6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]

7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]

1/22

EnsambelEnsambeldandan SistemSistem InteraktifInteraktif


2/22

Ensambel dan Sistem InteraktifEnsambel dan Sistem InteraktifTopikTopik--topik yang akan dibahas:topik yang akan dibahas: Ensambel Mikrokanonik (tanpa interaksi,Ensambel Mikrokanonik (tanpa interaksi,

bab IV)bab IV)

Ensambel Kanonik (interaksi termal)Ensambel Kanonik (interaksi termal)

Ensambel Kanonik Besar (interaksi difusif)Ensambel Kanonik Besar (interaksi difusif)


3/22

EnsambelEnsambel KanonikKanonik ((interaksiinteraksi termaltermal))Tinjau 2 sistem A dan A` yang berinteraksi termal, hanya ukurannya yangsangat berlainan, tepatnya salah satu sistem jauh lebih besar dari sistemlainnya. Sistem yang besar dapat dipandang sebagai tandon/reservoar

Sistem yang apabila berinteraksi dengan sistemyang lain seolah-olah tidak mengalami perubahan

A`, E`

A*

apapun setelah proses berlangsung dan mencapaikeseimbangan.A, E

Energi total sistem A dan tandon A` E`EE* +=

Keadaan makro sistem dengan energi E mempunyai banyak sekali keadaanmikro. Interkasi termal menyebabkan aliran panas dari tandon ke dalam

sistem (atau sebaliknya) sampai terjadi keadaan seimbang

Dalam keadaan seimbang, berapa probabilitas Pr yaitu probabilitas untuk

mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergiEr ?


4/22

Dalam keadaan seimbang, berapa probabilitas Pr yaitu probabilitas untukmendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergi

Er ?

Tinjau Sistem A*

Jumlah total keadaan yang diizinkan pada sistem A* adalah *total

Jumlah keadaan yang diizinkan pada sistem A* dimana sistem A berenergi Eadalah *(E)

Sehingga probabilitas untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaanyang berenergi E adalah

(E)*C(E)**

1

*

(E)*P(E)

TotTot

===

*(E) dapat dinyatakan dalam bentuk jumlah keadaan yang diizinkan pada sistem A

dan sistem A

Jika sistem A berenergi E dan jumlah keadaannya adalah (E), maka

sistem A berenergi E= E* E dan jumlah keadaannya adalah (E* E), sehingga

E)*(E'(E)CP(E)sehinggaE),*(E'(E)(E)*=

=


5/22

Contoh

Sistem A dan A dapat berinteraksi dan berada dalam sistem yang terisolir A*

.Kedua sistem mengalami kesetimbangan dengan energi sistem A* adalah 13 satuan E.Tabel berikut menunjukkan energi yang dimiliki sistem A dan A dan jumlah keadaanyang berkaitan:

No ETotal

EA

EA

(E) (E) * (E)

1 13 3 10 2 40 80

2 13 4 9 5 26 130

3 13 5 8 10 16 160

4 13 6 7 17 8 1365 13 7 6 25 3 75

Berapakah probabilitas Pr untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaantertentu r yang berenergi Er = 3 satuan E ?

E)*(E'(E)CP(E) =581802.40.

5811P(E) ==

Hitung juga probabilitas untuk mendapatkan sistem A dengan energi yang lain (Er =4, 5, 6 dan 7 satuan E ?

Keadaan mana yang berpeluang besar mewakili sistemdalam keadaan setimbang tersebut?


