5

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Matriks

1. Pengertian Matriks

Definisi II.A.1

Matriks adalah suatu susunan bilangan-bilangan berbentuk

segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota

dalam matriks (Anton, 2000:45).

Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris (garis horisontal) dan

kolom (garis vertikal) yang dikandungnya. Suatu matriks dengan hanya

satu kolom disebut matriks kolom atau vektor kolom dan suatu matriks

dengan hanya satu baris disebut matriks baris atau vektor baris.

Anggota pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakan

sebagai ija . Matriks dinotasikan dengan huruf kapital A, B, K, dan

sebagainya. Bentuk matriks secara umum,

Amxn =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

Anggota suatu matriks berindeks rangkap, misalnya pada matriks A di

atas 12a menyatakan anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-2,

sedangkan matriks A berordo m x n di tulis Amxn.

(Anton, 2000:45)

5

Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011

6

2. Macam-macam matriks

Macam-macam matriks diantaranya sebagai berikut:

a. Matriks persegi

Suatu matriks disebut matriks persegi, jika banyaknya baris dan

banyaknya kolom sama. Disebut juga matriks persegi berorde n.

(Anton, 2000:46)

Contoh II.A.1 :

Matriks persegi 3 x 3

A3x3 =

502

013

211

Pada matriks persegi unsur-unsur yang terletak pada garis penghubung

11a dengan nna dinamakan diagonal utama.

b. Matriks identitas

Suatu matriks persegi dimana anggota-anggotanya mempunyai niai 1

pada diagonal utama dan 0 pada anggota selain diagonal utamanya.

(Anton, 2000:63)

Contoh II.A.2 :

100

010

001

I

Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011

7

c. Matriks Diagonal

Suatu matriks persegi dimana semua anggota di luar diagonal utama

mempunyai nilai 0 dan paling tidak satu anggota pada diagonal utama

tidak sama dengan nol, biasanya diberi simbol D.

(Anton, 2000:94)

Contoh II.A.3 :

300

020

001

D

3. Kesamaan matriks

Definisi II.A.3

Dua matriks dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran

yang sama dan anggota-anggotanya yang bersesuaian sama.

(Anton, 1998 : 23)

Contoh II.A.4 :

Diberikan matriks :

A

43

12B

53

12 = 2 1 03 4 0maka

A ≠ C karena A dan C tidak mempunyai ukuran yang sama, dan B ≠ C

karena B juga tidak mempunyai ukuran yang sama. Matriks A dan B tidak

sama karena tidak semua anggota-anggotanya yang bersesuaian sama.

Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011

8

4. Operasi Matriks

a. Penjumlahan matriks

Definisi II.A.4

Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka

jumlah matriks A + B adalah matriks D yaitu matriks yang

diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota B dengan

anggota-anggota A yang bersesuaian. Matriks-matriks

berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan (Anton, 1998 : 23).

Contoh II.A.5 :

Diberikan matriks :

0724

4201

3012

A B

5423

1022

1534

22

11C

Maka :

504)(722)(34

1)(4022021)(

1350314)(2

BA

5307

3221

4542

BA

Sedang A + C dan B + C tidak didefinisikan karena matriks C ukurannya

berbeda dengan matriks A dan matriks B (Anton, 1998: 23-24).

Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011

9

b. Perkalian skalar dengan matriks

Definisi II.A.5

Jika A adalah sebarang matriks dan c adalah suatu skalar, maka

hasil kali ( product ) cA adalah matriks yang diperoleh dengan

mengalikan setiap anggota A dengan c (Anton, 1998 : 24).

Contoh II.A.6 :

Diberikan matriks :

= 4 21 3−1 0maka

2 = 2 4 21 3−1 02 = 8 42 6−2 0

dan

(−1) = −1 4 21 3−1 0(−1) = −4 −2−1 −31 0

Jika B adalah sebarang matriks, maka – B akan menyatakan hasil kali

(– 1)B. Jika A dan B adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka

A – B didefinisikan sebagai jumlah A + (–B) = A + (–1)B.

Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011

10

Contoh II.A.7 :

Diberikan matriks := 2 3 41 2 1 dan = 0 2 71 −3 5Dari definisi-definisi di atas maka

– B = 0 −2 −7−1 3 −5dan

A – B = 2 3 41 2 1 + 0 −2 −7−1 3 −5= 2 1 −30 5 −4

Jadi A – B dapat diperoleh secara langsung dengan mengurangkan

anggota B dari anggota A yang bersesuaian.

(Anton, 1998 : 24)

c. Perkalian matriks dengan matriks

Definisi II.A.6

Jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah

matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang

anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut: untuk

mencari anggota dalam baris i dalam kolom j dari AB , pilih

baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan

anggota-anggota yang bersesuaian dari baris dan kolom secara

bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.

(Anton, 1998 : 25)

Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011

11

Contoh II.A.8 :

Diberikan matriks :

062

421A B

2572

1310

3414

Karena A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x 4, maka hasil

kali AB adalah sebuah matriks 2 x 4.

(0.2)(6.1)(2.3)(0.5)(6.3)(2.4)(0.7)1)(6.(2.1)(0.2)(6.0)(2.4)

(4.2)(1.2)(1.3)(4.5)(2.3)(1.4)(4.7)1)(2.(1.1)(4.2)(2.0)(1.4)AB

122648

13302712AB

B. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi II.B.1

Jika A adalah sebuah matrik nn , maka sebuah vektor yang tak nol x

di dalam nR dinamakan sebuah vektor eigen (eigen vector) dari A jika

Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu

Ax = x

Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigen value)

dari A dan x dikatakan sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan

(Anton, 1998: 277).

Untuk mencari nilai eigen dari sebuah matriks A yang berukuran

nn maka dituliskan kembali

Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011

12

Ax = x

A x = I x

)( AI x = 0 (II.B.1)

Agar menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian tidak nol dari

persamaan (II.B.1) dan persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian

tidak nol apabila .0det AI (II.B.2)

Persamaan (II.B.2) dinamakan persamaan karakteristik dari A, skalar

yang memenuhi persamaan tersebut adalah nilai eigen dari A. Apabila

AI det dijabarkan, maka akan membentuk polinomial yang

dinamakan polinomial karakteristik dari A.

(Anton, 1998: 278)

Contoh II.B.9:

Carilah nilai-nilai eigen dari matriks

01

23A

Penyelesaian:

0det AI

det

01

23

10

01 = 0

01

23

0

0

= 0

Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011

13

01

23

0)2()3(

0232 (II.B.3)

Persamaan (II.B.2) merupakan polinomial karakteristik dari matriks A. Dari

persamaan (II.B.2) diperoleh:

0232

0)2)(1(

11 dan 22

Jadi nilai eigen matriks A adalah 1 dan 2 .

(Anton, 1998: 279)

C. Populasi, Ekosistem dan Pertumbuhan Populasi

Populasi adalah sehimpunan individu atau kelompok individu suatu

jenis makhluk hidup yang tergolong dalam satu spesies (atau kelompok lain

yang dapat melangsungkan interaksi genetik dengan jenis yang

bersangkutan), dan pada suatu wilayah tertentu menghuni suatu wilayah atau

tata ruang tertentu. Adapun sifat-sifat khas yang dimiliki oleh suatu populasi

adalah kerapatan (densitas), laju kelahiran (natalitas), laju kematian

(mortalitas), sebaran (distribusi) umur, potensi biotik, sifat genetik, perilaku

dan pemencaran (dispersi). Populasi dari suatu spesies tertentu dapat

melangsungkan hidup dalam jangka waktu tertentu dan menghuni suatu

wilayah tertentu atau tempat terbatas dan tertentu. Populasi hidup pada suatu

Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011

14

ekosistem yaitu suatu unit fungsional yang terdiri dari berbagai ukuran yang

tersusun dari bagian-bagian hidup (lingkungan biotik) dan bagian-bagian tak

hidup (lingkungan abiotik) yang saling berinteraksi.

