5. Solusi Persamaan LinierEliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan, Iterasi JacobiIterasi Seidell, Dekomposisi Crout & Dekomposisi CholeskyAnalisis Numerik (CS2023)Teknik Informatika STT TELKOM BANDUNG

Soal Operasi MatriksJelaskan disertai contoh (matriks 3x3), apa yang disebut dengan matriks:a. Bujur sangkarb. Simetrisc. diagonald. Identitase. Segitiga atasf. Segitiga bawahg. Pita

2. Diketahui matriks :TentukanA At At A

3. Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari :

Diketahui , dan

Tentukan matriks hasil operasi berikut ini :1. AB 2. 3CA3. (AB)C (4B)C + 2C

PendahuluanSistem Linier (sistem banyak variabel) memiliki persamaan umum :

Dalam bentuk perkalian matrik menjadi :

Eliminasi GaussSolusinya menjadi :Sekali xn, xn-1, xn-2, , xk+1 diketahui , maka nilai xk dapat dihitung dengan :Dengan k = n-1, n-2, , 1 dan akk 0

Procedure sulih_mundur(A : matriks; b : vektor; n : integer; var x : vektor)Varj, k : integer;sigma : real;beginx[n]:=b[n]/a[n,n]for k:=n-1 downto 1 dobeginfor j:=k+1 to n dosigma:=sigma + a[k,j] * x[j];x[k]:=(b[k]-sigma)/a[k,k];end;end;Penyulihan Mundur dalam Pascal

Eliminasi Gauss (Cont.)Tanda pangkat (1), (2), (3),. dst menunjukkan banyaknya modifikasi yang telah dilakukan terhadap nilai tersebut.Proses eliminasi terdiri dari 3 operasi mendasar terhadap baris, berupa :PertukaranPenskalaan ( mengalikan satu baris dengan bilangan bukan nol)Penggantian ( mengganti satu baris dengan hasil operasi perkalian baris lain ), dengan persamaan :

barisr = barisr mp,rbarisp Elemen ar,r pada posisi (r,r) digunakan untuk eliminasi xr pada baris r+1, r+2, N dinamakan elemen pivot sehingga

mp,r = nilai pada baris p / elemen pivot

Eliminasi Gauss (Cont.)Contoh :

Solusi :

pivot bernilai nol diatasi dengan Strategi Pivoting :

jika app(p-1) = 0, cari baris k yang ak,p 0 dan k>p, kemudian pertukarkan baris p dengan baris kEliminasi Gauss (Cont.)

Eliminasi Gauss (Cont.)

Kemungkinan Solusi PL

Eliminasi Gauss JordanFormat matrik mengalami perubahan :

Ax = b Ix =b

Matrik A bersamaan dengan vektor b dieliminasi sampai matrik A menjadi matrik Identitassolusinya :

x1 = b1, x2 = b2, ..xn = bn

Iterasi Jacobi & Seidellakk 0, k = 1, 2, 3, , nJacobiSeidell

Iterasi Jacobi & Seidell (Cont.)tebakkan awal :kondisi berhenti iterasi :untuk semua I = 1,2,3,, nsyarat cukup agar iterasinya konvergen adalah sistem dominan secara diagonal

Iterasi Jacobi & Seidell (Cont.)Contoh Soal :

Contoh Kasus

Contoh Kasus

Dekomposisi Croutterdiri dari 2 langkah utama :

eliminasi majusubtitusi mundurpenurunan rumus :

matrik A didekomposisi menjadi matrik L dan Umatrik U adalah matrik segitiga atasmatrik L adalah matrik segitiga bawah dengan elemen diagonalnya = 1

Dekomposisi Crout (Cont.)

Dekomposisi Crout (Cont.)

Dekomposisi Choleskydapat dilakukan untuk kasus A = ATsusun matrik A = LLTdengan formula pembentuk elemen L :

Dekomposisi Cholesky (Cont.)Contoh kasus