6/22

Tinjau kembali sistem A dan A yang dapat berinteraksi dan berada dalam sistemyang terisolir A*

E)*(E'(E)CP(E) =

Probabilitas P untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentuyang berenergi E adalah

Selanjutnya kita ingin mengetahui kondisi seperti apa saatterjadi keseimbangan antara sistem A dan A

E)*(E'(E)CP(E) =

Saat seimbang, P(E) bernilai maksimum

nnnn =

ln P(E) bernilai maksimum

0P(E)lnE

=

{ } 0E)*(E'ln)(ElnCln

E

=++

0E

E)*E('ln

E

(E)ln=

+

0

E'

)E'('ln

E

(E)ln=

E'

)E'('ln

E

(E)ln

=

)'(')( EE =


7/22

)'(')( EE =

E'

)(E''

)(E''

1

E'

)E'('ln)'E('

E

(E)

)(E

1

E

(E)ln

)E(

=

=

=

=

Dua kuantitas penting: ln dan

satuannya adalah: (energi)1 (E)11 == k: konstanta Boltzmann

ln

Jadi saat setimbang: )'(')( EE = 'TT =

= lnkS S : Entropik: konstanta Boltzmann


8/22

Sistem yang Kontak Termal dengan Reservoar Kalor

A`, E`

A, E

A*

A`: Reservoar KalorA : Sistem yang Kecil

Probabilitas sistem A dalam keadaan tertentu r yang berenergi Er adalah Pr

*' = rrrr

r'

r

rrr

e*)E(')E*E('

E'*)E('lnE'E

'ln*)E('ln)E*E('ln

=

=

=

Sehingga

rr E'E'

rrr Ke(E*)e')(EC)(EP

==A : konstanta : karakteristik reservoar =1/kT

Fungsi Distribusi Kanonik


9/22

1Ke)E(Pr

E

r

r

rr == =

r

E reK

1

rE'

rr Ke)(EP

=

Fungsi Distribusi Kanonik:

Konstanta K dapat ditentukan dari syarat normalisasi:

'

=

r

kTE

kT

E

rr r

r

e

e

)E(P

Sehingga Fungsi Distribusi Kanonik dapat dituliskan:


10/22

Contoh Penggunaan


11/22

1. ParamagnetismeKita akan menyelidiki sifat magnetik suatu material yang terdiri N0 atom magnetikpersatuan volume yang ditempatkan dalam medan magnet luar B dan materialtersebut bersuhu T

Bext.

Kasus sederhana : tiap atom magnetiknya berspin dan momen magnetiknya 0

Tinjau sebuah atom magnetik, berapakah momen magnetik rata-rata dari sebuahatom tersebut?

Keadaan partikel pada sistem di atas adalah sebagai berikut:

1. Ada partikel yang memiliki momen magnetik yang searah dengan medan magnetluar;

2. Ada partikel yang memiliki momen magnetik yang berlawanan arah denganmedan magnet luar.


12/22

Distribusi kanonik:

Pr = Ce -Er

P+ = Ce-E+ dan P- = Ce

-E-

Energinya:

E+ = -(B) (+o) = -Bo

E - = -(B) (-o) = Bo

Sehingga:

P+ = Ce Bo dan P- = Ce- Bo

Karena hanya ada dua keadaan, maka :

P- + P+ = 1

Ce- Bo + Ce Bo = 1, sehinggaoo BB ee

1

C +=


13/22

Pernyataan momen magnetik partikel rata-rata dinyatakan oleh:

= rrP oooo

BB

B

o

B

o

ee)e()e(

+++=

+

=

oo

oo

BB

BB

o ee

ee

dimana secara umum harga : tanhee

=

sehingga B)tanh( oo=

Jika digunakan definisikT

1=

maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material(Magnetisasi):

NM =kT

BtanhNM oo=


14/22

Deret Mc. Laurin tanh xadalah :

++

+++

+

+++

=

...!2!1

1...!2!1

1

...!2!11...!2!11tanh

22

22

xxxx

xxxx

x .

!2

22

!32211

tanh2

3

x

xxx

+

++=

1

kT

Bo


15/22

1kT

Bo >>

kT

B

kT

B

kT

B

kT

B

o

oo

oo

ee

ee

kT

Btanh

+

= 1

e

e

kT

Btanh

kT

B

kT

B

o

o

o

=

Kasus harga oB >> kT maka nilai

maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari materialMa netisasi :

0NM =

Nilai maksimum (saturasi), tidak bergantung B dan T


16/22

2. Energi Total Rata-Rata Gas IdealTinjau sebuah gas yang terdiri dari N buah molekul identik, masing-masingbermassa m yang ditampatkan pada sebuah kotak 3-D dengan sisi-sisi Lx , Ly , Lzdan gas bersuhu T

Penyederhanaan Sistem (Idealisasi):

1. Energi potensial interaksi sangat kecil dibanding energi kinetik2. Non degenerasi3. Molekul gas monoatomik

Berapakah energi total rata-rata gas ideal tersebut?