Dalam suatu ekosistem pada waktu dan tempat tertentu populasi akan

mengalami perubahan. Perubahan populasi dapat berupa penambahan

maupun pengurangan jumlah individunya. Pengurangan maupun penambahan

jumlah individu ke dalam populasi disebut sebagai pertumbuhan populasi.

(Tarumingkeng, 1994:10)

D. Populasi Kambing

1. Pertumbuhan populasi kambing

Kambing yang banyak dikembangkan di Indonesia umumnya

kambing Peranakan Etawa (PE), yang umumnya masih lebih dominan

sebagai sumber daging dibandingkan sebagai sumber air susu. Permintaan

daging kambing di Indonesia dan dunia mengalami peningkatan. Indonesia

mengkonsumsi daging kambing sebagai salah satu sumber protein hewani

yang utama setelah sapi dan ayam. Pasokan daging kambing relatif

terbatas karena usaha peternakan kambing di Indonesia didominasi oleh

usaha rumah tangga (Smith, 1988:170).

2. Mortalitas

Mortalitas (kematian), yang dimaksud dengan mati ialah peristiwa

menghilangnya tanda-tanda kehidupan secara permanen, yang bisa terjadi

setiap saat setelah kelahiran hidup (Mantra, 1985:79). Umur maksimal

Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011

15

kambing antara 8-10 tahun, prosentase kematian kambing rata-rata 2%

perdua tahun (Smith, 1988:172).

3. Fertilitas

Fertilitas dihubungkan dengan jumlah kelahiran hidup yang

dipunyai oleh seekor betina atau kelompok betina. Suatu kelahiran disebut

lahir hidup (live birth) apabila pada waktu lahir terdapat tanda-tanda

kehidupan misalnya, bersuara, bernapas, jantung berdenyut. Apabila pada

waktu lahir tidak ada tanda-tanda kehidupan disebut dengan lahir mati

(still birth) (Mantra, 1985:128).

Umur kambing betina yang baik untuk dikawinkan adalah 15-18

bulan, sedangkan umur kambing jantannya adalah 10 bulan. Jumlah anak

yang dilahirkan oleh seekor betina 1-4 ekor per satu kali melahirkan, tetapi

kebanyakan 2 ekor. Dalam waktu 2 tahun seekor kambing dapat

melahirkan anak sebanyak 3 kali (Smith, 1988:172).

E. Matriks Leslie

Definisi II.E.1

Matriks Leslie merupakan matriks persegi yang digunakan dalam

pertumbuhan populasi dikembangkan oleh Sir Paul Leslie (Leslie,

1948) yang sebelumnya dikemukakan oleh Lewis (1942). Karena

dikembangkan oleh Leslie maka disebut Matriks Leslie

(Tarumingkeng, 1994 : 75).

Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011

16

Bentuk umum dari Matriks Leslie dapat didefinisikan sebagai berikut :

L = 0⋮00⋮0

00⋮000⋮ 00⋮0

Dengan, ia dan ib merupakan faktor-faktor yang menentukan laju

pertumbuhan populasinya.

ia = laju kedewasaan individu pada kelompok umur ke-i

ib = peluang banyaknya individu dari populasi dalam kelompok umur ke-i

yang mampu bertahan hidup sampai memasuki kelompok umur ke-i+1.

Misalkan ia adalah rata-rata banyaknya anak betina yang lahir dari

setiap kelompok i dan ib adalah perbandingan antara banyaknya betina yang

bertahan hidup sehingga mampu masuk kedalam kelompok i+1, dengan

banyaknya betina dalam kelompok i. Oleh karena itu:

1. ia ≥ 0, untuk i = 1, 2, 3, ...., n

2. 0 < ib ≤ 1, untuk i = 1, 2, 3, …., n-1.

Nilai ib tidak boleh sama dengan nol, karena jika ib sama dengan nol

maka tidak ada betina yang bertahan masuk kedalam kelompok i+1. Untuk ia

sedikitnya ada satu nilai yang positif sehingga akan terjadi kelahiran.

Aplikasi Matriks Leslie..., Yuli Fatmawati, FKIP UMP, 2011