9/5/2011

Deny Ratna Yuniartha Teknik Industri Universitas Atma Jaya Yogyakarta

Tujuan PembelajaranMahasiswa mampu memahami masalah optimisasi satu variabel Mahasiswa mampu meyelesaikan masalah optimisasi satu variabel

1

9/5/2011

Dibagi menjadi dua:Masalah tak terkendala Masalah terkendala

Langkah pencarian titik optimum masalah optimisasi satu variabel tak terkendala:Tentukan titik stasioner, jika ada Titik stasioner diperoleh saat turunan pertama sama dengan nol (f(x)=0) Periksa setiap titik stasioner tersebut untuk menentukan apakah menghasilkan titik optimal (maksimum atau minimum) atau titik belok (saddle point/ inflection point)

2

9/5/2011

f(a) 0 0 0 0 0 0 0

f(a) + 0 0 0 0 0

f(3)(a) Ada Ada + 0 0 0

f(4)(a) g Sembarang Sembarang

Kondisi titik x=aa

a

Adaa

Adaa

+a

f(5)(a) ada f(5)(a) ada

0

a

Periksa f(5)(a)

Tentukan nilai dan jenis optimum dari fungsi berikut

f ( x) = x 2 + 3 x + 1f ( x) = x 3 + 3x 2 + 9 x + 5f ( x) = 1 + 8 x + 2 x 2 10 3 1 4 4 5 1 6 x x + x x 3 4 5 6

f (x ) = 12 x 5 45 x 4 + 40 x 3 + 7

3

9/5/2011

Fungsi tujuan: max/min Z=f(x) pada interval [a b] [a,b] Jika f(c)f(x) berada pada interval [a,b], fungsi f memiliki nilai maksimum absolut f(c) pada titik c Jika f(d)f(x) berada pada interval [a,b], g ( ) fungsi f memiliki nilai minimum absolut f(d) pada titik d

Titik c berada pada interval [a,b] f(c)f(x) untuk x pada interval [a,b] fungsi f memiliki nilai maksimum absolut f(c) pada titik c

a

c

b

4

9/5/2011

Titik d berada pada interval [a,b] f(d)f(x) untuk x pada interval [a,b] fungsi f memiliki nilai minimum absolut f(d) pada titik d

d a b

5

9/5/2011

Fungsi f(x) adalah fungsi kontinyu pada interval tertutup [a,b] dan c [a b] Jika f(c) [a b] [a,b]. adalah nilai maksimum atau minimum fungsi f(x) pada interval [a,b] maka salah satu kondisi berikut ini harus dipenuhi:c adalah titik ujung interval (c=a atau c=b) f(c) tidak ada f(c)=0

Tentukan seluruh titik c [a,b] dimana f (c)=0 tentukan f(c)=0 atau f (c) tidak ada tentukan titik f(c) kritis Hitung nilai f(a), f(b), dan seluruh nilai f(c) Bandingkan nilai fungsi tujuan pada titik stasioner dengan nilai fungsi tujuan pada titik ujung interval, nilai terbesar adalah j g maksimum absolut dan nilai terkecil adalah minimum absolut fungsi f pada interval [a,b]

6

9/5/2011

Tentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi

f ( x) = 2 x 3 5 x 2dengan pembatas

x

2

25 0

Tentukan maksimum atau minimum absolut dari fungsi berikutf ( x) = x 5 5 x 4 35 x 3 + 25 x 2 + 24 x 4 5 2 3x 2 (4.1) 02

dengan pembatas

7

9/5/2011

Tentukan maksimum atau minimum absolut dari fungsi berikutf ( x) = x 5 5 x 4 35 x 3 + 25 x 2 + 24 x 4 5 2 3 x 2 (4.1) = 02

dengan pembatas

Tentukan maksimum dan minimum absolut dari fungsi berikut

f ( x) = x 4 2 x 3 2 x 2 + 4x berada pada interval [-1,1] Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi 17 3 f ( x) = 3x 4 x3 + x 2 + 2 x + 5 2 3 dimana x berada pada interval x 2 3 x 10 0

8

9/5/2011

Sebuah kaleng berbentuk silinder dengan alas dan atap (tutup) tertutup memerlukan bahan seng 100m2. Tentukan ukuran silinder agar volumenya maksimum

Pak Raden hendak membuat dua kandang yang sama ukurannya untuk ayam dan bebeknya, masing-masing luasnya 9 m2 dan dipagari bambu, seperti pada gambar berikut: Berapa ukuran x dan y agar bambu yang digunakan sesedikit mungkin dikit ki Harga bambu untuk pagar luar Rp 200/m dan Rp 100/m untuk pagar dalam, berapa ukuran x dan y supaya biaya untuk membeli bambu minimum

y

x

9