MODUL PERKULIAHAN  

  Matematika

Dasar  

 

 

Sistem Bilangan (2)

 

 

             

  Fakultas  Program Studi  Tatap Muka  Kode MK  Disusun Oleh   

  Fakultas Ilmu Komputer 

Teknik Informatika  02 MK10230  Ir. Zuhair, M.Eng..  

 

 

Abstract  Kompetensi    Sistem bilangan (2) merupakan langkah awal berikutnya dalam mempelajari matematika dasar yang diarahkan untuk dapat dijadikan dasar dalam mempelajari keteknikan informatika.  

Mahasiswa mengetahui dan memahami langkah awal matematika dasar untuk mempelajari mata kuliah lain dalam penyelesaian studi maupun dalam kehidupan sehari-hari.  

 

‘13 Nama Mata Kuliah dari Modul Pusat Bahan Ajar dan eLearning   2 Ir. Zuhair, M.Eng. http://www.mercubuana.ac.id

 

Mata kuliah         : Matematika Dasar 

Semester         : Ganjil (Satu) 

SKS           : 3 sks 

Jam           : 13.30 – 16.00 

Sistem kerja         : Individu 

  Pengerjaan di kelas 

  Eksplorasi ide menggunakan model matematika dasar 

  Pengembangan ide dalam kehidupan sehari‐hari 

Tujuan perkuliahan: 

Memahami sistem bilangan dengan kelengkapan pertidaksamaan dan sistem koordinat kartesius, himpunan dengan berbagai operasinya, fungsi dengan seluruh jenisnya serta limit fungsi dan kekontinuan. 

Memahami matematika dasar secara menyeluruh sebagai dasar yang diarahkan untuk dapat dijadikan dasar dalam mempelajarai keteknikan informatika. 

Target: 

1. Mahasiswa dapat menggunakan notasi‐notasi yang biasa dipakai dalam matematika dasar. 

2. Mahasiswa dapat menghitung penyelesaian pertidaksamaan linier dengan satu dan dua peubah serta pertidaksamaan kuadrat dalam sistem bilangan. 

3. Mahasiswa dapat menghitung jarak antara dua titik dan kemiringan suatu garis dalam sistem koordinat kartesius. 

4. Mahasiswa dapat menyelesaikan problema yang berkaitan dengan himpunan dan berbagai operasinya. 

5. Mahasiswa memiliki kemampuan dalam menyelesaikan problema yang berkaitan dengan fungsi dan seluruh jenisnya. 

6. Mahasiswa dapat mengembangkan ide untuk menyelesaikan problema limit fungsi dan kekontinuan. 

 

 

 

 

 

‘13 Nama Mata Kuliah dari Modul Pusat Bahan Ajar dan eLearning   3 Ir. Zuhair, M.Eng. http://www.mercubuana.ac.id

 

Pertemuan 2 Sistem Bilangan (2)

1.3.4 Nilai mutlak

Nilai mutlak dari x dinyatakan dengan x dan didefinisikan sebagai :

Teorema-teorema

Jika a dan b adalah bilangan riil, maka :

Contoh 1.9

Selesaikan pertidaksamaan , gambarkan garis bilangan dan selangnya

Penyelesaian :

(lihat teorema iii)

Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii halaman 5, maka kita dapatkan dua buah

pertidaksamaan, yaitu x – 5 ≥ – 4 dan x – 5 ≤ 4.

Selanjutnya kita selesaikan satu persatu pertidaksamaan tersebut.

x – 5 ≥ –4 → x ≥1

‘13 Nama Mata Kuliah dari Modul Pusat Bahan Ajar dan eLearning   4 Ir. Zuhair, M.Eng. http://www.mercubuana.ac.id

 

x – 5 ≤ 4 → x ≤ 9

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah

Gambar 1.7

Contoh 1.10

Selesaikan pertidaksamaan , gambarkan garis bilangan dan selangnya!

Penyelesaian

(lihat teorema iii)

Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii, maka kita dapatkan dua buah

pertidaksamaan, yaitu x – 7 < –3 dan x – 7 > 3.

Selanjutnya kita selesaikan satu persatu pertidaksamaan tersebut.

x – 7 < –3 → x < 4

x – 7 > 3 → x > 10

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah .

Gambar 1.8

Soal-soal

Selesaikan pertidaksamaan :

‘13 Nama Mata Kuliah dari Modul Pusat Bahan Ajar dan eLearning   5 Ir. Zuhair, M.Eng. http://www.mercubuana.ac.id

 

1.3.5 Pertidaksamaan linier dua peubah

Bentuk umum pertidaksamaan linier dua peubah adalah : ax + by + c (?) 0 ; konstanta-

konstanta a, b dan c adalah bilangan-bilangan riil dan a ≠ 0. Tanda (?) adalah salah satu

dari tanda <, >, ≤ atau ≥. Untuk membantu mahasiswa dalam menggambarkan grafik

pertidaksamaan linier dua peubah, berikut diberikan prosedurnya.

1. Ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan selanjutnya gambarkan

grafik persamaan linier yang dimaksud. Setelah digambar kita akan melihat bahwa grafik

persamaan linier adalah garis yang membagi bidang menjadi dua bagian.

2. Jika pada pertidaksamaan menggunakan tanda ≤ atau ≥ berarti garis tersebut termasuk

pada grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya garis tersebut digambarkan secara penuh.

Jika pertaksamaan menggunakan tanda < atau > berarti garis tersebut tidak termasuk pada

grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya garis tersebut digambarkan putus-putus.

3. Pilih salah satu titik koordinat pada masing-masing bidang dan kemudian substitusikan

pada pertaksamaan. Jika substitusi tersebut menghasilkan pernyataan yang benar berarti

bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dimaksud. Sebaliknya jika

substitusi menghasilkan pernyataan yang salah maka bidang tempat kedudukan titik

tersebut bukan bidang yang dimaksud. Untuk keseragaman bidang yang memenuhi

pertaksamaan diarsir. Akan menjadi lebih sederhana jika kita memilih titik koordinat (0,0)

asalkan titik koordinat tersebut tidak dilalui oleh garis.

Contoh 1.11

Gambarkan grafik pertidaksamaan 3x – 2y ≥ 8

Penyelesaian :

Langkah 1. Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan → 3x - 2y = 8

Langkah 2. Gambarkan grafiknya.

Gambar 1.9

‘13 Nama Mata Kuliah dari Modul Pusat Bahan Ajar dan eLearning   6 Ir. Zuhair, M.Eng. http://www.mercubuana.ac.id

 

Gambar 1.10

Langkah 3. Memilih titik koordinat.

Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke pertidaksamaan. Ternyata substitusi

ini menghasilkan pernyataan yang salah. Berarti bidang tempat kedudukan titik koordinat

tersebut bukan bidang yang dicari. Sehingga bidang disebelahnya merupakan bidang yang

dicari. Selanjutnya bidang tersebut diarsir.

Contoh 1.12

Gambarkan grafik pertidaksamaan 5x + 3y < 6

Penyelesaian :

Langkah 1. Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan → 5x + 3y = 6

Langkah 2. Gambarkan grafiknya.

Gambar 1.11

Langkah 3. Memilih titik koordinat.

Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke pertidaksamaan. Ternyata substitusi

ini menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang tempat kedudukan titik koordinat

tersebut merupakan bidang yang dicari. Sehingga bidang disebelahnya bukan bidang yang

dicari. Selanjutnya arsir yang dicari tersebut.

‘13 Nama Mata Kuliah dari Modul Pusat Bahan Ajar dan eLearning   7 Ir. Zuhair, M.Eng. http://www.mercubuana.ac.id

 

Gambar 1.12

Soal-soal

Gambarkan grafik dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut!

1. x + y < 3 2. y + 2x > 4

3. 4x – 5 y ≤ 6 4. 5y + 3x ≥ 1

1.3.6 Sistem pertidaksamaan linier

Dalam penerapannya sering terdapat lebih dari satu pertaksamaan yang harus diselesaikan

secara serentak. Pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut dinamakan “sistem

pertidaksamaan linier” Dalam pembahasan sistem pertidaksamaan linier kita hanya akan

membahas sistem pertidaksamaan linier yang mempunyai tidak lebih dari dua peubah.

Langkah-langkah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier.

1. Ganti semua tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan.

2. Gambarkan grafiknya.

3. Periksa salah satu titik koordinat pada bidang. Jika menghasilkan pernyataan yang benar,

berarti bidang tersebut adalah bidang yang dicari.

Contoh 1.13

Gambarkan grafik sistem pertidaksamaan 2y + 3x < 5 dan x – y ≥ 3

Penyelesaian :

Langkah 1.

2y + 3x = 5

‘13 Nama Mata Kuliah dari Modul Pusat Bahan Ajar dan eLearning   8 Ir. Zuhair, M.Eng. http://www.mercubuana.ac.id

 

x – y = –3

Langkah 2.