NkT2

3E =

Penggunaan Distribusi Kanonik:

Tinjau sebuah molekul dalam gas ideal tersebut (sistem kecil)

Berapakah probabilitas menemukan molekul tersebut dalam keadaan kuantum ryang energinya r ?

rrr Ke)(EP

=


17/22

r

rr Ke)(EP

=

=

r

kT

kT

rr r

r

e

e

)(EP

Pernyataan r untuk sistem ini?

++=2

2

z

2

2

y

2

2

x

22

rL

n

L

n

L

n

2m

h

Energi rata-ratanya?

rrP =

=

r

r

r

re

r

( )

=

=

=

Z

rr

rrr

rr eee

Perhatikan pembilangnya!

PartisiFungsi:eZr

r =

Sehingga energi rata-ratanya:

=

=

ZZ

Z

ln1


18/22

Fungsi partisi sebuah molekul:

zyx

n2

z

2

z

2

y

2

y

2

x

2

x

22

nnr

ZZZ

Ln

Ln

Ln

2mexpeZ

zyx

r =

++==

h

dengan:

=xn

2

x

2

x

22

L

n

2m

expZ

h

x

=

2

y22 n

exZh

Karena bentuknya mirip, kita hitung salahsatu saja, misal Zx:

Aproksimasi, nx, ny, nz variabel kontinu:

yn yL2m

=

zn2

z

2

z

22

L

n

2m

expZ

h

zkonstanta):(b

Lb

dnL

n

2m

expZ

21

x

x

0

2

x

xx

=

=

Hal serupa untuk Zy dan Zz:

L

bdan ZL

bZ21

zz

21

y

y

==

Vb

LLLbZZZZ

23

3

23

zyx3

zyx ===

Sehingga fungsi partisi Z:


19/22

33ln3

3lnbln23lnV

lnZ

Z

Z1

+

=

=

=

Energi rata-rata sebuah molekul:

V

bZ23

3

=

222

Energi rata-rata gas ideal:

NkT2

3

NE ==


20/22

3. Tekanan Rata-Rata Gas Ideal

fr

Lx

y

x

Ly

gas idealfr : Gaya dalam arah x yang diberikan oleh

sebuah molekul pada dinding kanankotak, dimana molekul tersebut dalam

keadaan kuantum r dan energinya r

Misalkan dindin kanan berubah secara lambat sebesar dL

Maka, molekul melakukan usaha pada dinding sebesar fr dLx

Molekul kehilangan energi sebesar dr

x

rrrxr

L

fddLf

==

Sehingga:


21/22

Gaya rata-rata oleh sebuah molekul pada dinding:

===

r

r x

r

r

r

r

r

r

rr

r

r

r

e

Le

e

ef

fPf

Perhatikan pembilang:

Ze r

=

=

11e r

r

xrx

Lr x

Sehingga

xx

x

LlnZ

1

LZ

Z1

ZL

Z

1

f

=

=

=

LLL

bZ23

zyx3

=

Diperoleh gaya rata-rata oleh sebuah molekul pada dinding:

xx L

kT

L ==

=

1

L

lnZ

1f

x


22/22

Gaya rata-rata oleh N molekul pada dinding:

xL

NkTfNF ==

Tekanan rata-rata oleh N molekul pada dinding kanan seluas LyLz :

V

NkT

LLL

NkT

LL

fN

A

FP

zyxzy

====

NkTVP = Persamaan Keadaan Gas Ideal

Catatan: Perhitungan P pada dinding yang lain, akan menghasilkan persamaan

yang sama

6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]

Documents

Transcript of 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]