50067808 Ruang Hasil Kali Dalam
3
RUANG HASIL KALI DALAM DENGAN 4 TEOREMA A.Definisi Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor V adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan bilangan Real U,V dengan tiap pasang dari vektor U dan dalam vektor V. Memenuhi 4 aksioma untuk semua U, V dan W dalam V dan K skalar, yaitu : 1. U.V = V.U ⇒ aksioma simetris 2. U + V ,W = U.W + V.W ⇒ aksioma activitas 3. K.U .V = K. U .V ⇒ aksioma homogenitas 4. V .V ≥ 0 dan V . V = 0 ⇒ aksioma positifitas, jika dan hanya jika V = 0 Sebuah ruang vektor rill dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan Ruang Hasil Kali Dalam Rill. Contoh soal: 1. Misal u = (u1, u2), v = (v1,v2) adalah vektor – vektor pada R2. Tunjukan bahwa <u,v> = 5u1v1 + 2u2v2 adalah ruang hasil kali dalam. Jawab: (a) <u,v> = 5u v1 + 2u2v2 = 3 v1 u1 + 2 v2 u2 = <v,u> (b) Jika w = (w1,w2), maka <u + v,w> = 5(u1 + v1)w1 + 2(u2 + v2)w2 = 5u1w1 + 5v1w1 + 2u2w2 + 2v2w2
Transcript of 50067808 Ruang Hasil Kali Dalam
RUANG HASIL KALI DALAM
DENGAN 4 TEOREMA
A. Definisi
Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor V adalah sebuah fungsi
yang mengasosiasikan bilangan Real U,V dengan tiap pasang dari vektor U dan dalam
vektor V.
Memenuhi 4 aksioma untuk semua U, V dan W dalam V dan K skalar, yaitu :
1. U.V = V.U aksioma simetris⇒
2. U + V ,W = U.W + V.W aksioma activitas⇒
3. K.U .V = K. U .V aksioma homogenitas⇒
4. V .V ≥ 0 dan V . V = 0 ⇒ aksioma positifitas, jika dan hanya jika V
= 0
Sebuah ruang vektor rill dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan Ruang Hasil Kali Dalam Rill.
Contoh soal:
1. Misal u = (u1, u2), v = (v1,v2) adalah vektor – vektor pada R2. Tunjukan bahwa <u,v> = 5u1v1 + 2u2v2 adalah ruang hasil kali dalam.
Jawab:
(a) <u,v> = 5u v1 + 2u2v2 = 3 v1 u1 + 2 v2 u2 = <v,u>
(b) Jika w = (w1,w2), maka<u + v,w> = 5(u1 + v1)w1 + 2(u2 + v2)w2
= 5u1w1 + 5v1w1 + 2u2w2 + 2v2w2 = (5u1w1 + 2u2w2) + (5v1w1 + 2v2w2) = <u,w> + <v,w>
(c) <ku,v> = 5(ku1)v1 + 2(ku2)v2 = k (3 v1 u1 + 2 v2 u2)
= k<u,v>
(d) <v,v> = 5v1v1 + 2v2v2 = 5v1
2+2v22 ≥ 0 dan
<v,v> = 5v1v1 + 2v2v2
= 5v12 + 2v22
jika hanya jika v1 = v2 = 0 atau v = 0.
jadi, <u,v> = 5u1v1 + 2u2v2 adalah ruang hasil kali dalam.
B. SIFAT-SIFAT (TEOREMA)Jika U, V dan W adalah vektor - vektor pada ruang hasil dalam dan k sebarang skalar maka :
1. <O.V> = <V.O> = O
2. <U,V + W > = <U.V + U.W>
3.< U.KV> = K<U.V>
Contoh soal:
1. Diketahui <u,v> = rd + tf dengan u = (r,s,t) dan v = (d,e,f). Apakah <u,v> tersebut merupakan hasil kali dalam ?Jawab :
(a) <u,v> = rd + tf = dr + ft = <v, u> (terpenuhi)
(b) Misalkan w = (g,h,i) <u + v, w> = ((r + d, s + e, t + f), (g,h,i))
= (r + d)g + (t + f)i = (rg + ti) + (dg + fi) = <u,w> + <v,w> (terpenuhi)
(c) <ku,v> = (krd + ktf)= k(rd + tf)= k<v,u> (terpenuhi)
(d) <u ,u> = (u.u) = (r2 + t2) ≥0 (terpenuhi)
dan
<u,u> = (r2 + t2) = 0 tidak selalu u =(0,0,0), karena nilai u =(0,b,0) dengan b≠0, maka nilai <u,u> = 0 ( tidak terpenuhi )
Karena aksioma positivitas tidak terpenuhi, maka <u,v> = rd + tf dengan u=(r,s,t) dan v = (d,e,f) bukan merupakan hasil kali dalam.