Gambar 1.13

Langkah 3.

Periksa koordinat (0,0). Setelah dilakukan substitusi harga x=0 dan y=0 kedalam sistem

pertaksamaan ternyata menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang tempat

kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dicari. Selanjutnya bidang tersebut diarsir.

Gambar 1.14

Contoh 1.14 (penerapan sistem pertidaksamaan linier)

Sebuah pabrik kendaraan bermotor akan memproduksi dua jenis kendaraan yaitu jenis

diesel dan bensin. Biaya pembuatan jenis kendaraan diesel adalah Rp. 100 juta/ kendaraan,

sedangkan untuk jenis kendaraan bensin adalah Rp. 80 juta /kendaraan. Jika pabrik

tersebut mempunyai kemampuan produksi 120 kendaraan setiap bulan dan dan untuk

pembuatan kedua jenis kendaraan tersebut tidak lebih dari Rp 10 milyar / bulan, tentukan

bentuk pertidaksamaan dari persoalan diatas dan gambarkan grafiknya.

Penyelesaian:

‘13 Nama Mata Kuliah dari Modul Pusat Bahan Ajar dan eLearning   9 Ir. Zuhair, M.Eng. http://www.mercubuana.ac.id

 

(100 juta)(x) + (80 juta)(y) ≤ 10.000 juta atau 100 x + 80 y ≤ 10.000

x + y ≤120

x ≥ 0 ; y ≥ 0

Gambar 1.15

Soal-soal

Gambarkan grafik dari pertaksamaan linier berikut :

5. Sebuah industri komputer akan memproduksi sekurang-kurangnya 1000 buah komputer

yang terdiri dari dua jenis yaitu jenis PC dan Laptop. Diperkirakan biaya untuk memproduksi

sebuah PC adalah Rp 4.000.000,00 sedangkan untuk memproduksi Laptop adalah Rp

6.000.000,00. Jika dana yang tersedia untuk memproduksi kedua jenis komputer tersebut

adalah Rp 10 milyar rupiah tentukan sistem pertidaksamaan linier dari persoalan diatas dan

gambarkan grafiknya!

1.3.7 Pertidaksamaan kuadrat

Bentuk umum dari pertidaksamaan kuadrat adalah : ax2 + bx + c (?) 0, dimana a, b dan c

adalah bilangan-bilangan riil dan a ≠ 0 Sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda <, >, ≤,

‘13 Nama Mata Kuliah dari Modul Pusat Bahan Ajar dan eLearning   10 Ir. Zuhair, M.Eng. http://www.mercubuana.ac.id

 

atau ≥. Penyelesaian dari pertidaksamaan adalah menentukan harga-harga peubah yang

memenuhi pertidaksamaan.

Contoh 1.15

Selesaikan pertidaksamaan x2 – 7x + 12 > 0

Penyelesaian :

Lakukan pemfaktoran terhadap pertidaksamaan :

x2 – 7x + 12 > 0 → (x – 4)(x – 3) > 0

Titik-titik kritis adalah 3 dan 4

Grafik pertidaksamaan :

Gambar 1.16

Dari gambar diatas didapat bahwa daerah yang memenuhi pertidaksamaan adalah

x < 3 atau x > 4.

Contoh 1.16

Tentukan himpunan pen elesaian dari pertidaksamaan .

Penyelesaian :

‘13 Nama Mata Kuliah dari Modul Pusat Bahan Ajar dan eLearning   11 Ir. Zuhair, M.Eng. http://www.mercubuana.ac.id

 

Titik-titik kritis adalah –3, 2 dan 3

Gambar 1.17

Himpunan penyelesaiannya adalah .

Soal-soal

Selesaikan pertidaksamaan berikut dan tentukan selangnya !

1. (x + 2)(x – 3) > 0

2. (x – 4)(x + 5) < 0

3. x(x + 6) ≥ 0

4. (x – 7)x ≤ 0

5. x2 + 4x – 5 < 0

6. x2 > 5x – 6

7. 7x – 12 ≤ x2

8. x2 + 21 ≥ 10x

 

Daftar Pustaka 1. Sudiadi, “Matematika Dasar”, STMIK Global Informatika MDP dan AMIK MDP,

September 2011.

2. Edwin J. Purcell, ”Kalkulus dan Geometri Analitik”, Jilid 1 dan Jilid 2, Penerbit

Erlangga.

3. K.A. Stroud, ”Matematika untuk Teknik”, Penerbit Erlangga.