PEUBAH ACAK GANDAPengantar Hitung Peluang | Pertemuan ke-11r.rahma.anisa@gmail.com

PENGERTIAN PELUANG BERSAMA

2

Dari suatu ruang contoh percobaan bisa didefinisikan lebih dari satupeubah acak

Misalkan pada percobaan melempar koin setimbang sebanyak 3 kali

= {AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}

Jika p.a. X didefinisikan sebagai frekuensi Angka (A) muncul, maka :

X = {0, 1, 2, 3}

Jika p.a. Y didefinisikan sebagai frekuensi Angka (A) muncul padadua lemparan terakhir, maka :

Y = {0, 1, 2}

3

Y

0 1 2

X 0 {GGG}

1 {AGG} {GGA,GAG}

2 {AAG, AGA} {GAA}

3 {AAA}

Y

0 1 2

X 0 1/8 0 0

1 1/8 2/8 0

2 0 2/8 1/8

3 0 0 1/8

PENGERTIAN PELUANG BERSAMA

4

Y Total

0 1 2

X

0 1/8 0 0 1/8

1 1/8 2/8 0 3/8

2 0 2/8 1/8 3/8

3 0 0 1/8 1/8

Total 2/8 4/8 2/8

Sama dengan P(X=x)

Sama dengan P(Y=y)f.m.p bersama X,Y

P(X=x, Y=y)

PENGERTIAN PELUANG BERSAMA

5

Jika Y1 dan Y2 adalah masing-masing peubah acak,

maka (Y1, Y2) kita sebut peubah acak ganda dua

Secara umum, jika Y1, Y2, Y3, …, Yn adalah peubah

acak, maka (Y1, Y2, Y3, …, Yn ) adalah peubah acak

ganda n.

Untuk selanjutnya dalam pembahasan akan difokuskan

pada peubah acak ganda dua.

PENGERTIAN PELUANG BERSAMA

PEUBAH ACAK GANDA - DISKRET

6

Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak diskret, fungsipeluang bersama bagi Y1 dan Y2 adalah

untuk semua (y1, y2) ∈ RY1Y2 yang merupakan daerah asalbagi(Y1, Y2).

Syarat fungsi tersebut merupakan fungsi peluangbersama :

7

Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak kontinu, fungsi kepekatanpeluang bersama bagi Y1 dan Y2 adalah

untuk semua (y1, y2) ∈ RY1Y2 yang merupakan daerah asal (Y1, Y2).

Syarat fungsi tersebut merupakan fungsi kepekatan peluangbersama adalah :

PEUBAH ACAK GANDA - KONTINU

𝑓𝑌1𝑌2 𝑦1, 𝑦2 , 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅𝑌1𝑌2

1) fY1Y2 y1, y2 > 0, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅𝑌1𝑌2

2) −∞∞ −∞∞fY1Y2 y1, y2 𝑑𝑦1𝑑𝑦2 = 1

HUBUNGAN FUNGSI SEBARAN & FKP

8

Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsikepekatan peluang bersama 𝑓𝑌1,𝑌2 𝑦1, 𝑦2 , fungsi sebaranbersamanya adalah :

fkp dapat diperoleh dengan cara mendiferensialkan fungsi tsb.

Peluang (Y1, Y2) ∈ A, untuk 𝐴 ⊂ ℛ2 dalah

𝐹𝑌1𝑌2 𝑦1, 𝑦2 =

−∞

𝑦2

−∞

𝑦1

fY1Y2 t1, t2 𝑑𝑡1𝑑𝑡2, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅𝑌1𝑌2

𝑓𝑌1𝑌2 𝑦1, 𝑦2 =𝜕2

𝜕𝑦1𝜕𝑦2𝐹𝑌1𝑌2 𝑦1, 𝑦2

𝑃 𝑌1, 𝑌2 ∈ 𝐴 =

𝑦1,𝑦2

fY1Y2 y1, y2 𝑑𝑦1𝑑𝑦2

9

Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak kontinu denganfungsi kepekatan peluang bersama sbb :

(a) Tentukan c

(b) Hitung P(Y1 > 15, Y2 < 1)

(c) Hitung P(Y2 > Y1/5)

ILUSTRASI - 1

10

(a) Syarat fungsi kepekatan peluang bersama adalah :

sehingga :

dan

ILUSTRASI – 1 (CONT’D)

𝑑𝑦2𝑑𝑦1

𝑑𝑦2𝑑𝑦1

11

(b) Misalkan , maka :

ILUSTRASI – 1 (CONT’D)

𝑑𝑦2𝑑𝑦1

12

(c) Misalkan , maka :

ILUSTRASI – 1 (CONT’D)

𝑑𝑦2𝑑𝑦1

LATIHAN - 1

13

FKP BERSAMA 2 PEUBAH ACAKYANG SALING BEBAS

14

ILUSTRASI - 2

A man and a woman decide tomeet at a certain location. If eachof them independently arrives at atime uniformly distributed between12 noon and 1 P.M., find theprobability that the first to arrive hasto wait longer than 10 minutes.

15

ILUSTRASI - 2

16

17

y

X yYxXPxXP ),()(

x

Y yYxXPyYP ),()(

FMP MARGINAL PEUBAH ACAK DISKRET

18

FKP MARGINAL PEUBAH ACAK KONTINU

19

Diberikan fkp bersama peubah acak (Y1, Y2)

Tentukan fkp marginal masing-masing Y1 dan Y2

ILUSTRASI - 3

LATIHAN - 2

Suppose that a point is uniformly chosen on asquare of area 1 having vertices (0,0), (0,1),(1,0), and (1,1). Let X and Y be the coordinatesof the point chosen.

a) Find the marginal distributions of X and Y

b) Are X and Y independent?

20

• Kasus diskret, f.m.p X dengan syarat Y didefinisikan sebagai

• Jika dilanjutkan diperoleh

• Analog untuk kasus kontinu diperoleh

SEBARAN PELUANG BERSYARAT

• Kasus diskret

• Kasus Kontinu

NILAI HARAPAN

23

Dapat ditunjukkan bahwa untuksembarang X dan Y, E(X+Y) = E(X) + E(Y)

Dapat pula ditunjukkan bahwa jika X danY saling bebas maka E(XY) = E(X) E(Y).

NILAI HARAPAN

Peragam antara X dan Y didefinisikan sebagai

Formula tersebut dapat disederhanakan dalambentuk

Sehingga jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0

PERAGAM (COVARIANCE)

Peragam antara X dan Y didefinisikan sebagai

dengan

KORELASI (CORRELATION)

25

REFERENSI

1. Aidi, M.N., Djuraidah, A. 2012. PengantarPeluang. Bogor: IPB Press.

2. Baron, M. 2014. Probability and Statistics forComputer Scientist, Second Edition. Boca Raton:CRC Press Taylor & Francis Group.

3. Montgomery, D.C, Runger, G.C. 2003. AppliedStatistics and Probability for Engineers, ThirdEdition. New Jersey: John Wiley & Sons.

4. Ross, S.M. 2010. A First Course in Probability, 8th

Edition. New Jersey: Prentice Hall.

5. Referensi lain yang relevan.

26