8. Fungsi Distribusi Peubah Acak

7/31/2019 8. Fungsi Distribusi Peubah Acak

1/9

1

FUNGSI DISTRIBUSI

1. Fungsi Distribusi Suatu Peubah AcakMisalkan X suatu peubah acak. Fungsi F dari R ke dalam , - yangdidefenisikan oleh :

untuk setiap x di R dinamakah fungsi distribusi dari X.Oleh karena itu jika f adalah f.k.p dari X, maka :

Contoh 1

Peubah acak X memiliki f.k.p sebagai berikut :

Carilah fungsi distribusi dari X dan gambarkan grafiknya.

Penyelesaian :

a. Karena X diskrit, maka fungsi distribusi dari X adalah

Dengan memasukkan setiap harga x di R, kita peroleh :


2/9

2

10

1

b. Grafik dai adalah sebagai berikut :Perhatikan bahwa merupakan fungsi tangga dan kontinu kanan dimana-mana.

Contoh 2

Peubah acak X diketahui memiliki f.k.p sebagai berikut

Carilah fungsi distribusinya dan gambarkan grafiknya.

Penyelesaian :

a. Karena X kontinu, maka fungsi distribusinya adalah (i) Untuk x < 1, maka (ii) Untuk dan

2 3


3/9

3

Jadi fungsi distribusi dari X adalah :

b. Grafik dari F(x) adalah sebagai berikut

Catatan : Fungsi distribusi pada contoh 2 bersifat kontinu di mana-mana, dan

kecuali di jadi f.k.p dari X sama dengan kecuali untuk karena maka dapatdidefenisikan sembarang.

Sebagai konsekuensi dari sifat-sifat peluang, maka kita peroleh sifat-sifat fungsi

distribusi sebagai berikut :

untuk setiap x di R adalah fungsi yang tidak turun, artinya jika maka

kontinu kanan dimana-mana

1 x

1


4/9

4

Sifat (iv) dapat dijelaskan sebagai berikut. Untuk setiap dan x bilangan riil

sembarang, berlaku :

Khususnya bilangan Xkontinu, kita peroleh :

* +

Hal ini berlaku pula bila Xdiskrit. Jadi, karena

* +

Maka Fkontinu kanan dimana-mana.

Keempat sifat diatas adalah sifat karakteristik dari suatu fungsi distribusi. Artinya

bila suatu fungsi memiliki keempat sifat diatas, maka fungsi tersebut

mendefenisikan suatu fungsi distribusi.

Catatan : suatu fungsi distribusi belum tentu kontinu kiri untuk setiap x di R,

sebab ;

* +


5/9

5

* +

* +

Dalam hal ini X kontinu, benar F kontinu kiri dimana-mana, sebab

yang berarti

* +

Dalam hal X diskrit dan dimana maka F tidakkontinu kiri di x, sebab

* +

Contoh 3

Peluang acakXmemiliki fungsi distribusi sebagai berikut

a. Gambarlah grafik dari b. Hitunglah . / . /

Penyelesaian :

a. Untuk , grafik berupa garis lurus yang melalui titik . Jadi grafiknya adalah sebagai berikut:


6/9

6

b. . / ./

2. Fungsi Distribusi Dari Fungsi Suatu Peubah AcakMisalkan X peubah acak pada ruang sampel , dengan ruangnya ,perhatikan fungsi berharga riil , yang merupakan fungsi dari X.Jadi Y merupakan fungsi komposisi yang didefenisikan pada

. Artinya,

untuk setiap c di , berlaku : ,- ,-

Dengan demikian, Y juga suatu peubah acak pada dan ruang dari Yadalah

*| + *| ,- +Akibatnya jika y di , maka peristiwa * + * +Terjadi jika dan hanya jika peristiwa *| + terjadi. Jadifungsi distribusi dari Y adalah :

, - *| +

Untuk memperjelas konsep diatas, perhatikanlah contoh berikut.

1

1 x


7/9

7

Contoh 4

Peubah acak X diketahui memiliki f.k.p sebagai berikut

Jika , tentukanlah fungsi distribusi dan f.k.p dari Y.

Penyelesaian :

a. Fungsi distribusi dari Y adalah karena *| +

Maka ruang dari Y adalah

*| +(i) Untuk , maka sebab

*| + (ii) Untuk , maka

(iii) Untuk , maka ( ) ( ) ( )


8/9

8

Jadi fungsi distribusi dari Y adalah :

b. Karena F kontinu dimana-mana, maka f.k.p dari Y adalah

Jadi

3. Fungsi Distribusi Bersama Dari Beberapa Peubah AcakMisalkan peubah-peubah acak pada ruang sampel fungsi Fdari ke dalam ,- yang didefenisikan oleh

Dinamakan fungsi distribusi bersama dari . Jadi, jika

f.k.p bersama dari , maka


9/9

9

Jadi, jika kontinu maka di titik-titik dimana kontinu, berlaku

:

Contoh 5

Peubah-peubah acak X, Y, Z memiliki f.k.p bersama sebagai berikut

Carilah fungsi distribusi bersama X, y, Z.

Penyelesaian :

Jelas X, Y, Z kontinu. Jadi fungsi distribusi bersama dari X, Y, Z adalah

(i) Untuk , intengral lipat 3 dikanan menghasilkan

(ii) Untuk x,y,z yang lain, kita peroleh Jadi

8. Fungsi Distribusi Peubah Acak

Documents

Transcript of 8. Fungsi Distribusi Peubah Acak