebagai

A B=AB sinn . (&9)

dengan 1 sudut apit antara vektorvektor A dan B dan n vektor satuan tegak

lurus (normal) bidang (A ! B ) yang mengikuti aturan skrup kanan seperti ditunjukkan oleh

7/25/2019 AA VEKTOR

7/8

%ambar 0. /elaslah baha hasil perkalian kros antara dua vektor berupa vektor, makanya juga

disebut perkalian vektor. Persamaan (&9) memperlihatkan sifat antikomutatif operasi perkalian

kross, ditulis

B A=(A B ) . (&)

%ambar 0. ?rah perkalian kros#silang.

Dengan persamaan (&9) diperoleh juga hasil perkalian silang vektorvektor satuan ruang sebagai

^x ^x=y y=^z^z=0 (&;)

dan

^x y=^z < y ^x=^z < y^z=^x < ^zy=^x < ^z ^x=y