KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS

ALJABAR MAKS PLUS

oleh

TRI ANGGORO PUTRO

M0112100

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2017

i

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul ”Ketercapai-

an dari Ruang Eigen Matriks atas Aljabar Maks-Plus” belum pernah diajukan

untuk memperoleh gelar kesarjanaan pada suatu perguruan tinggi, dan sepanjang

pengetahuan saya juga belum pernah ditulis atau dipublikasikan oleh orang lain,

kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar

pustaka.

Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

Surakarta, Juli 2017

Tri Anggoro Putro

iii

ABSTRAK

Tri Anggoro Putro, 2017. KETERCAPAIAN RUANG EIGEN MATRIKSATAS ALJABAR MAKS-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu PengetahuanAlam, Universitas Sebelas Maret.

Aljabar maks-plus merupakan suatu himpunan R = R∪{ε} yang dilengkapidengan dua operasi yaitu ⊕ dan ⊗, dengan a⊕ b = maks{a, b} dan a⊗ b = a+ b.Himpunan matriks berukuran m × n atas aljabar maks-plus dinotasikan seba-

gai Rm×n. Suatu matriks A dikatakan tak tereduksi jika graf precedence G(A)

terhubung kuat. Sebaliknya, jika graf precedence G(A) tidak terhubung kuat,

maka matriks tersebut tereduksi. Matriks A = (aij) ∈ Rn×ndikatakan ter-

visualisasi jika aij ≤ λ(A) untuk setiap i, j ∈ N dan aij = λ(A) untuk seti-ap (i, j) ∈ E(A). Suatu matriks tervisualisasi kuat apabila aij = λ(A) jikadan hanya jika (i, j) ∈ E(A). Pada penelitian ini, dibahas mengenai proyektorspektral, kelas-kelas siklis dan perilaku khusus dari matriks berpangkat, dan pe-nyelesaian ketercapaian. Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkanbahwa suatu matriks Q dikatakan proyektor spektral dari A apabila memenuhiA ⊗ Q = Q ⊗ A = Q = Q2. Proyektor spektral Q = Ar akan periodik ketikanilai r ≥ n2. Jika matriks A adalah suatu matriks definit dan tak tereduksi makasemua baris (atau kolom) dari Ar yang termuat di kelas siklis yang sama adalahbernilai sama. Ruang eigen matriks A disebut tercapai apabila orbit O(A, x)memuat vektor eigen dari matriks A.

Kata kunci: aljabar maks-plus, ruang eigen, proyeksi spektral, kelas siklis, ke-tercapaian

iv

ABSTRACT

Tri Anggoro Putro, 2017. REACHABILITY OF EIGENSPACES INMAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas MaretUniversity.

Max-plus algebra is a set R = R∪{ε} equipped with two operations ⊕ and⊗, where a⊕b = max{a, b} and a⊗b = a+b. The set of matricesm×n in max-plus

algebra is denoted by Rm×n. Matrix A is called irreducible if precedence graph

G(A) is strongly connected, if precedence graph G(A) is not strongly connected,

then the matrix is called reducible. Matrix A = (aij) ∈ Rn×nis called visualized

if aij ≤ λ(A) for all i, j ∈ N and aij = λ(A) for all (i, j) ∈ E(A). A visualizedmatrix is called strictly visualized if aij = λ(A) if and only if (i, j) ∈ E(A). Inthis research, is discussed about spectral projector, cyclic classes and ultimatebehavior of matrix powers, and solving reachability. Based on the result anddiscussion can be concluded that matrix Q is called spectral projector on A suchthat A⊗Q = Q⊗A = Q = Q2. Spectral projector Q = Ar will be periodic whenr ≥ n2. If matrix A is definite and irreducible then all rows (or colomns) of Ar

with indices in the same cyclic class are equal. Eigenspaces of matrix A is calledreachable if orbit O(A, x) contains eigenvector of matrix A.

Keywords : max-plus algebra, eigenspaces, spectral projector, cyclic classes,reachability

v

MOTO

”Keistimewaan dalam kehidupan adalah menjadi dirimu sendiri.”

(Joseph Campbell)

”Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.”

(QS. Al-Insyirah : 6)

vi

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

ibu, bapak, dan kakak - kakak saya.

vii

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim,

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah me-

limpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penu-

lisan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan kepada Nabi Muhammad

SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi ini berkat bantuan dan bim-

bingan dari berbagai pihak. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada

1. Drs. Siswanto, M.Si. dan Supriyadi Wibowo, M.Si. sebagai Pembimbing

I dan II yang telah memberikan bimbingan materi serta penulisan dalam

skripsi, saran, dan motivasi, dan

2. semua pihak yang telah memberikan bantuan, masukan, dan dukungan ke-

pada penulis.

Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

Surakarta, Juli 2017

Penulis

viii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

PERNYATAAN TIDAK PLAGIASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Aljabar Konvensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Aljabar Maks Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Matriks dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . 8

ix

2.2.4 Graf dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.6 Visualisasi Sifat-Sifat Spektral oleh Matriks Scalling . . . . 11

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IIIMETODE PENELITIAN 14

IVPEMBAHASAN 15

4.1 Proyektor Spektral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Kelas-Kelas Siklis dan Perilaku Khusus dari Matriks Berpangkat . 19

4.3 Penyelesaian Ketercapaian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

V PENUTUP 32

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

DAFTAR PUSTAKA 33

x

DAFTAR GAMBAR

4.1 Digraf kritis pada contoh 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Digraf tak kritis pada contoh 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Kelas siklis pada contoh 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

xi

DAFTAR NOTASI

R : himpunan bilangan real

R : R ∪ {ε}

⊕ : operasi maksimum pada aljabar maks plus

⊗ : operasi jumlah pada aljabar maks plus

ε : elemen identitas untuk ⊕ dengan ε = −∞

e : elemen identitas untuk ⊗ dengan e = 0

Rm×n: himpunan matriks berukuran m× n dengan elemen R

En : matriks identitas berukuran n× n dalam aljabar maks plus

AT : transpose dari matriks A

A⊗k : A⊗ A⊗ . . .⊗ A (A sebanyak k)

G(A) : graf berarah dari matriks A

I(G) : himpunan yang beranggotakan titik-titik (nodes) pada graf berarah G(A)

E(G) : himpunan yang beranggotakan arcs pada graf berarah G(A)

π : lintasan (path) pada graf berarah G(A)

ω(π) : bobot dari lintasan π

ω(σ,A) : bobot lintasan σ pada G(A)

µ(σ,A) : rata-rata cycle σ pada G(A)

λ(A) : nilai eigen terbesar dari matriks A

Nc(A) : node eigen atau node kritis di A

C(A) : cycle kritis di A

Ec(A) : himpunan semua arc dari semua cycle kritis di A

V (A) : ruang eigen dari matriks A

σ(A) : cyclicity matriks A

σ(G(A)) : cyclicity graf berarah G(A)

xii

Aii : submatriks dari matriks A pada diagonal ke-i

a(r)ij : elemen dari matriks Ar

arij : pangkat ke-r dari aij

εn×1 : matriks berukuran n× 1 dengan elemennya bernilai ε

Q(A) : proyektor spektral dari matriks A

Qi(A) : proyektor spektral elementer ke-i dari matriks A

A∗ : matriks Kleene Star

T (A) : transien dari Ak

[i] : kelas siklis yang memuat node i

O(A, x) : orbit dari matriks A dengan vektor awal x

Attr(A, p) : ruang p-attraction dari matriks A

xiii